专题1.3 集合的基本运算【八大题型】（举一反三）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题1.3集合的基本运算【八大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1并集的运算】 2【题型2根据并集结果求集合或参数】 3【题型3交集的运算】 4【题型4根据交集结果求集合或参数】 5【题型5补集的运算】 7【题型6交、并、补集的混合运算】 8【题型7集合混合运算中的求参问题】 9【题型8Venn图表达集合的关系和运算】 11【知识点1并集与交集】1．并集的概念及表示自然语言符号语言图形语言由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)A∪B={x|x∈A,或x∈B}2.交集的概念及表示自然语言符号语言图形语言由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B")A∩B={x|x∈A,且x∈B}【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．【题型1并集的运算】【例1】（2023·高一单元测试）已知集合A=[3,7),B=(4,8]，则A∪B=（

）A．[3,8] B．[4,7] C．(3,8) D．(4,7)【解题思路】直接利用并集的定义求解.【解答过程】因为集合A=[3,7),所以A∪B=故选：A.【变式1-1】（2023春·河北邯郸·高二统考期末）已知集合A=-1,0,1,BA．1 B．1,2 C．-1,0,1 D．【解题思路】先求出集合B，再由并集的定义求出A∪【解答过程】由B=x∣可知A∪故选：D.【变式1-2】（2023·辽宁大连·统考三模）已知集合M,N，满足M=A．M⊆N B．N⊆M C．【解题思路】由集合的包含关系判定即可.【解答过程】集合与集合的关系不能用元素与集合的关系来表示，故C、D错误，而M=M∪N说明N中元素都在集合故选：B.【变式1-3】（2023·四川绵阳·模拟预测）已知集合A=1,3,5,7，B=x-A．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】应用并运算求A∪B【解答过程】由题设B={1}，所以A∪B={1,3,5,7}故选：B.【题型2根据并集结果求集合或参数】【例2】（2023·湖北荆门·校考模拟预测）已知集合A=a,5-a,4，B=3,2aA．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据并集的结果，分类讨论当2a+1=2、2a+1=5时集合A【解答过程】A={当2a+1=2即a=当2a+1=5即a=2时，A所以a=2故选：B.【变式2-1】（2023·江苏·高一假期作业）设集合A=x1<x<3，B=xA．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】利用集合的并集运算求解.【解答过程】因为集合A=x1<x<3所以a=4故选：D.【变式2-2】（2023·北京·校考模拟预测）已知集合A=-1,0,1，若A∪BA．∅ B．-1,0,1 C．2,3,4 D．【解题思路】根据并集定义计算，选出正确答案.【解答过程】-1,0,1∪∅=--1,0,1∪--1,0,1∪2,3,4-1,0,1∪1,2,3=故选：D.【变式2-3】（2023春·江西景德镇·高二校考期中）设集合M=x-3<x<7，N=A．t≤13 B．13<t【解题思路】根据M∪N=M，可得N⊆M【解答过程】因为M∪N=当2-t≥2t+1，即当N≠∅则2t+1≤72-综上所述实数t的取值范围为t≤3故选：C.【题型3交集的运算】【例3】（2023春·广东深圳·高二统考期末）已知集合A=-1,0,1,2,BA．-1,1 B．1,2 C．-1,0,1 D【解题思路】根据集合交集的概念与运算，准确运算，即可求解.【解答过程】由集合A=根据集合交集的概念与运算，可得A∩故选：B.【变式3-1】（2023春·陕西西安·高二统考期末）已知集合M={x∣x+2≥0},A．{x∣-C．{x∣x【解题思路】先化简集合M,N【解答过程】由题意，M={x∣根据交集的运算可知，M∩故选：A.【变式3-2】（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）已知集合A=0,1,2,4，B=xxA．1 B．2 C．4 D．8【解题思路】根据交集的运算可得.【解答过程】由集合A=0,1,2,4，B=xx故选：C.【变式3-3】（2023·山东济宁·统考三模）若集合A=(x,y)|xA．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】用列举法表示集合A，再根据交集的定义求出A∩B【解答过程】因为A=又B=所以A∩B=0,4,1,3故选：C.【题型4根据交集结果求集合或参数】【例4】（2023·云南·校联考模拟预测）已知集合A=-1,0,1，B=a,aA．0或1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2【解题思路】根据集合的并集的结果分类讨论求参数.【解答过程】由于A∩B=若a=0，则a2-3若a2-3aa=1时，B=0,1a=2时，B因此a=0或2故选:C.【变式4-1】（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）已知集合A=3,4,2a-4，B=aA．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】根据交集结果得到a=3，a=4或a【解答过程】因为A∩B≠∅，所以a=3，当a=3时，2当a=4时，2当a=2a-4时，a故选：A.【变式4-2】（2023·广东·高三专题练习）已知集合A=1,2,3，B=xx2-A．3,1 B．3,4 C．2,3 D．3,-1【解题思路】由A∩B=3求得【解答过程】由题意可知，3∈B，即32-所以B=故选：D.【变式4-3】（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知集合A=xx-1≤2,A．5,+∞ B．-∞,5 C．0,+【解题思路】化简集合A，由条件可得A⊆B，根据集合关系列不等式求a【解答过程】因为x-所以x∈1,2,3,4,5，即因为A∩B=A，所以所以a≥5故实数a的取值范围是5,+∞故选：A.【知识点2补集与全集】1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)符号表示：全集通常记作U.2．补集定义文字

语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合

A的所有元素组成的集合称为集合A相

对全集U的补集，简称为集合A的补集，

记作∁UA符号

语言∁UA={x|x∈U,且x∉A}图形

语言性质(1)

(2)【注】∁UA的三层含义：(1)∁UA表示一个集合；(2)A是U的子集，即A⊆U；(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．【题型5补集的运算】【例5】（2023春·天津河北·高二统考期末）已知集合U=xx>1，A=A．x1<x≤2C．xx>2 D【解题思路】根据补集的定义求解即可.【解答过程】因为U=xx所以∁U故选：A.【变式5-1】（2023·贵州·校联考模拟预测）已知集合U=x|2-x>0，AA．-3,2 B．-3,2 C．-∞【解题思路】首先求出集合U、A，再根据补集的定义计算可得.【解答过程】因为U=x|2-所以∁U故选：B.【变式5-2】（2023秋·广东广州·高一校考期末）已知全集U=1,3,5,且∁UA=3A．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】求出集合A后,写出集合A的真子集,数出个数即可.【解答过程】解:由题知U=1,3,5,所以A=所以集合A的真子集有:∅,共3个.故选:B.【变式5-3】（2023·全国·校联考三模）已知全集U=1,2,3,4,5,A．1∈A,1∉BC．3∈A,3∉B【解题思路】根据补集的概念结合元素与集合的关系即可得答案.【解答过程】因为U=1,2,3,4,5,又∁UB=所以3∈A,3∉B，故ABD错误，故选：C.【题型6交、并、补集的混合运算】【例6】（2023春·天津南开·高二校考期末）集合A={x∣-1≤x<2}，B={A．{x∣-1≤xC．{x∣-1≤x【解题思路】由交集与补集的定义求解即可.【解答过程】因为集合B={x∣x>1}故选：B.【变式6-1】（2023春·天津南开·高二统考期末）若U=x|x<9,x∈N*A．4,8 B．2,4,6,8C．1,3,5,7 D．1,2,3,5,6,7【解题思路】用列举法表示全集U，再利用补集、交集的定义求解作答.【解答过程】依题意，U={1,2,3,4,5,6,7,8}，而A=1,2,3则∁U所以∁ 故选：A.【变式6-2】（2023春·江苏南通·高一统考期末）设全集U=Z，集合A=-2,-1,0,1,2A．A∩B B．A∪B C．【解题思路】根据集合的交并补运算即可求解.【解答过程】A∩B=-1,0,1,2,A故选:C.【变式6-3】（2023·高一课时练习）已知全集U={a,b,c,d,e}，∁UM∩P=A．P={a} B．M={a,【解题思路】由题意画出Venn图，即可得出答案.【解答过程】由题意画出Venn图如下，

可得：P={a,d,e}故选：D.【题型7集合混合运算中的求参问题】【例7】（2022秋·广西钦州·高一校考期中）设全集U=R，集合A={x∣x2A．4 B．2 C．2或4 D．1或2【解题思路】由A∩(∁UB)={2}可知2∈A，由此即可解出a=4，则可求出A={-6,2}【解答过程】因为A所以2∈所以22+2ax2+4所以A={-6,2}所以-6∈B所以(-6)2-6b+且22+2b所以b=2故选：B.【变式7-1】（2023·江苏无锡·江苏省校考模拟预测）已知集合A={x∈Z|-1<x<3}，BA．0,4 B．0,4 C．0,3 D．0,3【解题思路】先求得A={0,1,2},B={x|x【解答过程】由集合A={x∈可得∁R因为A∩∁RB=1,2，所以0<a故选：C.【变式7-2】（2022秋·河南濮阳·高三校联考阶段练习）已知集合A=x2<x<3，B=xA．m≥2 B．m<2 C．m≤2【解题思路】求出集合A的补集，再由∁RA∪【解答过程】∵A=x2<x∵∁RA∪B故选：C．【变式7-3】（2022·云南·校考模拟预测）设集合U={x,y|x∈R,y∈A．-6 B．1 C．4 D．【解题思路】根据P2,3∈A∩【解答过程】A={x,由于P2,3所以2×2-3+m≥02+3-所以m+n≥4，即m故选：C.【知识点3Venn图表达集合的关系和运算】如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示.【题型8Venn图表达集合的关系和运算】【例8】（2023·广东·校联考模拟预测）已知全集U=R，集合A={xx≥4或x≤0}

A．-2,0 B．C．-2,0∪4【解题思路】利用集合的交并补的定义，结合Venn图即可求解.【解答过程】因为A={xx≥4或x≤0}所以A∪B={xx≥4或A∩B={xx≥4或由题意可知阴影部分对于的集合为∁U所以∁U∁UA∩故选：D.【变式8-1】（2023·湖南邵阳·邵阳市校考模拟预测）如图，集合A,B均为U的子集，∁U

A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ【解题思路】根据集合间的运算分析判断.【解答过程】因为∁UB表示除集合B以外的所有部分，即为Ⅰ和所以∁UB∩A表示∁故选：B.【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，I是全集，A，B，C是I的三个子集，则图中阴影部分表示（

）

A．A∩B∩C．A∩B