数学复习顶层设计配餐作业两角和与差的正弦、余弦和正切公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精配餐作业(二十一）两角和与差的正弦、余弦和正切公式(时间:40分钟)一、选择题1．（2016·衡阳二联)eq\f(2sin47°－\r（3）sin17°,cos17°)＝（)A．－eq\r（3) B．－1C.eq\r(3） D．1解析原式＝2×eq\f(sin47°－sin17°cos30°，cos17°)＝2×eq\f(sin17°＋30°－sin17°cos30°,cos17°）＝2sin30°＝1，故选D。答案D2．(2016·广州二测)已知coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－θ））＝eq\f（1，3)，则sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋θ））的值是()A.eq\f(1，3) B.eq\f（2\r(2),3)C．－eq\f(1，3) D．－eq\f(2\r(2），3)解析sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（5π,12)＋θ))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f（π，2)－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π，12）－θ）））)＝coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π,12）－θ)）＝eq\f(1,3）.故选A。答案A3．（2016·河南适应性测试)已知taneq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(α－\f（π,4)）)＝eq\f（1，2）,则eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)的值为（)A.eq\f（1，2) B．2C．2eq\r（2) D．－2解析由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f（π,4）)）＝eq\f（tanα－1,1＋tanα）＝eq\f(1，2)，解得tanα＝3，所以eq\f（sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(4，2)＝2,故选B。答案B4．（2016·陕西二检)若tanα＝eq\f(1，2)，则sin4α－cos4α的值为（）A．－eq\f（1,5） B.eq\f（1,5）C。eq\f（3，5） D．－eq\f（3，5）解析∵tanα＝eq\f（1,2），∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α）·(sin2α－cos2α)＝eq\f(tan2α－1,1＋tan2α)＝－eq\f(3，5），故选D。答案D5．（2017·福建模拟）已知sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))）＝eq\f（1，3)，则cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π,3)－x））的值为（)A．－eq\f（\r（3),3） B.eq\f(\r（3),3）C．－eq\f（1,3） D.eq\f(1,3)解析因为sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3）)）＝eq\f（1，2）sinx＋eq\f(\r（3),2）cosx＝eq\f(1,3），所以cosx＋coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π，3）－x）)＝cosx＋eq\f(1，2)cosx＋eq\f（\r（3),2)sinx＝eq\f(3，2）cosx＋eq\f（\r（3),2)sinx＝eq\r（3）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（\r（3）,2）cosx＋\f（1,2)sinx)）＝eq\f(\r（3)，3),故选B.答案B6．（2016·沈阳三模)已知θ∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(π，2)，\f（π，2）))且sinθ＋cosθ＝a，其中a∈（0,1）,则tanθ的可能取值是（)A．－3 B．3或eq\f(1，3）C．－eq\f（1，3） D．－3或－eq\f（1，3）解析方法一：由sinθ＋cosθ＝a可得2sinθ·cosθ＝a2－1,由a∈（0，1)及θ∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（π，2)，\f(π,2)）），得sinθ·cosθ<0且|sinθ|〈｜cosθ｜，θ∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(π，4)，0）)，从而tanθ∈（－1,0），故选C。方法二：用单位圆中三角函数线的知识可知θ∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（π，4)，0))，从而tanθ∈(－1,0），故选C。答案C二、填空题7．已知cosθ＝－eq\f（5,13)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f（3π，2))),则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6）））的值为________。解析由cosθ＝－eq\f(5,13），θ∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（π，\f(3π,2））)得sinθ＝－eq\r(1－cos2θ）＝－eq\f（12，13）,故sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6））)＝sinθcoseq\f(π,6）－cosθsineq\f（π,6）＝－eq\f（12,13)×eq\f(\r（3），2)－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(5，13）)）×eq\f(1,2)＝eq\f（5－12\r(3),26)。答案eq\f（5－12\r（3），26）8．(2016·浙江高考)已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ）＋b（A〉0)，则A＝________，b＝________。解析由于2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝eq\r（2）sin(2x＋eq\f（π,4)）＋1,所以A＝eq\r（2),b＝1.答案eq\r（2）19．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角,且sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π，4)))＝eq\f（3,5），则taneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(θ－\f（π，4）)）＝________。解析方法一:因为sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π，4）)）＝eq\f(3，5)，所以coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(θ－\f（π,4))）＝sineq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4））））)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π，4）））＝eq\f(3,5），因为θ为第四象限角，所以－eq\f（π,2)＋2kπ<θ<2kπ，k∈Z，所以－eq\f（3π,4）＋2kπ<θ－eq\f（π，4）<2kπ－eq\f（π,4）,k∈Z,所以sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4）））＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（3,5))）2)＝－eq\f（4,5），所以taneq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（θ－\f（π，4)））＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（θ－\f(π,4）)），cos\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π，4)）））＝－eq\f(4,3）.方法二:因为θ是第四象限角,且sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π，4））)＝eq\f（3，5），所以θ＋eq\f(π,4)为第一象限角，所以coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ＋\f(π，4)))＝eq\f（4，5），所以taneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（θ－\f(π,4）））＝eq\f（sin\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))),cosθ－\f（π，4)）＝eq\f(－cos\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2）＋\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(θ－\f(π，4)）））),sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2）＋\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（θ－\f(π,4))）））)＝－eq\f(cos\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ＋\f(π,4）））,sin\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ＋\f(π，4))))＝－eq\f(4，3）。答案－eq\f(4，3）10．（2016·衡水二调）若tanα＋eq\f（1，tanα)＝eq\f（10，3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π，4），\f（π,2）)），则sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f（π，4)））＋2coseq\f(π，4)cos2α的值为________.解析∵tanα＋eq\f（1，tanα)＝eq\f（10，3）,∴(tanα－3）(3tanα－1)＝0,∴tanα＝3或eq\f（1,3).∵α∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π,4），\f（π，3）)），∴tanα>1，∴tanα＝3，sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4))）＋2coseq\f(π，4)cos2α＝eq\f(\r(2），2）sin2α＋eq\f（\r(2)，2)cos2α＋eq\f（\r(2）1＋cos2α，2)＝eq\f(\r(2），2）(sin2α＋2cos2α＋1)＝eq\f（\r(2）,2）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（2tanα，1＋tan2α）＋2\f（1－tan2α，1＋tan2α）＋1）)＝eq\f（\r（2),2)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(6,10）－\f(16，10)＋1)）＝0.答案0三、解答题11．（2016·衡水调研)已知α∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π）），且sineq\f（α，2)＋coseq\f(α,2)＝eq\f（\r（6)，2).（1)求cosα的值；(2）若sin（α－β)＝－eq\f（3，5），β∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，2）,π）），求cosβ的值。解析(1)由sineq\f(α,2）＋coseq\f(α,2)＝eq\f（\r（6），2)得1＋sinα＝eq\f（3，2),所以sinα＝eq\f（1,2），因为α∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(π,2），π）），所以cosα＝－eq\f(\r（3），2)。（2)由题意知α－β∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π，2)))，因为sin（α－β）＝－eq\f(3,5)，所以cos(α－β)＝eq\f（4，5)，所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos（α－β）＋sinαsin(α－β)＝－eq\f（\r（3），2）×eq\f（4，5)＋eq\f(1，2)×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（3，5）））＝－eq\f（4\r（3）＋3,10).答案（1)－eq\f（\r(3)，2)（2)－eq\f(4\r（3）＋3,10）12．已知函数f(x)＝2sineq\f(π,6）xcoseq\f(π，6)x,过两点A（t，f（t））,B(t＋1，f（t＋1）)的直线的斜率记为g(t）。（1)求g(0)的值；(2)写出函数g（t）的解析式,求g（t）在eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(－\f(3,2），\f（3,2）))上的取值范围。解析(1）由题意知，f（x)＝sineq\f（π,3）x，则g(0）＝eq\f（f1－f0,1－0)＝sineq\f（π,3)－sin0＝eq\f(\r（3）,2）。(2)由题意知g（t)＝eq\f(ft＋1－ft,t＋1－t)＝sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π，3）t＋\f(π,3)))－sineq\f（π,3）t＝sineq\f（π，3）tcoseq\f（π，3）＋coseq\f(π，3)tsineq\f（π,3)－sineq\f(π，3）t＝－eq\f（1,2）sineq\f（π,3）t＋eq\f(\r(3）,2）coseq\f(π,3)t＝－sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π，3)t－\f（π,3）)）。因为t∈eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（－\f(3,2），\f（3,2))），所以eq\f(π，3）t－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（－\f（5π，6）,\f(π，6)))，所以sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π，3）t－\f（π，3)）)∈eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)）),所以g（t)在eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f（3,2）,\f(3,2)))上的取值范围是eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（－\f(1，2),1）)。答案（1）eq\f（\r（3)，2)(2）eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)）(时间：20分钟)1．若sinθ＋cosθ＝eq\r(2），则taneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ＋\f(π,3）))的值是（)A．1 B．－3－eq\r（2)C．－1＋eq\r（3) D．－2－eq\r（3）解析∵sinθ＋cosθ＝eq\r（2)，∴sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝2,∴sin2θ＝1，∴2θ＝2kπ＋eq\f(π,2），k∈Z，θ＝kπ＋eq\f（π,4)，k∈Z,tanθ＝1。∴taneq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π，3）））＝eq\f（tanθ＋\r（3)，1－\r（3)tanθ）＝eq\f（1＋\r(3），1－\r（3））＝－2－eq\r(3)。故选D。答案D2．（2017·石家庄模拟)设α，β∈[0，π],且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin(2α－β)＋sin（α－2β)的取值范围为（）A．[－eq\r（2)，1］ B．[－1,eq\r（2)]C．[－1，1］ D．[1，eq\r(2)]解析∵sinαcosβ－cosαsinβ＝1⇒sin(α－β）＝1，α,β∈［0，π］，∴α－β＝eq\f（π,2），∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（0≤α≤π，，0≤β＝α－\f（π,2)≤π))⇒eq\f（π,2）≤α≤π，∴sin(2α－β）＋sin（α－2β）＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2α－α＋\f(π，2)))＋sin(α－2α＋π）＝sinα＋cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（α＋\f（π，4）)）。∵eq\f（π,2）≤α≤π，∴eq\f(3π，4）≤α＋eq\f（π，4）≤eq\f(5，4)π，∴－1≤eq\r（2)sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(α＋\f(π，4)）)≤1，即取值范围是[－1，1],故选C。答案C3．（2016·广州五校联考)函数f（x)＝4cosx·sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f（π，6））)－1(x∈R)的最大值为________。解析∵f（x)＝4cosxsineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f（π,6))）－1＝4cosxeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(\r(3)，2)sinx＋\f(1，2)cosx））－1＝2eq\r(3）sinxcosx＋2cos2x－1＝eq\r（3）sin2x＋cos2x＝2sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π,6))),∴f（x)max＝2。答案24．已知函数f(x）＝3cos(ωx＋φ）(ω〉0，－eq\f(π,2)〈φ<0)的最小正周期为π，且其图象经过点eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(5π，12），0)).（1）求函数f（x）的解析式;（2）若函数g（x）＝feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（x，2)＋\f（π,6)）)，α,β∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f（π，2)））,且g(α)＝1，g（β）＝eq\f（3\r(2），4），求g(α－β）的值。解析(1)依题意知,函数f（x)的最小正周期T＝eq\f（2π，ω)＝π，解得ω＝2，所以f（x)＝3cos（2x＋φ)