浙江省强基联盟2023-2024学年高三年级上册10月联考数学试题

浙江强基联盟2023学年第一学期高三年级

10月联考数学学科试题

命题人：宁波邺州高级中学朱俊波审题人：平阳鳌江中学蔡继大

金华市外国语学校代云龙武义第三中学邓浩温州育英实验学校朱益

本试卷分为第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120

分钟.

考生须知：1.答题前，务必核对答题卡上条形码中信息是否与本人一致.

2.选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选

涂其他答案编号.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合4={#2一6x+8<0},3={x|—下列属于4B的元素是（）

A.1B.2C.3D.4

2—0,1

2.若复数z=是纯虚数，则实数。=（）

2+z

A.2B.4C.-2D.-4

22

3.已知双曲线。：［一［=1（4>0乃>0）的离心率为、历，则渐近线方程是（）

ab~

］\/3

A.y=B.y=±2xC.y=±y/3xD.y=±-^-x

4.已知向量a=（2,4）,〃=（l,x）,若（a+Z?）〃（&-2。），则（）

A.10B.V10C.8D.2>/2

3ar+6,x<2

5.若函数〃%）=<是单调递增函数,则实数。可取的一个值是（)

ax+a,x>2

A.3B.4C.5D.6

6.近期浙江大学、复旦大学、南京大学三所学校发布了2024年冬令营招生简章，现有甲、乙、丙、丁四位

同学报名，每位同学只能选一所大学，每所大学至少有一名同学报名，且甲同学不报南京大学，则不同的报

名方法共有（）

A.16种B.20种C.24种D.28种

7.已知函数/（工）=1+8541+25吊2%,工£［0,。］的值域为2,-1,则实数。的取值范围为（）

71717171兀715万

A.5D.—，乃

k'5n,212?12

,.\a,a>b，、c,、/

8.定义max,,。｝j”/若数列｛可｝的前〃项和为S.=4〃2+（20+X）M/lwR,〃€N），数列

也｝满足由=2,2向色山一〃）=姑,用，令c.=max｛%也｝,且q,13恒成立，则实数2的取值范围是

（）

r21-1「2一

A.[^4,—3]B,[—3,—2]C.D.-3,——

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知〃是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（）

A.岩a,m〃B，n〃a,n〃B，则0〃尸B.若〃?〃〃,/«〃a,〃_L尸，则cr_L£

C.若m工n,mua,nu0,则a_L,D.若加〃“，加_La,〃_L/7,则a〃/?

10.下列说法正确的是（）

A.若随机变量X服从二项分布B（6,p）,且E（X）=2,则。（X）=]

B.随机事件A,6相互独立，满足尸（A8）=，尸（A月）=£,则P（B）=|

C.若P（A|B）=P（"A）=§,P（A）=5,则P（6）=5

D.设随机变量X服从正态分布N（3,b）,P（X<5）=0.8,则P（l<X<3）=0.3

11.已知抛物线E：V=4x上的两个不同的点A（石,yj,8（w，%）关于直线％=0+4对称，直线与x

轴交于点c（5,o）,下列说法正确的是（）

A.E的焦点坐标为（1,0）B.占+工2是定值C.xz是定值D.玉）€（-2,2）

12.己知定义在R上的函数/（2%-2）的图象关于直线x=l对称，函数/（gx+1）的图象关于点（2,0）中

心对称，则下列说法正确的是（）

A./（X）=/（-%）B.8是函数“X）的一个周期C./（2）=0D./（l+x）+/（l-x）=o

第n卷（非选择题共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.过圆V+y2=i上点尸—7的切线方程为

I22J

(1V

--X展开式中含一项的系数是

)

15.已知sin[x+?则sin2x=

4cI

16.设。，仇c为正数，a>b,且为一元二次方程⑪2-3bx+c=0的两个实根，则=+77—K的最

bb(a-b)

小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为”,仇c,且满足切inC+csinB=病

(I)求C；

(II)若c=2,Z\A8C面积为G，求△ABC的周长.

18.(12分)已知等差数列｛q｝的前“项和为S,,,且满足3s4=2(%+%),4=34+2,〃eN*.

(I)求数列｛q｝的通项公式；

(1丫I

。1)若d=--,令%=《白，数列｛%｝的前〃项和为「，求7；的取值范围.

、2)

19.(12分)如图，已知四棱雉尸一ABC。,△PAD是边长为4的等边三角形，满足AB=2BC=4,

AB±BC,BC//AD.

(I)求证：PCA.AD,

n

(ID若PO与平面ABC。所成的角为2,求二面角P-CD—A的余弦值.

4

20.(12分)已知函数/(X)=1HA•—宙？+(l-2a)x.(awR)

(I)若a=l时，求函数/(%)的单调区间;

(II)当时，求证：/(%)<---a-\.

2')2a

21.(12分)如图所示，已知椭圆后：[+2=1(。>人>0)过点M(2血,血)，且满足a=2b,O为坐标原

点，平行于0M的直线交椭圆E于两个不同的点A,8.

(I)求椭圆E的方程；

(II)直线AM与x轴交于点C.证明NBMC的内角平分线所在直线与x轴垂直.

22.(12分)甲口袋中装有2个红球和1个黑球，乙口袋中装有1个红球和2个黑球.现从甲、乙两口袋中

各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复〃次这样的操作，记甲口袋中红球个数为

x”.

(I)求P(X=1)；

(II)求X2的概率分布列并求出E(X2)；

(III)证明：E(X,用)=l+gE(X“)(〃N2,〃eN*).

10月强基数学参考答案

1.答案：c

解析：集合4={司2<%<4},43={$2<]43},故选C

2.答案：B

4—Q—(2+a)i

解析：z=---------1-------,由题4一。=0,。=4

3.答案：B

解析：e———\/5,取。=1,。=逐，则。=2,故选B

a

4.答案：A

解析：a+b=(3,4+x),«-2Z?=(O,4-2x),因(a+0)〃(a—20),故4—2x=0,x=2,故选A

5.答案：D

解析：由题。2+。264+6,解得。26或aW—1,故选D

6.答案：C

解析：分别有1人、2人报南京大学两种情况，共计18+6=24种，故选C

7.答案：B

解析：〃X）=—2卜in2x—口+-,当sin2x=L时，ymax=-,当sin2x=0时，ymin=2,此时

（2）222

TTTTTT

2xe—,n,即无e—，故选B

.6JL122.

8.答案：D

1112

解析：a„=2An+20,-------=—,/?,=2,由累加法得a=2",由勺24且句2小，得九€-3.——

b„2+123

9.答案：BD

A选项，若m//n,则不满足

B选项，由面面垂直的判定定理推论1知其正确

C选项，由线面垂直的判定定理知其错

D选项，由线面垂直的性质定理和其正确故答案为BD

10.答案：CD

4

A选项，易知Q（X）=：

B选项，易知尸（砌="（码=£,求解易知P（B）=；,B错误

C选项，由条件概率定义易知P（A）=P（3）

D选项，由正态分布的知识易得D正确

故答案为CD

11.答案ABD

2

易得不+/=Z（y+%）+8①，又出~~-=-k@,又短=4%③，y2=4x2将③④代入②可得:

M%+%）=~4，代入①可得玉+Z=4；•AB的中点D坐标为（2,-彳）

9?

则直线AB的方程为：y+-=-k（x-2）,令y=0得：/=2-彳，而D位于抛物线内部,

二（_2）＜4x2=8,可得福＜4,则/=2«-2,2）.综上，正确答案为ABD

故答案为ABD

12.ABC

易得了(2x—2)=/(2—2x),故〃X)=/(T).又/[gx+l)+/(3-gx)=0,故/(x)关于点(2,0)

中心对称.综上，/(X)的最小正周期为8,显然ABC对，D错.故答案为ABC

13.答案：y=x+>/2

解析：由题知，*=7,则题线=1,所以切线方程为>=x——苧=x+J5.

14.答案：一7

解析：尤2的系数为Cpl)(—1)5=—7

7

15.答案：一一

9

解析：由题知，—=——(siar+cosx),则一=一(sinx+cosx)?,则sin2x=2siorcosx=——1=——

32'79299

16.答案：8

cc

解析：由题知a+b=吆3/?①，ab=上②，由①得匕=/——7-<a=a<3—,由②得上=/,则

aa3一。2b

4rI14〃

一+^——-=4a2+———->4tz2+—>8,当/=i且=〃=—即。=»=2c=l取“=”，满足

bh(a-b)b(a-b)a223-a

题意.(注：本题的取等条件比较特殊，恰巧同时满足本题条件)

17.解析：(1)bsinC+csinB=y[3bsinBsinC+sinCsinB=>/3sinBz.sinC=——

iG

(2),5=—ahsinC=——=C:.ab=4

24

又c?=a2+b2—2abcosCa2-\-b2=4.\a=b=2

周长。+/?+c=6

18.解析：(1)3s4=2(%+%)...d=24又%=3〃]+2.<d=4+14=l,d=2

/.an=2n-l,/?GN”.

(i、H)++(2〃T)1g)⑴

(2)q,=(2〃-1)--.口=1+3-f+5.

([\n-]

+--化简得

\2/

\_”2

|_+-

79

若〃为偶数时,7>C〃-1｝出+於昌,|,

22122

（421

若为〃奇数时+]9-9-2-9-9-

19.解析：(1)取AO中点。，连接PO,CO,则AD_LPO,AD_LCO,POCO=O

:.AD上面PCO:.AD^LPC

（2）如图建立空间直角坐标系，C（4,0,0）,D（02,0）,-.4），面尸。0，面尸。0_1面438,作

PH1C0,

1T

则PH，面A8CZ）:.NPDH为PO与平面ABCD所成的角.即ZPDH=-

4

/.P(2,0,2&)CO=(-4,2,0),CP=卜2,0,20)设平面PCD的法向量为

。。品;。取々二仅,4,也）

%=(x,y,z)■

CPn=0'7

而

平面ABCD的法向量〃2=(0,0,1)cos6=

11

B

x

/\、1/、+—26LX+1）

20.解析：（1）定义域（0,+8）/,（x）=--2ar+（l-2a）=^——、----』

..a=]"（x）=（x+l）（；2x+l）,即“X）在（0,；）递增，递减

,c11,-ln2a+-1--1

⑵/（x）</-In2tz----1-----1

4。2a4a

转证：-ln2a+-^——1<———。一1即证:

ln2（2+———a>0

4a2a4。

设〃（x）=Inx+T——g羽xe（0,1]

22

Q2rv

21.解析（1）。=必又.2+^=1二。2=16/2=4即：一+2_=1

a~b~164

\2

（2）设/:y=；x+〃，则d+41

—x+n=16=>x2+2/u+2n2-8=0,A=4n2-8（n2-4）>0BP

27

n2<4,〃。0,

2

设4（%,乂），3（%2，%）则%+X2=-2n,XjX2=2n-8

设直线M4,MN的斜率分别为匕/2则K;y广&

玉-2y2-25/2

+卜2-（玉-2>^）

（%-2^^XX2-2A/^）

卜1_0）（%2-20）+卜2--20）=1

—X]+〃-—X〉+〃一

2

XjX2+（〃-2夜）（方+工2）-2夜（2〃_2及）=2H-8-2H（/?-2^）-2V2（2H-2V2）=0

则/BMC的角内角平分线是x=2J5

224

22.解析：（1）P（X.=l）=-x-=-

V17339

（2）X2可能取0,1,2,3.则

2