四川省成都市师大一中学2023-2024学年九年级上册数学期末统考试题含解析

四川省成都市师大一中学2023-2024学年九上数学期末统考试题

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.反比例函数｝，=匕处的图象与直线y=-χ+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t的取值范围是（）

X

Illl

A∙t<-B.t>-C.t≤-D.t≥-

6666

2.如图，在矩形ABCD中（AD>AB）,点E是BC上一点，且DE=DA,AF±DE,垂足为点F,在下列结论中，不

一定正确的是（）

1

B.AF=-AD

2

C.AB=AFD.BE=AD-DF

3.以下五个图形中，是中心对称图形的共有（）

4.在平面直角坐标系中，。的直径为10,若圆心。为坐标原点，则点P（-8,6）与二。的位置关系是（）

A.点尸在。上B.点P在Oo外C.点尸在。内D.无法确定

5.如图，矩形。43C的OA边在X轴的正半轴上，点3的坐标为（4,2）,反比例函数V=A的图象经过矩形对角线的

X

交点尸，则Z的值是（）

B

A.8B.4C.2D.1

6.如果41,χ),8(3,%)两点都在反比例函数)，=」的图象上，那么X与丫2的大小关系是()

X

A.X<%B.y=J2C.J1>%D∙ʃi≥>2

7.在奔驰、宝马、丰田、三菱等汽车标志图形中，为中心对称图形的是()

3

8.对于反比例函数y=--,下列说法正确的有()

X

①图象经过点(1,-3)；

②图象分布在第二、四象限；

③当x>0时，y随X的增大而增大；

3.

④点A(x∣,y。、B(xι,yι)都在反比例函数y=的图象上，若XlVXι,则yι<yι.

X

A.1个B.1个C.3个D.4个

9.某细胞的直径约为(M)OOOO08米，该直径用科学记数法表示为()

A.8xl()7米B.8x10-7米c.8xl(f6米D.SOxIO」米

10.抛物线y=(X-I)2-2的顶点是()

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(1,2)D.(-1,-2)

二、填空题(每小题3分,共24分)

11.分式方1程——2=*的解是.

x-1X

12.高为8米的旗杆在水平地面上的影子长为6米，同一时刻测得附近一个建筑物的影子长30米，则此建筑物的高度

为米.

13.小亮测得一圆锥模型的底面直径为10cm,母线长为7c,”，那么它的侧面展开图的面积是cml.

14.如图，正方形网格中，5个阴影小正方形是一个正方体表面展开图的一部分.现从其余空白小正方形中任取一个

涂上阴影，则图中六个阴影小正方形能构成这个正方体的表面展开图的概率是.

15.已知点P是线段AB的一个黄金分割点，且AB=6cm,AP>BP,那么AP=cm.

16.边长为1的正方形ABC。，在BC边上取一动点E,连接AE,作所，AE,交CD边于点F,若CF的长为

17.某一时刻，测得一根高1.5m的竹竿在阳光下的影长为2.5m∙同时测得旗杆在阳光下的影长为30m,则旗杆的高为

__________m.

18.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A,B,C,。为格点（即小正方形的顶点），AB与Co相交于点。,

则AO的长为

□

一---1—--

AD

三、解答题（共66分）

3

19.QO分）如图，在aA5C中，NA为钝角，A5=25,AC=39,SinB=,求和BC的长.

20.（6分）如图，在一ABC中，AC=4,CD=2,BC=8,点D在BC边上,

⑴判断_ABC与一DAC是否相似?请说明理由.

⑵当AD=3时，求AB的长

21.（6分）一个不透明的口袋中装有4个分别标有数1,2,3,4的小球，它们的形状、大小完全相同，小红先从口

袋里随机摸出一个小球记下数为X,小颖在剩下的3个球中随机摸出一个小球记下数为y,这样确定了点P的坐标（x,

y）∙

(1)小红摸出标有数3的小球的概率是.

(2)请你用列表法或画树状图法表示出由X,y确定的点P(x,y)所有可能的结果.

(3)求点P(x,y)在函数y=-χ+5图象上的概率.

22.(8分)一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“香”、“校”、“园”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有

任何区别，每次摸球前先搅拌均匀.

(1)若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为多少？

(2)从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“书香”

的概率.

23.(8分)A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以

后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人.

(1)求两次传球后，球恰在B手中的概率；

(2)求三次传球后，球恰在A手中的概率.

24.(8分)已知关于X的一元二次方程χ2—(2m+3)x÷m2+2=0o

(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；

(2)若方程两实数根分别为％，X2,且满足X：+X；=31+X^2,求实数m的值。

25.(10分)如图1,过原点的抛物线与X轴交于另一点A,抛物线顶点C的坐标为(2,26)，其对称轴交X轴于点3.

(2)如图2,点。为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，求使ΔACD面积最大时点。的坐标;

图2

（3）在对称轴上是否存在点P,使得点A关于直线OP的对称点A满足以点。、A、C、A为顶点的四边形为菱

形.若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

26.（10分）每年九月开学前后是文具盒的销售旺季，商场专门设置了文具盒专柜李经理记录了15天的销售数量和销

售单价，其中销售单价y（元/个）与时间第X天（X为整数）的数量关系如图所示，日销量P（个）与时间第X天（X为整数）

^20%+180(l≤x≤9)

的函数关系式为：p=↑

-60x+900(9≤x≤15)

（1）直接写出>与X的函数关系式，并注明自变量X的取值范围;

（2）设日销售额为W（元），求W（元）关于X（天）的函数解析式;在这15天中，哪一天销售额W（元）达到最大，最大销售

额是多少元；

（3）由于需要进货成本和人员工资等各种开支，如果每天的营业额低于1800元，文具盒专柜将亏损，直接写出哪几天

文具盒专柜处于亏损状态

O\5IS

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)

1、B

【分析】将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中，整理得出χ2-2x+l-6t=0,又因两函数图象有两个交点，且

两交点横坐标的积为负数，根据根的判别式以及根与系数的关系可求解.

【详解】由题意可得：-x+2=U,

X

所以x?-2x+l-6t=0,

V两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，

.∫(∙-2)2-4(l-6r)>0

*,[l-6∕<0

解不等式组，得t>,∙

6

故选：B.

点睛：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是利用两个函数的解析式构成方程，再利用一元二次

方程的根与系数的关系求解.

2、B

【解析】A.由矩形ABa),AFJ_OE可得/ONAF庆90°,AD//BC,.∖NAOF=NOEC.

又：OE=AO,：.∆AFD^ADCE(AAS),故A正确；

B.∙.∙NAO尸不一定等于30°,.∙.直角三角形AOF中，A尸不一定等于AO的一半，故B错误；

C.由aAF7)gZ∖OCE,可得Af=CQ,由矩形A8CO,可得48=。，：.AB=AF,故C正确；

D.由AAFOgZkOCE,可得CE=DF,由矩形A5C。，可得3C=AO,又YBE=BC-EC,'BE=AD-DF,故D正确；

故选B.

3、B

【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么

这个图形就叫做中心对称图形，进行判断.

【详解】解：从左起第2、4、5个图形是中心对称图形.

故选：B.

【点睛】

本题考查了中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图

形就叫做中心对称图形.

4、B

【分析】求出P点到圆心的距离，即OP长，与半径长度5作比较即可作出判断.

【详解】解：•••「(—8,6),

,OP=JG+6?—10,

V0的直径为10,

：.r=5,

VOP>5,

.∙.点P在。外.

故选：B.

【点睛】

本题考查点和直线的位置关系，当d>r时点在圆外，当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内,解题关键是根据点到

圆心的距离和半径的关系判断.

5、C

【分析】根据矩形的性质求出点P的坐标，将点P的坐标代入y=A中，求出A的值即可.

X

【详解】∙.∙点P是矩形。钻。的对角线的交点，点B的坐标为(4,2)

.∙.点p(2,l)

将点P(2,l)代入)，=人中

X

1J

2

解得Z=2

故答案为：C.

【点睛】

本题考查了矩形的性质以及反比例函数的性质，掌握代入求值法求出〃的值是解题的关键.

6、C

【分析】直接把点A(byι),B(3,y∣)两点代入反比例函数.v='中，求出y∣与y∣的值，再比较其大小即可.

X

【详解】解：∖∙A(1,y,),B(3,yι)两点都在反比例函数y=」的图象上；

X

,1

∙'∙y=L必=；

∙*∙yι›yι-

故选：c.

【点睛】

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此

题的关键.

7、B

【解析】试题分析：根据中心对称图形的概念，A、C、D都不是中心对称图形，是中心对称图形的只有B.

故选B.

考点：中心对称图形

8、C

【解析】根据反比例函数的性质判断即可.

3

【详解】解：①V将x=l代入y=∙y=--得，y=-3

X

.∙.图象经过点(1,-3)；

②③∙.∙k=-3,图象分布在第二、四象限，在每个分支上，y随X的增大而增大；

④若点A在第二象限，点B在第四象限，则yι>yι.

由此可得①②③正确，

故选：C.

【点睛】

本题考查的是反比例函数的性质，理解熟记其性质是解决本题的关键.

9、B

【分析】根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为αxl(Γ"且(l≤∣α∣≤10),与较大数的科学

记数法不同的是其所使用的是负指数募，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】解：根据科学计数法得：

0.0000008=8×10^7.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查科学计数法，熟记科学计数法的一般形式是“xl(T"且(l≤∣α∣≤10)是关键，注意负指数幕的书写规则是

由原数左边第一个不为零的数字开始数起.

10、A

【分析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标即可解决.

【详解】解：∙.∙y=(X-I)2-2是抛物线解析式的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(L-2).

故选：A.

【点睛】

本题考查了顶点式，解决本题的关键是正确理解二次函数顶点式中顶点坐标的表示方法.

二、填空题(每小题3分,共24分)

11、X=2

【分析】等式两边同时乘以X(X-1),再移项即可求解.

【详解】—1=W2

X-1X

等式两边同时乘以X(X-I)得：x=2x-2

移项得：X=2,

经检验，x=2是方程的解.

故答案为：X=2.

【点睛】

本题考查了解分式方程的问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键.

12、40

【分析】根据投影的实际应用，在同一时刻太阳光线平行，不同物体的实际高度与影长之比相等建立方程，可求出答

案.

【详解】解：设建筑物的的高为X米，可得方程：

—ɪ—，解得：x=40

630

答：此建筑物的高度为40米.

故答案是：40.

【点睛】

本题主要考察投影中的实际应用，正确理解相似三角形在平行投影中的应用是解题的关键.

13、35π.

【解析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式S=LIr即可求解.

2

【详解】底面周长是：10κ,

则侧面展开图的面积是：—×10π×7=35πcml.

2

故答案是：35π.

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长

是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.

【分析】首先确定所求的阴影小正方形可能的位置总数目，除以剩余空白部分的正方形的面积个数即为所求的概率.

【详解】解：从阴影下边的四个小正方形中任选一个，就可以构成正方体的表面展开图，

4

.∙.能构成这个正方体的表面展开图的概率是一.

7

4

故答案为：

【点睛】

本题将概率的求解设置于正方体的表面展开图中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械

计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性.用到的知识点为：概率=

相应的面积与总面积之比；“一，四，一”组合类型的6个正方形能组成正方体.

15、3√5-3

【分析】根据黄金分割的概念得到AP=避二IAB,把A3=6cm代入计算即可.

2

【详解】YP是线段AB的黄金分割点，AP>BP

：.==!-=3√5-3

22

故答案为3君-3∙

【点睛】

本题考查了黄金分割点的应用，理解黄金分割点的比例并会运算是解题的关键.

1T3

16、一或一

44

【分析】根据正方形的内角为90°,以及同角的余角相等得出三角形的两个角相等，从而推知AABEsZiECF,得出

^EE=左，代入数值得到关于CE的一元二次方程，求解即可.

【详解】解：∙.∙正方形ABCD,

二NB=NC,ZBAE+ZBEA=90o,

VEF±AE,

.∙.NBEA+NCEF=90°,

ΛZBAE=ZCEF,

Λ∆ABE^>∆ECF,

.ABBE

"~CE~~CF'

1I-CE

F=^T^'

16

.∙.16CE2-16CE+3=O,

13

解得，CE=-^-.

13

故答案为：火.

【点睛】

考查了四边形综合题型，需要掌握三角形相似的判定与性质，正方形的性质以及一元二次方程的应用，解题的关键是

根据相似三角形得出一元二次方程，难度不大.

17、1.

【解析】分析：根据同一时刻物高与影长成比例，列出比例式再代入数据计算即可.

桂螃..竹竿的高度旗杆的高度∙L5旗杆的高度副俎施轩的高府L5χ"∣

详解：.竹竿的影长福杆的国'∙∙ΞΓ3。‘解得：旗杆的高度=不*3。=1.

故答案为L

点睛：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方

程，建立数学模型来解决问题.

18、巫

9

【分析】如图所示，由网格的特点易得ACEFg2λO5R从而可得BF的长，易证△£?OfSZVioz),从而可得AO与

45的关系，然后根据勾股定理可求出A8的长，进而可得答案.

【详解】解：如图所示，YNCEB=NDBF=90°,NCFE=NDFB,CE=DB=I,

：.ACEF义ADBF,

II

：.BF=EF=-BE=—,

22

`:BF//AD,

：.ABOFsAAOD,

ɪ

：.BOgF2.1>

AO^AB^7^8

O

：.AO=-AB,

9

,∙*AB=JI2+42=后,

・“18√I7

.∙AO=-------

9

故答案为：誓

【点睛】

本题以网格为载体，考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型,

熟练掌握上述基本知识是解答的关键.

三、解答题（共66分）

5

19、tanC=—；BC=I

12

【分析】过点A作ADj_BC于D,根据已知条件可得出AD,再利用勾股定理得出CD,进而得出tanC；⅛Rt∆ABD

中，利用勾股定理求出BD=8,结合CD的长度，即可得出BC的长.

【详解】解：过点A作ADLBC于D,

3

在RtZ∖ABD中，AB=25,sinB=->

ΛAD=AB∙SinB=15,

在Rt∆ACD中，由勾股定理得CD2=AC2-AD2,

ΛCD2=392-152,ΛCD=36,

AD5

tanC=——

CD12

在Rt△ABD中，AB=25,AD=15,

，由勾股定理得BD=20,

ΛBC=BD+CD=1.

【点睛】

本题考查了解直角三角形以及勾股定理，要熟练掌握好边角之间的关系.

20、(1)CADCBA,见解析；(2)AB=G

【分析】(1)由次=q=2,J∣J=J=2可得票=雪以及NC=NC可证CBAi

(2)由_。山.CBA可得42=生=2,即可求出AB的长.

ABAC

【详解】解：(1)ΛCAD-CBA理由如下：

VAC=4,CD=2,BC=8,

AC4cBC8-

二——=一=2,——=-=2,

CD2AC4

.ACBC

••=9

CDAC

XVZC=ZC,

ΛCADCBA,

(2)VCAD_CBA,

.ABBC”

••--=---Zj

ADAC

：.AB=2AD=6；

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定及运用，掌握相似三角形的判定及运用是解题的关键.

21、(I)L；(2)共12种情况；(3)L

43

【分析】(1)根据概率公式求解；

(2)利用树状图展示所有12种等可能的结果数；

(3)利用一次函数图象上点的坐标特征得到在函数y=-x+5的图象上的结果数，然后根据概率公式求解.

【详解】解:

(1)小红摸出标有数3的小球的概率是1；

(2)列表或树状图略：

ɪ234

/N/N

134124-3

由列表或画树状图可知,P点的坐标可能是(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,3),

(2,4)(3,1)(3,2)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)共12种情况，

(3)共有12种可能的结果,其中在函数y=-χ+5的图象上的有4种,即(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)

41

所以点P(x,y)在函数y=r+5图象上的概率=F=

【点睛】

本题考查的是概率，熟练掌握列表或画树状图是解题的关键.

22、(1)—；(2)—

46

【分析】(1)写有“书”的小球只有1个，所以球上的汉字刚好是“书”的概率为L

4

(2)画出树状图，然后找出取出两个球的汉字能组成“书香”的个数，用组成“书香”的个数比总数即为所求的概率.

【详解】(1)写有，，书，，的小球只有1个，所以从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为L；

(2)画树状图为:

共有12种等可能的结果数，其中取出的两个球上的汉字能组成“书香”的结果数为2,所以P(取出的两个球上的汉字

21

能组成“书香”)=—=-

126

【点睛】

本题主要考查用树状图或列表法求随机事件的概率，画出树状图是解题的关键，再用所求情况数与总数之比求概率即

可.

23、(1)一；(2)一.

44

【解析】试题分析：(1)直接列举出两次传球的所有结果，球球恰在B手中的结果只有一种即可求概率；(2)画出树

状图，表示出三次传球的所有结果，三次传球后，球恰在A手中的结果有2种，即可求出三次传球后，球恰在A手中

的概率.

试题解析：

解：(1)两次传球的所有结果有4种，分别是ATBTC,A→B→A,A→C→B,A→C→A.每种结果发生的可能性

相等，球球恰在B手中的结果只有一种，所以两次传球后，球恰在B手中的概率是L；

4

(2)树状图如下，

A

…第一次A∕∖CAZB\

Ittr,/∖/\/\八

第二次BCABBCAC

由树状图可知，三次传球的所有结果有8种，每种结果发生的可能性相等.其中，三次传球后，球恰在A手中的结果

21

有ATBTCTA,ATcTBTA这两种，所以三次传球后，球恰在A手中的概率是大=:.

84

考点：用列举法求概率.

24、(1)m≥-ɪ；(1)1

12

【分析】(1)根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；

(1)利用根与系数的关系可得出X1+X1=Im+3,Xι∙xι=m'+1,结合xj+xj=31+xιxι即可得出关于m的一元二次方程，

解之即可得出m的值.

【详解】解:(1)•••方程Xl-(lm+3)x+m∣+l=O有实数根，

.*.Δ=[-(1m+3)]1-4(m'+l)=llm+l>O,

解得：m≥——.

12

(1)：方程XL(lm+3)x+m∣+l=0的两个根分别为xi、xι,

：•xι+xι=lm+3,xι∙xι=m1+l,

VX11+X11=31+X1X1,

.∙.(X1+X1)1-1X1∙XJ=31+X1X1,

BPm,+llm-18=0,

解得：mι=l,mι=-14(舍去)，

，实数m的值为1.

【点睛】

本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握当一元二次方程有实数根时根的判别式AK)是解题的关键.

2

25、（1）y=-^χ+2√3χi（2）O（3,J；（3）点P的坐标为（2,2百）或

【分析】（1）设出抛物线的顶点式，将顶点C的坐标和原点坐标代入即可；

（2）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求出AC的解析式，过点。作。尸〃），轴交AC于点尸，设

Dm,-^zn2+2√3m^,贝∣JE（m,一厨+46），然后利用“铅垂高，水平宽”即可求出ΔACD面积与m的关系

式，利用二次函数求最值，即可求出此时点D的坐标；

（3）先证出Δ4OC为等边三角形，然后根据P点的位置和菱形的顶点顺序分类讨论：①当点P与点C重合时，易证:

四边形AC4'O是菱形，即可求出此时点P的坐标；②作点C关于X轴的对称点C',当点4与点C'重合时，易证：

四边形OC4A是菱形，先求出NBOP=30。，再根据锐角三角函数即可求出BP,从而求出此时点P的坐标.

【详解】（1）解：设抛物线解析式为y=α（x-∕z）2+Z:,（α≠0）

∙.∙顶点C（2,26）

.∙.y=a（x-2『+2G

又;图象过原点

.”（0—2）2+26=0解出：a=--

∙'∙y=一半(X-2)2+25∕3即y=----x2+2>∕3Λ

(2)令y=0,即—正f+2A=0,解出：Xl=O或/=4

2

.∙.A(4,0)

设直线AC的解析式为y=kx+b

将点A（4,0）,。（2,2百）的坐标代入，可得

'Q=4k+b

2>∕3=2k+h

k=—ʌ/ɜ

解得：<

⅛=4√3

∙*∙AC∖y=-s/ix+4y∕3

过点D作DFHy轴交AC于点F，

设£)m,------in2+2∖∣3m,则Z7(加,一6根+4-73)

I2)

:∙DF=-~m2+2>∕3m+y∣3m-4Λ∕3=-∙^-^m2-61%+8)

Fe=)∙(4-2)

.∙.当机=3时，SMCD有最大值

当m=3时，y=-^-×32+ðʌ/ɜ=-∖β

22

O

(3)VZCBO=ZCBA=909OB=AB=2,BC=2√3

ʌOC=AC=√BC2+OB2=4

.*.OA=OC=AC=4

.∙.Δ4OC为等边三角形

①当点尸与点C重合时，Q4=AC=C4'=Q4'

.∙.四边形AC4'O是菱形

：.∕J(2,2√3)

②作点C关于X轴的对称点C',当点4与点C重合时,

...四边形OC4A是菱形

.∙.点尸是NAOq的角平分线与对称轴的交点,

ΛZBOP=-AAOA'=30°,

2

VZOBP=90o,OB=I.

2√3

在Rt△OBP中，BP=OB・tanNBOP~Γ

.∙.P2,-

综上所述，点P的坐标为（2,26）或2,一竿）

【点睛】

此题考查的是二次函数与图形的综合大题，掌握用待定系数法求二次函数的解析式、