要点梳理基本不等式基本不等式成立的条件等号市公开课金奖市赛课一等奖课件

要点梳理1.基本不等式(1)基本不等式成立条件:____________.(2)等号成立条件:当且仅当______时取等号.§7.4基本不等式:a>0,b>0a=b基础知识自主学习第1页第1页2.几种主要不等式(1)a2+b2≥_______(a,b∈R).(2)≥____(a,b同号).(3)(a,b∈R).(4)(a,b∈R).3.算术平均数与几何平均数设a>0,b>0，则a,b算术平均数为,几何平均数为______，基本不等式可叙述为：_____________________________________________.2ab2术平均数不小于它们几何平均数两个正数算第2页第2页4.利用基本不等式求最值问题已知x>0,y>0,则(1)假如积xy是定值p，那么当且仅当_____时，x+y

有最___值是______.（简记：积定和最小）(2)假如和x+y是定值p,那么当且仅当____时,xy有最____值是______.（简记：和定积最大）x=y小x=y大第3页第3页基础自测1.下列结论中不正确是（）A.B.C.a2+b2≥2abD.解析只有当a、b同号且不为零时成立，B第4页第4页2.已知向量a=(x-1,1),b=则|a+b|最小值是（）A.1B.C.D.2

解析

a+b=

∴|a+b|=B第5页第5页3.当x>1时，关于函数下列叙述正确是（）A.函数f(x)有最小值2B.函数f(x)有最大值2C.函数f(x)有最小值3D.函数f(x)有最大值3

解析∵x>1,∴x-1>0,C第6页第6页4.已知a>0,b>0，则a+2b最小值为（）A.B.C.D.14

解析据题意知A第7页第7页5.若0<x<1，则f(x)=x(4-3x)取得最大值时，x值为（）A.B.C.D.

解析∵0<x<1,∴4-3x>0,∴x(4-3x)=·3x(4-3x)当且仅当3x=4-3x,即x=时取得等号.D第8页第8页

题型一利用基本不等式证实不等式【例1】已知x>0,y>0,z>0.求证：由题意，先局部利用基本不等式，再利用不等式性质即可得证.思维启迪题型分类深度剖析第9页第9页证实∵x>0,y>0,z>0,当且仅当x=y=z时等号成立.第10页第10页利用基本不等式证实不等式是综合法证实不等式一个情况，证实思绪是从已证不等式和问题已知条件出发，借助不等式性质和相关定理，经过逐步逻辑推理最后转化为需证问题.探究提升第11页第11页知能迁移1（1）证实：a4+b4+c4+d4≥4abcd;(2)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:

证实

（1）a4+b4+c4+d4≥2a2b2+2c2d2=2(a2b2+c2d2)≥2·2abcd=4abcd.原不等式得证.（2）∵a>0,b>0,a+b=1，

因此原不等式成立.第12页第12页题型二利用基本不等式求最值【例2】求下列各题最值.（1）已知x>0,y>0,lgx+lgy=1,求最小值；（2）x>0,求最小值；（3）x<3，求最大值；（4）x∈R，求最小值.第13页第13页思维启迪（1）由lgx+lgy=1得xy=10,故可用基本不等式.（2）由x>0,是常数，故可直接利用基本不等式.（3）由于不是常数，故需变形.又x-3<0，故需变号.（4）即使(常数),但利用基本不等式时，等号取不到，因此利用函数单调性.第14页第14页解（1）办法一由x>0,y>0,lgx+lgy=1,可得xy=10.当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时等号成立.办法二由x>0,y>0,lgx+lgy=1,可得当且仅当即x=2,y=5时等号成立.第15页第15页(2)∵x>0,等号成立条件是即x=2,∴f(x)最小值是12.(3)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0,当且仅当即x=1时，等号成立.故f(x)最大值为-1.第16页第16页(4)令sin2x+1=t,则t∈[1，2]，故任取t1,t2∈［1，2］且t1<t2,∵t1<t2且t1,t2∈[1，2]，∴t1-t2<0,t1t2-5<0,第17页第17页故g(t1)-g(t2)>0,∴g(t1)>g(t2),∴g(t)在[1，2]上是减函数，∴f(x)min=等号成立条件是sin2x+1=2.∴sinx=±1,故f(x)最小值是利用基本不等式求最值问题,基本办法是借助条件化二元函数为一元函数,代换过程中应注意元范围,同时也要注意“拆项”、“凑项”技巧，尤其要注意等号能否取到.探究提升第18页第18页知能迁移2（1）已知x>0,y>0，且求x+y最小值；（2）已知x<求函数最大值;（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y最小值.第19页第19页解（1）∵x>0,y>0,当且仅当时，上式等号成立，∴x=4,y=12时，(x+y)min=16.第20页第20页(2)∵x<∴5-4x>0,≤-2+3=1,当且仅当即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1.第21页第21页(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,当且仅当即x=2y时取等号，又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,∴当x=12,y=6时，x+y取最小值18.第22页第22页题型三利用基本不等式解应用题【例3】(12分)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米三级污水处理池,池深度一定(平面图如图所表示),假如池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/米2,水池所有墙厚度忽略不计.（1）试设计污水处理池长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池长和宽都不能超出16米，试设计污水池长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.第23页第23页思维启迪设污水处理池宽为x米,则长为米,由题意可建立总造价与x函数关系,进而通过求函数最值拟定x取值.解（1）设污水处理池宽为x米，则长为米.1分第24页第24页当且仅当(x>0),即x=10时取等号.5分∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元.6分（2）由限制条件知8分第25页第25页

g(x)有最小值，10分即f(x)有最小值为∴当长为16米，宽为米时，总造价最低，为38882元.12分（1）解应用题时，一定要注意变量实际意义，即变量取值范围.（2）在求函数最值时，除应用基本不等式外,有时会出现基本不等式取不到“=”，此时要考虑函数单调性.探究提升第26页第26页知能迁移3某学校拟建一块周长为400m操场如图所表示，操场两头是半圆形,中间区域是矩形,学生做操普通安排在矩形区域，为了能让学生做操区域尽也许大，试问怎样设计矩形长和宽？解设中间矩形区域长，宽分别为xm,ym,中间矩形区域面积为S，则半圆周长为因为操场周长为400,因此第27页第27页即把矩形长和宽分别设计为100m和时，矩形区域面积最大.第28页第28页1.恒等变形：为了利用基本不等式,有时对给定代数式要进行适当变形.比如：办法与技巧思想办法感悟提升第29页第29页2.惯用不等式：下列不等式在解题时使用更直接.(1)(a>0,且a∈R),当且仅当a=1时“=”成立.(2)(a>0,b>0,a,b∈R),当且仅当a=b时“=”成立.3.二次配方：a>0,a∈R,应用不等式可解决部分分式不等式最值问题.比如：当x>2时，第30页第30页使用基本不等式求最值,其失误真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”忽略.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.失误与防备第31页第31页(1)确保“一正”.对于负数，诸多不等关系就不一定成立.如：当x<0时，显然不再成立.事实上，此时(2)要使中“=”成立，必须使a=b成立.如：第32页第32页

一、选择题1.在下列各函数中,最小值等于2函数是()A.B.C.D.定期检测第33页第33页解析选项A中，x>0时，y≥2,x<0时，y≤-2;选项B中，cosx≠1,故最小值不等于2；选项C中，答案

D第34页第34页2.（·天津理，6）设a>0，b>0,若是3a与3b

等比中项，则最小值为（）A.8B.4C.1D.

解析由题意知3a·3b=3,即3a+b=3，因此a+b=1.由于a>0,b>0,

当且仅当a=b时，等号成立.B第35页第35页3.已知x>0，y>0，lg2x+lg8y=lg2,则最小值是（）A.2B.C.4D.解析由lg2x+lg8y=lg2,得lg2x+3y=lg2,∴x+3y=1,C第36页第36页4.已知（a>2),(x<0),则m、

n之间大小关系是（）A.m>nB.m<nC.m=nD.m≤n解析

A第37页第37页5.x>则最小值为()A.-3B.2C.5D.7解析

D第38页第38页6.函数x∈(0,3)，则（）A.f(x)有最大值B.f(x)有最小值-1C.f(x)有最大值1D.f(x)有最小值1

解析∵x∈(0,3),∴x-1∈(-1,2),∴(x-1)2∈[0，4)，当且仅当且x∈(0,3),即x=2时取等号，∴当x=2时，函数f(x)有最小值1.D第39页第39页二、填空题7.若正数a、b满足则a+b最小值为_____.

解析第40页第40页8.函数y=ax-1(a>0,且a≠1)图象恒过定点A,若点

A在一次函数y=mx+n图象上，其中m,n>0,则最小值为____.

解析由题知A（1，1），∴m+n=1，m,n>0.4第41页第41页9.若实数a,b满足ab-4a-b+1=0(a>1)，则(a+1)(b+2)最小值为_____.

解析∵ab-4a-b+1=0,∴ab=4a+b-1,∴(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1第42页第42页∵a>1,∴a-1>0.当且仅当(a-1)2=1,即a=2时成立.∴最小值为27.答案

27第43页第43页三、解答题10.(1)求函数y=x(a-2x)(x>0，a为不小于2x常数)最大值；(2)设x>-1,求函数最值.

解（1）∵x>0,a>2x,当且仅当时取等号，故函数最大值为第44页第44页（2）∵x>-1,∴x+1>0.设x+1=z>0,则x=z-1当且仅当z=2,即x=1时上式取等号.∴x=1时,函数y有最小值9,无最大值.第45页