江西省新余市重点中学2023-2024学年高二年级上册12月月考试数学试卷(含答案)

2023年12月6日高中数学练习

12月6日

学校：姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若平面a的一个法向量为%=（—3,%2）,平面夕的一个法向量为4=（6,—2,z）,且。〃夕，则y+z的

值是（）

A.-3B.-4C.3D.4

22

2.设P是椭圆三+匕=1上一点，尸到两焦点耳,尸2的距离之差为2,则「耳工是（）

1612

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

22

3.已知双曲线。：=一二=13>0力〉0）的两个顶点为4,4,双曲线c上任意一点尸（与A，4不重合）

ab

都满足PA],PA,的斜率之积为3,则双曲线C的离心率为（）

4

4.直线/:丁=左卜一/勾与曲线三―V=l（x>0）相交于A、B两点，则直线/倾斜角的取值范围是（）

5.三棱柱ABC—DER中，G为棱的中点，若BA=a,BC=b,BD=c,则CG=（）

A.—a+b—cB.——a+b+c

1-11-1,1

C.—d-\—bcD.一ci—b-\—c

2222

6.在正方体ABCD-44G，中，M,N,P,Q分别为DR,AD,G',G。的中点，则异面直线MN与PQ所

成的角大小等于（）

1

A.60B.45C.30D.90

22

7.已知椭圆二+2=1的左顶点为A,右焦点为工，过右焦点作X轴垂线交椭圆于&C两点，连结并延

ab

长交AC于点M，若河为AC的中点，则椭圆的离心率为（）

D.B

B屈2

A1c.一

2232

8.已知A8是圆£:必+、2=1上的动点，48=百,「是圆。2：（为一3）2+（丁一4）2=1上的动点，则

的取值范围为（）

713

A.-,yB.[3,6]C.[7,13]D.[6,12]

二、多选题

9.已知空间向量a=（—2,—1,1）力=（3,4,5）,则下列结论正确的是（）

A.（2a+0）//a

B.5tz|=国。

C.«.L（5a+6b）

。.不在匕上的投影向量为1-元，-

10.如图，在棱长均相等的正四棱锥P-A3CD中，MJV分别为侧棱的中点，。是底面四边形A3CD

对角线的交点，下列结论正确的有（）

A.PC//平面OMNB.平面PCD//平面OMN

C.OM±PAD.PD_L平面OACV

n.以下四个命题表述错误的是（）

A.直线（加一1卜+（2加一1）y=加一3（mwR）恒过定点（5,-2）

2

B.圆好+V=2上有且仅有2个点到直线l:x-y+l=Q的距离都等于正

2

C.曲线。］：/+/+2%=0与。2：三+/一4%—8y+根=0恰有四条公切线，则实数机的取值范围为

4<m<20

D.已知圆。：炉+丁=2,p为直线x+y+26=0上一动点，过点尸向圆C引条切线Q4，其中A为切点,

则出的最小值为J5

12.已知曲线C：土-上-=1(根〃/0),则下列命题中为真命题的是()

mn

A.若〃7+〃=0,则C是圆

B.若机>0,“<0,且相+〃w0,则C是椭圆

C.若77仍>0,则。是双曲线，且渐近线方程为y=±

D.若则C是椭圆，其离心率为

三、填空题

13.2023年10月国庆节旅游黄金周期间，自驾游爱好者甲、乙、丁3家组团自驾去杭州旅游，3家人分别乘坐3

辆车，沪昆高速杭州入口有A瓦。共3个不同的窗口，则每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率

为.

22

14.已知椭圆C：土+上-=1的左、右焦点分别为耳，耳，点4(1,1),若点P为椭圆。上一点，则闾+|刚的

1612

最大值为.

15.(1+X)3+(1+x)4++(1+X)8的展开式中d的系数是

22

16.已知耳心分别是双曲线\-g=1的左右焦点，若归周=5,则俨闾=.

四、解答题

17.已知空间三点4-2,0,2),5(—1,1,2),c(—3,0,4),设AB=a,AC=6.

(1)求a与b的夹角。的余弦值；

(2)若向量妨与3一2万互相垂直，求左的值.

3

r2

18.已知双曲线C：j=l(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y=0垂直，且右顶点A到该条渐近线

a

的距离为毡.

5

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线/与双曲线C交于A、8两点，线段A3的中点为“(3,2),求直线/的方程.

19.已知点4(—2,—1)、5(6,3).

(1)求线段AB的垂直平分线的直线方程；

(2)若点A、8到直线/:6+丁+1=0的距离相等，求实数。的值.

20.某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名.

(1)若从中任选2人参加A8两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护

人员甲不参加A项救护活动的选法种数；

(2)这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不

能去往同一个地方，求不同的分配方案种数.

21.如图，四棱锥P-A3CD中，四边形A5CD为梯形，其中

AB//CD,BCD=6Q,AB=2BC=2CD=4,AD1PB.

(1)证明：平面。BD_L平面ABCD；

(2)若PB=PD，点E满足PE=2EC，且三棱锥E—A3D的体积为迪，求平面0AD与平面8DE的

3

夹角的余弦值.

453

22.在平面直角坐标系xOy中，动圆尸与圆。］：/+丁+2工—彳=0内切，且与圆G：x+V—2%+^=0外

切，记动圆P的圆心的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程；

(2)过椭圆C右焦点的直线/交椭圆于A8两点，交直线％=4于点。.且Q。：)，设直线QAQRQB的

4

k+k

斜率分别为左水2,%,若&WO,证明：六。为定值.

23.在cABC中，角ABC所对的边分别为a,b,c,且acos5=2ocosC-Zxx）sA.

（1）求C的值；

（2）若c=4,a+6=2j7,求ABC的面积.

24.已知正方形A3CD的边长为为等边三角形（如图1所示）.沿着A3折起，点P折起到点P的位

置，使得侧面248,底面A3CD."是棱AD的中点（如图2所示）.

图1图2

（1）求证：PC±BAf；

（2）求点C与平面PBAf的距离.

25.已知抛物线C:y2=2px经过点P（l,2）.过点2（0,1）的直线I与抛物线C有两个不同的交点A-8，且直

线Q4交y轴于M，直线交,轴于N.

（1）求直线/的斜率的取值范围；

_____.11

（2）设。为原点，QM=AQO,QN=juQO,求证：不+一为定值.

71〃

2023年12月6日高中数学练习答案

一、单选题

1.【答案】A【详解】%〃的,故存在实数X,使得4=4%,

62=—3r

y=1

即（—3,%2）=2（6,—2,z）,故4—2X=y,解得『•.y+z=l—4=—3.故选：A

--z=—4

Az=2I

2.【答案】B【详解】试题分析：两焦点分别为：（2,0）,（—2,0）.

根据椭圆的定义：P到两焦点耳,F2的距离之和等于4x2=8,

又因为P到两焦点耳，鸟的距离之差为2,可求得，尸到两焦点距离分别为5,3.

所以三角形边长分别为3,4,5.所以是直角三角形选B.

5

3.【答案】B【详解】设尸（羽y）,由4（—a,0）,&（a,0）,

2222yy_y2_Z?2_5

由?"一方二L所以％2一。2=_^_，可得上5•即4

x+ax-ax2-a1a14

所以5。2=4/=46-4），即92=42,所以《=2,所以离心率e=f=2.故选：B

'）cr4a2

2

4.【答案】B【详解】由＜，—'卜—）可得好—左2（》—Qy=i（x〉o）,

x2-y2=1（%＞0）

整理得到（1—左2）无2+20k2X-2左2—1=0在（0,+8）上有两个不同的根，

-2k2-1

>0

1-k2

故｛8/+4（-2）（242+1）〉。，解得左＜_1或左＞1,故直线的倾斜角的范围为:

-2瓜2

0

故选：B

5.【答案】D

【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可.

【详解】CG=CA+AG=CA+』AD=（8A—8。）+工（5£＞—8A）=（a—匕）+!（。一a）=」a—人+^c.故

22222

选：D.

6.【答案】A【详解】取。的中点E，连接ME,NE,CD「

因为M,E,P,。分别为DD1,CD,CQ,的中点,

所以皿石〃C2，PQ〃所以PQ〃加E，故NNM石为异面直线MN与PQ所成的角,

在正方体ABCD-中，由MN,E分别为DD,,AD,CD的中点,

则MN=ME=NE,即,MNE为等边三角形，所以/NME=60,即异面直线肱V与尸。所成的角大小等

6

于60.

故选：A

。2V2h1

7.【答案】A【详解】当1时，三+多=1,.・.》=±幺，

aba

(h2\(,2A(12\(,2A(12

所以A(一。,0),5c,—,Cc,---,0(0,0),则Af--一,OM=--—,OB=c,一

2la22a)

,c—ab

则OM〃OB，则------

2a

>x

8.【答案】c【详解】由题意可得G是圆心为(0,0)半径为1的圆，。2是圆心为(3,4)半径为1的圆，设A3

中点为AB=g,由垂径定理得OM=&M2—=J.在圆0：人+2=J_上,又

V424

\PA+PB\^2PM\=2PM,由图可知

(9濡=%2-1-；=后+42-；=](9L=。。2+1+；=*

.•.|。4+夕目的范围为[7,13].

故选：c

二、多选题

-127

9.【答案】BCD【详解】易知2a+6=(—1,2,7),显然一H—H—,故A错误；

-2—11

易知：同=J(—2)2+(—1)2+F=W=能2+42+52=50n5同=石问,故B正确;

7

易知5a+6b=(8,19,35)=>a,(5a+6b)=—2x8+(—l)xl9+lx35=0,故C正确；

a在人上的投影向量舒^"=[X（3,4,5）=1一3_2

W~5~2，故。正确.故选：BCD

10.【答案】ABC【详解】因为。为底面四边形A3C。对角线的交点,

所以。为AC的中点，由M是K4的中点，可得尸。〃

因为PC<Z在平面OMNQMu平面OMN，所以PC〃平面OMN,A正确;

同理可推得〃平面QWN,而PCcPD=P,所以平面PCD〃平面OMN,B正确;

因为PDu平面PCD，故PD不可能垂直平面OMN,D错误；

设该正四棱锥的棱长为。，则PA=PC=a,AC=、&,所以上4LPC,

因为PC〃MO,所以0Ml•PAC正确.故选ABC.

11.【答案】BD

x+2y-l=0

【分析】A选项，变形后得到<0八，求出定点；B选项，求出圆心到直线的距离，结合圆心和半

-x-y+3=0

径，数形结合得到有且仅有3个点符合题意；C选项，根据公切线条数得到两圆的位置关系，结合圆心距列

出不等式，求出答案；D选项，数形结合得到当0P取得最小值时，Q4取得最小值，利用点到直线距离公式

得到答案.

【详解】A选项，（加一1）X+（2加-l）y=m一3（机wR）变形得到加（％+2y-1）一工一丁+3=0,故

x+2y-l=0x=5

解得__2,所以恒过定点（5,—2），A表述正确;

-%-y+3=0

"一竹1=0的距离六%

B选项,圆必+产=2的圆心（0,0）到直线/:

因为圆好+产=2的半径为夜，

故圆f+,2=2上有且仅有3个点到直线/:x-y+1=0的距离都等于也,B表述错误;

-2

8

c选项，曲线G与02恰有四条公切线，故圆G与圆02相离，

其中必+丁2+21：=0变形为(x+iy+V=1,圆心为(一1,0),半径为1,

炉+丁―4x—8y+根=0变形为(x—2)2+(y—4)2=20—根，圆心为0,4),半径为而二^7,

故20—相>0,解得小<20,

故圆心距为J(2+l)2+4?=5,所以5>,20—m+1,

解得m>4,

则实数机的取值范围为4〈根<20,C表述正确；

D选项，圆。：炉+y2=2的圆心为0(0,0),半径为正,

圆心到直线x+y+2退=0的距离为^^=痴>J5,

A/1+I

故过点P向圆。引条切线K4,有「々+(0)2=。产，

所以当OP取得最小值时，Q4取得最小值，

OP的最小值为«,故以最小值为J(府—(0)2=工D表述错误.

故选：BD

22

12.【答案】BC【详解】解：对于A：若加=—1,则〃=1,原方程为工-匕=1,此时曲线C不存在，

-11

故A不正确；

2222

对于8：由己知得匕+匕=1,又加>0,〃<0,且机+7200,所以匕+匕=1表示椭圆，故B正确；

m-nm-n

对于c：若77M>0,则。是双曲线，但渐近线方程为y=±,故C正确；

Vm

22

对于。：由已知得匕+匕=1,又0<m<1,"<—1,所以—“>1,则曲线c是焦点在y轴上的椭圆，所以

m-n

〃2=-n,b2=m,c2=a2-b1=-n-m其离心率为e=1+—,故D不正确，故选：BC.

n

三、填空题

2

13.【答案】-【详解】该团的3辆自驾车在3个窗口等候的基本事件总数为33,

3个窗口各有1辆车在等候的事件含有A；个基本事件,

9

A372

所以每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率为p;=故答案为：一

3399

___22

14.【答案】8+业【详解】如图所示，由椭圆方程为C:土+乙=1,则月(―2,0),月(2,0),又点4(1,1),

1612

117

满足—।—=—<1,所以点A在椭圆内，

161248

由椭圆定义可知|尸周+|尸周=2=8,即归闾=8—|尸周，

所以|PE|+|PA|=8+|PA|—|P4|K8+|A与|=8+J(1+2)2+12=8+C，故答案为：8+V10.

15.【答案】126

【分析】根据展开式的通项公式表示出各部分中V的系数，然后利用组合数的性质进行求解.

【详解】因为(1+”的展开式的通项公式为=C；xLx『=c：x，，

所以(1+x)3+(1+x)4++(1+x)8的展开式中V的系数为：

C；+C：+C；+C：+C；+C；=C：+C；+C：+C：+C；+C；=C；=126.

故答案为：126.

22

16.【答案】9【详解】根据双曲线方程L—乙=1可得2a=4,c=4,

412

再由双曲线定义可得l|PB|—|P《ll=2a=4,解得归国=9或闾=1,

又因为归闾Nc—a=2,所以可得户闾=9.故答案为：9

四、解答题

17.［详解］⑴A3=a=(l,L0),AC=6=(—L0,2>cos6=^^=^^=噂.

\a\\b\,27510

(2)妨+6=左(1/,0)+(—1,0,2)=(左一1,左,2),抬一26=左(1,1,0)—2(—1,0,2)=(左+2,《T).

因为向量姐+b与必—2b互相垂直，所以(左一1)仕+2)+左2—8=0,即2左2+左—10=0,解得左=-g或

10

k=2.

18.【详解】（1）因为双曲线。的一条渐近线与直线％+2y=0垂直，且直线x+2y=0的斜率为-工，且双

2

b1bb

曲线。的渐近线为y=±—%,则-----=—1,可得一二2,

a2aa

所以，双曲线C的渐近线方程为丁=±2%,即2x±y=0,

因为右顶点（。,0）到该条渐近线的距离为乎，所以借=乎

解得a=l,所以6=2,所以双曲线C的方程为必一E=i.

4

（2）若直线轴，则A、8关于x轴对称，此时，线段A3的中点在x轴上，不合乎题意，

/玉-----_11

设A（%,％）1（乙,%），设直线/的斜率为左，贝"?，

'江=1

I-4

则—E^i=0,所以（西+々）（苞_々）_（%+%1%―%）=0,化简得无=

因为线段AB的中点为“（3,2）,所以西+々=6,%+%=4,

4

所以—•左=4,解得左=6,双曲线渐近线为'=±2%,直线斜率大于渐近线斜率，

6

故过点“（3,2）的直线与双曲线有两个交点.所以直线/的方程为6%-y-16=0.

—1—31

19.【详解】（1）解：线段的中点为C（2,l）,右B=----------=一，

—2—62

故线段AB的中垂线的方程为丁一1=一2（*-2）,即2x+y-5=0.

（2）解:由条件线段A3的中点为C（2,l）在直线上或线段A3所在直线与直线平行，

若线段A3的中点为C（2,l）在直线/上，则2a+l+l=2a+2=0,解得a=—1；

111

线段A3所在直线与直线/平行，则—。=左相=5,解得。=—5.综上所述，a=—1或-

20.【详解】（1）分两类：①甲参加3项救护活动，再从其余5人中选一人参加A,选法数为C；=5,

②甲不参加救护活动，则从其余5人中任选两人参加救护活动，选法数为A；=20,所以共有选法种数为

20+5=25；

（2）分三步：第一步先安排两名女性医护人员有：A〉第二步：安排两名女医护人员同去的男医护人员有:

11

A〉第三步：剩余两名男性医护人员去另外一地有：Cl，所以共有不同的分配方案数为：A；A：C；=72.

21.【详解】（1）-ZBCD=60,BC=CD=2,/.BCD为等边三角形，.•.AB=28。=4，

又四边形A3CD为梯形，AB//DC,则NAB。=60，根据余弦定理可知，在uWZ)中，

AD2=AB2+BD1-2AB-BDcosNABD=42+22-2x4x2xi=12根据勾股定理可知，

2

AD?+BD?=AB?，即

AD_LPB,PBcBD=B,PB,3。u平面PBD,r.AD_L平面PBD，又•.ADu平面ABCD,平面

PBDL平面ABCD；

(2)O为BD中点,PB=PD,:.PO±BD,

由(1)可知，平面PBD_L平面ABCD,

又平面PBDc平面ABCD=BD,P。u平面PBD，

..POL平面ABC。，

连接OC,则OCLBD,且OCu平面ABC。，

故P。，OC,PO，5Q,所以PO,8。,OC两两垂直.

以。为原点，以03为了轴正方向，以0。为y轴正方向，以OP为z轴正方向建立空间直角坐标系,

则A(-l,-273,0),B(1,0,0),C(0,73,0),D(-l,0,0),

设P(0,0j)且/〉0,=则E,由三棱锥£—A3。的体积为学得:

—X—x2x26x—=4真,所以7=6,

3233

PE=-PC,:.EO,—,2,DE=1,—,2,DB=(2,0,0),DC=(1,0),DP=(1,0,6),

3I3JI3)

ZM=2CO=(0,-260),

12

m-DP=a+6c=0

设平面PAD的一个法向量为加=（。,反c），贝1bl，令c=l，则5=。,〃=—6,故

m-DA=-2sj3b=0

m=(-6,0,1),

n-DB=2x=0

设平面3QE的一个法向量为〃=（九,％z）,贝卜2J3，令y=6，则x=0,z=-1,

n-DE=%H———y+2z=0

故〃=(o,G,—1).

\m-n\1A/37

所以平面PAD与平面5DE的夹角余弦值为：Icos（m,n）\=

|〃z||利J(—6『+1・J(G>+174,

22.【详解】（1）由己知圆C1可化为标准方程：（x+l）2+y2=（g）,即圆心G（—1,0）,半径,=g,

圆G可化为标准方程：（x—l）2+y2=（£|,即圆心。2（1,0），半径4=；＜彳,2。2|=2,经分析可得,

7

\PC\=r-R=--R

7ll

两式相加得，尸尸

R＜rx,则囚―4上万―R.由题意可知，＜IG|+|G]=4>|GG|=2,

\PC2\=R+r2=R+-

22

所以，点尸的轨迹为以4，。2为焦点的椭圆，可设方程为=+2=1（。〉6〉0），则

ab

22

122

2a=4,a=2,2c=2,c=l,b=a-c=3.所以，轨迹E的方程为土+乙=1.

43

（2）由题意直线AB的斜率一定存在，由（1）知，c=l,则椭圆的右焦点坐标为（1,0）,

3

设直线方程为：丁=左（％—1）,。坐标为（4,34）.所以族一2_七1，

——K-

-4-12

设人（%,%）,8（%,%）,将直线A3方程与椭圆方程联立得

(3+4左2)%2—8左?x+4左2—12=()△=(—8左2)2—4(4左2+3)(4左2—12)=144(k2+1>0,恒成立,

8左2

%+%2=--------2

由韦达定理知《:,且乂=人(菁-1),%=左(%2-1)，

4k—12

卒2=..“2

3+4左2

13

玉+%—2

则k]+k3

——

Xy—1%21Xy—1%212x1^2-(x1+x2)+l

8k2

3+4左2____________

4左2—128左2,

------57+1

3+4左23+4左2

【点睛】圆锥曲线中取值范围或者定值问题的求解策略：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造关系，从而确定参数的取值或者范围；

（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;

（3）利用隐含的关系建立不等式或者方程，从而求出参数的取值或者范围；

（4）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

23.【详解】（1）因为acos5+ZjcosA=2ocosC,

由正弦定理得，sinAcosB+sinBcosA=2sinCbosC,

又sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC,所以sinC=2sinCcosC,

1乃

又Ce（O,»）,所以sin。0。,故cosC=—,所以C=—

23

(2)由余弦定理得/=〃2+/-2〃bcosC=(〃+b)2-3。〃=28-3。〃=16,所以〃Z?=4,

故SABC=—absinC二百.

24.【详解】（［）如图，取A5中点O,连接OC交5M于£，

.A43为等边三角形，.•.尸OLAJ5,

14

又平面2钻，平面ABCD,POu平面PAB，平面BAB