2023年浙江省嘉兴市南湖区中考数学二模试卷（附答案详解）

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2023年浙江省嘉兴市南湖区中考数学二模试卷

学校:姓名：班级：考号：

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷

上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若向东走3米记为+3,则-2表示（）

A.向西走2米B.向东走2米C.向西走一2米D.向北走2米

2.2022年卡塔尔世界杯决赛有近15亿人观看，数据15亿用科学记数法表示，结果为（）

A.1.5xIO10B.0.15xIO10C.1.5x109D.15x108

3.计算（。3）2的结果是（）

A.a5B.—a5C.—a6D.a6

4.神奇的自然界中处处蕴含着数学知识，如图，动物学家发现

翩翩起舞的蝴蝶双翅展开后的长度与其身长之比约为0.618,这

体现了数学中的（）

A.平移

B.旋转

C.轴对称

D.黄金分割

5.如图是一个“凹”字形几何体，它的左视图是（）

A.

主视方向

B.

C.——

D.

6.已知a,b,c,d是实数，且a-b>c-d,下列说法一定正确的是（）

A.若b=d,则a>cB.若a=c,则b>d

C.若b>d,则a>cD.若a>c,则b>d

7.如图，平面直角坐标系中，菱形力BCD的顶点4,C在反比例函

数y=:（k<0）的图象上，对角线4c与BD相交于坐标原点，若点

Z）（l,l）,AB=2/3.则k的值为（）

A.-4

B.4

C.-9

D.9

8.如图，矩形ABCD中，AB=6,4。=3,点E在48上，

点H在CD上，将矩形ABCD沿EH折叠，使得点4的对应点尸落

在DC的延长线上，EF交BC于点P,若BP：PC=1：3,则折

痕EH的长为（）

A.2y/~2B.<10C.3D.3V~1

9.如图，将半径为2，3cni的扇形40B沿0B方向平移2an,得到扇形

CDE.若乙。=60。，则重叠部分（阴影部分）的面积为（）

A.^cm2B.（8-4尸）%2c.ncm2D.（7r-/3）cm2

537n

10.已知二次函数y=/-2/n%+血2+2m-4,下列说法中正确的个数是（）

①当m=0时，此抛物线图象关于y轴对称；

②若点A（?n-2,yi）,点B（zn+1/2）在此函数图象上，则当<丫2；

③若此抛物线与直线y=x-4有且只有一个交点，则m

④无论ni为何值，此抛物线的顶点到直线y=2x的距离都等于"1

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.化简：3a—a=.

12.分解因式：m2—4m+4=.

13.一个不透明的袋子里装有5个红球和13个黑球，它们除了颜色外其余都相同.从袋中任意

摸出一个球是红球的概率为.

14.如图，菱形4BCD中，以点4为圆心，以4B长为半径画弧，分A

别交BC,CC于点E,F.若NE4F=60。，则ND的度数为./\\,

15.2023年是农历兔年，小曹同学用边长为2的正方形纸片制作了一副七巧板，再用这副七

巧板拼成一只兔子（如图所示），已知4B〃C。，则4B与CD之间的距离为.

16.在Rt/iABC中，ZC=90°,44=30。，BC=2,点D,E分别是AB,AC的中点，点尸是

4C上的一个动点，连接OF,作BQ1OF交DF于点Q,连接EQ,点尸从点C向点4运动的过程

中，EQ的最小值为.

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.(本小题6.0分)

(1)计算：2023°-C+tan45°;

(2)解方程：x(x-1)=

18.(本小题6.0分)

化简：(<3.2)2,以下是小曹同学的解答过程.思考并完成以下任务.解：原式=

>J-3—(7-3—2)(7);=—y/~3+2(2);=2③；任务：

(1)小曹的解答过程是从第几步开始出错的，请指出错误的原因；

(2)请尝试写出正确的化简过程.

19.(本小题6.0分)

如图是5x5的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图.

图1图2

(1)在图1中的格点上找一点C,使得N4CB=45。；

(2)在图2中过点C作一条直线使点力，B到直线1的距离相等.

20.(本小题8.0分)

综合与实践：【情境】在数学活动课上，周老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进

行分类”的实践活动.【发现】同学们随机收集香相I树、桔子树的树叶各10片，通过测量得到

这些树叶的长和宽的数据后，分别计算长宽比，整理数据如表：

数据序号类别12345678910

香柚树叶的长宽比3.93.74.03.43.84.03.54.03.64.0

桔子树叶的长宽比2.0202.02.41.81.91.82.01.31.9

分析数据如表:

平均数中位数众数方差

香柚树叶的长宽比3.793.79m400.0542

桔子树叶的长宽比1.911.95n0.0669

【探究】

(1)上述表格中m=.n=；

(2)①小钱同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为香柚树叶的形状差别大

②小曹同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现桔子树叶的长约为

宽的两倍

上面两位同学的说法中，合理的是;(填序号)

(3)如图，现有一片长11cm,宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于香柚树，桔子树

中的哪种树？并给出你的理由.

21.(本小题8.0分)

观察下列等式第一个：2+^=22x1；第二个：3+1=32X1；第三个：4+^=42x-^

33oo1□15;

(1)尝试：5+—=；

(2)猜想：请用含般522,且般为整数)的代数式表示第(n-1)个等式；

(3)验证：请你运用学过的知识证明你的猜想.

22.(本小题10.0分)

为了预防近视，要求学生写字姿势应保持“一尺、一拳、一寸”，即眼睛与书本距离约为一

尺(约33cm),胸前与课桌距离约为一拳，握笔的手指与笔尖距离约为一寸.如图，8。为桌面，

某同学眼睛P看作业本4的俯角为50。，BC为身体离书桌距离BC=9cm,眼睛到桌面的距离

PC—20cm.

(1)通过计算，请判断这位同学的眼睛与作业本的距离是否符合要求；

(2)为确保符合要求，需将作业本沿84方向移动.当眼睛P看作业本4的俯角为37。时，求作业

本移动的距离.(s讥50。=0.77,cos50°=0.64,tan500=1.19,s讥37。=0.60,cos37。=

0.80,tan37°=0.75,结果精确到0.1)

23.（本小题10.0分）

某商家计划在某短视频直播平台上直播销售当地特产，将其中一种特产在网上进行试销售.该

商家在试销售期间调查发现，每天销售量y（万件）与销售单价x（元/件）（5<%<20）的数据如

表:

%（元/件）10121416

y（万件）1412108

（1）根据所给数据判断函数类型，并求y关于x的函数表达式;

（2）总成本P（万元）与销售量y（万件）之间存在如图所示的变化趋势，当4SyS12时可看成一

条线段，当12SyW19时可看成抛物线P=-1y2+6y+m.

①销售量不超过12万件时，利润为45万元，求此时的售价为多少元/件？

②当售价为多少元时，利润最大，最大值是多少万元？（利润=销售总额-总成本）

24.（本小题12.0分）

在等边△力BC中，BC=4,点。是4B的中点，点E,F分别是CD,4c边上一点（不与点A、C重

合）.

（1）如图1,当点E为CD中点，点尸为4c中点时，求EF的长度；

(2)如图2,将线段CE绕着点(?顺时针旋转60。得到线段CP,连接力P,当B,E,P三点在同一

条直线上时，求4P的长度；

(3)如图3,将线段FE绕着点F顺时针旋转60。得到线段FQ,延长QE交线段BC于点M,探索CF,

CM,CE三条线段之间的关系.

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：如果向东走3米记为+3米，那么-2表示向西走2米.

故选：A.

根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案.

本题考查了正数和负数，确定相反意义的量是解题关键.

2.【答案】C

【解析】解：15亿=1500000000=1.5X109.

故选：C.

科学记数法的表示形式为ax10皿的形式，其中141al<io,n为整数.确定n的值时，要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，

n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10n的形式，其中lW|a|<10,n

为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.【答案】D

【解析】解：（。3）2=。6,

故选：D.

根据幕的乘方计算即可.

此题考查基的乘方问题，关键是根据法则进行计算.

4.【答案】D

【解析】解：••・蝴蝶双翅展开后的长度与其身长之比约为0.618,

又••・黄金分割比为：殁值“0.6181

二蝴蝶双翅展开后的长度与其身长之比约为0.618,这体现了数学中的黄金分割，

故选：D.

利用黄金分割比的意义解答即可.

本题主要考查了数学知识与自然界的联系，熟练掌握线段的黄金分割比是解题的关键.

5.【答案】B

【解析】解：该几何体的左视图如图所示:

故选:B.

根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案.

本题考查了简单几何体的三视图，掌握从左面看得到的图形是左视图是解题关键.

6.【答案】A

【解析】解：4、若b=d,a-b>c-d,则a>c,故此选项符合题意；

B、若。=c,a—b>c—d,则b<d,故此选项不符合题意；

C、若b>d,a—b>c—d,则a>c不一定成立，如a=2,c=1,满足a>c,b=2,d=1,

满足b>d,但a—b=c-d,故此选项不符合题意：

D、若a>c,a-b>c-d,则6>d不一定成立，方法同选项C,故此选项不符合题意；

故选：A.

根据不等式的性质逐一分析判断即可.

本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：：•四边形4BCD是菱形，

•••AC1.BD,

••,点

•••0A-2>

•••菱形的边长AB为2口，

AD-5,

0A=VAD2-0D2=I（2门）2-=3。，

对角线4c与B。相交于坐标原点0,

，直线AC的解析式为y=—x

・・・8。的解析式为丫=%,

设A(a,—Q),

22

Aa+(—a)=18,

a=-3或3(正值舍去)，

・•・A(-3,3),

•・,A在反比例函数y=+(kV0)的图象上，

:.k=-3x3=-9,

故选：C.

根据菱形的性质得到AC180,根据勾股定理得到。4=。，AD=5f求得直线AC的解析式为

y=%,求得BD的解析式为y=%,设A(a,-a),根据勾股定理即可得到结论.

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比

例函数的性质解答.

8.【答案】B

【解析】解：如图，过点H作HQ于点Q,则四边形BCHQ是矩形,

•・•将纸片折叠，使点4落在边DC的延长线上的点F处,

・・・AE=EF,Z,AEH=乙FEH,

♦:AB"CD,

:.乙FHE=》EH,AEBPfFCP,

・・・乙FEH=乙FHE,

AFH=EF,

vBP：PC=1：3,

nn1”3BEPEPB1

44CFPFPC3

设BE=%,贝ijFH=EF=AE=6-xf

1cr6T

.・.PnEc=-EF=——»

44

在RtAEBP中，由勾股定理得:

x2+6)2=号产

解得：=1>肛=一看（舍去），

•••BE=1,CF=3BE=3,HF=6-x=5,

QB=CH=HF-CF=2,

:.QE=QB-BE=1,

•••HE=VHQ2+QE2=A/"T0>

故选:B.

过点H作"Q14B于点Q,则四边形BCHQ是矩形，将纸片折叠，可证△HEF是等腰三角形；设BE=

x,利用相似的性质可用x表示相关线段，根据勾股定理即可求解.

本题考查了翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运

用这些性质进行推理是本题的关键.

9.【答案】D

【解析】解：如图，连接。F,过点F作尸H10B于H,

ODHBE

设OF=xcm,

在RtADFH中，ZCDB=60°,则。"=?<:巾，FH=^xcm,

根据平移的性质得：OB=DE=2Gcm，

在RtAOFH中，（?X）2+（2+£X）2=（2，3）2,

二尤=2（舍去负值），

FH=

•••lFOH=30°,

"S阴影=S扇形FOB~S&ODF

=（7T—V-3）（c7n2）.

故选：D.

连接OF,过点F作尸Hl0B于“，设。F=xczn,则DH=%cm,FH=—xcm,Rt△OF”中根

据勾股定理可列方程，即可求出X,进而得到FH长，从而求得“OH=30°,利用S^=S版阶OB-

SAODF计算即可.

本题主要考查扇形面积的计算，解题关键是将不规则图形转化成规则图形.

10.【答案】C

【解析】解：①当m=0时，y=x2-4,

••・抛物线的对称轴为y轴，

•••此抛物线图象关于y轴对称；

①正确；

(2)■:y=X2-2mx+m2+2m—4,

抛物线开口向上，对称轴为直线x=箫=m,

•:点、A(m-2,%),点+1,%)在此函数图象上，且m-(m-2)>m+1-m,

,%>丫2；

.・.②错误；

③若此抛物线与直线y=%-4有且只有一个交点，则令％-4=%2-2mx4-m2+2m-4,

整理得/—(2m+l)x+zu?+2m=0,

/=[—(2m+l)]2—4(m2+2m)=0,

解得Hl=-p

4

・・・③正确；

(4)vy=%2—2mx+m2+2m—4=(%—m)2+2m—4,

・•・顶点为(m,2m-4),

・•・抛物线的顶点在直线y=2%-4上，

•・,直线y=2x-4与直线y=2%平行、

二顶点到直线y=2%的距离都相等，如图，

设直线y=2x-4交x轴于4,交y轴于B,点。到AB的距离为0D,则4(2,0),B(0,-4),0

AB=722+42=2AT5，

11

■■S^AOB=^OA-OB=^AB-OD,

/.jx2x4=1oD-2^^,

八八4门

***OD=---，

.••两直线间的距离为警，

:.④正确.

故选：C.

求得抛物线的对称轴即可判断①；求得两点到对称轴的距离即可判断②；令x-4=%2-2mx+

m2+2m—4,根据4=［一(2m+1)F-4(瓶2+2m)=0,求得?n的值即可判断③；求得抛物线

顶点坐标得到抛物线的顶点在直线y=2x-4上，可知直线y=2x-4与直线y=2x平行，求得两

直线的距离即可判断④.

本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与方程的关

系，熟知二次函数的性质是解题的关键.

11.【答案】2a

【解析】解：3a-a

=(3—l)a

=2a,

故答案为：2a.

根据合并同类项法则计算即可.

本题考查的是合并同类项，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母

和字母的指数不变.

12.【答案】(m—2)2

【解析】解：原式=(m-2)2

故答案为：(m-2)2

原式利用完全平方公式分解即可.

此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

13.【答案】|

【解析】解：从袋中任意摸出一个球共有8种等可能结果，其中是红球的有5种结果，

所以从袋中任意摸出一个球是红球的概率为1

O

故答案为：

Q

从袋中任意摸出一个球共有8种等可能结果，其中是红球的有5种结果，再根据概率公式求解即可.

本题主要考查概率公式，随机事件4的概率P(A)=事件4可能出现的结果数+所有可能出现的结果

数.

14.【答案】80°

【解析】解：••・四边形4BCD是菱形，

:.AB=AD=BC=DC,

由题意得：AB=AE,AD=AF,

:.Z.AEB=CB,Z.AFD=乙D,

・•・Z,AEB=乙B=Z-AFD=乙D,

在和A/DF中，

Z.AEB=Z.AFD

Z-B—Z-Df

AB=AD

ABADFRAAS'),

，Z-BAE=Z.DAFf

设NB=Z.D=x,贝!UAEB=/.B=X,

A/.DAF=/.BAE=180°-2x,

•••四边形4BCD是菱形，

ADIIBC,

：.Z.B+Z.BAD=180°,

即x+180°-2x+60°+180°-2x=180°,

解得：x=80°,

：.乙D=80°,

故答案为：80°.

证A4BE三△4DFQ4AS),得乙BAE=ND4F,设=4。=%,贝Ij/AEB==x,Z.DAF=

ABAE=180°-2x,再由NB+NB/W=180。求出x=80。，即可得出结论.

本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全

等是解题的关键.

15.【答案】亨

【解析】解：过点C作CE148于点E交HN于点F,过点M作MG1CE于点G,

•­•AB//CD,

CE为4B与CO之间白勺距离，

c_____p

'②/4/②4

邀a

@®>

AEB

由题意知AH=MN=<7,CM=1,"CM=45°,

•••EF=AH=GF=MN=I2,Z-CMG=45°,

在Rt^CMG中，由勾股定理得CG=MG=2CM=号，

CE—CG+GF+EF=+V~2+。~2——-->

故答案为：苧.

过点C作CE_LAB于点E交HN于点F,过点M作MG1CE于点G,利用等腰直角三角形的性质，正

方形的性质即可求出28与CD之间的距离.

本题考查了平行线间的距离，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟悉七巧板中的各个图形

及性质是解题的关键.

16.【答案】y/~3—1

【解析】解：如图，作ENJ.AB于N,取BD中点M,连接MQ,ME,

Vzc=90°,NA=30°,BC=2,

AB=2BC=4,AC=>J~3BC=

v。是48中点，

BD=^AB=2,

•••乙BQD=90°,M是BD中点，

MQ=\BD=1,MB=\BD=1,

E是4c的中点，

•••AE—^AC-y/~3,

••.NE=》E=孕，AN=OWE=I，

33

MN=AB-MB-AN=4-1-^=^,

：.ME=VMN2+EN2=V_3.

vEQ>ME-MQ,

:.EQ2'J_3—1>

EQ的最小值是，？一1.

故答案为：V-3-1.

作EN,4B于N,取BD中点M,连接MQ,ME,由直角三角形的性质求出MQ的长，MB的长，EN的

长，4N的长，得到MN的长，由勾股定理求出ME的长，由EQ2ME-MQ,即可求出EQ的最小

值.

本题考查含30。角的直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边的中线，三角形三边的关系，关键是

通过作辅助线构造由EQ2ME-MQ,求出ME,MQ的长即可解决问题.

17.【答案】解：(1)2023°-V~4+tan45°

=1-2+1

=0；

(2)x(x-1)=x,

%2—x=Xf

2

x-2x=0f

x(x—2)=0,

x=0或％-2=0,

—0,%2=2.

【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；

(2)利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法，实数的运算，零指数幕，特殊角的三角函数值，准确

熟练地进行计算是解题的关键.

18.【答案】解：(1)小曹的解答过程是从第①步开始出错，错误的原因是二次根式化简出错；

(2)原式=q_(2-C)

=<3-2+0

=2y/~3-2.

【解析】(1)直接利用二次根式的性质判断得出答案；

(2)利用二次根式的性质结合二次根式的加减运算法则计算得出答案.

此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键.

19.【答案】解：(1)如图1中，N4CB即为所求;

(2)如图2中，直线，，直线厂即为所求.

【解析】(1)构造等腰直角三角形解决问题即可；

(2)分两种情形：分力，B在直线，的同侧或异侧，画出图形.

本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

20.【答案】3.852.0②

【解析】解：(1)把10片香柚树叶的长宽比从小到大排列,

排在中间的两个数分别为3.8、39,

10片桔子树叶的长宽比中出现次数最多的是2.0,

故72=20,

故答案为：3.85；2.0；

(2)v0.0542<0.0669,

二芒果树叶的形状差别小，

故小钱同学说法不合理，

•••桔子树叶的长宽比的平均数1.91,中位数是1.95,众数是2.0,

•••小曹同学说法合理，

故答案为：②；

(3)•一片长lien,宽5.6cm的树叶,长宽比接近2,

二这片树叶更可能来自于桔子树.

(1)根据中位数和众数的定义解答即可；

(2)根据题目给出的数据判定即可；

(3)根据树叶的长宽比判定即可.

本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是关键.

21.【答案】52

【解析】解：(1)5+言=52x另

故答案为：52x另

n+1n+1

(2)第n个等式为:5+1)+=(n+l)2X

(n+l)2-l(n+l)2-r

第(n-1)个等式为:

n—1+1/T九一1+1

(n-1+1)+=5一1+1)2、码布

(n-l+l)2-l

non

九+滔二i=nXR?

⑶证明「•左边=军卒+号二号右边二名,

.••左边=右边,

,non

••・n+E=Mx目.

(1)观察所给等式可得：等式左边是一个整数与一个分数的和，右边是那个整数的平方与那个分数

的积，由此可得答案;

(2)观察所给等式可知：等式左边是一个整数与一个分数的和，等式右边是那个整数的平方与那个

分数的积，整数比等式的序号多1,分数的分子与整数相同，分母比整数的平方少1,从而得出第n

个等式，进而得到第(n-1)个等式，证明即可.

本题主要考查规律型：数字的变化类和分式的计算，解题关键是根据所给等式，找出规律.

22.【答案】解：(1)在RtZkAPC中，^PAC=50°,PC=

PC

：•sin50°=注，

PA

“PC20”j

：•AC=.«77^7《26V33,

sin5rn00.77

二这位同学的眼睛与作业本的距离不符合要求；

(2)如图，在Rt△力PC中，Z.PAC=50°,PC=20cm,

■■tan500=—,

“PC20、

：•AC=--=T-T«17.6(cm),

tanSO1.1917

在Rt/kAPC中，Z-PA'C=37°,PC=20czn,

pc

/.tan37°=宾,

r

ACA=26.7(cm),

tan370.75'/

・•・CA-C4=9.1(cm),

答：作业本移动的距离9.1cn.

【解析】(1)在RM4PC中，APAC=50°,PC=20cm,根据三角函数的定义即可得到结论；

(2)如图，在Rt△4PC中，"4C=50。，PC=20cm,根据三角函数的定义得到AC==黑仪

17.6(cm),在RtAA'PC中，/.PA'C=37°,PC=20cm,根据三角函数的定义得到C4=^

耗a26.7(cm),于是得到结论.

本题考查了直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的概念，正确作出辅助线是解

题的关键.

23.【答案】解：根据表格中数据可知，y与x是一次函数类型.

设y关于％的函数表达式为y=kx+b,

将(10,14),(12,12)代入解析式得：｛舞;

解得

•••y关于》的函数表达式为y=-%+24；

(2)①设4<y<12时，P=my+n(mW0),

n

将(4,40)，(12,120)代入解析式得：｛舞；4H20'

解得｛忆及，

.・.p=10y,

:*xy-10y=(x-10)y=(x—10)(—%+24)=45,

整理得：x2-34x+265=0,

解得=15,=19,

••,4<y<12,即44-X+24W12,

12<x<20,

此时的售价为15或19元/件；

②设利润为w万元，

当4WyW12时，即12WXW20,

则w=xy-10y=(x-10)y=(x-10)(—x+24)=—x2+34%—240=—(x-17)2+49>

v-1<0,

.•.当x=17时，w有最大值，最大值为49；

当12WyW19时，

把y=12,P=120代入P=-jy2+6y+m得，

1r