2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列三系列专题13.6 期末专项复习之反比例函数十四大必考点（举一反三）（苏科版）含解析

2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列专题13.6反比例函数十四大必考点【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1反比例函数的概念辨析】 1【考点2根据反比例函数的图象判断解析式】 2【考点3根据反比例函数的图象的对称性求点的坐标】 3【考点4反比例函数图象上点的坐标特征的运用】 4【考点5反比例函数性质的运用】 4【考点6反比例函数中k的几何意义】 5【考点7待定系数法求反比例函数的解析式】 6【考点8反比例函数中的动点问题】 7【考点9反比例函数中的存在性问题】 9【考点10反比例函数中的最值问题】 11【考点11反比例函数与一次函数图象的综合判断】 12【考点12反比例函数与一次函数图象的交点问题】 13【考点13反比例函数与一次函数图象的实际应用】 15【考点14反比例函数与一次函数的其他综合运用】 17【考点1反比例函数的概念辨析】【例1】（2022秋·湖南娄底·九年级统考期末）下列函数中不是反比例函数的是（

）A．y=2x B．y=x−1 C．【变式1-1】（2022秋·湖南永州·九年级统考期末）函数y=2022x中，自变量x的取值范围是（A．x＞0 B．x＜0 【变式1-2】（2022秋·山东枣庄·九年级校考期末）已知函数y=(m+1)xm2−5是关于【变式1-3】（2022秋·山东滨州·九年级校考期末）下列函数，①y=2x，②y=x，③y=x−1，④y=1A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点2根据反比例函数的图象判断解析式】【例2】（2022秋·河北邯郸·九年级校考期末）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx的图象如图所示，则k的值可以为（A．−4 B．−3 C．−2 D．2【变式2-1】（2022秋·河北·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在函数y=3xx>0的图象上，点B在函数y=kxx<0的图象上，AB⊥y轴于点C.若A．−1 B．1 C．−2 D．2【变式2-2】（2022秋·浙江台州·九年级统考期末）某函数图象如图所示，则该函数解析式可能为（）A．y＝﹣2x B．y＝2x C．y＝﹣2|x| D．【变式2-3】（2022秋·江西赣州·九年级统考期末）反比例函数y=kx在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（A．3 B．5 C．6 D．8【考点3根据反比例函数的图象的对称性求点的坐标】【例3】（2022秋·湖南益阳·九年级校联考期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与双曲线y=mx交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y1,y【变式3-1】（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，双曲线y=kx与直线y=mx相交于A、B两点，B点坐标为(−2,−3)，则A点坐标为（A．(−2,−3) B．(2,3) C．(−2,3) D．(2,−3)【变式3-2】（2022春·山西晋城·八年级统考期末）如图，点A、C是反比例函数图象上的点，且关于原点对称．过点A作AB⊥x轴于点B，若△ABC的面积为7，则反比例函数的表达式为__________．【变式3-3】（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，过原点的直线交反比例函数y=ax图象于P、Q点，过点Р分别作x轴，y轴的垂线，交反比例函数y=bxx>0的图象于A、B点，已知b−a=3【考点4反比例函数图象上点的坐标特征的运用】【例4】（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）若点A(x1,−4)，B(x2,2)，C(x3,4)都在反比例函数y=A．x1<x2<x3 B．【变式4-1】（2022秋·陕西西安·九年级校考期末）下列各点在反比例函数y=12x的图像上的是（A．−3,4 B．−4,3 C．6,2 D．1,−12【变式4-2】（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）在反比例函数y=−3x图象上有三个点A(x1，y1)、B(x2，A．y3<y2<y1 B．【变式4-3】（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）已知反比例函数y=kx(k≠0)，当1≤x≤3时，y【考点5反比例函数性质的运用】【例5】（2022秋·江西抚州·九年级统考期末）已知反比例函数y=−8x，下列说法不正确的是（A．图像经过点2,−4 B．图像分别位于第二、四象限内C．在每个象限内y的值随x的值增大而增大 D．y≤1时，x≤−8【变式5-1】（2022秋·河北衡水·九年级校考期末）如图，为反比例函数y=k1x，y=k2x，y=k3xA．k1>k2>k3 B．【变式52】（2022秋·安徽淮南·九年级统考期末）下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是（

）A．y=m2+1x B．y=m+1x【变式5-3】（2022秋·陕西商洛·九年级校考期末）若反比例函数y=2k−1x的图象位于第一第象限，则k的取值范围是（A．k≥12 B．k≤12 C．【考点6反比例函数中k的几何意义】【例6】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，点A是双曲线y=−16xx<0上的一点，点B是双曲线y=−6xx<0上的一点，AB所在直线垂直x轴于点C，点M是y轴上一点，连接MA、A．5 B．6 C．10 D．16【变式6-1】（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，▭ABCD的对角线AC在y轴上，原点O为AC的中点，点D在第一象限内，AD//x轴，当双曲线y=4x经过点D时，则【变式6-2】（2022秋·河北保定·九年级保定十三中校考期末）如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3…，过A1、A2、A3分别作x轴的垂线与反比例函数y=6x的图象交于点P1、P2【变式6-3】（2022春·江苏扬州·八年级校联考期末）如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线y=6x（x＞0）上，连接BC交AD于P，连接OP，则图中S△OBP6 B．3 C．6 D．12【考点7待定系数法求反比例函数的解析式】【例7】（2022秋·安徽阜阳·九年级统考期末）如图，A是y轴正半轴上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数y=mxx>0的图象于点B，交反比例函数y=nxx<0的图象于点C，若AB:AC=1:2，则A．n=2m B．n=−2m C．n=−4m D．n=4m【变式7-1】（2022秋·江西九江·九年级统考期末）已知函数y=y1−y2，其中y1与x成正比例，y2与x−2成反比例，且当x=1时，y=1；当x=3【变式7-2】（2022秋·云南大理·九年级统考期末）若反比例函数y=kx的图象过点−2,a，2,b，且a−b=−8，则【变式7-3】（2022秋·湖北荆门·九年级统考期末）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y=k1x（k1>0）和y=k2x（【考点8反比例函数中的动点问题】【例8】（2022秋·吉林长春·九年级长春外国语学校校考期末）如图，矩形OABC的顶点О与坐标原点重合，边OA，OC分别落在x轴和y轴上，点B的坐标为4，2，点D是边BC上一动点，函数y=kxx>0的图像经过点D，且与边AB交于点E，连接OB、OD．若线段OBA．12 B．34 C．1 【变式8-1】（2022秋·湖南株洲·九年级统考期末）如图，在矩形OABC中，A3，0，C0，2，F是AB上的一个动点，F不与A、(1)当F为AB的中点时，求该函数的解析式及

△EFA的面积；(2)当△EFA的面积为23时，求F【变式8-2】（2022秋·河南郑州·九年级校联考期末）如图，点A是反比例函数y=kx（x＞0）图象上的一个动点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C是反比例函数图象上不与点A重合的点，以AB，BC为边作菱形ABCD，过点D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数(1)已知当AB=5时，菱形面积为20，则此时点C的横坐标是，点D的横坐标是，求该反比例函数的表达式；(2)若点A在（1）中的反比例函数图象上运动，当菱形面积是48时，求DE：【变式8-3】（2022秋·湖南邵阳·九年级统考期末）如图，在矩形OABC中，A（4，0），C（0，3），F是AB上的一个动点，F不与A、B重合，过点F的反比例函数y=kx的图象与BC边交于点E(1)当F为AB的中点时，求该函数的解析式及△EFA的面积；(2)当△EFA的面积为43时，求F【考点9反比例函数中的存在性问题】【例9】（2022秋·云南文山·九年级统考期末）如图，一次函数y=x+1与反比例函数y=ax的图象交于点A和B（-2，n），与y轴交于点(1)求反比例函数解析式；(2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，过点P作PD//y轴，交线段AB于点D，是否存在点P使得四边形DPOC为平行四边形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式9-1】（2022秋·上海浦东新·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系内，双曲线y=8xk≠0上有A，B两点，且与直线y=axa>0交于第一象限内的点A，点A的坐标为4,2，点B的坐标为n,1，过点B作y轴的平行线，交x轴于点C，交直线（1）求：点D的坐标；（2）求：△AOB的面积；（3）在x轴正半轴上是否存在点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出P的坐标．【变式9-2】（2022秋·河南新乡·九年级新乡市第一中学校考期末）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；（2）求△DOC的面积．（3）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD全等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【变式9-3】（2022秋·云南文山·九年级统考期末）如图，A（m，4）、B（n，2）在反比例函数y＝kx的图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC（1）求反比例函数的解析式；（2）连接AB，在线段CD上求一点E，使得△ABE的面积为5；（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点10反比例函数中的最值问题】【例10】（2022秋·内蒙古赤峰·九年级统考期末）如图，点A(a，1)、B(﹣1，b)都在函数y=−【变式10-1】（2022秋·山东淄博·九年级校考期中）如图，在平面直角线坐标系中，点A，B在反比例函数y=5x的图象上运动，且始终保持线段AB=42的长度不变，M为线段AB的中点，连接OM【变式10-2】（2022秋·福建莆田·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上，点A坐标为2,4，点M是AB的中点，反比例函数y=kx的图象经过点M，交CD于点(1)求反比例函数的表达式；(2)若反比例函数图象上的一个动点Pm,n在正方形ABCD的内部（含边界），求△POC【变式10-3】（2022秋·山东济南·九年级统考期末）如图1，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴的正半轴上，点B（4，3），反比例函数y＝kx（x＞0）的图象与AB、BC分别交于D、E两点，BD＝1，点P是线段OA(1)求反比例函数关系式和点E的坐标；(2)如图2，连接PE、PD，求PD+PE的最小值；(3)如图3，当∠PDO＝45°时，求线段OP的长．【考点11反比例函数与一次函数图象的综合判断】【例11】（2022春·福建泉州·八年级统考期中）在同一直角坐标系中，函数y＝－ax与y＝ax＋1（a≠0）的图象可能是（

A． B． C． D．【变式11-1】（2022春·浙江金华·八年级校联考期中）反比例函数y=4x与一次函数y=x+1在同一坐标系中的大致图象可能是（A． B．C． D．【变式11-2】（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）已知一次函数y＝kx＋b，反比例函数y=kbx（kb≠0），下列能同时正确描述这两种函数大致图像的是（A． B． C． D．【变式11-3】（2022秋·河北石家庄·九年级校考期末）对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b=a+ba<b−A． B．C． D．【考点12反比例函数与一次函数图象的交点问题】【例12】（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，正比例函数y=−2x与反比例函数y=−8xx<0的图象有一个交点A，直线BC∥OA，交反比例函数的图象于点B，交y轴于点C【变式12-1】（2022秋·上海·八年级统考期末）如图，正比例函数y=32x的图像与反比例函数y=(1)求点A的坐标和反比例函数的解析式；(2)若点Pm,n在该反比例函数图像上，且它到y轴的距离小于3，请直接写出n【变式12-2】（2022秋·重庆綦江·九年级统考期末）如图，反比例函数y1=k1x过点A−1,−4，连接AO并延长交反比例函数图象于点B，C为反比例函数图象上一点，横坐标为-4，一次函数y2=k2x+b(1)求反比例函数y1和一次函数y(2)求四边形AODC的面积；(3)当y1≤y【变式12-3】（2022秋·内蒙古呼和浩特·九年级校考期末）如图，一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于C，D两点，交反比例函数y=nx图象于Am,4(1)求直线CD的表达式；(2)点E是线段OD上一点，若S△AEB=11(3)请你根据图象直接写出不等式kx+b>n【考点13反比例函数与一次函数图象的实际应用】【例13】（2022秋·河北邢台·九年级校考期末）某品牌热水器中，原有水的温度为20°C，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温y°C与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到80°C时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温y°C与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至（1）当0≤x≤15时，水温y°C开机时间x（2）当水温为30°C时，t=（3）通电60分钟时，热水器中水的温度y约为______．【变式13-1】（2022秋·山西·九年级山西实验中学校考期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．血液中药物浓度不低于6微克毫升的持续时间为（

）A．73 B．3 C．4 D．【变式13-2】（2022秋·广东茂名·九年级统考期末）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB．BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)求线段AB和双曲线CD的函数关系式；(2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？【变式13-3】（2022秋·吉林通化·九年级统考期末）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与药物点燃后的时间x（分）满足函数关系式y＝2x，药物点燃后6分钟燃尽，药物燃尽后，校医每隔6分钟测一次空气中含药量，测得数据如下表：药物点燃后的时间x（分）6121824空气中的含药量y（毫克/立方米）12643(1)在如图所示平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点；(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一个反比例函数图象上，如果在同一个反比例函数图象上，求出这个反比例函数图象所对应的函数表达式，如果不在同一个反比例函数图象上，说明理由；(3)研究表明：空气中每立方米的含药量不低于8毫克，且持续4分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，应用上述发现的规律估算此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌？【考点14反比例函数与一次函数的其他综合运用】【例14】（2022秋·福建宁德·九年级校联考期中）如图，直线y＝－x+m与双曲线y=−3x相交于A，B两点，直线y＝x与双曲线y=1x相交于C，【变式14-1】（2022春·江苏扬州·八年级校考期中）对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n−m=kb−a，则称此函数为“k属合函数”．例如：正比例函数y=−2x，当1≤x≤3时，−6≤y≤−2，则−2−−6=k3−1，求得：(1)一次函数y=ax−1a<0，1≤x≤3为“1属合函数”，求(2)反比例函数y=kx（k>0，a≤x≤b且0<a<b），是“k属合函数”，且【变式14-2】（2022春·福建泉州·八年级泉州五中校考期末）【阅读材料】因式分解x2+16x﹣36（x﹣2）（x+18）．我们在解方程x2+16x﹣36＝0的过程中，可以利用因式分解的知识，把原方程化为（x﹣2）（x+18）＝0，可得x﹣2＝0或x+18＝0，∴x＝2或x＝﹣18．经检验发现x＝2或x＝﹣18是原方程的解．如图，直线AB与反比例函数y＝kx（x＞0）的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为（6，1），△AOB(1)填空：反比例函数的关系式为；(2)求直线AB的函数关系式；(3)动点P在y轴上运动，当线段PA与PB之差最大时，求点P的坐标；(4)在反比例函数y＝kx第三象限的图象上找一点Q，使得点Q到直线AB距离最短，请直接写出点Q【变式14-3】（2022秋·山东菏泽·九年级统考期末）如图，一次函数y=x与反比例函数y=1x(x>0)的图象交于点A，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数图象于点A1；过点A1作A1B1专题13.6反比例函数十四大必考点【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1反比例函数的概念辨析】 1【考点2根据反比例函数的图象判断解析式】 3【考点3根据反比例函数的图象的对称性求点的坐标】 5【考点4反比例函数图象上点的坐标特征的运用】 9【考点5反比例函数性质的运用】 11【考点6反比例函数中k的几何意义】 13【考点7待定系数法求反比例函数的解析式】 17【考点8反比例函数中的动点问题】 21【考点9反比例函数中的存在性问题】 27【考点10反比例函数中的最值问题】 36【考点11反比例函数与一次函数图象的综合判断】 42【考点12反比例函数与一次函数图象的交点问题】 45【考点13反比例函数与一次函数图象的实际应用】 51【考点14反比例函数与一次函数的其他综合运用】 57【考点1反比例函数的概念辨析】【例1】（2022秋·湖南娄底·九年级统考期末）下列函数中不是反比例函数的是（

）A．y=2x B．y=x−1 C．【答案】D【分析】根据反比例函数的概念进行判断即可．【详解】解：A．y=2B．y=xC．xy=3可得y=3D．中y=1故选D．【点睛】本题考查了反比例函数的表达式，形如y=kx(k≠0)是y关于x的反比例函数，也可表示为y=k【变式1-1】（2022秋·湖南永州·九年级统考期末）函数y=2022x中，自变量x的取值范围是（A．x＞0 B．x＜0 【答案】C【分析】根据反比例函数的定义即可求解．【详解】解：函数y=2022x中，自变量x的取值范围是故选：C【点睛】本题主要考查了函数的自变量取值范围，熟练掌握分式的分母不等于0是解题的关键．【变式1-2】（2022秋·山东枣庄·九年级校考期末）已知函数y=(m+1)xm2−5是关于【答案】±2【分析】根据反比例函数的定义：形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，即可求出【详解】∵函数y=(m+1)xm2∴m+1≠0，m2∴m=±2，故答案为：±2【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．【变式1-3】（2022秋·山东滨州·九年级校考期末）下列函数，①y=2x，②y=x，③y=x−1，④y=1A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据反比例函数定义直接逐个判断即可得到答案．【详解】解：由题意可得，①y=2x，②y=x，是正比例函数，③y=x④y=1故选B．【点睛】本题考查反比例函数定义：形如y=kx(k≠0)的函数称作y【考点2根据反比例函数的图象判断解析式】【例2】（2022秋·河北邯郸·九年级校考期末）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx的图象如图所示，则k的值可以为（A．−4 B．−3 C．−2 D．2【答案】B【分析】根据函数图象确定k的取值范围．【详解】解：如图所示，反比例函数y=kx的图象位于第二、四象限，则又∵−2×2<k<1×(−2)，即−4<k<−2．∴观察选项，只有选项B合题意．故选：B．【点睛】考查了反比例函数的图象，根据函数图象确定k的符号以及k的取值范围是解题的难点．【变式2-1】（2022秋·河北·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在函数y=3xx>0的图象上，点B在函数y=kxx<0的图象上，AB⊥y轴于点C.若A．−1 B．1 C．−2 D．2【答案】A【分析】设A的横坐标为a，则纵坐标为3a，根据题意得出点B的坐标为(−13【详解】解：设A的横坐标为a，则纵坐标为3a∵AC=3BC，∴B的横坐标为-13∵AB⊥y轴于点C，∴AB∥x轴，∴B（-13a，3∵点B在函数y=kx（x＜0）的图象上，∴k=-13a×故选：A．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出点B的坐标是解题的关键．【变式2-2】（2022秋·浙江台州·九年级统考期末）某函数图象如图所示，则该函数解析式可能为（）A．y＝﹣2x B．y＝2x C．y＝﹣2|x| D．【答案】D【分析】由函数的图象易知，无论x取正数还是负数，函数值y都是正数，据此对各选项进行分析即可.【详解】A.当x＞0时，y＝﹣2xB.当x＜0时，y＝2xC.无论x取正数还是负数y＝﹣2|x|D.无论x取正数还是负数y＝2|x|故选：D．【点睛】本题考查函数的图象，能根据图象得出无论x取正数还是负数，函数值y都是正数是解决此题的关键．【变式2-3】（2022秋·江西赣州·九年级统考期末）反比例函数y=kx在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（A．3 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】根据点（1，3）在反比例函数图象下方，点（3，2）在反比例函数图象上方可得出k的取值范围，即可得答案.【详解】∵点（1，3）在反比例函数图象下方，∴k>3，∵点（3，2）在反比例函数图象上方，∴k3∴3<k<6，故选：B.【点睛】本题考查了反比例函数的图象的性质，熟记k=xy是解题关键.【考点3根据反比例函数的图象的对称性求点的坐标】【例3】（2022秋·湖南益阳·九年级校联考期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与双曲线y=mx交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y1【答案】0【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，∴y1故答案为：0.【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题.【变式3-1】（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，双曲线y=kx与直线y=mx相交于A、B两点，B点坐标为(−2,−3)，则A点坐标为（A．(−2,−3) B．(2,3) C．(−2,3) D．(2,−3)【答案】B【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【详解】解：∵点A与B关于原点对称，∴A点的坐标为(2,3)．故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，解题的关键是熟练掌握横纵坐标分别互为相反数．【变式3-2】（2022春·山西晋城·八年级统考期末）如图，点A、C是反比例函数图象上的点，且关于原点对称．过点A作AB⊥x轴于点B，若△ABC的面积为7，则反比例函数的表达式为__________．【答案】y=【分析】设反比例函数的表达式为y=kx，点A的坐标为a，ka，即可表示出点B和点C的坐标，那么【详解】解：设反比例函数的表达式为y=kx，点A的坐标为a，ka，则点C的坐标为−a，−k∴△ABC的面积可以表示为12∵△ABC的面积为7，即12解得k=7，∴反比例函数的表达式为y=7故答案为：y=7【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的中心对称性，表示出点C的坐标，是解决本题的关键．【变式3-3】（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，过原点的直线交反比例函数y=ax图象于P、Q点，过点Р分别作x轴，y轴的垂线，交反比例函数y=bxx>0的图象于A、B点，已知b−a=3【答案】

6

9【分析】连接OA，OB，延长BP交x轴于点C，易求S△BOP由P，Q关于与原点成中心对称，得OP=OQ，利用等底同高的三角形的面积相等可得S△BPO＝S△BQO，易求S△BPQ＝2S△BOP＝3，同理可得：S△APQ＝2S【详解】连接PQ，OA，OB，延长BP交x轴于点C，设点C对应的数为m，m＞0.则P（m，am），B（m，b∴OC=m，PC=am，BC=∴S△POC=∴S∵P、Q关于原点成中心对称，∴OP=OQ∴S∴S同理可得：S所以S设点C（m，0）m＞0．则P（m，am），A（m，bm），B（bma∴AP＝bm∵S△APB＝3，∴1∴a＝32∵b−a＝3，∴b＝92故答案为：6，92【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，关于原点对称的点的坐标的性质，三角形的面积．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．【考点4反比例函数图象上点的坐标特征的运用】【例4】（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）若点A(x1,−4)，B(x2,2)，C(x3,4)都在反比例函数y=A．x1<x2<x3 B．【答案】D【分析】解法一：直接将点A、B、C的坐标代入反比例函数y=8x中，求出x1、x解法二：根据反比例函数的图象和性质，结合点A、B、C纵坐标的数值，即可解答．【详解】解法一：解：在反比例函数y=8当y=−4时，x1当y=2时，x2当y=4时，x3∴x故选：D．解法二：解：在反比例函数y=8x中，∴函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，∵点B、C在第一象限，且2<4，∴x∵点A在第三象限，∴x∴x故选：D．【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题关键．【变式4-1】（2022秋·陕西西安·九年级校考期末）下列各点在反比例函数y=12x的图像上的是（A．−3,4 B．−4,3 C．6,2 D．1,−12【答案】C【分析】将每个选项中点的横坐标代入反比例函数解析式中，看函数值是否一致，如果一致，说明点在函数图像上，反之则不在．【详解】A、当x=−3时，y=12B、当x=−4时，y=−12C、当x=6时，y=D、当x=1时，y=12故选∶C．【点睛】本题主要考查点是否在反比例函数图像上，掌握反比例函数变量的求法是解题的关键．【变式4-2】（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）在反比例函数y=−3x图象上有三个点A(x1，y1)、B(x2，A．y3<y2<y1 B．【答案】C【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答．【详解】解：∵A(x1，y1)在反比例函数∴y对于反比例函数y=−3x，在第四象限，y随∵0<x∴y∴故选：C．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、反比例函数的增减性是解题的关键．【变式4-3】（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）已知反比例函数y=kx(k≠0)，当1≤x≤3时，y【答案】6或-6．【分析】根据反比例函数的增减性质列解一元一次方程解答即可．【详解】解：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小，∴设x=1时y=a，则当x=3时，y=a-4，∴a=3（a-4），解得a=6，∴k=6；当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大，∴设x=1时y=b，则当x=3时，y=b+4，∴b=3（b+4），解得b=-6，∴k=-6；∴k=6或-6，故答案为：6或-6．【点睛】此题考查反比例函数的增减性：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小，当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大，以及正确解一元一次方程．【考点5反比例函数性质的运用】【例18】（2022秋·江西抚州·九年级统考期末）已知反比例函数y=−8x，下列说法不正确的是（A．图像经过点2,−4 B．图像分别位于第二、四象限内C．在每个象限内y的值随x的值增大而增大 D．y≤1时，x≤−8【答案】D【分析】根据反比例函数的性质逐一判断即可．【详解】因为2×−4所以A正确，不符合题意；因为反比例函数y=−8所以图象分别位于第二、四象限内；在每个象限内y的值随x的值增大而增大；所以B、C正确，不符合题意；当y≤1时，x≤−8或x＞所以D错误，符合题意，故选D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的基本性质是解题的关键．【变式5-1】（2022秋·河北衡水·九年级校考期末）如图，为反比例函数y=k1x，y=k2x，y=k3xA．k1>k2>k3 B．【答案】A【分析】先根据函数图象所在的象限判断出k1、k2、【详解】解：由图知，y=k3x的图象在第二象限，y=∴k1>0，k2又当x=1时，由图象可得k2∴k2∴k1故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的图象的性质．k<0时，反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；k>0时，反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．【变式5-2】（2022秋·安徽淮南·九年级统考期末）下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是（

）A．y=m2+1x B．y=m+1x【答案】A【分析】根据反比例函数的性质，函数若位于一、三象限，则反比例函数系数k＞0，对各选项逐一判断即可．【详解】解：A、∵m2+1＞0，∴反比例函数图象一定在一、三象限；B、不确定；C、不确定；D、不确定．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，理解反比例函数的性质是解题的关键．【变式5-3】（2022秋·陕西商洛·九年级校考期末）若反比例函数y=2k−1x的图象位于第一第象限，则k的取值范围是（A．k≥12 B．k≤12 C．【答案】C【分析】根据反比例函数的图象在第一象限，可得2k−1>0，解不等式即可求解．【详解】解：∵反比例函数y=2k−1∴2k−1>0，解得：k>1故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，在y=kxk≠0中，当k>0【考点6反比例函数中k的几何意义】【例6】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，点A是双曲线y=−16xx<0上的一点，点B是双曲线y=−6xx<0上的一点，AB所在直线垂直x轴于点C，点M是y轴上一点，连接MA、A．5 B．6 C．10 D．16【答案】A【分析】作MN⊥BA交BA的延长线于N，则S△AMB=12BA⋅MN，设点A【详解】解：如图所示，作MN⊥BA交BA的延长线于N，，则S△AMB设点A的坐标为a，−16∵AB所在直线垂直x轴于点C，∴B点坐标为a，∴AB=−16a−∴S故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数与三角形综合，解题的关键是作出恰当的辅助线，设出相关点的坐标，从而将需要的条件都表示出来，再进行计算即可．【变式6-1】（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，▭ABCD的对角线AC在y轴上，原点O为AC的中点，点D在第一象限内，AD//x轴，当双曲线y=4x经过点D时，则【答案】8【分析】根据反比例函数k的几何意义先求出△AOD的面积，再根据平行四边形是中心对称图形可得S▭ABCD=4S△AOD，即可求出▭ABCD的面积．【详解】解：连接BD，∵四边形ABCD是平行四边形，且O点是AC的中点，∴O点是BD的中点，∵D点在反比例函数y=4x的图像上，且AD//∴S△AOD=12∴S▭ABCD=4S△AOD=8，即▭ABCD的面积为8．故答案为：8．【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，平行四边形是中心对称图形的性质．熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．【变式6-2】（2022秋·河北保定·九年级保定十三中校考期末）如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3…，过A1、A2、A3分别作x轴的垂线与反比例函数y=6x的图象交于点P1、P2【答案】3【分析】结合图象，根据反比例函数系数k的几何意义，即可得答案．【详解】解：∵过双曲线y=6x上任一点引x轴垂线和原点连线与x轴所围成的直角三角形面积是个定值，∴S∵OA∴SS3S4S5……以此类推，Sn故答案为：3n【点睛】本题考查了反比例函数y=kxk≠0的系数k的几何意义，即过双曲线上任一点引x轴，y轴垂线，所得矩形面积为k，利用数形结合的思想，正确理解【变式6-3】（2022春·江苏扬州·八年级校联考期末）如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线y=6x（x＞0）上，连接BC交AD于P，连接OP，则图中S△OBPA．6 B．3 C．6 D．12【答案】C【分析】先根据△AOB和△ACD均为正三角形可知∠AOB=∠CAD=60°，故可得出AD∥OB，所以S△ABP=S△AOP，故S△OBP=S△AOB，过点B作【详解】解：如图：∵△AOB和△ACD均为正三角形，∴∠AOB=∠CAD=60°，∴AD∥OB，∴S△ABP∴S△OBP过点B作BE⊥OA于点E，则S△OBE∵点B在反比例函数y=6∴S△OBE∴S△OBP故选：C．【点睛】本题考查的是反比例函数，等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，综合运用以上知识是解题的关键．【考点7待定系数法求反比例函数的解析式】【例7】（2022秋·安徽阜阳·九年级统考期末）如图，A是y轴正半轴上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数y=mxx>0的图象于点B，交反比例函数y=nxx<0的图象于点C，若AB:AC=1:2，则A．n=2m B．n=−2m C．n=−4m D．n=4m【答案】B【分析】首先根据BC∥x轴，AB:AC=1:2，可设B(x,y)，C(−2x,y)，根据B在反比例函数y=mx的图象上，可得xy=m，再根据C在反比例函数【详解】解：∵BC∥∴设B(x,y)，∵AB:AC=1:2∴C(−2x,y)，∵B在反比例函数y=m∴xy=m，∵C在反比例函数y=n∴y=n∴−2xy=n，∴n=−2m，故先：B．【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，反比例函数y=kx图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即【变式7-1】（2022秋·江西九江·九年级统考期末）已知函数y=y1−y2，其中y1与x成正比例，y2与x−2成反比例，且当x=1时，y=1；当x=3【答案】y=【分析】首先设y1=k1x，y2=k2x−2，进而可得y=k1x−k2【详解】解：∵y1与x成正比例，y2与∴设y1=k∵y=y∴y=k∵当x=1时，y=1；当x=3时，y=5，∴k1解得：k1∴y=3【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是正确掌握正比例函数与反比例函数解析式的形式．【变式7-2】（2022秋·云南大理·九年级统考期末）若反比例函数y=kx的图象过点−2,a，2,b，且a−b=−8，则【答案】8【分析】将点−2,a，2,b代入反比例函数y=kx得a=−b，再代入a−b=−8，得到a，【详解】∵反比例函数y=kx的图象过点−2,a，∴k=−2a=2b，∴a+b=0，又∵a−b=−8，∴a=−4，b=4，∴k=8，故答案为：8．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把点坐标代入解析式是解题的关键．【变式7-3】（2022秋·湖北荆门·九年级统考期末）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y=k1x（k1>0）和y=k2x（【答案】32【分析】连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，由四边形ABCD是正方形，设AE=BE=CE=DE=m，D(4，a)，由BD∥y轴，可以表示点A，B的坐标，可求得m，a的关系，再由B(4，8−a)在反比例函数y=k1x（k【详解】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE=BE=CE=DE．设AE=BE=CE=DE=m，D(4，∵BD∥y轴，∴B(4，a+2m)，∵A，B都在反比例函数y=k1x∴k1∵m≠0，∴m=4−a，∴B(4，∵B(4，8−a)在反比例函数y=k1x（k1>0∴k1∴k1故答案为：32．【点睛】本题考查反比例函数的图象及应用，涉及正方形的性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标．【考点8反比例函数中的动点问题】【例8】（2022秋·吉林长春·九年级长春外国语学校校考期末）如图，矩形OABC的顶点О与坐标原点重合，边OA，OC分别落在x轴和y轴上，点B的坐标为4，2，点D是边BC上一动点，函数y=kxx>0的图像经过点D，且与边AB交于点E，连接OB、OD．若线段OBA．12 B．34 C．1 【答案】B【分析】先根据矩形的性质，角平分线定义得出∠DBO=∠DOB，然后根据等腰三角形的判定得出BD=OD，在Rt△COD中根据勾股定理可求出CD，从而求出点D的坐标，根据待定系数法求出反比例函数解析式，最后把x=4【详解】解∶∵OB平分∠AOD，∴∠AOB=∠DOB，∵四边形ABCD是矩形，B4∴BC∥OA，BC=AO=4，OC=AB=2，∴∠DBO=∠AOB，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，设BD=OD=a，则CD=BC−BD=4−a，在Rt△COD中，C∴4−a2解得a=5∴CD=3∴D3∴k=3∴y=3当x=4时，y=3∴点E的纵坐标为34故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，待定系数法等知识，正确求出点D的坐标是解题的关键．【变式8-1】（2022秋·湖南株洲·九年级统考期末）如图，在矩形OABC中，A3，0，C0，2，F是AB上的一个动点，F不与A、(1)当F为AB的中点时，求该函数的解析式及

△EFA的面积；(2)当△EFA的面积为23时，求F【答案】(1)y=3x(2)F13，【分析】（1）当F为AB的中点时，点F的坐标为3，1，由此代入求得函数解析式即可；将y=2代入求出点E的坐标，从而求出（2）先求点F的坐标，再求点E，表示出△EFA的面积，最后求出点F的坐标．【详解】（1）∵点F是AB的中点，A3∴F∴k=3×1=3，∴y=3当y为2时，x为3∴E3∴BE=3∴SΔ（2）设点F3，k∵点E的纵坐标为2，∴Ek∴BE=3−k∵SΔ解得k1=4，∴F13【点睛】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．【变式8-2】（2022秋·河南郑州·九年级校联考期末）如图，点A是反比例函数y=kx（x＞0）图象上的一个动点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C是反比例函数图象上不与点A重合的点，以AB，BC为边作菱形ABCD，过点D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数(1)已知当AB=5时，菱形面积为20，则此时点C的横坐标是，点D的横坐标是，求该反比例函数的表达式；(2)若点A在（1）中的反比例函数图象上运动，当菱形面积是48时，求DE：【答案】(1)3，8：y=30(2)13【分析】（1）过点C作CT⊥AB于点T，利用菱形面积求出CT=4，再利用勾股定理求出BT=3，从而可设出点C的坐标为3，m，则点A的坐标为5，m−4，得到（2）设点Aa，30a，过点C作CN⊥x轴于点N，交AB于点M，利用菱形面积得到CM=48a，即可得到点C的纵坐标为78a，则C5a13，78【详解】（1）解：过点C作CT⊥AB于点T，∴菱形面积=AB⋅CT=5CT=20，∴CT=4，在Rt△BCT中，BC=AB=5∴BT=B∴点C的横坐标为3，点D的横坐标为3+5=8，设点C的坐标为3，m，则点A的坐标为∴k=3m=5m−4解得：m=10，∴k=3m=30，C3∴反比例函数的表达式为：y=30x，故答案为：3，8；（2）解：设点Aa，30a，过点C作CN⊥x轴于点N，交∵菱形面积是48，∴CM⋅AB=48，∴CM=48∴点C的纵坐标为78a∴C5a∴点D的坐标为18a13∴点E的坐标为18a13∴EF=65∴DE:EF=169【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，正确利用菱形的面积求出对应线段的长度是解题的关键【变式8-3】（2022秋·湖南邵阳·九年级统考期末）如图，在矩形OABC中，A（4，0），C（0，3），F是AB上的一个动点，F不与A、B重合，过点F的反比例函数y=kx的图象与BC边交于点E(1)当F为AB的中点时，求该函数的解析式及△EFA的面积；(2)当△EFA的面积为43时，求F【答案】(1)y=6x(2)F点的坐标（4，1）或F2（4，2）．【分析】（1）当F为AB的中点时，点F的坐标为（4，32），由此代入求得函数解析式即可；将y=3代入求出点E的坐标，从而求出△EFA（2）先求点F的坐标，再求点E，表示出△EFA的面积，最后求出点F的坐标．(1)解：∵在矩形OABC中，A（4，0），C（0，3），∴在矩形OABC中，OA=4，OC=3，∴B（4，3），∵F为AB的中点，∴F（4，32∵点F在反比例函数y=kx∴k=6，∴该函数的解析式为y=6x当y=3时，x=2，∴E（2，3），∴BE=4-2=2，∴S△AEF=12×2×32＝(2)解：设点F（4，k4），则AF=k∵点E的纵坐标为3，∴E（k3∴BE=4-k3∴S△AEF=12×k4×(4−k3解得：k1=4，k2=8，∴F1（4，1），F2（4，2）．【点睛】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．【考点9反比例函数中的存在性问题】【例9】（2022秋·云南文山·九年级统考期末）如图，一次函数y=x+1与反比例函数y=ax的图象交于点A和B（-2，n），与y轴交于点(1)求反比例函数解析式；(2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，过点P作PD//y轴，交线段AB于点D，是否存在点P使得四边形DPOC为平行四边形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=(2)存在，（−2，−【分析】（1）将点B（−2，n）代入y＝x＋1得点B的坐标，再将点B坐标代入反比例函数解析式即可；（2）由四边形DPOC为平行四边形，得PD＝OC，设P（m，2m），表示出点D的坐标，求出PD【详解】（1）解：由题意知，点B在一次函数y=x+1的图象上，∴n=−2+1=−1，∴点B坐标为（-2，-1），代入反比例函数解析式可得a=（∴反比例函数解析式为y=2（2）解：存在，理由如下：由y=x+1可知，点C坐标为（0，1），设点P坐标为（m，2m∵PD//y轴，且D在线段AB上，∴点D坐标为（m，m+1），∴PD＝m+1−2∵四边形DPOC为平行四边形，∴PD＝OC＝1，即m+1−2解得m=±2∵点P在第三象限，∴m=−2∴点P的坐标为（−2，−【点睛】本题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，用m的代数式表示PD的长度是解题的关键．【变式9-1】（2022秋·上海浦东新·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系内，双曲线y=8xk≠0上有A，B两点，且与直线y=axa>0交于第一象限内的点A，点A的坐标为4,2，点B的坐标为n,1，过点B作y轴的平行线，交x轴于点C，交直线（1）求：点D的坐标；（2）求：△AOB的面积；（3）在x轴正半轴上是否存在点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出P的坐标．【答案】（1）点D坐标为8,4；（2）S△AOB=6；（3）存在，P1【分析】（1）根据点A的坐标求得直线解析式，进而根据B点的坐标代入反比例函数即可求得点B的横坐标，进而根据D的横坐标和B的横坐标相等，代入直线解析式即可求得点D的坐标；（2）联结AB、OB，过A作AH⊥BD．根据题意可得点C坐标为8,0，A4,2，D(8,4),B(8,1)，根据S△AOB（3）根据等腰三角形的定义分类讨论，①当AO=AP时，②当AO=OP时，即可求得P的坐标【详解】（1）解：∵直线y=axa>0与双曲线y=8x∴a=1∴直线OA函数解析式为y=1∵点Bn,1在双曲线y=∴n=8．∴B∵过点B的直线CD平行于y轴，∴点C，点D的横坐标都是8．代入y=∴可得点D坐标为8,4．（2）如图，联结AB、OB，过A作AH⊥BD．根据题意可得点C坐标为8,0，A4,2，D(8,4),B(8,1)∴OC=8，CD=4，BD=3，BC=1，AH=4．∵S∴S（3）由△OAP是以OA为腰的等腰三角形，①当AO=AP时，∴即P②当AO=OP时∵A(4,2),O∴P综上所述P的坐标为8,0或2【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的性质，掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．【变式9-2】（2022秋·河南新乡·九年级新乡市第一中学校考期末）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；（2）求△DOC的面积．（3）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD全等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】1）y=2x，m=1；（2）S△DOC=1.5；（3）P（2，2）或P（-2【分析】（1）把C（1，2）代入y=kx可求出k值，可得出反比例函数解析式，把D（2，m）代入即可求出（2）如图，过点C作⊥OA于E，过点D作DF⊥OA于F，根据C、D坐标可得CE、DF的长，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，即可得出点A坐标，可得OA的长，根据S△DOC=S△AOC-S△AOD，利用三角形面积公式即可得答案；（3）设点P坐标为（n，2n），根据全等三角形的性质可得PC=PD，根据两点间距离公式列方程求出n【详解】（1）∵点C（1，2）在反比例函数y=k∴k=2，∴反比例函数解析式为y=2∵点B（2，m）在反比例函数y=2∴m=22（2）如图，过点C作⊥OA于E，过点D作DF⊥OA于F，∵C（1，2），D（2，1），∴CE=2，DF=1，∵C、D在一次函数y=ax+b的图象上，∴a+b=22a+b=1解得：a=−1b=3∴一次函数解析式为y=-x+3，当y=0时，x=3，∴A点坐标为（3，0），∴OA=3，∴S△DOC=S△AOC-S△AOD=12OA⋅CE−（3）设点P坐标为（n，2n∵C（2，1），D（1，2），∴OC=OD，∵△POC和△POD全等，∴PC=PD，∴(n−1)2解得：n=±2∴P（2，2）或P（−2，−∴双曲线上存在一点P，使得△POC和△POD全等，P（2，2）或P（−2，−【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数及一次函数解析式及全等三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．【变式9-3】（2022秋·云南文山·九年级统考期末）如图，A（m，4）、B（n，2）在反比例函数y＝kx的图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC（1）求反比例函数的解析式；（2）连接AB，在线段CD上求一点E，使得△ABE的面积为5；（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=12x；（2）E【分析】（1）A（m，4）、B（n，2）在反比例函数y＝kx的图象上，DC＝3．AD⊥x轴，BC⊥x轴，列方程组n=m+34m=2n，解方程组可得（2）如图，设点Ex,0,而A3,4,B6,2（3）由C△ABP=AB+AP+BP,又AB是定值，当AP+BP的值最小时，△ABP的周长最小，如图，作点B关于x轴的对称点F6,−2，连接AF交x轴于点P，此时AP+BP=AF有最小值，再求解直线的解析式为y=−2x+10【详解】解：（1）∵A（m，4）、B（n，2）在反比例函数y＝kx的图象上，DC＝3．AD⊥x轴，BC⊥x∴n=m+3解得：m=3n=6∴A3,4∴k=xy=3×4=12,∴反比例函数的解析式为y=12（2）如图，设点Ex,0,∴DE=x−3,CE=6−x,AD=4,BC=2,∵S△ABE∴1∴9−x=5,∴x=4，∴点E4,0（3）∵C△ABP又∵AB是定值，∴当AP+BP的值最小时，△ABP的周长最小，如图，作点B关于x轴的对称点F6,−2，连接AF交x轴于点P此时AP+BP=AP+PF=AF有最小值，设直线AF的解析式为y=kx+b，∴3k+b=4解得k=−2∴直线的解析式为y=−2x+10，当y=0时，x=5，∴点P【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形，利用轴对称确定使三角形周长取最小值时点的位置，掌握以上知识是解题的关键．【考点10反比例函数中的最值问题】【例10】（2022秋·内蒙古赤峰·九年级统考期末）如图，点A(a，1)、B(﹣1，b)都在函数y=−【答案】y=x+2【详解】试题分析：作点A关于x轴的对称点A′，作点B关于y轴的对称点B′，连接A′B′，分别于x、y轴交于点P、Q点，此时四边形PABQ的周长最小，由点A、B均为反比例函数上的点，由此即可求出a、b值，即得出点A、B的坐标，再根据对称的性质找出点A′、B′的坐标，结合两点的坐标利用待定系数法即可求出PQ所在直线的解析式．解：作点A关于x轴的对称点A′，作点B关于y轴的对称点B′，连接A′B′，分别于x、y轴交于点P、Q点，此时四边形PABQ的周长最小，如图所示．∵点A（a，1）、B（﹣1，b）都在函数y=−∴a=﹣3÷1=﹣3，b=﹣3÷（﹣1）=3，∴点A（﹣3，1），点B（﹣1，3），∴点A′（﹣3，﹣1），点B′（1，3）．设直线A′B′的解析式为y=kx+c，∴，解得：，∴直线A′B′的解析式为y=x+2，即PQ所在直线的解析式是y=x+2．故答案为y=x+2．【变式10-1】（2022秋·山东淄博·九年级校考期中）如图，在平面直角线坐标系中，点A，B在反比例函数y=5x的图象上运动，且始终保持线段AB=42的长度不变，M为线段AB的中点，连接OM【答案】3【分析】如图，当OM⊥AB时，线段OM长度的最小．首先证明点A与点B关于直线y=x对称，因为点A，B在反比例函数y=5x的图象上，AB=42，所以可以假设Am,5m，则Bm+4,5m−4，则m+45【详解】解：如图，因为反比例函数关于直线y=x对称，观察图象可知：当线段AB与直线y=x垂直时，垂足为M，此时AM=BM，OM的值最小，∵M为线段AB的中点，∴OA=OB，∵点A，B在反比例函数y=5∴点A与点B关于直线y=x对称，∵AB=42∴设Am,5m∴m+45整理得5=m解得：m=1（负值舍去），∴A1,5，B∴M3,3∴OM=32∴线段OM的最小值为32故答案为：32【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合，勾股定理，垂直平分线的性质，轴对称性质，判断OM取得最小值时A，B两点的位置，熟练掌握对称两点坐标的设法，函数解析式代入求值，由坐标计算线段长度的方法是解题的关键．【变式10-2】（2022秋·福建莆田·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上，点A坐标为2,4，点M是AB的中点，反比例函数y=kx的图象经过点M，交CD于点(1)求反比例函数的表达式；(2)若反比例函数图象上的一个动点Pm,n在正方形ABCD的内部（含边界），求△POC【答案】(1)y=4(2)2【分析】（1）先确定点M的坐标，再把点M点的坐标代入y=kx中求出k（2）利用正方形的性质确定点C的坐标为（6，0），再利用反比例函数解析式确定点N的坐标为（6，23），利用反比例函数的性质得到当m=6时，n有最小值23，然后计算出△【详解】（1）∵点A坐标为（2，4），∴OB=2，AB=4，∵M是AB的中点，∴点M的坐标是（2，2），把点M（2，2）代入y=kx得k∴反比例函数解析式为y=4x（2）∵四边形ABCD是正方形，点A的坐标是（2，4），∴点C的坐标是（6，0），当x=6时，y=46∴点N的坐标是（6，23∵反比例函数y=4x图象上的动点P（m，n）在正方形ABCD∴n随m的增大而减少，且2≤m≤6，∴当m=6时，n有最小值23∴△POC面积的最小值为12【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y=kx（k为常数，k≠0），然后把一个已知点的坐标代入求出k【变式10-3】（2022秋·山东济南·九年级统考期末）如图1，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴的正半轴上，点B（4，3），反比例函数y＝kx（x＞0）的图象与AB、BC分别交于D、E两点，BD＝1，点P是线段OA(1)求反比例函数关系式和点E的坐标；(2)如图2，连接PE、PD，求PD+PE的最小值；(3)如图3，当∠PDO＝45°时，求线段OP的长．【答案】(1)y＝8x，（8(2)241(3)10【分析】（1）由点B的坐标及BD的长，可得出点D的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出反比例函数的关系式，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出点E的坐标；（2）作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E交x轴于点P，连接PD，此时PD+PE取得最小值，最小值为D′E，由点D的坐标可得出点D′的坐标，结合点E的坐标可求出D′E的长，由BE，BD的长，利用勾股定理可求出DE的长，进而可求出△PDE周长的最小值；（3）过点P作PF⊥OD于点F，则△PDF为等腰直角三角形，利用勾股定理可求出OD的长，设AP=m，则OP=4-m，利用勾股定理及等腰直角三角形的性质，可得出DF，PF的长，进而可求出OF的长，再由OF2+PF2=OP2可求出m的值，将其正值代入OP=4-m中即可得出结论．(1)解：∵点B的坐标为（4，3），∴OC=AB=3，OA=BC=4．∵BD=1，∴AD=2，∴点D的坐标为（4，2）．∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象过点D∴k=4×2=8，∴反比例函数的关系式为y=8x当y=3时，3=8x，解得：x=8∴点E的坐标为（83(2)解：在图2中，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E交x轴于点P，连接PD，此时PD+PE取得最小值，最小值为D′E．∵点D的坐标为（4，2），∴点D′的坐标为（4，-2）．又∵点E的坐标为（83∴D′E=(4−8∴PD+PE的最小值为2413(3)在图3中，过点P作PF⊥OD于点F，则△PDF为等腰直角三角形．∵OA=4，AD=2，∴OD=OA设AP=m，则OP=4-m，∴PD=AD∵△PDF为等腰直角三角形，∴DF=PF=22∴OF=OD-DF=25∵OF2+PF2=OP2，即(25整理得：3m2+16m-12=0，解得：m1=23，m2∴OP=4-m=103【点睛】本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理、等腰直角三角形以及轴对称-最短路径问题，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；（2）利用两点之间线段最短，找出点P的位置；（3）利用勾股定理，找出关于AP长的一元二次方程．【考点11反比例函数与一次函数图象的综合判断】【例11】（2022春·福建泉州·八年级统考期中）在同一直角坐标系中，函数y＝－ax与y＝ax＋1（a≠0）的图象可能是（

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题可先由反比例函数y=-ax图象得到字母a的正负，再与一次函数y【详解】解：A、由函数y=-ax的图象可知a＞0，由y＝ax+1（aB、由函数y=-ax的图象可知a＞0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知aC、y＝ax+1（a≠0）的图象应该交于y轴于正半轴，故选项C错误．D、由函数y=-ax的图象可知a＜0，由y＝ax+1（a故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象等知识，灵活应用反比例函数及一次函数的性质是解题的关键．【变式11-1】（2022春·浙江金华·八年级校联考期中）反比例函数y=4x与一次函数y=x+1在同一坐标系中的大致图象可能是（A． B．C． D．【答案】B【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质即可判断反比例函数的图象和一次函数的图象所处的象限．【详解】解：由反比例函数y=4x与一次函数y=故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质是解题的关键．【变式11-2】（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）已知一次函数y＝kx＋b，反比例函数y=kbx（kb≠0），下列能同时正确描述这两种函数大致图像的是（A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一次函数的图象确定k和b的符号，进一步确定反比例函数的图象即可．【详解】解：A选项中根据一次函数图象可知，k＞0，b＜0，∴kb＜0，∴反比例函数经过二、四象限，故A选项不符合题意；B选项中根据一次函数图象可知，k＞0，b＞0，∴kb＞0，∴反比例函数经过一、三象限，故B选项不符合题意；C选项中，一次函数b=0，∵kb≠0，故C选项不符合题意；D选项中根据一次函数图象可知，k＜0，b＞0，∴kb＜0，∴反比例函数经过二、四象限，故D选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与参数的关系是解题的关键．【变式11-3】（2022秋·河北石家庄·九年级校考期末）对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b=a+ba<b−A． B．C． D．【答案】C【分析】先根据规定得出y=2★x的解析式，再利用一次函数和反比例函数的图像性质即可求解．【详解】由题意得，这是一个分段函数图象，y=2★即当x>2时，y=x+2；当x≤2时，y=−2故选：C．【点睛】本题考查新定义、一次函数与反比例函数的图像性质，根据新定义得出y=2★x的解析式是解题的关键．【考点12反比例函数与一次函数图象的交点问题】【例12】（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，正比例函数y=−2x与反比例函数y=−8xx<0的图象有一个交点A，直线BC∥OA，交反比例函数的图象于点B，交y轴于点C【答案】y=−2x−6##y=−6−2x【分析】将正比例函数y=−2x与反比例函数y=−8xx<0的解析式联立，求得点A的横坐标，根据定义求得点B的横坐标，然后求得点B的坐标，将点B的坐标代入y=−2x+b即可求得b【详解】解：∵正比例函数y=−2x与反比例函数y=−8xx<0∴−8解得：x=±2，∴点A的横坐标为：−2，∵BC=2OA，∴点B的横坐标为：−4，∵点B在反比例函数y=−8∴B∵BC∥OA，即将直线y=−2x沿y轴向下平移b∴将B−4,2代入y=−2x+b得：b=−6∴直线BC的解析式为：y=−2x−6故答案为：y=−2x−6【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，求得交点坐标是解决问题的关键【变式12-1】（2022秋·上海·八年级统考期末）如图，正比例函数y=32x的图像与反比例函数y=(1)求点A的坐标和反比例函数的解析式；(2)若点Pm,n在该反比例函数图像上，且它到y轴的距离小于3，请直接写出n【答案】(1)A2,3，(2)n<−2或n>2【分析】（1）将点Aa,3代入y=32x求出a=2，得到点A的坐标，再将点A的坐标代入（2）先确定m的取值范围，再根据反比例函数关系式得出n的取值范围即可．【详解】（1）解：将点Aa,3代入y=32解得a=2，∴A2,3将A2,3代入y=k=xy=2×3=6，∴反比例函数的解析式y=6（2）∵点P（m，n）在该反比例函数图像上，点P到y轴的距离小于3，∴−3<m<0或0<m<3，当m=3时n=2；当m=−3时n=−2，当点P到y轴的距离小于3时，n<−2或n>2．【点睛】此题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的图像交点坐标，把点的坐标代入相应的函数关系式求出待定系数是求函数关系式的常用方法．【变式12-2】（2022秋·重庆綦江·九年级统考期末）如图，反比例函数y1=k1x过点A−1,−4，连接AO并延长交反比例函数图象于点B，C为反比例函数图象上一点，横坐标为-4，一次函数y2=k2x+b(1)求反比例函数y1和一次函数y(2)求四边形AODC的面积；(3)当y1≤y【答案】(1)y1=(2)9(3)−4≤x<0或x≥1【分析】（1）将−1,−4代入y1=k1x得出k1=4，即可得出反比例函数解析式，根据点A，B关于原点成中心对称，求出B坐标为1,4（2）作DE∥y轴交AC于点E，设AC所在直线解析式为y=mx+n，将−1,−4，−4,−1代入即可得出y=−x−5，求出点D坐标为−3,0，点E坐标为−3,−2，根据S△ACD（3）曲线在直线BC下方时，y1【详解】（1）解：将−1,−4代入y1=k解得k1∴y1∵A，B在反比例函数图象上，∴点A，B关于原点成中心对称，∴点B坐标为1,4，把x=−4代入y1=4∴点C坐标为−4,−1，将1,4，−4,−1代入y2得4=解得k2∴y2（2）解：如图，作DE∥y轴交AC于点E，设AC所在直线解析式为y=mx+n，将−1,−4，−4,−1代入y=mx+n，得−4=解得m=−1n=−5∴y=−x−5，将y=0代入y2=x+3得解得x=−3，∴点D坐标为−3,0，把x=−3代入y=−x−5得y=−2，∴点E坐标为−3,−2，DE=2，∴S＝12DE•（xD−xC）+12∴四边形AODC的面积=S（3）解：由图象可得当−4≤x<0或x≥1时，曲线在直线BC下方，∴当y1≤y2时，【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数解析式，一次函数解析式，求出函数解析式是解题的关键．【变式12-3】（2022秋·内蒙古呼和浩特·九年级校考期末）如图，一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于C，D两点，交反比例函数y=nx图象于Am,4(1)求直线CD的表达式；(2)点E是线段OD上一点，若S△AEB=11(3)请你根据图象直接写出不等式kx+b>n【答案】(1)y=−(2)0,(3)x<0或3【分析】（1）先把B点坐标代入y=nx中求出n得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定A(3（2）设E(0,t)，求出D(0,6)，然后根据S△BDE−S△A.DE=（3）利用函数图象，写出反比例函数图象在直线下方所对应的自变量的范围．【详解】（1）把B3,2代入y=nx∴反比例函数解析式为y=6把Am,4代入y=6x得4m=6∴A(3把A(32,4)，B3,2代入解得k=−4∴直线CD的解析式为y=−4（2）设E(0,t)，当x=0时，y=−4则D(0,6)，∵S△BDE∴12解得t=10∴E点坐标为0,10（3）结合图象得当x<0或32<x<3时，∴不等式kx+b>nx的解集为x<0或【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数与坐标轴的交点，利用图象解不等式，待定系数法求反比例函数解析式等知识，数形结合是解答本题的关键．【考点13反比例函数与一次函数图象的实际应用】【例13】（2022秋·河北邢台·九年级校考期末）某品牌热水器中，原有水的温度为20°C，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温y°C与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到80°C时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温y°C与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至（1）当0≤x≤15时，水温y°C开机时间x（2）当水温为30°C时，t=（3）通电60分钟时，热水器中水的温度y约为______．【答案】

y=4x+20

40

160【分析】（1）设直线解析式为y=kx+b，结合图像点(0,20)，(15,80)代入即可得到答案；（2）设反比例函数解析式为y=kx，结合图像点(15,80)代入求出k，将（3）根据（1）（2）