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文档简介

2023—2024学年上学期第二次月考

高三数学试题

一、单选题

1.设集合〃={H-l<xM3,xeZ},N=N(X+1)(X-2)W0},则MCN=()

A.{^|-l<x<2}B.{-1,0,1,2)

C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}

2.已知复数z满足上3=l+i,彳是z的共枕复数,则z+5等于()

z

A.-2iB.-2C.-4iD.-1

3.已知向量a=(l,2),b=(2+x,\-y),且°工匕,则2y-x的值为()

A.-3B.-4C.4D.0

4.已知函数〃x)=2*+4m2在区间(—,6)上单调递减,则。的取值范围是()

A.a>3B.a<3C.a<—3D.a<—3

22

5.已知椭圆工+匕=1的离心率为;,则%的值为()

A+892

A.4B.—13C.4或一士5D.4或1上3

444

6.过直线)'=》上的一点P作圆(x—5Y+(y—l)2=2的两条切线4,4,切点分别为A8,当直线

4,4关于丁=》对称时,线段a的长为()

A.4B.20C."D.2

7.已知等差数列{%}的前〃项和为S“,命题P:“%>°,%>0",命题《:“S7>0”,则命题?是

命题的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

8.已知ae(O,兀),Bw则sin(a+2⑶=(

2府+22V10-2c-2V10+22M+2

9999

多选题

9.随机抽取6位影迷对电影《长津湖》的评分,得到一组样本数据如下:92,93,95,95,97,98,则

下列关于该样本的说法中正确的有()

A.均值为95B.极差为6

C.方差为26D.第80百分位数为97

10.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态,经抢修排

气扇恢复正常,排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm,继续排气4分钟后又测得浓

度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位:ppm)与排气时间t(单位:分)之间

满足函数关系其中潦=R(不为常数).若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm,人

就可以安全进入车库了,则下列说法正确的是()

C.排气12分钟后,人可以安全进入车库

D.排气32分钟后,人可以安全进入车库

11.已知定义域为R的函数f(x)对任意实数都有/(x+y)+〃x—y)=2〃x)/(y),且

0,则以下结论一定正确的有(

A./(0)=-1/(x)是偶函数

中心对称D./(1)+/(2)+.+/(2023)=0

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12.截角四面体是一种半正八面体,可由四面体经过适当的截角,即截去四面体的四个顶点处的

小棱锥所得的多面体,如图所示,将棱长为3。的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面,

得到所有棱长均为。的截角四面体,则下列说法正确的是()

该截角四面体的内切球体积也得3B.该截角四面体的体积为纽1/

812

1q5

C.该截角四面体的外接球表面积为]阳2D.△AEF外接圆的面积为7无〃2

三、填空题

13.从2位医生和4位护士中选3人参加支援武汉抗击新冠疫情,且至少有1位医生入选,则不

同的选法共有一种.(用数字填写答案)

14.已知一个圆台的上、下底面圆半径分别为2、5,高为4,则这个圆台的侧面积为.

)2

15.已知焦点在x轴上的双曲线二--J=1的左右焦点别为"和巴,其右支上存在一点。满

m~m~-1

足/^,尸入,且△PKK的面积为3,则该双曲线的离心率为.

16.已知点p为曲线y=詈上的动点,0为坐标原点.当I。“最小时,直线如恰好与曲线y=ai1伏

相切,则实数3=___.

四、解答题

17.在jABC中,内角A,B,。的对边分别为。,b,c,且(c-q)(sinC+sinA)=(c-b)sinB

(1)求角A的大小;(2)若a=3,b=2,求边BC上的高人.

18.已知等比数列{q}的前"项和为eN"),%-4=30,5;=30.

⑴求数列{a,,}的通项公式;

⑵设数列低}满足勿=log2a2的,求数列[,一,的前〃项和小

19.如图,在直三棱柱ABC-A】BiG中,AC1BC,441=BC=2,且二面角4一BC-A为45°.

(1)求棱4c的长;

(2)若。为棱的中点,求平面CCi。与平面&BC夹角的正切值.

20.已知函数/(力=(取?+(a-l)x-lnx,aeR.

⑴讨论/(x)的单调性;

(2)当a>0时,证明〃x)22-五.

21.在平面直角坐标系xOy中,动点P(x,y)满足J(x+口/+y?+J(x-O)2+y2=4-记

点P的轨迹为E.

(1)请说明E是什么曲线,并写出它的方程;

(2)设不过原点0且斜率为(的直线1与E交于不同的两点A、B,线段AB的中点为T,直线OT与E交于

两点C、D,请判断|TA|•|TB|与|TC|•|TD|的关系,并证明你的结论.

22.已知函数/(x)=〃ei-lnx+lna.

(1)当a=e时,求曲线y=/(x)在点(1,/。))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若不等式f(x)N1恒成立,求a的取值范围.

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高三数学月考试题

参考答案:

1.C2.B3.C4.D5.C6.C7.D8.B9.ABD10.BD11.BC12.BD

13.1614.35兀15.立16.-e

2

17.【详解】⑴(c")(sinC+sinA)=(c叫sinb'故(,-。)(,+。)=小叫,

整理得〃”+c2—秘,故cosA=_+\;.=g,又Ae(O,7T),故A=g.

(2)cr=h2+c2-he,B|J9=4+c2-2c,解得c=l+6或c=l-«(舍去),

由SABC=;bcsin4=(1+指卜弓=;〃"=1*/2,解得力=亚+^~.

18.【详解】(1)设{q}的公比为4,由题意知,9工1,

*.*%—4=30,S4=30,

\q(1-力

4(/-1)=30,-^-----L=30,解得4=2,%=2,

1-4

二3".

(2)由(1)知,=log2a2„+1=2«+1,

...111______

bnbn+x(2〃+1)(2〃+3)2(2“+12〃+3「

19.解:(1)•••AA1_L平面4BC,•••AAr1BC,

又AC1BC,AA1C\AC=A,AAr,4Cu平面

•••BC,平面

vAXCu平面A4iC,二BC1AC

CA是二面角4-BC-4的平面角,则41CA=45°.

vAAt1AC,:.AC=AAr=2.

(2)以C为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,贝儿(0,0,0),4(0,2,0),

8(2,0,0),4式0,2,2),

可得而=(2,0,0),可=(0,2,2).

设平面4BC的法向量为元=(x,y,z),则[竺If2%=°,

kCA1-n=2y+2z=

取y=1,得完=(0,1,-1).

易证沆=AB=(2,-2,0)是平面CGD的一个法向量,

得平面CG。与平面&BC的夹角为60。,

故平面CC1。与平面&BC夹角的正切值为

20.【详解】(1)函数〃力的定义域为(0,+8),

f'(x\=ax+a-\——=——------L.

XX

若“40,则当x«0,w)时,f'(x)<0,故“X)在(。,+8)上单调递减;

若〃>0,则当时当时/")>0,

故"X)在(o,£|上单调递减,在上单调递增.

(2)由(1)知,当〃>0时,/(力在8=’处取得最小值/d=l-4-lnL,

a\a)2aa

3ii311

所以——等价于1-----ln->2-—,BP--ln--l>0.

2a2aa2aaa

设g(x)=x-lnx—l,则景(x)=l-g.

当xw(O,l)时,g'(x)<0,当xe(l,+oo)时,g'(x)>0,

所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,y)上单调递增,

故当x=l时,g(x)取得极小值且为最小值,最小值为g(l)=。.

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所以当x>0时,g(x)“.

I3

从而当。>0时,一一In一一1>0,即〃力22——.

aa2a

21.解:(1)设&(一二,0),F2(/3,0),

则因为J(x+气2+y2+J(%一门)2+丫2=4,

满足|P&|+\PF2\=4>I&F2I=2AT3-

即动点P表示以点F],F2为左、右焦点,长轴长为4,焦距为2c的椭圆,

其轨迹的方程为9+必=1;

(2)可以判断出|TA|•|7B|=\TC\'\TD\,

下面进行证明:

设直线I的方程为y=力0),4(右,乃),B。2,九),

仔+y2=],

由方程组,41得*2+2mx+2m2—2=0。

ly=-x+m

方程⑦的判别式为A=4(2-m2),

由Z>0,即2—m2>0,解得<根<Q且nt:?!:0,

2

由。导Xi+x2=-2m,xrx2-2m—2,

所以7点坐标为(mq),直线07方程为y=—?x,

/2

—y+y2=1r-r/—x

由方程组4「得c(_q,C),D(n,_C),

[y=~2x22

所以|TC|•|7D|=?(一瓶+。)•?(V'I+7n)=:(2-m2),

22

又|T4|•\TB\=;[(*]—出产+Oi-y2)]=[(^1+x2)-4XiX2]

=5[4m2—4(2m2—2)]=|(2—m2),

所以|7川•|7B|=\TC\■\TD\.

22.【详解】(1)Q/(x)=^-lnx+l,f'[x}=ex,:.k=f'(y)=e-\.

X

QAl)=e+l,.•.切点坐标为(1,1+e),

函数在点处的切线方程为y—e—l=(e—l)(x—1),即y=(e—l)x+2,

,切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(二,0),

e-1

1-22

・•・所求三角形面积为-x2x|--|=--.

2e-1e-1

(2)Qf(x)=aex~[-\nx+\na,f\x)=aex~1--,且。〉0

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