第7讲 弦长与面积最值问题-2023届新高考数学大一轮复习讲义

第7讲弦长与面积问题

一、问题综述：

在直线与二次曲线相交的模型中，弦长和面积是最基本的几何量，也是考察几何图形分析和代数运算最常

建立起来的运算式。考察方向比较复杂多变。

知识要点：弦长问题：

在直线与椭圆相交，以及直线与双曲线相交，求弦长问题研究过程中，可通过直线与已知二次曲线联立，借助

韦达定理得到两根关系，从而进行研究.

设直线/:丁="+加，/上两点4（%,）[）,3（工2，%），则=]+%[5-x2\

S&0AB=万|明念AB=纲人-引

设直线/:x=my+/,/上两点4（&%）,3（工2，%），则|明=J1+加1y-刃

SAOAff=万|明心AS=5ME-必|

①特殊地：在直线与圆问题中：弦长公式经常用：|A曰二2|AM|=2必万

2

②特殊地：椭圆中焦点三角形面积：SW1A.=btanI（其中弥留Pg）

证明：由于%*退=4对「疗用sin。

且恒用「=伊耳「+归耳卜21P用?|P周cos'=（归用+|P用）2-2|尸用?cos（9）

故4c2=4/-2|PG|?|P段（1cos6»）

h

故|P/羽P用2"二2（二=...-~_

S，=2归相尸耶me-=*2

因为右，；/=2鬃。％一伙，所以〃tani2一c?%・

③特殊地：双曲线中焦点三角形面积：内=从一5

：=/cote（其中。=£）/铲用）

tan

2

③特殊地：在直线与抛物线问题中：

设抛物线方程：V=2px,过焦点的直线/:y=Z（x-Jp（斜率存在且80）,

对应倾斜角为0,与抛物线交于A（x„y）,B（x2,y2）

I/=2Px

联立方程：In?k2{x"）2=2px,

jy=k（x-§2

整理可得：k2x2-(k2p+2p)x+^=0

4

2

(1)王玉=?,ytyt=-p

(2)|AB|=演+x,+夕=小3=20(1+二^)=3-(几何法亦可证明)

11-k2tan?6sin*

(3)S——dJ.Afi]—sin0—y———―—―

MOH20o-''122sin?。2sin。

二、典例分析

类型一：圆中的弦长问题

模型1：特殊三角形、特殊位置

【例1-1-1】(2012天津)在平面直角坐标系x0y中，直线3x+4y—5=0与圆£+:/=4相交于A,B两点，

则弦A3的长等于()

A.36B.26C.GD.1

解析：圆x?+V=4的圆心0(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离d=Lg=1,r=2

由内角为30。，60°,90。的三角形边长比为1:6:2知:弦长AB=2G.

【解后反思】圆中三类特殊三角形：等腰直角、等边、含30。角的直角三角形可以帮助简化运算，熟练记忆掌

握，会让运算效率高很多。

【例1-1-2】(2012湖北)过点P(l,l)的直线，将圆形区域｛(x,y)|x?+仇,4｝分为两部分，使得这两部分的面积

之差最大，则该直线的方程为()

A.x+y-2=0B.y-1=0C.x-y=0D.x+3y-4=0

解析：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与

直线。尸垂直即可.又已知点尸(1,1),则28=1,故所求直线的斜率为—1.又所求直线过点故由点

斜式得，所求直线的方程为y—1=—(x—l),

即x+y-2=0.故选A.

【解后反思】圆中的动态问题，可考虑找特殊位置、极限位置，先定位置再分析，可以事半功倍.

【例设机,〃1R,若直线/:/nv+1=0与尢轴相交于点A,与y轴相交于8,且/与圆V+丁=4相交所

得弦的长为2,0为坐标原点，则A4O3面积的最小值为.

解析：直线与两坐标轴的交点坐标为A(O-),B(L,O),直线与圆相交所得的弦长为2,圆心到直线的距离d满足

nm

d2=r2-I2=4-1=3,所以"=G,即圆心到直线的距离d=J"=6,所以1+〃2=1■.三角形的面积

“2+73

为S=LL?工工，又s=工？3,当且仅当加|=同=2时取等号,所以最小值为3.

2mn2|/nn|2\/nn\m~+n~6

【解后反思】双参数问题的研究过程中，除了定量运算外，也可以考虑极限和特殊位置进行分析求解。

模型2：几何法(|/q=21AMi=2-Jr2-d2)

【例1-2-1】若直线/过点C,且被圆“：/+(六3)2=10截得的弦长为2,求直线/的方程

X2+(y—3)"=10[x=3fx=3

解答：①当直线斜率不存在时，l:x=3,联立方程：\I)J

尤=3[)=4[y=2

弦长为2,符合题意.

②当直线斜率存在时，设/:y-2=Z:(x—3)=辰一y+2—3左=0

22

由弦长为2和r=而可得：</w_/=Vr-l=3

MM=卜，[3从=3n(l+3%y=9付+[),解得：k=^

4

:.I:y-2=Q(X-3)4x-3y-6—0

综上所述：/的方程为4x-3y-6=0和x=3

【解后反思】在设直线方程求解时，一定要考虑先特殊后一般防止漏解。

【例122】已知圆C:%2+y?-(6-2/n)x-4s+5〃P-6/n=0,直线/经过点(1,1),若对任意的实数相，直线

/被圆。截得的弦长都是定值，则直线/的方程为

解答：圆标准方程：(3-3+m)2+(丁一2机)2=9,圆心为0(3—m,2间，半径为3,可知(7在直线y=—2工+6。

|2+1-6|3

点(1,1)到直线y=—2x+6的距离d=<3,所以过(1,1)且与y=-2x+6平行的直线与圆相

y/5一方

交，因为圆的半径r=3,所以截得的弦长为定值。所以左=—2,即-l=—2(x—l)=2x+y—3=0

【解后反思】解析几何的含参问题，在动态变化过程中，要考虑有不变量。本题圆心横纵坐标有线性相等关系,

所以圆的圆心轨迹为直线，而圆半径为定值，固可求解.本题亦可特殊化处理，令加=0,进行求解.

【例1-2-3]在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：V+(y-3尸=2,点A是x轴上的一个动点，AR4Q分别

切圆C于P,Q两点，则弦长尸。的取值范围是()

A.［半,qB,半,2&)C.［半，&D.阵20

3

解答：如图设AC,PQ交于M,则有|PQ|=2|PM，只需确认|PM|的范围即可，由圆方程可得r=JL设

APCM=0,所以1PMi=|pqsin6=0sine,在RtPCA中，可得

\AP\J\ACf-r2

sin，所以|PM|=V2-1--~正，下面确定|AC「的范围。设

14cl|AC|

A(x,O),因为C(0,3),所以|AC「=X2+9C［9,M)从而解得\PM\

\PQ\=2\PM\

类型二：椭圆和双曲线中的弦长问题

【例2-1】过椭圆:+3=1的右焦点尸作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A,8,C,。四点，则向+总的

4

值为（）

解析：①若AB,C£＞分别与坐标轴平行,不妨设A6_Lx轴，则|AB|=（"=3

।।7

因为C0_LAB.•.CD为长轴长，即ICDUZcy=.1~r+；~r=—

11|CD|12

②当A3,CD斜率均存在时，设AB斜率为左，由CDLA5可得CO斜率为——

k

设AB:y=Z(x-l),A(再,

y=k(X—］)

联立《')得：3/+4左2(%_1)2=12,整理后为:

3x2+4y2=l2

(4公+3片-8公％+4%2-12=0

2

、8公。4k-12、r~-T,,12公+12

\x+=-,x,——7------\\AB\=，］+《％-%,=----

1-4k2+3,-4/+31111-14公+3

设。(工,％),。(4%)，CZ):y=--(x-l),同理只需用一2替换|AB|中的人即可

kk

g哮一口…

114^+33^+47^+77

_____|__________________________________

|AB||C£＞「12公+1212公+12-12尸+12-12

117

综上所述:

\AB\\CD\~\2

【解题反思】反设直线和特殊化解决小题会更加轻松.

【例2-2】已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点”作倾斜解为工的直线交椭圆

于A,8两点，求弦45的长.

解：【解析法】

|AB|=222-4^]%].

"\Z1+^|X,-X2|=^(1+A:)[(XI4-X2)2

因为a=6,b=3,所以C=36.

因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为土+2=1,左焦点尸（-36，0），

369

从而直线方程为旷=JIr+9.

由直线方程与椭圆方程联立得：13炉+72瓜+36*8=0.设匹，超为方程两根，所以修+%2=-必"，

36x8.rr

xtx2=於，k=73,

222

从而|4同=yjl+k\xt-x2\=y](\+k)[(x[+x2)-4X[X2]=

【定义法】

22

由题意可知椭圆方程为二+工1,设1A耳|=加，忸［=〃,则.闾=12-加，怛©=12r.

369

在中，|4闾2=w周2+比闾2_2区£归居|cosg,

即（12-/〃）2=加+36-3—2•加《右」；

2

所以加=/万.同理在48百工中，用余弦定理得”=三方，所以|4目=加+〃=^|

【解题反思】多考虑题目中未知参量所满足的等量关系，进行求解.不要局限于一题一解。

类型三：抛物线中的弦长问题

【例3-1］（2015浙江）如图，设抛物线丁=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A&C，其

中点在抛物线上，点C在y轴上，则ABCF与AACF的面积之比是（）

阳T|fiF|2+l

B.

西-1网2T\AF[+I

xB_BF

解析：如图,丁”7

【解题反思】抛物线中，焦半径的长度受横坐标影响。解题时，首先想定义。

【例3-2](2017新课标1)已知F为抛物线C：V=4x的焦点，过/作两条互相垂直的直线,直线《与C交

于A3,直线乙与C交于。、E,则|AB|+Q用最小值为()

A.16B.14C.12D.10

解析：【方法一】由已知4垂直于X轴是不符合题意，所以4的斜率存在设为匕，4的斜率为42,由题意有

k2=-l,设A(x”％),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4)

此时直线4方程为y=K(x—1),

F=4x

取方程4y,得将尤2-2Z：x-4x+好=0,

）=占（％-1）

.-2k；-42号+4日工..2M+4

,•%1+%2------------j同理得色+/=2

由抛物线定义可知IA3|+|DE|=X|+x2+x3+x4+2p

26+42代+4444。­]16。山

—+—+4=r+-+822/^+8=16

r72

k；k；k,~k；\k「k£

当且仅当《=-&=1(或一1)时，取得等号.

【方法二】设反倾斜角为。.作垂直准线，A/J垂直不轴，

|AF|-cos®+|G尸|=|AKj（几何关系）

易知《|AK||=|AF|（抛物线特性），...|AF|-cos，+P=|AF|,

=P

P.|,雨-2P--2P

同理网=，•/|-l-cos2^-sin2^

1+cos0

7T

又DE与A3垂直，即DE的倾斜角为彳+夕，

2

2P_2P

$亩2(工+。]cos2e'而y2=4x,即p=2.

.•.UB|+|DE\=2P(-4-+―=4sm2,+版6>=_,4,=]

(sirrOcos_0)sin2^cos26sin-^cos-0—sin-2^

=—七216,当且仅当。=：取等号，即|A3|+|DE|最小值为16,故选A；

sin"204

9P?P7p

【方法三】依题意知：\DE\=—占一=,由柯西不等式知:

11sin/11.，强cos2^

sin篇+0±

|AB|+|M=2P(—4^+—2P•Y±^7=8P=16,当且仅当*:取等号.

(sin。cos0)snrO+cos。4

【解题反思】抛物线中研究弦长，可采取正设直线、反设直线、定义转化、角度参数、巧记结论等方法.

3

【例3-3】已知抛物线C9=3/的焦点为凡斜率为士的直线/与C的交点为A,B,

2

与x轴的交点为P.

(1)若|4尸|+忸丹=4,求/的方程;

(2)若AP=3P3,求|AB|.

3

解析：设直线/:y=]X+f,A(X],y),B(X2，y2)•

(1)由题设得尸(；,0),故|4/|+|3/|=%+马+^|,由题设可得%+龙2=|・

,_3

由<)-2*+',可得9f+12(/—l)x+4/=0,则玉+工2=-2”--.

/=3x-9

u而12(r-l)57

从而---------=—,得f=—.

928

37

所以/的方程为y=；x—g.

-3

(2)由AP=3PB可得必=—3%.由72，可得V—2y+2f=0.

|V=3x

所以y+%=2.从而-3%+>2=2，故%=-1，乂=3.

代入C的方程得玉=3,尤2=（.故|48|=上乎.

类型四：圆中的面积最值问题

【例4-1]（2018全国卷HI）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于4,8两点，点P在圆（x-2）2+/=2±,

则D4tp面积的取值范围是（）

A.[2,6]B.[4,8]C.f72,372]D.[2几30\

|2+0+2|

解析:圆心（2,0）到直线的距离d==2垃,

所以点p到直线的距离4w[75,3正].

据直线的方程可知A,B两点的坐标分别为4（一2,0）,5（0,-2）,

所以|A8|=20,所以A4BP的面积S=L|AB|4=扃「

2

因为亚],所以Se[2,6],即△ABP面积的取值范围是[2,6].故选A.

【例4-2]（2014江西）在平面直角坐标系中，4,8分别是x轴和y轴上的动点，若以他为直径的圆C与直线

2x+y-4=0相切，则圆C面积的最小值为

A.-7tB.-71C.（6一26）万D.—7t

544

解析：由题意可知以线段钻为直径的圆C过原点O,要使圆C的面积最小，只需圆C的半径或直径最小.又

圆C与直线2x+y・4=0相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O到直线2犬+广4=0的距

49A

离，此时2r二不，得〃=石圆C的面积的最小值为S=兀户=-7T.

5

类型五：椭圆和双曲线中的面积最值问题

【例5-1】以椭圆土+匕=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C,其左右焦点分别为耳，居，已知点M的

95

坐标为（2,1），双曲线。上点。（面,%）（%>0,%>0）满足

PF.MF,_FF-MF

2tt则SPMF]_SPMF2等于()

A.2B.4C.1D.-1

解析：可先利用椭圆确定双曲线方程及其焦点坐标，的顶点为（―3,0）,（3,0）,即为耳，工的坐标,

椭圆的焦点为（—2,0）,（2,0）,所以双曲线中a=2,c=3,进而b=

ppMFFFMF

观察|j-=j「J可联想到投影，即町在p£的投影与M耳在匿耳的投影

相等，由几何关系可得为N/V谯的角平分线。由“（2,1）,工（3,0）可得%=-1,即F2M平分NP6月，

从而M为PF\F2的内心，且内切圆半径r=yM=\。从而

s.—SpM.2=gPK|"—gPF2|"=5（|P£|—|PE|）=2

22

【例5-2]已知点P为双曲线二一二=1（。＞0乃＞0）右支上一点，耳居分别是双曲线的左右焦点，且

a"b"

方2

内图=1,/为三角形P/诚的内心，若S呼=S吵+/LS仍成立，则X的值为（）

A.1+-B,2>/3-1C.A/2+1D.V2-1

解析：由三角形内心的性质可得/到三边的距离相等，所以m耳，/「乙，/月工的高均为「，从而

1

\FF\Ch

s=s昨+xs"通=|「制=|桃|+丸忻闾，即石向：祐=（，所以只需利用优用=了确定

a,c的关系即可。

解析：/为三角形尸与鸟的内心

'S阳=（|「周",S]PF[=%周・T,S/尸26小周"

S.IPR=S吗+&6|=|尸玛|+川耳玛|

・,.川耳闾=「娟-俨周P在双曲线上，且耳，耳是焦点

・•.I尸耳IT尸闾=2d明=2c4=£即；I为离心率

〃h2

由忻用二一可得：2。=一=2。。=。2一。2,两边同时除以。2得:

aa

.2±272

e~—2e—1=0,解得e=-----------e—V2+1即4=V2+1

22

【例5-3】已知椭圆€：：1+2=1（〃＞。＞0）的左、右焦点分别为6、F,,P为椭圆

a0

上一点，且「片1_尸8，若鸟的面积为9,则6=.

解析：方法一：根据椭圆定义|Pf；|+|P闾=2a,S.F演=今尸用|尸周=9,则归不归周=18,又根据勾股定

理：阀「+|尸乙「=4，，有（归用+仍6『一2冏||P段=4/—36=402,则〃=9/=3.

方法二：由椭圆的焦点三角形面积公式知：APFj/s=Z?2tan^=9,故b=3

22

【例5-4】双曲线C：?一]=1的右焦点为尸，点p在C的一条渐近线上，。为坐标原点，若归。=归同，

则APF。的面积为（）

A.述B.逑C.2夜D.3夜

42

1

解析：由a=2,Z?=夜,c=[a+/=^6,,\PO\-\PF\,xp

又P在C的一条渐近线上，不妨设为在y=2x上，则yp=2.Xp=YZx45=走，

。a222

•••5APro=||OF|-|^|=|xV6x^=^,故选A.

【例5-5】（2014新课标1）已知点A（O,—2）,椭圆E：=■+/=1（。＞。＞0）的离心率为且，尸是椭圆E的

erb2

右焦点，直线A/的斜率为2y5,。为坐标原点.

3

（1）求E的方程；

（2）设过点A的动直线/与E相交于尸，。两点，当AOPQ的面积最大时，求/的方程.

解析：⑴设网c,0）,由条件知2=毡，得。=百，又£=正，所以a=2,

c3a2

2

/?2=/一02=1,故后的方程工+3/2=1

4

（2）依题意当Ux轴不合题意，故设直线1：y=kx-2,设P&,乂）,。（乙,乃）

2

将丁=依-2代入3+V=l,得（1+4严卜2-16"+12=0,

、1/A1右/472o\r\oni23.8k±2y14k~—3

当△=16（4公一3）＞0,即《＞一时，尤2=---------；----,

4'-21+必2

从而IP0="?+1|王一々|=4"：1，

2痂01,|pn|414k2-3

又点O到直线PQ的距离d=.,故SAOPQ=2。俨。|=下而一

设14k2-3=r,则r>0,s&OPQ=-^-^=-^<\,

当且仅当f=2,左=±1等号成立，且满足△>(),

2

所以当AOP。的面积最大时，/的方程为：y=^-x-2或y=_*x-2.

【例5-6](2015山东)平面直角坐标系x0y中，已知椭圆C：=+3=1(。>。〉0)的

a-b~

离心率为坐，左、右焦点分别是大、F2.以耳为圆心以3为半径的圆与以K为圆心以1

为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.

(1)求椭圆c的方程；

22

(2)设椭圆E：二+*=1,P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=履+/〃交椭圆£于AB两点,

4a~4/r

射线PO交椭圆E于点。.

(i)求的值；

IOPI

(ii)求面积的最大值.

解析：(1)由题意知2a=4,则a=2,又邑=立,a2-*4c2^b2,

ci2

r2

可得b=1,所以椭圆C的方程为二+y2=i.

4

22

(2)由(I)知椭圆E的方程为工+工=1.

164

(i)设P(x。，%)，等J=2，由题意知。(一几%,-办0)，

因为芋+为2=1,又，E+冲三=1,即4(与+必)=1,

416444

所以;1=2,即应0=2.

IOPI

（ii）设A（X],y）,8（々,%），将丫=腐+，”代入椭圆£的方程，

可得（1+4%2）尤2+可做+4帆2-16=0,

由△>(),可得/〃2<4+16女2,

Skm4/n2-16

则有X]+工2=-

l+4k2

4J16表2+4-/

所以|西一々|=

1+4公

因为直线y=Zx+m与y轴交点的坐标为（0,加），

「「，、，,八,chrc1,,2-J16A：2+4-m2\m

所以AOAB的面积S=一|加||X|-x,|=----------------

2-1+4产

_2y](16k2+4-m2)m2_~

,174p1TTZF,TTZF

9

ni~

令」~^=t,将y=《x+m代入椭圆。的方程，

1+4公

可得(1+4A:2)x2+Skinx+4m2-4=0,

由△＞（）,可得加41+4公，

由①②可知0＜fWl,因此S=2d（4一=2J-/+47,

故SW26,

当且仅当，=1时，即，〃2=1+4公时取得最大值2百，

由（i）知，A48。面积为3S,

所以A48。面积的最大值为6行.

【5-7]已知椭圆。：/+6=1（。＞人＞0）的离心率为5,过右焦点厂的直线/与C相交于4,B两点，当/的

斜率为1时，坐标原点。到/的距离为二一

2

（1）求椭圆C的方程

(2)若P,Q,M,N是椭圆C上的四点，已知尸尸与FQ共线，M尸与FN共线，且=求四边形

PMQN面积的最小值

Q\

解：（1）e=—=一,设尸（c,0）,则/:y=x-c

a2

,,_|c|_V2

..i=-7==----c

gV22

a=2,b2=a2-c2=3

22

/.----p—=1

43

(2)由(1)可得：F(1,O),因为"•九件=

：.SPMQN=^\MN\-\PQ\

设尸（冷y），Q（^，%）,PQ：y=%（x—1），

3f+4y2=12

联立方程可得：,、，消去x可得:

y=Q_l）

3x2+4公（%—I,=12整理后可得：（4公+3）f一85x+4公-12=0

J144V+144_12（6+1）

灯芯

.■.\PQ\=Jl+-X2|=Jl+/.①

4k2+34r+3

设MN:y=_：(x-l),以一』替换①中的女可得:

+1

12（F）

12公+12

|MN|=一

33k2+4

1,一।112例+1）⑵2+12

.­.SPMQN=-\MN\]PQ\=-.^>

3k2+4

F+2

rck4+2k2+\”

—72-----T-------：------=72•

12/+25公+1212k+扑25

设〃=公+(，可得〃目2收)：另372.£展

16

2c288

，"=2时，Smin=-

【5-9](2019全国卷2理)已知点A(-2,0),BQ,0),动点例(x,y)满足直线A例与的斜率之积为--.记

2

M的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线;

(2)过坐标原点的直线交C于尸，Q两点，点P在第一象限，轴，垂足为E,连结QE并延长交C

于点G.

(i)证明：△PQG是直角三角形;

(ii)求△PQG面积的最大值.

12V2

解析：(1)由题设得。——上-化简得\%+、=1(|幻工2),所以C为中心在坐标原点，焦点

x+2x—2

在x轴上的椭圆，不含左右顶点.

(2)(i)设直线P。的斜率为我,则其方程为y="/>0).

y=Ax2

由，《+匚1得1而落

[42

2

t己〃=/,,贝I」尸(",uk),Q(-u,-uk),E(u,0).

VI+2k2

于是直线QG的斜率为:，方程为y=g(x—“).

k,、

y^-(x-u),

由，22得(2+/口2一2诫2彳+左2“2一8=0.①

—+—=1

I42

3

设G(%,%)，则一〃和XG是方程①的解，故％=以，：])，由此得先uk

乙十K2+k2,

-----2~ulc1

从而直线PG的斜率为釜、-=所以PQLPG,即△PQG是直角三角形.

u(3k+2)k

--------------z--------U

2+k2

(ii)由⑴得|PQ=2"J1+炉,'PG],；｝,所以APQG的面积

8(：+人)

S=^\PQ\\PG\=8%(1+公)K

(1+2公)(2+公)1+2(：+女)2

设/=%+/,则由fc>0得仑2,当且仅当仁1时取等号.

父,1A

因为S=-二在［2,+8）单调递减，所以当U2,即&=1时，S取得最大值，最大值为一.因此，△PQG

1+2/9

面积的最大值为竺.

【例5-10】直角坐标系中，直线/的参数方程为，（t为参数），以坐标原点。为极点，x轴

正半轴为极轴建立极坐标系，桶圆。的极坐标方程为夕2cos2。+302$山26=48,其左焦点F在直线/上.

⑴若直线/与椭圆。交于AB两点，求|E4|+|EB|的值；

（2）求椭圆C的内接矩形面积的最大值.

X=0COS0X2V2

解析：（1）将4代入p2cos2。+3"2$m2。=48,得即---F—=1,因为/=48—16=

y=psinff.4816

32,所以F的坐标为（-4夜，0）,

又因为F在直线/上，所以机=-4夜.

》=-4尬+^^，

2

把直线/的参数方程《代入/+3^=48,

化简得4f—8=0,所以h+包=4,介介=—8,

所以|E4|+忻卸=总一胃=&|+y_如=716+4x8=473.

（2）由椭圆C的方程土+匕=1,

4816

7T

可设椭圆C上在第一象限内的任意一点M的坐标为（4&COS。，4sinJ）(0<^<-),

2

所以内接矩形的面积S=8Gcos6-8sine=32百sin20,

当。='时，面积S取得最大值320.

4

类型六：抛物线中的面积最值问题

【例6-1】（2014新课标2）设尸为抛物线C：y2=3x的焦点，过尸且倾斜角为30。的

直线交C于A3两点，。为坐标原点，则△。钻的面积为（）

3百273639

A.BcD

~T~8324

解析：易知抛物线中p=g,焦点/0,0）,直线AB的斜率上=乎，故直线AB的

方程为y=q.（x—》,代人抛物线方程y2=3x,整理得％2一弓了+2=0

21

设4m,必）,8（工2，%），则%+%=万，由物线的定义可得弦长

\AB\=Xi+x2+p=\2,结合图像可得。到直线AB的距离d="sin30=±,

28

—19

所以AQ43的面积=

【例6-2】抛物线＞2=4x的焦点为产，准线为/,经过尸且斜率为6的直线与抛物线在x轴上方的部分相交

于点A,AK±l,垂足为K,则_AEK的面积是（）

A.4B.3百C,473D.8

TTTT

解析：【几何法】由题，直线倾斜角为上，从而得NKAF=上

33

由于SAKF=1|A/T|.|AF|sin|,其中\AK\=\AF\,

而％=|OF|+忻+|AF|=%+1,故/=|。河+3（4+1）=4=3,

2

从而目=4+1=4,所以5.=（|4可25皿?=46

【解析法】由抛物线方程可得：F（l,0）,设/:y=G（x—1）,联立方程：

[y2=4x,、2,1

?L=3（九-1）一=4%，整理可得：3X2-10X+3=0.・.X=3或X=—

U=风-1）I）3

1

=

x=3x­

厂或<30（舍）x.=3,|4丹=4+1=4,

y=2\J3>=一§"

故5^=三4/|\泊?=46

【例6-31设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M（百,0）的直线与抛物线相交于AB两点，与抛物线的准线

q

相交于C,忸丹=2,贝UBCF与ACF的面积之比uBCF)

q

°ACF

4241

A.一B.-c.一D.一

537