2023-2024届新高考一轮复习人教A版 第十章 第二讲　排列与组合 学案

第二讲排列与组合

•双基自测

知识梳理

知识点一排列与排列数

(1)排列的定义：从〃个一不同一元素中取出(加个元素,并按照一定的_

顺序排成一列,叫做从"个不同元素中取出〃，个元素的一个排列.

(2)排列数的定义：从〃个不同元素中取出""m≤m个元素的.所有不同排列

_的个数叫做从〃个不同元素中取出机个元素的排列数，用符号表示.

(3)排列数公式：A»=〃1)(〃一2)…(〃一加+l)(∕w,〃£N",且mW“).

(4)全排列:〃个不同元素全部取出的一个排列，叫做〃个元素的一个全排列，

A；；=〃X(〃-1)X(〃-2)X…X2Xl=H一.排列数公式写成阶乘的形式为A；；,=

∕z!

7----L-^Γ^,这里规定O!=_1一.

∖∏-m)!

知识点二组合与组合数

(1)组合的定义：一般地，从〃个一不同一元素中取出"”m≤m个元素.作为一

组一，叫做从〃个不同元素中取出〃Z个元素的一个组合.

(2)组合数的定义：从〃个不同元素中取出〃”加Wm个元素的所有不同组合

_的个数，叫做从〃个不同元素中取出，"个元素的组合数，用符号表示.

,r人w,八I、A；?nɪ〃(题一…(〃—m+1)

(3)组合数的计算公式：C,=⅛=————-------——卜」-------l,

这里规定Cθ=1.

(4)组合数的性质：①CT=-CF5-;②c%∣=0-+KF1-.

注：应用公式化简、求值、解方程、解不等式时，注意AKC9中的隐含条

件且机，〃GN*.

归纳拓展

对于有附加条件的排列'组合应用题，通常从三个途径考虑

(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.

(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.

(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数

或组合数.

双基自测

题组一走出误区

1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）所有元素完全相同的两个排列为相同排列∙（X）

（2）一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.（义）

（3）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.（√）

（4）5+1）!—〃！=〃•〃！.（＞/）

（5）若组合式CAC?,贝UX=加成立.（×）

（6）M="CM.（√）

题组二走进教材

2.（选择性必修3P38T3（2）改编）某班一天上午有4节课，下午有2节课，安

排语文、数学、政治、英语、体育、艺术每科一节，要求数学排在上午，体育不

排上午第一节和下午第二节，则不同的安排种数是

［解析］上午第一节排数学有4A4=96种排法；

上午第一节不排数学有3X3A4=216种排法，

/.不同的排法共有96+216=312种排法.

题组三走向高考

3.（2018∙新课标I）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少

有1位女生入选，则不同的选法共有1色种.（用数字填写答案）

［解析］解法一：从2位女生，4位男生中选3人，且至少有1位女生入选

的情况有以下2种：①2女1男：有C支J=4种选法；②1女2男：有CJei=I2

种选法，故至少有1位女生入选的选法有4+12=16种.

解法二：从2位女生，4位男生中选3人有Cg=20种选法，其中选出的3

人都是男生的选法有Cl=A种，所以至少有1位女生入选的选法有20-4=16

种.

4.（2020∙新高考Il卷）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能

选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（C）

A.2种B.3种

C.6种D.8种

［解析］解法一：将3名学生A、B、C分成两组有A3、C,AC,B,A、BC,3

种方法，再将两组学生1、2分到甲、乙两村有甲1乙2、甲2乙1,2种方法，故

共有2X3=6种安排方法.故选C.

解法二：安排方法共有CJGA3=6种，故选C.

5.（2022•新高考Il卷）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇

演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（B）

A.12种B.24种

C.36种D.48种

［解析］先将丙和丁捆在一起有A芬中排列方式，然后将其与乙、戊排列，有

Ag种排列方式，最后将甲插入中间两空，有G种排列方式，所以不同的排列方

式共有A%dC=24种，故选B.

•互动探究

考点一排列问题——自主练透

H►■例1（］）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法

总数，分别为：

①选其中5人排成一排；2520

②排成前后两排，前排3人，后排4人；5040

③全体排一排，排头只能站甲或乙，排尾不能站甲；1320

④全体排成一排，女生必须站在一起；576

⑤全体排成一排，男生互不相邻；1440

⑥全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；720

⑦全体排成一排，甲必须排在乙前面；2520

⑧全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端.3720

（2）（2023•山东“学情空间”教研共同体联考）随着北京冬奥会的开幕，吉祥物

“冰墩墩”火遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁4

位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有2个“冰墩墩”

相邻的排队方法数为（B）

A.240B.480

C.1440D.2880

［解析］（1）①从7人中选5人来排，是排列,

有A3=7X6X5X4X3=252O（种）.

②分两步完成，先选3人排在前排，有A彳种方法，余下4人排在后排，有

A才种方法，故共有A%A才=5040（种）.事实上，本小题即为7人排成一排的全排

列，无任何限制条件.

③（特殊元素优先法）甲站排头有Ag种排法；乙站排头有CgAg种排法，故共

有M+C⅛Ag=l320种排法.

④（捆绑法）将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有Aa种方

法，再将4名女生进行全排列，也有A才种方法，故共有A才XA才=576种.

⑤（插空法）男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有Ai种方法,

再在女生之间及首尾空出5个空位中任选3个空位排男生，有Ag种方法，故共

有A才XAg=I440种.

⑥把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人，有A3种方

法；第二步从余下5人中选3人排在甲、乙中间，有Ag种；第三步把这个整体

与余下2人进行全排列，有用种方法.故共有A5∙Ag∙AW=72O种.

AZ

⑦消序法：十=2520种.

⑧间接法：A彳-2A9+Ag=3720种.

位置分析法：分甲在右端与不在右端两类.

甲在右端的排法有Ag（种）排法，

甲不在右端的排法有5X5Ag（种）排法，

；•共有Ag+25Ag=3720（种）.

（2）因为3个“冰墩墩”完全相同，将其中2个“冰墩墩”捆绑,记为元素α,

另外1个“冰墩墩”记为元素儿先将甲、乙、丙、丁4位运动员全排，然后将

久万元素插入这4位运动员所形成的空中，且。、b元素不相邻，则不同的排法

种数为A执g=480.故选B.

［引申］本例中7人排一排，①甲站中间的站法有处—种；②甲、乙相邻且

丙不站排头和排尾的站法有960种:③甲、乙相邻且都与丙不相邻的站法有

960种.

［解析］①A认《=720；或Ag=720;

②A认IAg=960；

③AgA执g=960.

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解决排列、组合问题的十种技巧

(1)特殊元素优先安排.

(2)合理分类与准确分步.

(3)排列、组合混合问题要先选后排.

(4)相邻问题捆绑处理.

(5)不相邻问题插空处理.

(6)定序问题倍缩法处理.

(7)分排问题直排处理.

(8)“小集团”排列问题先整体后局部.

(9)构造模型.

(10)正难则反，等价转化.

〔变式训练1〕

(l)(2023∙云南师大附中月考)成语“五音不全”中的五音指古乐的五声音阶:

宫、商、角、徵、羽，是中国古乐基本音阶.把这五个音阶排成一列，形成一个

音序.满足“徵”“羽”两音阶相邻且在“宫”音阶之前的不同音序的种数为

24.(用数字作答)

(2)(2022∙辽宁沈阳市郊联合体期末)电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋

斗、为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片

于2020年09月25日正式上映，在《夺冠》上映当天，一对夫妇带着他们的两

个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全

起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是16.

［解析］(1)把“徵”“羽"看成一个“合体”元素和其余3个音阶共4个元

素有A才种不同排法，又“宫”在“合体”元素前、后各占去故不同音序的种数

为1执3=24.

(2)根据题意，将两名家长、孩子全排列，有Af=24种排法，其中两个孩子

相邻且在两端的情况有A3A3AM=8种，则每个小孩子要有家长相邻陪坐的排法

有24—8=16种，故答案为16.

考点二组合问题——师生共研

2■例2(1)(多选题)(2023∙吉林东北师大附中开学考)某学生在物理、化学、

生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正

确的是(ABC)

A.若任意选择三门课程，选法总数为C3

B.若物理和化学至少选一门，选法总数为C3R+GQ⅛

C.若物理和历史不能同时选，选法总数为C夕一eg

D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为ClCg

—eg

(2)(2022.江苏南通质检)我国进入双航母时代,航母编队的要求是每艘航母配

2〜3艘驱逐舰，1〜2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组

建航母编队，则不同的组建方法种数为(D)

A.30B.60

C.90D.120

［解析］(1)若任意选择三门课程，选法总数为C芬中，A正确；若物理和化学

选一门，有CJ种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有Cg种选法，若物理

和化学选两门，有CS种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有Cg种选法，

由分步乘法计数原理知，总数为αcg+Gc!种选法，故B正确；若物理和历史

不能同时选，选法总数为CM—Cg种，故C正确；若物理和化学至少

选一门，有3种情况，①只选物理不选化学且物理和历史不同时选，有ClCi种

选法；②选化学，不选物理，有CICg种选法；③物理与化学都选，有c2c3种选

法，故选法总数为C∣d+C∣Cg+CKU=6+10+4=20,而CJeg—Cg=15,故D

错误.故选ABC.

(2)有两种情况，①一艘航母配2艘驱逐舰和1艘核潜艇，另一艘航母配3

艘驱逐舰和2艘核潜艇，②一艘航母配2艘驱逐舰和2艘核潜艇，另一艘航母配

3艘驱逐舰和1艘核潜艇，Ci∙(C5d+Csd)=120,故选D.

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组合问题常有以下两类题型变化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素

取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中

去选取.

(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视

“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法

都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.

〔变式训I练2〕

(1)楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走

安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为(A)

A.10B.15

C.20D.24

(2)(2023.广东摸底)“全员检测，阻断清零”的新冠防疫政策，使得我国成为

全球最安全的国家.现某处需要三组全民核酸检测人员，其中有3名医生和6

名社会志愿者组成，每组人员由1名医生和2名志愿者组成.根据需要，志愿者

甲与乙要分配在同一组，则这9名检测人员分组方法种数为18.

［解析］(1)问题等价于将这3盏关着的灯插入4盏亮着的灯形成的5个空档

中，所以关灯方案共有Cg=Io种.

⑵C*k=18(种).

考点三排列'组合的综合应用——多维探究

角度1相邻`相间问题

►►・例3(l)(2023∙湖南长沙一中月考)《红海行动》是一部现代海军题材影

片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事.撤侨过程中，

海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点

任务A必须排在前三位，且任务E,b必须排在一起，则这六项任务的不同安排

方案共有(D)

A.240种B.188种

C.156种D.120种

(2)(2022.湖南师范大学附属中学模拟)某班上午有五节课，分别安排语文、数

学、英语、物理、化学各一节课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且

数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是(A)

A.16B.24

C.8D.12

［解析］（1）①当A在首位，E、JF捆绑，自由排列，共有A3XA9=48种；②

当A在第二位，首位不能是E和凡共有3XA5XA9=36种；③当A在第三位，

前两位分为是以尸和不是£、尸两种情况，共A3XAW+A*XA3XA2=36种，

因此共有48+36+36=120种.

（2）根据题意，分三步进行分析，①要求语文与化学相邻，将语文和化学看

成一个整体，考虑其顺序，有A3=2（种）情况；②将这个整体与英语全排列，有

A%=2（种）情况，排好后，有3个空位；③数学课不排第一节，有2个空位可选，

在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方

法有2X2=4（种），则不同排课方案的种数是2X2X4=16,故选A.

［引申］本例⑴中,若将“E、一必须排在一起”改为“E、尸不相邻”，则应

填240.

［解析］A排第一位有AUi=72种，A排第二位有ClAHCiAU^=84种；

A排第三位有ααA5Ag+AgAg=84种，故应填72+84+84=240.

角度2特殊元素（位置）问题

2・例4（1）（2022・重庆模拟）从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、

化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（D）

A.48B.72

C.90D.96

（2）（2022.山东质检）高三一班周一上午有四节课，分别安排语文、数学、英语

和体育.其中语文不安排在第一节,数学不安排在第二节,英语不安排在第三节，

体育不安排在第四节，则不同的课表安排方法共有9种.

［解析］（1）由于甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场竞赛或甲不参加

任何竞赛.

①当甲参加另外3场竞赛时，共有C%A∣=72（种）选择方案；

②当甲学生不参加任何竞赛时，共有A∣=24（种）选择方案.

综上所述，所有参赛方案有72+24=96（种）或Ag—Al=96（种）.

（2）由于四个元素都有特殊要求，不宜从排列、组合数公式入手，列表法为

佳，

如：第一节第二节第三节第四节

语文——体育——英语

数学〈英语一体育一语文

'体育——语文一英语

同理第一节排英语、体育也都有3种排法，故共有9种排法.

［引申］本例(1)若增加“且乙不参加数学竞赛”，则不同的参赛方法种数为

78.

［解析］①甲、乙都参赛有C*(A?+ClGA3)=42种方案；②甲参赛乙不参赛

或乙参赛甲不参赛均有Awa=I8种方案，,共有42+18+18=78种参赛方案.

角度3分配问题

A■■例5(1)按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？

将答案填在对应横线上.

①分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；60

②甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；360

③平均分成三份，每份2本；15

④平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；90

⑤分成三份，1份4本，另外两份每份1本；15

⑥甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；90

⑦甲得1本，乙得1本，丙得4本.30

(2)①8个相同的小球放入5个不同盒子中，每盒不空的放法共有35种.

②15个小球完全相同，放入编号依次为1,2,3的三个不同盒子中，若每个盒

子内的小球数不少于盒子的编号，则不同放法有55种.

(3)(2023•安徽皖江名校联考)某小区因疫情需求,物业把招募的5名志愿者分

配到3处核酸采样点，每处采样点至少分配一名，则不同的分配方法共有(A)

A.150种B.180种

C.200种D.280种

(4)(2023•甘肃兰州西北中学期中)某地举办高中数学竞赛，已知某校有20个

参赛名额，现将这20个参赛名额分配给A,B,C,。四个班，其中1个班分配

4个参赛名额，剩下的3个班都有参赛名额，则不同的分配方案有420种.

［解析］（1）①CAeWC§=60；②CAegCgAW=360；③Cf2=5④Cr?ɑ=

90；⑤Cg=15；⑥CgAW=90；⑦CgC2=30.

（2）①一共有8个相同的小球，放入5个不同的盒子，每个盒子不空，即将

小球分成5份，每份至少1个.（定份数）

将8个小球摆放一列，形成9个空，中间有7个空，（定空位）

则只需在这7个空中插入4个隔板，隔板不同的放法有G=G=若曰=

ɔʌZʌ1

35（种）（插隔板）

所以每盒不空的放法共有35种.

②先将2号盒内放一个球，3号盒内放2个小球，还剩余12个小球，用隔

板法将12个小球分成3组，每组至少1个小球，共有C%=55种分法，亦即有

55种不同放法.

（3）先将5人分组，可能情况有1,2,2人与1,1,3人两种情况.

①分成1,2,2人的所有情况共笔F=I5种情况；

②分成1,1,3人的所有情况共Cg=IO种情况；

再将分好的组分配到3处核酸采样点，共（15+10）XA§=150种情况.故选

A.

（4）第一步，确定分配有4个名额的班，共有4种，第二步，利用隔板法，

剩余16个参赛名额的分配方式有C彳5=105种则不同的分配方案有4X105=420.

名帅点披MINGSHIDIANBO

解排列组合综合问题的方法

先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问

题只需三步即可完成.

第一步：选元素，即选出符合条件的元素；

第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列；

第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法

总数.

注意：（1）均匀分组时要除以均匀组数的阶乘；（2）相同元素的分配问题常用

“隔板法”.

隔板法的解题步骤

①定个数：确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量.

②定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数.

③插隔板：确定需要的隔板个数，根据组数要求，插入隔板，利用组合数求

解不同的分法种数.

④回顾反思：隔板法的关键在于准确确定空位个数以及需要的隔板个数，使

用这种方法需要注意两个方面的问题：一是要根据题意确定能否转化为“每组至

少一个”的问题，以便确定能否利用隔板法；二是要注意准确确定空位数以及需

要的隔板数，一般来说，两端不能插隔板.

〔变式训练3〕

（1）（角度1）（2022.北京通州期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”

合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体

育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六

艺”讲座活动,每周安排一次讲座,共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，

“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（A）

A.408种B.240种

C.192种D.120种

（2）（角度2）（2022∙西南四省名校联考）某校为庆祝建党一百周年，要安排一场

共11个节目的文艺晚会，除第1个节目和最后一个节目已经确定外，3个音乐

节目要求排在2,6,9的位置，3个舞蹈节目必须相邻，3个曲艺节目没有要求，共

有不同的演出顺序多少种（C）

A.144B.192

C.216D.324

（3）（角度3）（2023•陕西宝鸡陈仓中学质检）我国棉田面积在40万公顷以上有7

个省份，分别为新疆、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽.现有5名党员同

志准备分别前往新疆、湖北、山东这三个地方考察,每个地方至少安排1名同志，

则不同的安排方案种数是150种.

［解析］（1）解法一：将六艺全排列，有AE种，当“射”排在第一次有Ag种，

“数”和“乐”两次相邻的情况有A3Ag种,“射”排在第一次且“数”和“乐”

两次相邻的情况有AaA才种，所以“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相

邻的排法有Ag-Ag-A认W+A3A3=408种，故选A.

解法二："数''或"乐”排在第一次有CjcIAa=192种排法；“数”和“乐”

都不排第一次有CJA3A2=216种排法；，共有192+216=408种不同的排法.故

选A.

(2)①先排3个音乐节目有Ah÷排法，共6种排法；

②再排3个舞蹈节目只能排3、4、5位置，共6种排法；

③再排3个曲艺节目，共6种排法；

，由分步乘法记数原理有6×6×6=216种排法.故选C.

(3)5人分成3组，各组人数有1,1,3或1,2,2两类，

当各组人数为1,1,3时，不同的安排方案有重等LM=60种，

当各组人数为1,2,2时，不同的安排方案有券@-AW=90种，

所以，不同的安排方案有150种.

排列组合的其他题型及解法

1.限制条件的分配问题分类法：

A例6(2022•湖南三湘名校联盟联考)2020年4月22日是第51个世界地

球日，今年的活动主题是“珍爱地球，人与自然和谐共生”.某校5名大学生到

A,B,C三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个小区宣传.若

甲、乙要求去同一个小区且不去A小区，则不同的安排方案共有(B)

A.20种