2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）专题14 圆中相似含解析

2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）专题14圆中相似1．如图，是的直径，是上一点，连接、，是的切线，切点为，，、的延长线相交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，记的半径，求证：．2．如图，在半径为的中，是的直径，是过上一点的直线，且于点，平分，是的中点，．（1）求证：是的切线；（2）求的长．3．如图，已知是的直径，弦交于点，作，交延长线于点．（1）求证：为的切线；（2）如果，，，求的长度．4．如图1，以的边为直径作，交边于点，平分交于，交于点，且．（1）求证：是的切线；（2）延长交直线于点，如图2，若，，求的值及的长．5．如图，是的直径，弦交于点，点为延长线上一点，．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为5，是的中线，且，求的长．6．已知，，，四点在上．弦与直径相交于点．，点为射线上一点，使得．（1）求证：为的切线；（2）若，，，求．7．如图，在中，以为直径作交于，平分交于，若．（1）求证：是的切线．（2）若，，求的长．8．如图，在中，，为边上一点，以为直径的分别交、边于点、，连接，，已知平分，的延长线交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求线段的长．9．如图，已知是以为直径的圆，为上一点，为延长线上一点，的延长线交于，．（1）求证：直线为的切线；（2）求证：．10．如图，在中，以为直径的交于点，交的延长线于点，过点作于点，且，连接交于点，连接．（1）求证：是的切线；（2）若，求的长．11．如图，在等腰中，，底边的高与腰上的高相交于点，且，是的外接圆，连接．（1）求证：是的切线；（2）求证：．12．如图，是的直径，点是上一点，连接，，点在的延长线上，，，交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．13．如图，在中，以为直径的交于点，点在上，且，连接交于点，已知．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的直径．14．如图，，以为直径作，交于点，过点作于点，交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径．15．如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，过点作交的延长线于点（1）求证：是的切线；（2）若，，求线段的长．16．如图，在中，，以为直径的半圆交斜边于点，为的中点，连结，．过点作于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径．17．如图，是的直径，点是圆上异于，的点，连接线段和，点在的延长线上，且，过点作于点．（1）求证是的切线；（2）若，，求的长．18．如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，，过点作，垂足为点．（1）求证：直线是的切线；（2）求证：．19．如图，在中，，以为直径的交于点，过点的直线交于点，交的延长线于点，且．（1）求证：是的切线；（2）当，时，求的长．20．如图，内接于，且为的直径，交于点，在的延长线上取点，使得．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长． 专题14圆中相似1．如图，是的直径，是上一点，连接、，是的切线，切点为，，、的延长线相交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，记的半径，求证：．【解答】证明：（1）连接，是的切线，，，，，，，，，，，，是的半径，是的切线；（2）是圆的切线，，是的直径，，，，，，，，，，，，，．2．如图，在半径为的中，是的直径，是过上一点的直线，且于点，平分，是的中点，．（1）求证：是的切线；（2）求的长．【解答】（1）证明：连接，如图：平分，，，，，，，，是的切线；（2）是的中点，且，是的中位线，，，，是的直径，，又，，，即，．3．如图，已知是的直径，弦交于点，作，交延长线于点．（1）求证：为的切线；（2）如果，，，求的长度．【解答】解：①连接，和都是对应的圆周角，，是直径，，，，，，即，为的切线；②连接．设，，则，为的直径，为的切线，，．又为的斜边的中点，，，，．在中，由勾股定理得，即．设，由相交弦定理得，即，①又，．又，，，从而．在中，由勾股定理得，即，．②联立①②，解得，．．4．如图1，以的边为直径作，交边于点，平分交于，交于点，且．（1）求证：是的切线；（2）延长交直线于点，如图2，若，，求的值及的长．【解答】（1）证明：如图1中，连接．是直径，，，，，，，是的切线．（2）如图2中，连接、．平分，是的中点，，，，，，，，，，，，．5．如图，是的直径，弦交于点，点为延长线上一点，．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为5，是的中线，且，求的长．【解答】（1）证明：是直径，，，，，，，是半径，是的切线；（2）解：作于点，的半径为5，，，，，，，，是的中线，，，．6．已知，，，四点在上．弦与直径相交于点．，点为射线上一点，使得．（1）求证：为的切线；（2）若，，，求．【解答】（1）证明：是直径，，，，，，，即，又是直径，是的切线；（2）解：如图，过点作于，，，，，，，，，，，，，，设，，，，，，，，，．7．如图，在中，以为直径作交于，平分交于，若．（1）求证：是的切线．（2）若，，求的长．【解答】（1）证明：为直径，，，，平分，，，，，，，是的切线；（2）解：设，则，由（1）可知为直角三角形，由勾股定理可得：，即，解得：，，，再设，则，，在和中，由勾股定理可得：，，即，即，解得：，．8．如图，在中，，为边上一点，以为直径的分别交、边于点、，连接，，已知平分，的延长线交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求线段的长．【解答】（1）证明：连接，如图，平分，，，，，，，，，为半径，是的切线；（2）连接交于点，如图，设的半径为，在中，，是直径，，，四边形是矩形，，，即，，，，，即，解得，经检验，是分式方程的根，，点和点分别是和边的中点，．9．如图，已知是以为直径的圆，为上一点，为延长线上一点，的延长线交于，．（1）求证：直线为的切线；（2）求证：．【解答】证明：（1）是的直径，，，，，，，，，，，是的半径，直线为的切线；（2），，，，．10．如图，在中，以为直径的交于点，交的延长线于点，过点作于点，且，连接交于点，连接．（1）求证：是的切线；（2）若，求的长．【解答】（1）证明：连接，，如图，，，是直径，，，，，，，，，，，，是的半径，是圆的切线；（2）由（1）可知：，，，，，，，为的直径，，的长为．11．如图，在等腰中，，底边的高与腰上的高相交于点，且，是的外接圆，连接．（1）求证：是的切线；（2）求证：．【解答】（1）证明：，，，，，，，，，，，，，，，是的半径，是的切线；（2）证明：，，，，，，，，，，，．12．如图，是的直径，点是上一点，连接，，点在的延长线上，，，交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．【解答】（1）证明：如图1，连接，为直径，，，，，，，，，为半径，是的切线；（2）解：如图2，连接，，设，，则，，，，，，，，，．13．如图，在中，以为直径的交于点，点在上，且，连接交于点，已知．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的直径．【解答】（1）证明：，，是直径，，，，，，，又是直径，是的切线；（2），，，，，，，，，，，．14．如图，，以为直径作，交于点，过点作于点，交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径．【解答】（1）证明：连接，，，，，，，，，，是的半径，是的切线；（2）在中，，，，，，，，，，的半径为8．15．如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，过点作交的延长线于点（1）求证：是的切线；（2）若，，求线段的长．【解答】（1）证明：连接，，，，，又是的直径，，，，即，，是半径，是的切线；（2）解：，，设，，，，又，，，，，，，，，，．16．如图，在中，，以为直径的半圆交斜边于点，为的中点，连结，．过点作于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径．【解答】（1）证明：连结，为的直径，，，在中，为的中点，，，，，，为的半径，是的切线；（2）解：在中，，，由勾股定理得：，，，，，即，解得：，的半径为．17．如图，是的直径，点是圆上异于，的点，连接线段和，点在的延长线上，且，过点作于点．（1）求证是的切线；（2）若，，求的长．【解答】（1）证明：连接，，，，，是直径，，，，即，，是半径，是的切线；（2）解：，，设，，，，，，，，，，，，．18．如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，，过点作，垂足为点．（1）求证：直线是的切线；（2）求证：．【解答】证明：（1）如图，连接，，，，，，，，，又是半径，直线是的切线；（2）如图，连接，是的直径，，，，，，，，，，，．19．如图，在中，，以为直径的交于点，过点的直线交于点，交的延长线于点，且．（1）求证：是的切线；（2）当，时，求的长．【解答】（1）证明：连接，，是直径，，，，，，，，，，，，即，是的半径，是的切线．（2）解：，，，，，，，设，，，，，，，，解得，经检验，是分式方程的解，，答：的长为20．20．如图，内接于，且为的直径，交于点，在的延长线上取点，使得．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．【解答】（1）证明：连接，如图1，，，，，，，，，，，，是的切线；（2）如图2，过点作于点，为的直径，，，，，，又，，，，，，，，，，，，又，，，，．专题15一线三等角证相似1．如图，正方形的边长为4，是上一点，过点作，交于点，连接，则的最小值是A．5 B． C． D．32．如图，平面直角坐标系中，，点为轴上一点，连接，，点，为，的中点，点为射线上一个动点．当为直角三角形时，点的坐标为A．或， B．或， C．或， D．或，3．如图，在矩形中，，，分别在，，上，，，，，，则的长是A．4 B． C． D．54．如图，在中，，，，分别是，上的动点（点与，不重合），且，若，则的长为．5．如图，点是矩形边上一点，沿折叠，点恰好落在边上的点处．设，（1）若点恰为边的中点，则．（2）设，则关于的函数表达式是．6．如图1，在矩形中，，．第一步，如图2，在边上找一点，将矩形沿折叠，点落在边上点处；第二步，如图3，在上找一点，将沿折叠，得到，点落在上，则的长为．7．如图，的半径为3，，两点在上，点在内，，．如果，那么的长为．8．如图，正方形的边长为3，线段长度为3，图①所示为线段的初始位置，点与点重合，点与点重合．过点作，交于点，过点作于点．如图②，在保证线段长度不变的前提下，点沿向下滑动，当点移动至线段的三等分点时，线段的长度为．9．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，已知点．（1）当直线经过点时，；（2）设点为线段的中点，连接，，若，则的值是．10．如图，在正方形中有一个面积为的小正方形，其中点、、分别在、、上，若，则正方形的边长为．11．如图，已知正方形的边长为1，为边上的一个动点，作交于点．（1）求证：．（2）设，，求与之间的函数表达式．12．已知，在中，，，在、上分别取点、，若，且能在上找到点使，求的取值范围．13．如图，点是的中点，，，，连接，求的值．14．如图，等边的边长为6，点、分别是边、上一点，将射线绕点顺时针旋转，点的对应点为，射线交于点．（1）当，，时，；（2）若，．①当时，求线段的长；②若点刚好落在上，求的长；（3）若，，当时，直接写出点到直线的距离的取值范围．15．（1）如图1，点在线段上，点、在线段上方，连接、、、、，当时，（填“”或“”；（2）如图2，点在线段上，点、在线段上方，连接、、、、，当锐角时，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；（3）如图3，在中，，，点为边中点．点是边上一个动点，由点出发，以每秒的速度，沿边向点运动，点在边上，且．点的运动时间为（秒，当为等腰三角形时，请直接写出的值．16．阅读材料：小胖同学遇到这样一个问题，如图1，在中，，，，，，求的长；小胖经过思考后，在上取点使得（如图，进而得到，试图构建“一线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现．（1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程．（2）参考小胖的解题思路解决下面的问题：如图3，在中，，，，求．17．【发现】如图①，已知等边，将直角三角板的角顶点任意放在边上（点不与点、重合），使两边分别交线段、于点、．（1）若，，，则；（2）求证：．【思考】若将图①中的三角板的顶点在边上移动，保持三角板与边、的两个交点、都存在，连接，如图②所示，问：点是否存在某一位置，使平分且平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【探索】如图③，在等腰中，，点为边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点处（其中，使两条边分别交边、于点、（点、均不与的顶点重合），连接．设，则与的周长之比为（用含的表达式表示）．专题15一线三等角证相似1．如图，正方形的边长为4，是上一点，过点作，交于点，连接，则的最小值是A．5 B． C． D．3【解答】解：四边形是正方形，，，，设，则，，，，，，，，，当时，，此时，在中，，当时，取最小值，，的最小值是5，故选：．2．如图，平面直角坐标系中，，点为轴上一点，连接，，点，为，的中点，点为射线上一个动点．当为直角三角形时，点的坐标为A．或， B．或， C．或， D．或，【解答】解：，，在中，，，，点，为，的中点，，，，分两种情况：当，点为的中点，，，，，当时，过点作轴，垂足为，，，，，，，，，，，，综上所述：当为直角三角形时，点的坐标为，或，故选：．3．如图，在矩形中，，，分别在，，上，，，，，，则的长是A．4 B． C． D．5【解答】解：，，四边形为矩形，，，，，，，，，，，，同理可得，，，，，．故选：．二．填空题（共7小题）4．如图，在中，，，，分别是，上的动点（点与，不重合），且，若，则的长为6．【解答】解：，，，又，，又，，，，，即，解得．故答案为：6．5．如图，点是矩形边上一点，沿折叠，点恰好落在边上的点处．设，（1）若点恰为边的中点，则2．（2）设，则关于的函数表达式是．【解答】解：（1）点为边的中点，，四边形是矩形，，，，由折叠得：，，，，，，，，，，故答案为：2；（2）由（1）可得，，，，，，，，故答案为：．6．如图1，在矩形中，，．第一步，如图2，在边上找一点，将矩形沿折叠，点落在边上点处；第二步，如图3，在上找一点，将沿折叠，得到，点落在上，则的长为．【解答】解：如图，过点作于点，交于点，由第一步折叠可得：，四边形是正方形，，由第二步折叠可得：，，，，，四边形是矩形，，设，可得：，，，，，，，，，，，，，，解得：或，，舍去，，，故答案为：．7．如图，的半径为3，，两点在上，点在内，，．如果，那么的长为1．【解答】解：如图，连接，作交的延长线于，作交的延长线于．则四边形是矩形．，、、、四点共圆，，，，设，，在中，，解得（负根已经舍弃），，，，，，，，，，，，．故答案为18．如图，正方形的边长为3，线段长度为3，图①所示为线段的初始位置，点与点重合，点与点重合．过点作，交于点，过点作于点．如图②，在保证线段长度不变的前提下，点沿向下滑动，当点移动至线段的三等分点时，线段的长度为或．【解答】解：在正方形中，，，又四边形为矩形正方形的边长为3，线段长度为3，当点移动至线段的三等分点时，有两种情况：①，，则在中，，在中，②，则在中，，在中，综上所述线段的长度为或．故答案为：或．9．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，已知点．（1）当直线经过点时，2；（2）设点为线段的中点，连接，，若，则的值是．【解答】解：（1）当直线经过点时，点与点重合，当时，，即，故答案为2．（2）作，连接．则，如图，由可得，．，，当时，．理由：，，，．所以，即，解得．故答案是：12．10．如图，在正方形中有一个面积为的小正方形，其中点、、分别在、、上，若，则正方形的边长为4．【解答】解：小正方形的面积为的边长为在中，由勾股定理得：在正方形和小正方形中，即正方形的边长为4．故答案为：4．三．解答题（共7小题）11．如图，已知正方形的边长为1，为边上的一个动点，作交于点．（1）求证：．（2）设，，求与之间的函数表达式．【解答】解：（1）证明：四边形是正方形，，，，，，，在和中，，，．（2）正方形的边长为1，，，，，，，，，，．12．已知，在中，，，在、上分别取点、，若，且能在上找到点使，求的取值范围．【解答】解：在中，，，，又设，，则，整理得：当时，取最小值；当点与点重合，即时，的值最大，当时，的取值范围为：．13．如图，点是的中点，，，，连接，求的值．【解答】解：，，，．，，．点是的中点，．．，．．14．如图，等边的边长为6，点、分别是边、上一点，将射线绕点顺时针旋转，点的对应点为，射线交于点．（1）当，，时，；（2）若，．①当时，求线段的长；②若点刚好落在上，求的长；（3）若，，当时，直接写出点到直线的距离的取值范围．【解答】解：（1）是等边三角形，，，，，，，，故答案为：；（2）①如图，过点作于点，，，，在中，，，在中，，；②如图，当点落在上时，点与点重合，过点作于点，过点作于点，，，，，又，，由①得：，，，，，，；（3）若，，即点，的位置固定，当时，点的运动路径即为以点为圆心，为半径的圆，如图，过点作于点，延长交于点，则即为点到直线距离的最大值，在中，，，，，，，，，，故答案为：．15．（1）如图1，点在线段上，点、在线段上方，连接、、、、，当时，（填“”或“”；（2）如图2，点在线段上，点、在线段上方，连接、、、、，当锐角时，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；（3）如图3，在中，，，点为边中点．点是边上一个动点，由点出发，以每秒的速度，沿边向点运动，点在边上，且．点的运动时间为（秒，当为等腰三角形时，请直接写出的值．【解答】解：（1）如图1中，，，，，，，．故答案为：；（2）成立，满足．理由：如