2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市香坊区第六中学校数学高二年级上册期末学业水平测试试题含解析

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市香坊区第六中学校数学高二上期末学业水平测试试

题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数-7+二的共朝复数的虚部为()

1+212

2.已知抛物线的焦点坐标是(-1,0),则抛物线的标准方程为

A.x2=4yB.V=-4y

C.9=4xD.y~=-4x

3.某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下:

排队人数01234>5

概率0.10.16030.30.10.04

则至少有两人排队的概率为()

A.0.16B,0.26

C.0.56D.0.74

4.已知实数a,b,c,若。>方，则下列不等式成立的是（）

11,,

A—>—B.a2>b

ab

ab,,

C•二一r>三二D.ac2>bc2

c+1c+1

5.已知等差数列｛4｝中，出、“8是2%2—I6x—1=0的两根，贝!1（%+%了—%=（）

A248B.60

C.12D.4

6.离心率为二，长轴长为6的椭圆的标准方程是

222222

A.土+乙=1B.,土+工=1或二+乙=1

959559

C.—+^=1D.尤2V//

,1-1或---1----------1

362036202036

7.抛物线y=的焦点到准线的距离为()

A.2B.1

C.-D.-

24

8.下列导数运算正确的是。

MJb

•(2。'=21n2

C.(ln2%)=-—D1•(sinx-cosx)=cos%-sin%

9.已知双曲线—+校产=i的虚轴长是实轴长的2倍,则实数机的值是

1

A.4B.-

4

1

C.——D-

4

在平行六面体ABCD-AB£DI中，AB+AD-CCI

AB

uuu

A.AC]B.^C

C・D】BD.DBi

2「1

11.已知函数=xlnx+x(x-〃)若对任意工£―,2,都有矿(x)>/(x)成立，则”的取值范围为

()

93

A.（-oo,-）B.（-oo,-）

C.（—oo,后）D.（-oo,3）

12.记等差数列｛%｝的前"项和为S“，若的=11,§6=75,则%等于（）

A.5B.31

C.38D.41

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设函数了（力的导数为/'（x）,且/（x）="msinx+cosx,则/[7]=

22

14.在平面直角坐标系X0y中，已知双曲线C：三一｝=1（。>0）〉0）的左，右焦点分别为G，工，过耳且与圆

。：必+丁2=/相切的直线与双曲线。的一条渐近线相交于点河（点M在第一象限），若其耳,峥，则双曲线c

的离心率e=.

22

15.双曲线土-匕=1的离心率为__________

43

/、k

16.设函数〃％）=ln%+—,八R.若对任何再A%>。，<1>恒成立，求左的取值范围______.

XXy~X2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数y=-炉+以一6.

（1）当。=5时，解不等式y<0；

（2）若不等式y<0的解集为R,求实数。的取值范围.

18.（12分）在平面直角坐标系x0y中，已知椭圆C：W+《=l（a〉6〉0）过点22,1）,且离心率6=苴.

ab2

（1）求椭圆。的方程；

（2）直线/的斜率为直线/与椭圆C交于A,3两点，求的面积的最大值.

19.（12分）已知椭圆C的两焦点分别为4卜2行刀）、骂（2后,0）,长轴长为6

⑴求椭圆C的标准方程；⑵已知过点（0,2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点,求线段AB的长度

20.（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，侧面如3是边长为4的正三角形且与底面ABC垂直，点。，E,F,77分

别是棱物，AB,BC,PC的中点

（1）若点G在棱3c上，且3G=3GC,求证：平面。防〃平面OHG；

（2）若AC=2,5c=2逐，求二面角8-尸。一A的余弦值

21.（12分）已知椭圆。：3+5=1（。〉6〉0）的右焦点为尸（1,0）,且经过点Q（、历，岑）.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设椭圆C的左顶点为P,过点E的直线/（与x轴不重合）交椭圆于A3两点，直线24交直线/':x=2a于点

若直线/'上存在另一点N,使引0.网=0.求证：R5N三点共线.

22.（10分）某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的化学成绩（成绩均为整数且满分

为100分），把其中不低于50分的分成五段［50,60）,［60,70）,…，［90,100］后画出如图部分频率分布直方图.观察

图形的信息，回答下列问题：

（2）估计高二年级这次考试化学学科及格率（60分以上为及格）；

（3）从化学成绩不及格的学生中随机调查1人，求他的成绩低于50分的概率

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

1-|-|

【解析】先根据复数除法与加法运算求解得一：+---+—i,再求共物复数及其虚部.

l+2i2510

1il-2iil-2ii2-4i+5i2+i11.

［详解］解：77^7+［二一不+不=不一+彳=—-—=­［7r=7+7n1j

l+2i2(1+21)(1-21)2521010510

所以其共轨复数为!-，i,其虚部为-工

51010

故选：B

2^D

【解析】根据抛物线的焦点坐标得到2P=4,进而得到方程.

【详解】抛物线的焦点坐标是(-1,0)，即p=2,2p=4澈得到方程为/=-4%.

故答案为D.

【点睛】这个题目考查了抛物线的标准方程的求法，题目较为简单.

3^D

【解析】利用互斥事件概率计算公式直接求解

【详解】由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得：

至少有两人排队的概率为：

p=1_p(x=0)-P(X=1)=1—o.1—o.16=0.74

故选：D

【点睛】本题考查概率的求法、互斥事件概率计算公式，考查运算求解能力，是基础题

4、C

【解析】根据不等式的性质逐一分析即可得出答案.

【详解】解：对于A,因为“>儿若a=2力=1,则工故A错误；

ab

对于B,若a=l,b=-2,则/〈廿，故B错误；

nh

对于C,若“>/>,Xc2+1>0>所以=--->----->故C正确；

c+1C+1

对于D,当c=0时，—故D错误.

故选：C.

5、B

【解析】利用韦达定理结合等差中项的性质可求得的的值，再结合等差中项的性质可求得结果.

【详解】对于方程2%2—I6x—l=o，A=(-16)2+8>0,

[6

由韦达定理可得。2+。8=耳=8,故2%=%+。7=%+。8=8，则。5=4,

所以，(。3+%)2~a5=(2。5)2_。5=8?—4=60.

故选：B.

6、B

2。=6=>〃=3

【解析】试题解析：｛C2c=

e=—=—=c=?

a3

22

当焦点在x轴上：—+^=1

95

22

当焦点在y轴上：—+^=1

59

考点：本题考查椭圆的标准方程

点评：解决本题的关键是焦点位置不同方程不同

7、B

【解析】根据抛物线的几何性质可得选项.

【详解】由y=得炉=2>,所以"=1,所以抛物线y=的焦点到准线的距离为1,

故选：B.

8、B

【解析】利用基本初等函数的导数和复合函数的导数，依次分析即得解

【详解】选项A,=(/)，=—针，错误；

选项B,(2j=21n2,正确；

选项C,(ln2x)f=—x2=-,错误；

2xx

选项D,(sinx-cos%)=cos%+sin%，错误

故选：B

9、C

【解析】由方程必+7孙2=1表示双曲线知，储=132=_工

m

又双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，所以〃=442,即-工=4,

m

所以=

4

故选C.

考点：双曲线的标准方程与简单几何性质.

10、B

【解析】由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量

【详解】

连接AC、AC，可得A3+AD=AC，又CC；=M，

所以AB+AD—Cq=AC—朋=A。

故选：B.

11、C

【解析】求出函数/(%)的导数，再对给定不等式等价变形，分离参数借助均值不等式计算作答.

【详解】对函数〃尤)=xln_r+x(x-a)2求导得：f'(x)=1+Inx+(%-a)2+2%(x-a),

1，

VXG[—,2],(%)>/(x)ox[l+lnx+(x-^)2+2X(X-6Z)]>xlnx+x(x-^),

则X/xwd,2],2a<2x+-,而2x+^N2、口工=2啦,当且仅当2x=,，即时

2xx\xx2

于是得2a<2后，解得a<0，

所以a的取值范围为(-00,后).

故选：C

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.

12、A

生=4+2d=11

【解析】设等差数列｛4｝的公差为d，首先根据题意得到。，6x5,再解方程组即可得到答案.

S6=H----a=75

、2

氏=a+2d=11（--

51ci-J

【详解】解：设等差数列｛%,｝的公差为d,由题知：°,6x5,-解得]..

S6=6ai-\-----a=/5[a=5

、2

故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、_72

【解析】=—jcosx-stax,而j=""Jcos^-sin=-L所以；"=-cosx-shx»

f'—=-cos二—sm二二一工，故填：yy,

444n

考点：导数

14、2

【解析】设切点N,根据/耳知9=/耳咽=90。，可得ON〃MF?,在“。月中，利用余弦定理构造齐次式,

从而可得出答案.

【详解】解：设切点N,由NRNO=NRMF2=90°,ON//MF2,

；。为4耳中点，则ON为△耳”8中位线，

:.MF,=2a,cosNMOF,=-,

c

M。月中，4a~=C2+C2-2-C-C--,

c

2=3）—3）,e2-e-2=0,:.e=2.

故答案为：2.

15'T

22

【解析】・・•双曲线的方程为土-^=1

43

・，・4=2,b=拒

c=Ja2+/=V?

・cA/7

••e=—=—

a2

故答案为且

2

16-,—,+co^##^A:|k>—j>

【解析】先把原不等式转化为/(%)—%</(%2)—9恒成立，构造函数g(x)=/(x)-x，利用g'(x)<o恒成立,

求出％的取值范围.

【详解】因为对任何X］〉々〉0,<1,

石-x2

所以对任何西〉％〉0，/(%)—%</(%2)一*2，

所以g(%)=/(九)-X在(。，+8)上为减函数.

^(x)=/(%)-%=lnx+——x,xe(0,+oo),

所以g'(x)WO恒成立，即l―4—140对尤w(O,”)恒成立，

所以左N—X?+x=—(x—+(，

所以左二

4

即左的取值范围是；，+°0)

故答案为：；,+j

【点睛】恒(能)成立问题求参数的取值范围：

①参变分离，转化为不含参数的最值问题；

②不能参变分离，直接对参数讨论，研究了(%)的单调性及最值；

③特别地，个别情况下/(x)>g(x)恒成立，可转换为/(耳皿>8(X)皿(二者在同一处取得最值).

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)(-O0,2)。(3收)；

(2)卜2诟2烟.

【解析】(1)将不等式分解因式，即可求得不等式解集；

(2)根据不等式解集，考虑其对应二次函数的特征，即可求出参数。的范围.

【小问1详解】

当。=5时，y<0即一丁+5%-6<0，

也即J—5%+6>0，则(x—2)(x—3)>0,

解得x<2或%>3,

故不等式解集为(―,2)。(3,笆).

【小问2详解】

不等式y<0的解集为R,即—必+以一6W0的解集为R,

也即公+620的解集为R,

故其对应二次函数y=必一ox+6的♦=/一24<0,

解得。十2几,2旬

故实数”的取值范围为：［-276,276］.

22

18、(1)L+t=1；(2)2.

82

【解析】(1)由离心率6=岑，得至1)6=4/,再由点P(2,l)在椭圆上，得到：+，=1,联立求得片=8/2=2,

即可求得椭圆的方程.

(2)设/的方程为y=gx+m,联立方程组，根据根系数的关系和弦长公式，以及点到直线的距离公式，求得

SPAB=d府(4-府)，结合基本不等式，即可求解.

【详解】(1)由题意，椭圆的离心率e=Y3,即=可得标=4廿，

2a2a24

Y2v241

又椭圆］+方=1(〃>10)过点尸(2,1),可得点+会=1,

将片=4/代入=+3=1,可得片=8,/=2,

ab

22

故椭圆方程为工+上=1.

82

(2)设/的方程为y=；x+m,设点4和%),3(%2，y2)，

1

y--x+m

2

联立方程组22，消去y整理，得f+2mx+2m2—4=0,

%---"1---—-11

[82

所以X]+%=—2m,xtx2=2m°-4,

又直线/与椭圆相交，所以A=4n?—&n2+16>0，解得一2<加<2,

贝!=J1+；*J/+x）2-4X[X=

22^5x（4-m2）,

H_2同

点尸到直线/的距离1―rJ5

所以SpM=g|A却Xd=gj5（4—加2）：（羽=小/（4_疗）《机2+（；一疗）=2,

当且仅当根2=2,即加=±血时，AB钻的面积取得最大值为2.

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直

线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致

错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

19、(1)—+^-=1；(2)迪

915

【解析】⑴由焦点坐标可求c值，a值，然后可求出b的值.进而求出椭圆C的标准方程

(2)先求出直线方程然后与椭圆方程联立利用韦达定理及弦长公式求出|AB|的长度

【详解】解：⑴由川一2立0)、4(260),长轴长为6

得：c=2=3所以Z?=1

22

二椭圆方程为土+乙=1

91

⑵设A&,%),B(X2,y2)，由⑴可知椭圆方程为£+千=1①,

•.•直线AB的方程为y=x+2②

把②代入①得化简并整理得10/+36%+27=0

1827

所以须+入2=-石々=记

又乐"号—4节考

【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查运算能力，属于中档题

20、(1)证明见解析；

⑵

4

【解析】(1)由中位线的性质可得ZW//AC、EF//AC.HC//PF,再由线面平行的判定可证OH//平面

HGH平面PEF,最后根据面面平行的判定证明结论.

(2)应用勾股定理、等边三角形的性质、面面和线面垂直的性质可证所、PE、两两垂直，构建空间直角坐标

系，求面8PC、面PCA的法向量，再应用空间向量夹角的坐标表示求二面角6-尸C-A的余弦值.

【小问1详解】

因为。，〃分别是24,PC的中点，所以ZW//AC

因为E,尸分别是AB,3c的中点，所以£F〃AC,

综上，DH//EF,又£>77<Z平面尸EF,EFu平面PEB

所以OH//平面PE广

由题意，G是C尸的中点，又H是PC的中点，

所以HC//PF,又//Ga平面PE尸，P/u平面尸E尸，

所以"G〃平面PEf

由HGcDH=H,HG,DHu平面DHG,所以平面。跖//平面OHG

【小问2详解】

在△ABC中，AB=4,AC=2,BC=2非,所以AB?+AC?=,

所以ABLAC,又EFIIAC,则EFLAB

因为△JR43为等边三角形，点E为A3的中点，所以。E_LAB，

又平面平面ABC,平面PABc平面ABC=A5,

所以PE_L平面ABC,EFu面ABC,故PELEF

综上，以E为坐标原点，以EB,EF,EP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示,

有3（2,0,0）,P（0,0,273）,C（-2,2,0）,A（—2,0,0）,则第=/2,0,26），PC=（-2,2-273）,C4=（0,-2,0）

BP-m=-2x1+2y/3z1=0

设平面3PC的法向量为加=（%],%,4）,贝!!<令Z]=1,贝（Jm=（6,26,1）

PC-m=-2%+2%-2^z；=0

PC-n=-2X2+2y2-2A/3Z2=0

设平面PCA的法向量为〃=（尤2，%，Z2），贝卜,令Z2=l,则九=（—6,0,1）

CAn=-2y2=0

/\一2i

所以cos（7〃,"）=----=一一.由图知，二面角3-尸C—A的平面角为锐角,

\/4x24

所以二面角3—尸C—A的余弦值为I

4

22

21、⑴土+乙=1；

43

(2)证明见解析.

【解析】(1)根据给定条件利用椭圆的定义求出轴长加即可计算作答.

⑵根据给定条件设出/的方程，与椭圆C的方程联立，求出直线瓦的方程并求出点”的坐标，求出点N的坐标，再

利用斜率推理作答.

【小问1详解】

依题意，椭圆。的左焦点厂(-1,0),由椭圆定义得：

2a=\QF\+\QF'\=J(42-l)2+(^)2++1)2+(^)2

=广+1=+=4

即。=2,则〃=/_1=3，

22

所以椭圆C的标准方程为L+匕=1.

43

【小问2详解】

由⑴知，P(-2,0),直线/不垂直y轴，设直线/方程为1=加,+1,A(xl,yl),B(x2,y2),

[x=my+l_0-6m-9

由八2工人2消去“得：(3相+4)旷+67芍-9=0,则%+%=2>，%%=Q2：，

[3x+4y=123m+43m+4

直线24的斜率&A=上7,直线24的方程：>=^^(%+2),而直线/，：x=4,即〃(4,且、),

%+2再+2