2023-2024学年湖南省岳阳十三中高一（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省岳阳十三中高一（上）入学数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列运算正确的是（）

A.（2/3-<5）（2\T3+7_5）=1B.<^25-V^5=2/T

C.=-8D.sin260。+2C=浮

2.将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则41的度数为（）

A.5°

B.10°

C.15°

D.20°

3.已知。一工二，7,则Q+工=()

aa

A.±73B.+3C.+V11D.+11

4.世界近代三大数学难题之一哥德巴赫猜想于1742年由哥德巴赫在给欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都

可写成两个奇素数之和.这个猜想至今没有完全证明，目前最前沿的成果是1966年我国数学家陈景润证明了

“1+2”，即他证明了任何一个充分大的偶数，都可以表示为两个数之和，其中一个是素数，另一个或为

素数，或为两个素数的乘积，被称为“陈氏定理”.我们知道素数又叫质数，是指在大于1的自然数中，除了

1和它本身以外，不能被其他自然数整除的数.请问同学们，如果我们从不大于8的自然数中任取两个不同的

数，这个两个数都是素数有多少种不同的情况？（）

A.6B.10C.12D.16

5.下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

可回收物其他垃圾有害垃圾厨余垃圾

6.4ABC中，若44：乙B：ZC=1：2：3,G为A/IBC的重心，则△G4B面积：△GBC面积：△G4C面积=（）

A.1：2：B.1：/3：2C.2：1：Q3D.1：1：1

7.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2,AB=4,乙4=30。，以点4为圆心，力。的长为半径画弧交AB于

点E,连接CE,则阴影部分的面积是（）

A.2*B.3TC.37~3D.2<3-

8.在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后，得到新的盐水，它的浓度为20%,又在新盐水中加入与前述“一

杯水”的重量相等的纯盐后，盐的浓度变为33^%,那么原来盐水的浓度为（）

A.23%B.25%C.30%D.32%

9.一条抛物线y=。无2+故+c的顶点为（4,-11）,且与光轴的两个交点的横坐标为一正一负，则Q、b、c中

为正数的（）

A.只有aB,只有bC.只有cD,只有a和匕

10.反比例函数y=?与一次函数y=k（x+l）（fcW0,/cW1）在同一坐标系中的图象只能是（）

11.如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒,

拼第3个图形需要22根小木棒…若按照这样的方法拼成的第九个图形需要2022根小木棒，则九的值为（）

第1个图形第2个图形

A.252B.253C.336D.337

12.如图所示，已知三角形4BE为直角三角形，^ABE=90%BC为圆。切

线，C为切点，CA=CD,则A/BC和ACDE面积之比为()

A.1：3

B.1：2

C.V2：2

D.(V-2-1)：1

二、填空题(本大题共4小题，共20.()分)

13.已知实系数一元二次方程/+mx—m=0的两根分别为小,％2,且一&|=2,则实数6的值为

14.对于实数a,b,定义符号min{a,b},其意义为：当a>b时,min(a,b]=b；当a<b时，min{a,b}=a.^J

如：min{-2,l]--2,若关于x的函数y=min{3x-1,-x+2},则该函数的最大值为.

15.火车匀速通过长82米的铁桥用了22秒，如果它的速度加快1倍，通过162米长的铁桥就只用了16秒，求

这列火车的长度为

16.如图，△4BC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点.连接CE,将CE绕

点C顺时针旋转60。得到CF.连接AF,EF,DF,则△CC尸周长的最小值是.

三、解答题(本大题共6小题，共70.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

计算：

(1)(71-1)°-C+2cos45°+(i)-1；

(2)解方程：|3x-2|=x+2.

18.(本小题12.0分)

某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”的活动，推出了以下四种选修课程：4绘画；B.唱歌;

C.演讲；D.十字锈.学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程.学校随机抽查了部分学生，

对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图.请结合统计图中的信息，解决下列

问题：

(1)这次学校抽查的学生人数是;

(2)将条形统计图补充完整；

(3)求扇形统计图中，B课程部分的圆心角的度数；

(4)如果该校共有1000名学生，请你估计该校报。的学生约有多少人?

课程选择情况的条形统计图课程选择情况的扇形统计图

19.(本小题12.0分)

通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开

始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散.学生注意力指标数y

随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示(y越大表示学生注意力越集中).当0<x<10时，图象是抛物线的一

部分，当10WXW20和204XW40时，图象是线段.

(1)当0<x<10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式;

(2)一道数学竞赛题需要讲解24分钟.问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不

低于36.

20.(本小题12.0分)

阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”(如图所示)，它

揭示了(a+b)n(n为非负数)展开式的各项系数的规律.

(a+b)i=a+b

(a+b)2=a24-2ab+b2

121

(a+b)3=a'+3a'b+Sab'+b)

33

(a+b)'=a'+4a'b+6a2b2+4ab'+b'

464

根据上述规律，完成下列问题：

(1)直接写出(a+b)5=.

(2)(a+1)8的展开式中a项的系数是.

(3)利用上述规律求1廿的值，写出过程.

21.(本小题12.0分)

如图，△力BC内接于。。，BD为。。的直径，BD与47相交于点H,4C的延长线与过点B的直线相交于点E,

且NA=乙EBC.

(1)求证：BE是。。的切线；

(2)已知CG〃E8,且CG与B。，84分别相交于点凡G,若BG•BA=48,FG=DF=2BF,求4H的

值.

22.(本小题12.0分)

在平面直角坐标系中，抛物线y=/-2x-3与x轴相交于点A,B(点4在点B的左侧)，与y轴相交于点C,

连接4c.

(1)求点B,点C的坐标；

(2)如图1,点以n0)在线段OB上(点E不与点8重合)，点尸在y轴负半轴上，OE=OF,连接ZF,BF,EF,

设AACF的面积为工，ABE尸的面积为S2,S=S1+S2,当S取最大值时，求m的值；

(3)如图2,抛物线的顶点为。，连接CD,BC,点P在第一象限的抛物线上，P。与BC相交于点Q,是否存在

点P,使4PQC=〃1CD,若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：(2，马一门)(2，"+/豆)=(215)2-(O=7，故4错误；

<^25-y/~i5=5AT5-3y/~5=2y,故B正确；

V28+(―7)-—4,故C错误；

sin260°+2<3=7+2<3,故。错误.

故选：B.

根据已知条件，结合指数鼎的运算法则，以及三角函数的特殊角的取值，即可求解.

本题主要考查指数基的运算法则，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：由平行线的性质可知，Z.1=45°-30°=15°,

故选：C.

根据三角板的内角度数和平行关系可知，41=45。-30。=15°.

本题考查了平行关系的应用，属于基础题.

3.【答案】C

22

【解析】解：(a+/=a+2+^=(a-J)+4=7+4=11.

a+9=±E，

故选：C.

根据完全平方公式求解即可.

本题考查了完全平方公式，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：根据题意，在不大于8的自然数中，素数有2、3、5、7,共4个，

则取出2个数都是素数的取法有废=6种，

故选：A.

根据题意，分析可得有4个符合题意的素数，由组合数公式计算可得答案.

本题考查组合数公式的应用，注意认真审题，提升阅读能力，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：由中心对称图形，轴对称图形的定义可知，选项C符合题意，

其他选项均不符合.

故选：C.

根据中心对称图形，轴对称图形的定义，结合选项即可得解.

本题考查中心对称图形与轴对称图形的判断，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：如图所示，延长CG交4B于点F,AA

则44CF的面积=△BCF的面积，//

△4GF的面积的面积，p//JE

所以SA.CG=S^BCG，

同理口J证明"GAB=S4GBe・：\\]

所以△G4B面积：AGBC面积：△64。面积=1：1：1.

故选：D.

根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，可延长CG交AB于点凡根据三角形的重心是三角形三条中线

的交点，由此求得面积关系.

本题考查了三角形重心的概念与三角形面积计算问题，是基础题.

7.【答案】B

【解析】解：过点。作DFJ.4B,如图所示：

=30°,

11

则DFJ/W=1x2=1,

S阴影=S梯形ABCD-S扇形ADE，

c1znIXXd307rx22TC

"S阴影=5X(2+4)x1—一=3--.

故选:B.

过点。作DFJ_AB,求出DF,再结合扇形面积公式，即可求解.

本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：设原盐水溶液为a克，其中含纯盐m克，后加入“一杯水”为x克，

f(a+x)x20%=m

依题意得：,工工,，

((a4-x+x)x33-%=m+x

解得a=4m,

故原盐水的浓度为9X100%=言x100%=25%.

故选：B.

根据溶液x浓度=溶质，可得到两个方程，解方程组即可.

本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于基础题.

9.【答案】A

【解析】解：因为与％轴有两个交点所以a/+b%+c=0时，4>0,即炉―4QC>0.

(-y-=4>0

因为顶点为(4,一11),所以。二2，所以a>0,h<0.

I4ac-d=_tlv0

14a

又因为与％轴的两个交点的横坐标为一正一负，所以/%2=(<0，因为Q>0,所以c<0.

故选：A.

根据有两根和顶点坐标的符号确定a，b的符号，再根据韦达定理确定c的符号.

本题主要考查二次函数的图像和韦达定理，属于基础题.

10.【答案】B

【解析】解：当k>l时，fc-1>0,反比例函数y=9在(0,+8)上应有y>0,且单调递减,

而一次函数y=+l)(kH0,/cH1)的斜率大于1,故此时，力、B、C、。都不可能.

当0<k<l时，fc-1<0,反比例函数y="在(0,+8)上应有y<0,且单调递增，

而一次函数y=fc(x+l)(k丰0,k*1)的斜率k满足0<k<1,故只有B成立.

当k<0时，fc-1<-1,反比例函数y="在(0,+8)上应有y<0,且单调递增，

而一次函数丫=上。+1)(上。0,/£力1)的斜率卜满足上<-1,故此时，4、B、C、。都不可能，

故选：B.

由题意，利用反比例函数的单调性和函数值的符号，直线的斜率，数形结合，得出结论.

本题主要反比例函数的单调性和函数值的符号，直线的斜率，属于中档题.

11.【答案】B

【解析】解：拼第1个图形需要6x1+2x0=6根小木棒，

拼第2个图形需要6x2+2x1=14根小木棒，

拼第3个图形需要6X3+2X2=22根小木棒，

二拼第n个图形需要6九+2x(n-1)=2022根小木棒，

解得九=253.

故选:B.

拼第1个图形需要6义1+2x0=6根小木棒，拼第2个图形需要6x2+2xl=14根小木棒，拼第3个图形

需要6x3+2x2=22根小木棒，从而拼第n个图形需要6n+2x(n-1)=2022根小木棒，由此能求出n.

本题考查简单的归纳推理、图形排列规律等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

12.【答案】B

【解析】解：如图，连接OC,过点B作BMJ.4E于M,_

•••BC是G)0的切线，0c为半径，/V\、

AOC1BC,即NDCE=90°="CD+乙BCD,BqOJE

・•,DE是O0的直径，7

•••乙DCE=90°,

■­■Z.DCA=180°-90°=90°=乙BCD+Z.BCA,

・••Z-OCD=乙BCA,

vOC=。。，

:.Z-OCD=Z-ODC,

・•・Z,ODC=乙BCA,

,:乙ABE=90°,

・・・4力+4E=90°=4E+(ODC,

Z-A=Z-ODC，

・•・乙4=Z.BCA,

・•・BA=BC,

又・・•BM1AC,

AM=MC=\AC,

•・•Z.A=Z.CDE,

LAMB=乙DCE=90°,

・•・△ABM^LDEC,

.AM_1_BM

***DC=2=~ECf

...S^ABC=yew=SM=1

“S&DCE-\CDEC-EC_2,

故选：B.

由题意首先作出辅助线，然后结合几何关系证得三角形相似，最后利用显示三角形的性质即可求得AABC和

△COE面积之比.

本题主要考查三角形相似及其应用，属于基础题.

13.【答案】一2+2。或一2-2。

【解析】解：由题意得m2+4mN0,

故m>0或m<—4,

由方程的根与系数关系可得，二1n'，

22

则%—x2|=V(x1+x2)—4xrx2=>Jm+4m=2,

解得zn=—2+2/^或m=-2—2V-2.

故答案为：一2+2/9或一2-2/2.

由已知结合二次方程根的存在条件先求出m的范围，然后结合方程的根与系数关系即可求解.

本题主要考查了二次方程根的存在条件及方程的根与系数关系的应用，属于基础题.

14.【答案】)

4

【解析】解：再平面直角坐标系中画出y=3%-1和y=—%+2的图像，根据符号租讥｛。”｝的意义可知，截

取下方的图像，得出如下图像：

故答案为："

4

根据图像求解即可.

本题主要考查新定义和函数的最值，属于基础题.

15.【答案】94米

【解析】解：火车以原来的速度通过162米长的铁桥，要用16x2=32秒,

火车原来的速度为(162-82)+(32-22)=80+10=8米/秒，

火车的长度为8x22-82=176-82=94米.

故答案为：94米.

假设以原来的速度通过162米长的铁桥,那么火车要用16x2=32秒，火车原来的速度为(162-82)+(32-

22)=8米/秒，火车的长度为8x22-82=94米.

本题考查过桥问题，属中档题.

16.【答案】3+3/1.

【解析】解：因为点E为高BO上的动点，将CE绕点C顺时针旋转60。得

到CF,且△ABC是边长为6的等边三角形，

所以CE=CF,4ECF=4BCA=60°,BC=AC,所以ZBCE=/.ACF,

所以△CBE=△CZF(SAS),所以NC4F=4CBE=30°,

所以点尸在射线4F上运动，

如图，作点C关于4F的对称点C',连接。C',

设CC'交4尸于点0,则乙40c=90。,

在RtAAOC中，/.CAO=30°,则C0=gaC=3,

则当C,F,C'三点共线时，FC+FZ)取得最小值，

即FC+FD=F'C'+F'D=CD,

因为CC'=4C=6,乙ACO=LC'CD,CO=CD,

所以△ACO=△CCD{SAS},所以ZC'DC=Z.AOC=90°,

在4C'DC中，C'D=VCC'2-CD2=762-32=3「，

所以△CDF周长的最小值为CD+FC+FD=CD+C'D=3+3\f3.

故答案为：3+3VT

由已知条件可得ACBE=△C4F(S4S),则得NC4F=NCBE=30。，作点C关于AF的对称点C',连接OC',设

CC'交4F于点。，则当D,F,C'三点共线时，FC+FD取得最小值，再结合已知条件可求出△CCF周长的最

小值.

本题考查三角形中的几何计算，属于中档题.

17.【答案】解：(1)原式=1—3++5=3+

(2)|3x-2|=x+2.

当x2削寸，

3%—2=%+2,解得％=2,

故％=2,

当》＜凯寸，

2-3x=x+2,解得x=0,

故x—0,

综上所述，原方程的解为0或2.

【解析】(1)依次对各式化简，并计算，即可求解；

(2)根据己知条件，结合绝对值不等式的解法，即可求解.

本题主要考查不等式的解法，属于基础题.

18.【答案】解:(1)12+30%=40(人)，

这次学校抽查的学生人数是40人；

(2)样本中选择C课程的人数为：40-12-14-4=10(人)，

补全条形统计图如下：

(3)360°x=126°,

即B课程部分的圆心角的度数为126。；

4,

(4)1000x^=100(A),

即该校1000名学生中报。的大约有100人.

【解析】(1)从两个统计图可知，样本中选择4课程的有12人，占调查人数的30%,由频率=言即可求出调

查人数；

(2)求出样本中选择C课程的人数即可补全条形统计图；

(3)求出样本中选择B课程的学生所占的百分比，进而求出相应的圆心角度数；

(4)求出样本中选择。课程的学生所占的百分比，估计总体中选择。课程所占的百分比，进而求出相应的人数.

本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频率=警

是正确解答的关键，是基础题.

19.【答案】解：(1)当0SXS10时，设抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c,

由于它的图象经过点(0,20),(5,39),(10,48),

(c=20

所以25a+5b+c=39

100a+10b+c=48.

解得，a=—：,Z?=g,c=20.

所以y=—1x2+y-x+20,0W%W10.(6分)

(2)当20<x<40时，y=-^x+76.

所以，当时，令y=36,

得36=-^X2+^-X+201

解得％=4,%=20(舍去)；

当204x440时,令y=36,得36=-看x+76,

解得x=等=24(13分)

因为28A4=24>24,

所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛题.

【解析】(1)由己知我们易得函数的类型，故可以利用待定系数法解答本题，由函数的图象设出函数的解析

式，将图象上的点代入后易构造出一个关于a,b,c的方程组，解方程组求出a,b,c的值，即可求出函数

注意力指标数y与时间x的函数关系式；

(2)根据(1)中的函数解析式，我们可以求出学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36的x的值，然后

和24进行比较，即可得到结论.

本题考查的知识点是函数的图象与图象的变化，其中根据已知中函数的图象，结合待定系数法，求出满足

条件的函数的解析式是解答本题的关键.

20.【答案】解：(1)由杨辉三角图可得(a+b)'=+Sa’b+10a3b2+10a2b3+5a/)4+〃；

(2)(a+1)8展开式中a项的系数为Cg=8：

(3)llS=(io+i)5=105.J+5x104-l1+10x103-l2+10xl02-l3+5xIO1-l4+10°-l5=

100000+50000+10000+1000+50+1=161051.

故答案为：a5+5a4b4-10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；8.

【解析】(1)由所给的杨辉三角图可得(a+b>的展开式;

(2)由杨辉三角的性质可得(a+的展开式二项式系数可知展开式中a项的系数为C；=8；

(3)11=10+1,由二项式展开式可得1户的值.

本题考查二项式定理的应用，属于基础题.

21.【答案】解：(1)证明：连接C。，如图所示:

•­•BD是直径，

乙BCD=90°,即4。+/.CBD=90°,

v4D=乙4,乙EBC=乙4,

工乙EBC+乙CBD=90°,

・•・BE1BDf

BE是。。的切线.

(2)vCG//EB,

・•・乙EBC=乙BCG,

・•・乙BCG=Z.A,

•・•Z-ABC=乙CBG,

ABCs>CBGt

•,.能=噜,^BC2=BG-BA,

DbDC

又BG•BA=48,

:.BC=

vCG//EB,

:.CF1BD,

BFC~ABCD,

・•・BC2=BF•BD,

•・•DF=2BF,

・・・BF=4,

在/?£△“次，CF=VBC2-FB2=

・•・CG=CF+FG=

在RCZkBFG中，BG=VBF2+FG2=

•：BG•BA=48,

・•.BA=8「，即4G=5「，

ACG=AG

:.=/.ACG=乙BCG,Z-CFH=乙CFB=90°,

・・・乙CHF=乙CBF,

3cH=CB=40，

ABC〜△CBG,

.ACBC日口“BCCG2073

•••丽=而,即4c=B=M'

AH=AC-CH=誓.

【解析】(1)欲证明BE是。。的切线，只需证明4EBD=90。.

(2)由△ABOACBG,得翌=黑，根据条件即可求出BC,再由得BC?=BF•BD,根据条

件即可求出BF,CF,CG,GB,再通过计算发现CG=4G,进而可以证明CH=CB,求出AC即可得出答案.

本题考查切线的判定、圆的有关知识、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等

知识，解题的关键是巧妙利用相似三角形的性质解决问题，属于难题.

22.【答案】解：（1）当y=0时，%2-2%-3=0,

解得：

%i=-1,x2=3,

・•.点A的坐标为(一1,0),点B的坐标为(3,0)；

当％=0时，y=()2—2x0—3=-3,

・•.点C的坐标为(0,-3),

(2)•.•点/的坐标为(一1,0),点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,-3),

・•・OA=1,OB=OC=3,

•・•点E的