3.3 一元一次不等式（解析版）

3.3一元一次不等式1.理解一元一次不等式的概念2.理解一元一次不等式的解的概念，并会在数轴上表示一元一次不等式的解3.掌握解一元一次不等式的一般步骤，并会运用该步骤解一元一次不等式4.会在数轴上表示一元一次不等式的解5.会根据具体问题中的数量关系列一元一次不等式，并会利用一元一次不等式解决简单的实际问题知识点一一元一次不等式的概念1.一元一次不等式不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数未知数的最高次数是一次,这样的不等式叫做一元一次不等式[唤醒旧知]单项式与多项式统称为整式.2.一元一次不等式与一元一次方程的异同名称相同点不同点一元一次不等式①两边都是整式；②都只含有一个未知数;③含未知数的项的最高次数都是一次用不等号连接一元一次方程用等号连接即学即练1（2023上·浙江湖州·八年级统考期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一元一次不等式定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，进而判断得出即可．【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；B、是一元一次不等式，符合题意；C、不含未知数，是不等关系，不是一元一次不等式，不符合题意；D、未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，正确把握一元一次不等式的要素是解决问题的关键．一元一次不等式的识别方法：(1)看式子是不是由不等号连接而成;(2)看化简(去括号、移项、合并同类项)后的不等式两边是否为整式(分母中是否含有未知数);(3)看是否只含有一个未知数;(4)看含未知数的项的最高次数是否为1.知识点二不等式的解集(不等式的解)能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集,简称为不等式的解.注意：不等式的解通常是一个实数的集合,是由使不等式成立的未知数的值的全体组成的.即学即练1（2023上·浙江湖州·八年级校联考期中）求适合不等式的所有非负整数是．【答案】，【分析】本题考查了求不等式非负整数解，先解不等式，进而根据不等式的解集，写出非负整数解即可．【详解】解：，去括号得，，移项得，，合并同类项，得，化系数为1，得，，∴所有非负整数是，，故答案为：，．即学即练2（2023上·浙江杭州·八年级校考期中）解不等式：．【答案】【分析】本题考查了解一元一次不等式；按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，即可求解．【详解】解：去括号，移项，合并同类项，化系数为1，知识点三一元一次不等式的解法解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤类似,解一元一次不等式的一般步骤和根据如下：序号步骤根据1去分母不等式的基本性质32去括号单项式乘多项式法则3移项不等式的基本性质24合并同类项，得或合并同类项法则5两边同除以不等式的基本性质3注意：(1)去括号时,注意符号,当括号前是“-”,去掉“-”和括号时,括号内的各项一定要改变符号;(2)合并同类项时,同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；(3)解不等式时，五个步骤不一定都能用到，并且不一定按照这个顺序进行,应根据不等式的特点灵活安排求解步骤.即学即练1（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）解下列不等式，并把解表示在数轴上(1)(2)【答案】(1)，见解析(2)，见解析【分析】本题考查解一元一次不等式，用数轴表示不等式的解集．（1）根据解不等式的步骤进行求解，再用数轴表示不等式的解集即可；（2）根据解不等式的步骤进行求解，再用数轴表示不等式的解集即可．掌握解不等式的步骤，是解题的关键．【详解】（1）解：，移项，合并，得：，系数化1，得：；数轴表示如下：

（2）去分母，得：，移项，合并，得：，系数化1，得：；数轴表示如下：用数轴表示不等式的解时，应特别注意边界点是用实心圆点还是用空心圆圈表示.若表示出的解包括边界点，则用实心圆点，否则用空心圆圈.知识点四利用一元一次不等式解应用题列一元一次不等式解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即:审:认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中的不等关系；设:设出适当的未知数；列:根据题中的不等关系,列出不等式；解:解出所列不等式的解；答:写出答案,并检验答案是否符合题意.应特别注意:列不等式时，两边所表示的量应该相同，并且单位要统一.即学即练（2023上·浙江绍兴·八年级校联考期中）某公司引入一条新生产线生产甲、乙两种产品，其中甲产品每件成本为10元，销售价格为12元；乙产品每件成本为7元，销售价格为8.5元；甲、乙两种产品均能在生产当天全部售出．(1)第一个月该公司生产的甲、乙两种产品的总成本为5800元，销售总利润为1200元，求这个月生产甲、乙两种产品各多少件？(2)下个月该公司计划生产甲、乙两种产品共800件，且使总利润不低于1350元，则乙产品至多要生产多少件？【答案】(1)生产甲产品300件，乙产品400件(2)乙产品至多生产500件【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，能根据题意列出方程组和不等式组是解此题的关键．（1）设生产甲产品x件，乙产品y件，根据题意列出方程组，求出即可；（2）设乙产品生产m件，则甲产品生产件，根据题意列出不等式组，求出即可．【详解】（1）设生产甲产品x件，乙产品y件，根据题意，得，解这个方程组，得，所以，生产甲产品300件，乙产品400件（2）设乙产品生产m件，则甲产品生产件，根据题意，得，解这个不等式，得．所以，乙产品至多生产500件．题型1一元一次不等式的定义例1（2023下·陕西宝鸡·八年级校考阶段练习）下列各式中，是一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一元一次不等式的定义逐项判断即可．【详解】A．，指数为未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；B．，符合一元一次不等式的定义，符合题意；

C．，分母含有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；D．，有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意．故选B．【点睛】本题考查一元一次不等式的定义．掌握含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键．举一反三1（2023下·山东枣庄·八年级校考阶段练习）已知关于x的不等式是一元一次不等式，那么m的值是.【答案】【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可．【详解】解：∵关于x的不等式是一元一次不等式，∴且，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．举一反三2（2023下·陕西榆林·八年级校考期中）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值．【答案】【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．【详解】解：依题意得，且，．【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．题型2列一元一次不等式例2（2023上·浙江杭州·八年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期中）a与2的和大于0，用不等式表示为．【答案】【分析】根据题意写出不等式即可，读懂题意，正确列出不等式是解题的关键．【详解】解：∵a与2的和大于0，∴，故答案为：举一反三1（2023上·浙江绍兴·八年级校联考期中）用不等式表示“7与m的3倍的和是非正数”就是．【答案】/【分析】读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式；根据和是非正数，那么最后算的和应小于等于0，列出不等式即可．【详解】解：根据题意，得：．故答案为：．举一反三2（2023上·浙江绍兴·八年级校联考期中）根据数量关系：的倍加上是负数，可列出不等式：．【答案】【分析】本题考查了列一元一次不等式的知识点，根据已知条件，读懂题目列出一元一次不等式是解答本题的关键．根据题目条件，的倍加上是负数，即小于零，可以列出关于的一元一次不等式．【详解】解：依题意得：故答案为．题型3求一元一次不等式的解集例3（2023上·浙江宁波·八年级校考阶段练习）关于x的不等式的解集如图所示，则a的值是．【答案】2【分析】先解一元一次不等式，然后结合数轴x的取值范围，建立一元一次方程，求得a的值．【详解】解：解不等式得：，图中x的解集是有，解得：，故答案为：2．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法和一元一次不等式的解，解一元一次不等式的步骤是：去分母，移项，合并同类项，系数化为1；注意同除以负值，不等式的符号要发生改变．举一反三1（2023上·浙江绍兴·八年级校联考期中）求下列不等式的解集，并将解集在数轴上表示出来．(1)；(2)．【答案】(1)，将解集在数轴上表示见解析(2)，将解集在数轴上表示见解析【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握解法步骤是关键；（1）先移项，合并同类项，再把未知数的系数化为“1”即可，再在数轴上表示不等式的解集即可；（1）先去括号，再移项，合并同类项，再把未知数的系数化为“1”即可，再在数轴上表示不等式的解集即可；【详解】（1）解：∵，∴，解得：；在数轴上表示不等式的解集如下：.（2）∵，∴，∴，解得：.在数轴上表示不等式的解集如下：.举一反三2（2023下·福建泉州·七年级校考期中）（1）解方程；（2）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】（1）原方程的解为；（2）原不等式的解集为，解集表示在数轴上见详解【分析】（1）根据解方程的方法“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为”即可求解；（2）运用不等式的性质，解一元一次不等式，并把解集表示在数轴上，根据不等式的取值方法即可求解．【详解】解：（1）去分母得，去括号得，移项得，合并同类项得，系数化为得，，∴原方程的解为；（2）去分母得，去括号得，移项得，合并同类项得，，系数化为得，，∴原不等式的解集为，解集表示在数轴上，如图所示，

．【点睛】本题主要考查解一元一次方程，一元一次不等式等知识，掌握解方程，解不等式的方法是解题的关键．题型4在数轴上表示不等式的解集例4（2023下·陕西榆林·八年级校考期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（

）

B．

D．

【答案】A【分析】根据解一元一次不等式基本步骤，去分母，移项、合并同类项、系数化为可得不等式解集，再将不等式解集表示在数轴上即可．【详解】解：，去分母得，，移项合并同类项得，，系数化为1得：，解集在数轴上表示为：

故选：．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，将不等式解集表示在数轴上，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．举一反三1（2023上·浙江·八年级专题练习）解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来．【答案】，数轴见解析．【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示即可．【详解】解：，去分母，得：，移项，得：，合并，得：，系数化为1，得：；将不等式的解集表示在数轴上如下：【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．不等式的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点．举一反三2（2023上·浙江·八年级专题练习）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．【答案】，图见解析【分析】先去括号，再移项得到，然后合并即可，再用数轴表示解集．【详解】解：，去括号得，移项得，合并同类项得，系数化为1得：，用数轴表示为：【点睛】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．也考查了在数轴上表示不等式的解集．题型5求一元一次不等式的整数解例5（2023上·浙江绍兴·八年级校联考期中）不等式的正整数解是．【答案】1【分析】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，关键是首先移项合并同类项，算出不等式的解集，再在解集范围内找出符合条件的正整数解．【详解】解：，移项得：，合并同类项得：，把的系数化为1得：，则正整数解为：1．故答案为：1．举一反三1（2023上·浙江宁波·八年级校考阶段练习）关于x的不等式的正整数解是．【答案】1【分析】先解出不等式，然后求满足条件的正整数解即可．【详解】解：，，，，，不等式的正整数解是1．故答案为：1．【点睛】本题考查了解一元一次不等式及其正整数解，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．举一反三2求不等式的非负整数解．【答案】0，1【分析】根据去分母，移项，合并同类项，求出不等式的解集，即可求出．【详解】解：去分母，得，移项，得，合并同类项，得．∴不等式的非负整数解是0，1．【点睛】本题考查解一元一次不等式，熟记运算法则是关键．题型6根据不等式的整数解求待定字母范围例6（2022下·广西贺州·七年级统考期末）若关于x的不等式只有2个正整数解，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出一元一次不等式的解集为，再根据不等式只有两个正整数解得到，据此求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵关于x的不等式只有2个正整数解，∴，∴，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了根据不等式的解集情况求参数，正确得到是解题的关键．举一反三1（2020上·浙江宁波·八年级校考期中）已知关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解不等式求得不等式的解集，再根据不等式只有三个正整数解，可得到一个关于a的不等式，最后求得a的取值范围即可．【详解】解：解不等式，解得：，不等式有三个正整数解，一定是1、2、3，根据题意得：，解得：，故选：A．【点睛】本题主要考查了不等式的整数解，正确求解不等式得到解集是解答本题的关键．举一反三2（2022下·湖北武汉·七年级统考期末）已知关于x的不等式你只有两个正整数解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出关于x的一元一次不等式的解集，根据整数解的个数确定a的取值范围．【详解】解：关于x的不等式ax-a+6＞0只有两个正整数解，∴a＜0，∴不等式的解集为x＜，又∵关于x的不等式ax-a+6＞0只有两个正整数解，∴2＜≤3，解得-6＜a≤-3，故选：B．【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，掌握一元一次不等式的解法以及整数解定义是正确解答的关键．举一反三3（2022下·福建三明·八年级统考期中）关于的不等式：有3个负整数解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式有3个负整数解即可得到一个关于a的不等式，求得a的值．【详解】解：解不等式得：，∵不等式有3个负整数解，则一定是-1，-2，-3，∴，故选：A．【点睛】本题考查了不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．题型7求一元一次不等式解的最值例7不等式的最大整数解是．【答案】4【分析】求出不等式的解集，即可得出答案．【详解】解：不等式两边同时乘以6得：，即解得故该不等式的最大整数解是4故答案为：4【点睛】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解等知识点，能求出不等式的解集是解此题的关键．举一反三1不等式3(x﹣1)＞2﹣x的最小整数解是．【答案】2．【分析】根据解一元一次不等式的基本步骤，去括号、移项、合并同类项、化系数为1，依次计算求得x的范围，据此可得．【详解】去括号，得：3x﹣3＞2﹣x，移项，得：3x+x＞2+3，合并同类项，得：4x＞5，系数化为1，得：，则不等式组的最小整数解为2．故答案为：2．【点睛】本题考查了解一元一次不等式的基本步骤，去括号、移项、合并同类项、化系数为1．举一反三2代数式12-6m的值不小于2(1-2m)的最大正整数m是．【答案】5【分析】根据题意直接建立关于m的不等式求解即可．【详解】由题意可得：，解得：，故答案为：5．【点睛】本题考查解一元一次不等式，理解题意并准确建立不等式是解题关键．举一反三3（2023下·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）已知关于x的方程．(1)若该方程的解满足，求a的取值范围；(2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解；（2）求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式的最大整数解，可得，即可求解．【详解】（1）解方程，得，∵该方程的解满足，∴，解得．（2）解不等式，得，则最大的整数解是．把代入，解得．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．举一反三4已知：是不等式的最大整数解，是不等式的最小整数解，求的值．【答案】1【分析】先解关于的一元一次不等式，根据其解集求得最大整数解，从而确定的值，同理求得的值，进而求得代数式值．【详解】解：不等式的解集，则最大整数解；不等式的解集，则最小整数解；则．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，求不等式解集的最值，通过解一元一次不等式求得的值是解题的关键．题型8解绝对值不等式例8（2023下·河北保定·八年级校考阶段练习）不等式的解集是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围．【详解】解：①当，即时，原式可化为：，解得：，；②当，即时，原式可化为：，解得：，，综上，该不等式的解集是，故选：C．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键．举一反三1（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则：①“”可理解为；②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为和．我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或，绝对值不等式的解集是．则：①不等式的解集是．②不等式的解集是．（3）【拓展应用】解不等式，并画图说明．【答案】（1）①数在数轴上对应的点到原点的距离小于；②；3；（2）①或；②；（3）或，见解析．【分析】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）；（2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答；（3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集，就是数轴上表示数的点到表示与的点的距离之大于的所有的值，由此即可确定不等式的解集．【详解】（1）①由题意可得，“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于．故答案为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于；②令，使不等式“”成立的整数为，，故答案为：，．（2）①由题意可知，不等式的解集是或，故答案为：或；②由题意可知，不等式的解集为：，即，故答案为：；（3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集就是数轴上表示数的点，到表示与的点的距离之和大于的所有的值，如下图所示，可知不等式的解集是或．【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．举一反三2若关于的不等式有解，则的取值范围是.【答案】【分析】根据绝对值的几何意义，可把视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和，得到当x位于第8个点时，取得最小值15，即可求出a的取值范围．【详解】解：由绝对值的几何意义可得，把视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和，∴当x位于第8个点时，即当x=-4时，的最小值为15，∵，∴当关于的不等式有解时，a的取值范围是．故答案为：．【点睛】此题考查了绝对值的几何意义和不等式性质，解题的关键是根据题意求得的最小值．题型9用一元一次不等式解决几何问题例9（2023上·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图，是一个钢架结构，在角内部最多只能构造5根等长的钢条，且满足，设，则x的取值范围是．

【答案】【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，以及不等式的应用，利用等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，依次求得，，，，，再根据角内部最多只能构造5根等长的钢条，得出最多只能取到点，从而列出不等式求解即可，正确列出不等式是解题的关键．【详解】∵，，∴，，又∵，∴，，又∵，∴，，又∵，∴，，又∵，∴，，∵角内部最多只能构造5根等长的钢条，∴最多只能取到点，∵存在点，∴，解得：，∵最多只能取到点，∴，解得：，∴x的取值范围是：．故答案是：．举一反三1如图，是等边三角形，是边上一点，且的度数为，则的值可能是（

）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】B【分析】利用三角形外角的性质得出与的关系，再根据的范围，就可以确定出x的取值范围，从而找到答案.【详解】∵是等边三角形，∴∵∴∵∴故选B【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及不等式，掌握三角形外角的性质是解题的关键.举一反三2已知一个三角形的三条边的长分别为：n+6，3n，n+2．（n为正整数）（1）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边长；（2）若这个三角形的三条边都不相等，直接写出n的最大值为．【答案】（1）它的三边长分别为；（2）7．【分析】（1）分①和②两种情况，分别解方程求出的值，再根据三角形的三边关系定理即可得出答案；（2）先根据和可得和，再分，和三种情况，分别根据三角形的三边关系定理，结合为正整数即可得．【详解】解：（1）由题意，分以下两种情况：①当，即时，这个三角形是等腰三角形，它的三边长分别为，，满足三角形的三边关系定理，符合题意；②当，即时，这个三角形是等腰三角形，它的三边长分别为，，不满足三角形的三边关系定理，舍去；综上，它的三边长分别为；（2）这个三角形的三条边都不相等，和，解得和，①当时，长为的边是最长边，由三角形的三边关系定理得：，解得，不符题设，舍去；②当时，长为的边是最长边，由三角形的三边关系定理得：，解得，则此时的取值范围是，为正整数，此时；③当时，长为的边是最长边，由三角形的三边关系定理得：，解得，则此时的取值范围是，为正整数，此时的所有可能取值是；综上，符合条件的的所有可能取值是，则所求的的最大值是7，故答案为：7．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理、一元一次不等式的应用等知识点，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键．举一反三3若是△ABC的两边且（1）试求的值，并求第三边的取值范围．（2）若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．（3）若另一等腰三角形DEF，其中一个内角为x°，另一个内角为(2x-20)°，试求此三角形的各内角度数．【答案】（1）；（2）10或11；（3）三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度．【分析】（1）利用非负数的性质可求得、的值，根据三角形三边关系可求得的范围；（2）分腰长为3或4两种情况进行计算；（3）分这两个内角一个为顶角和两个都是底角三种情况，结合三角形内角和定理可求得，可得出三个角的度数．【详解】解：（1）∵，，，，；（2）当腰长为3时，此时三角形的三边为3、3、4，满足三角形三边关系，周长为10；当腰长为4时，此时三角形的三边长为4、4、3，满足三角形三边关系，周长为11；综上可知等腰三角形的周长为10或11；（3）当底角为、顶角为时，则根据三角形内角和为可得，解得，此时三个内角分别为、、；当顶角为、底角为时，则根据三角形内角和为可得，解得，此时三个内角分别为、、；当底角为、时，则等腰三角形性质可得，解得，此时三个内角分别为、、；综上可知三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等、两底角相等是解题的关键．题型10用一元一次不等式解决实际问题例10（2023上·浙江·八年级校联考期中）污水治理，保护环境，某市治污公司决定购买A，B两种型号污水处理设备共12台，已知A，B两种型号的设备，每台的价格，月处理污水量如表：经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买1台A型设备比购买3台B型设备少3万元．A型B型价格（万元/台）ab处理污水量（吨/月）220180(1)求a，b的值；(2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过50万元，你认为该公司有哪几种购买方案；(3)在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于2260吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．【答案】(1)(2)有四种购买方案：①A型设备1台，B型设备11台；②A型设备2台，B型设备10台；③A型设备3台，B型设备9台．④A型设备4台，B型设备8台(3)选购A型设备3台，B型设备9台【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，根据题意正确列出方程和不等式是解题的关键．（1）根据价格关系列关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可；（2）设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备台，根据“资金不超过50万元”列不等式，求出不等式的正整数解即可；（3）根据“每月要求处理的污水量不低于2260吨”列不等式，结合（2）中结论，求出x的正整数解，从中选择最省钱的方案即可．【详解】（1）解：根据题意得：，解得：；（2）解：设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备台，根据题意得，，∴，∵x取正整数，∴，2，3，4，∴，10，9，8，∴有四种购买方案：①A型设备1台，B型设备11台；②A型设备2台，B型设备10台；③A型设备3台，B型设备9台；④A型设备4台，B型设备8台；（3）解：由题意：，∴，又∵，∴，∵x取正整数，∴x为3，4．当时，购买资金为（万元），当时，购买资金为（万元），，∴为了节约资金，应选购A型设备3台，B型设备9台．举一反三1（2023上·浙江宁波·八年级校联考期中）好笋知时节，当春乃发生．竹笋是中国传统佳肴，味香质脆，在中国自古被当作“菜中珍品”．宁波地区竹林资源丰富，出产普通毛笋的地方也很多，但称得上精品毛笋——“黄泥拱”的只有在大雷．已知，李先生买10千克普通毛笋的钱等于买6千克精品毛笋的钱，买10千克精品毛笋比6千克普通毛笋贵64元．(1)普通毛笋和精品毛笋每千克进价多少元？(2)若李先生计划总共购买20千克毛笋，但总支出不超过180元，则李先生最多可以购买多少千克的精品毛笋？【答案】(1)普通毛笋的进价为6元/千克，精品毛笋的进价为10元/千克(2)15千克【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．（1）设普通毛笋的进价为x元/千克，精品毛笋的进价为y元/千克，根据“买10千克普通毛笋的钱等于买6千克精品毛笋的钱，买10千克精品毛笋比6千克普通毛笋贵64元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设李先生可以购买m千克的精品毛笋，则购买千克的普通毛笋，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过180元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．【详解】（1）设普通毛笋的进价为x元/千克，精品毛笋的进价为y元/千克，根据题意得：，解得：答：普通毛笋的进价为6元/千克，精品毛笋的进价为10元/千克；（2）设李先生可以购买m千克的精品毛笋，则购买千克的普通毛笋，根据题意得：，解得：，∴x的最大值为15．答：李先生最多可以购买15千克的精品毛笋．举一反三2（2023上·浙江宁波·八年级校考阶段练习）“双11”期间，某个体户在淘宝网上购买某品牌、两款羽绒服来销售，若购买3件，4件，需支付2400元，若购买2件，2件，则需支付1400元．(1)求、两款羽绒服在网上的售价分别是多少元?(2)若个体户从淘宝网上购买A款羽绒服25件，按每件600元进行零售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服全部6折销售完，若总获利不低于3800元，求个体户让利销售的羽绒服最多是多少件？【答案】(1)款羽绒服在网上的售价是400元，款羽绒服在网上的售价是300元(2)个体户让利销售的羽绒服最多是5件【分析】（1）设款羽绒服在网上的售价是元，款羽绒服在网上的售价是元，根据题意列方程组并求解即可；（2）设个体户让利销售的羽绒服是件，则让利销售前共销售件，根据总获利不低于3800元，列出不等式，求出最大整数解即可．【详解】（1）解：设款羽绒服在网上的售价是元，款羽绒服在网上的售价是元，根据题意，可得，解得，答：款羽绒服在网上的售价是400元，款羽绒服在网上的售价是300元；（2）设个体户让利销售的羽绒服是件，则让利销售前共销售件，根据题意，可得，解得，所以，的最大整数解为5，答：个体户让利销售的羽绒服最多是5件．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．一、单选题1．以下是一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查一元一次不等式的定义，理解定义是解答的关键．一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式．【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；B、是一元一次不等式，符合题意；C、未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式，不符合题意；D、没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意，故选：B．2．某品牌电脑的成本价为2400元，标价为3150元，如果商店要以利润不低于的售价打折销售，最低可打（

）折出售．A．八 B．七 C．九 D．六【答案】A【分析】设打x折出售，根据利润不低于列出不等式求解即可．【详解】解：设打x折出售，由题意得，，解得，∴最低可打八折出售，故选A．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的不等式是解题的关键．3．已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（

）A．3 B．-3 C．4 D．-4【答案】A【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可．【详解】∵是不等式的一个解，∴，解得，∴整数k的最小值是3．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．4．某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小英得分不低于90分．设她答对了x道题，则根据题意可列出不等式为(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】设她答对了x道题，则答错或不答道题，根据小英得分大于或等于90分列出不等式即可．【详解】解：设她答对了x道题，则答错或不答道题，根据题意得：．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据不等关系列出不等式．5．已知关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（

）A． B．1≤＜3 C．-3＜＜2 D．【答案】A【分析】方程变形后求出解，根据解为非负数求出k的范围即可．【详解】解：方程，移项得：，∴根据题意得：，解得：．故选A．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次不等式，解题的关键是根据题意列出关于k的不等式，并熟练掌握解一元一次不等式的步骤和依据．6．（2023上·甘肃武威·八年级统考开学考试）若代数式的值不大于的值，则x的最大整数值是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】先根据题意列出关于x的不等式，解不等式可得答案．【详解】解：由题意知，，∴，解得：，则符合条件的x的最大整数值是6，故选：A．【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．二、填空题7．（2023上·浙江宁波·八年级校联考期中）“与5的差大于的4倍”用不等式表示为．【答案】【分析】根据题中的不等关系列出不等式即可，读懂题意，正确列出不等式是解题关键．【详解】解：“与5的差大于的4倍”用不等式表示为，故答案为：8．（2022下·江苏泰州·七年级统考期末）已知关于的方程的解是非负数，则的最小值为．【答案】【分析】把当作已知数表示出方程的解，根据方程的解为非负数列出不等式，确定出的范围即可．【详解】解：方程，解得：，∵关于的方程的解是非负数，∴，解得：，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式．根据题意得出不等式是解题的关键．9．（2023下·新疆阿克苏·七年级校考期末）不等式的正整数解．【答案】1，2，3，4，5【分析】先求出不等式的解集，进而求解．【详解】解：解不等式，得，∴不等式的正整数解为；1，2，3，4，5；故答案为：1，2，3，4，5．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确求得不等式的解集是关键．10．（2023上·浙江绍兴·八年级校联考期中）现有150吨泥沙需要搬运，搬运的货车每辆的承载量为4吨，则至少需要辆货车才能把这些泥沙一次性搬运完毕．【答案】38【分析】假设至少需要辆货车才能把这些泥沙一次性搬运完毕，可列不等式，由于是正整数，所以可求得答案．本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．【详解】解：设至少需要辆货车才能把这些泥沙一次性搬运完毕．则由题意得．解得．由于应为正整数．所以．故答案为38．11．（2023下·四川遂宁·七年级射洪中学校考阶段练习）已知，则的取值范围是．【答案】【分析】将已知等式右边提取，根据绝对值的代数意义得到为非正数，列出关于的不等式，求出不等式的解集得到的取值范围．【详解】解：，，解得：．故答案为：．【点睛】此题考查了一元一次不等式的解法，以及绝对值的代数意义，其中不等式的代数意义为：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值还是0．12．（2023上·浙江宁波·八年级宁波市海曙外国语学校校考期中）若不等式的解是，则不等式的解是．【答案】【分析】先解第一个不等式，根据不等式的解得到，，再代入第二个不等式中求解即可．【详解】解：解不等式得，∵该不等式的解是，∴该不等式的解为，且，∴，则，∵，∴，则，∴不等式可化为，即，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查解一元一次不等式和一元一次不等式的解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法，利