2024届北京市第三十一中学九年级上册数学期末经典模拟试题含解析

2024届北京市第三十一中学九上数学期末经典模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.某同学推铅球，铅球出手高度是出手后铅球运行高度y（/n）与水平距离X（，”）之间的函数表达式为

y=4（x-4）2+3,则该同学推铅球的成绩为（）

A.9mB.10/wC.IlmD.12m

2.如图，PA,PB分别与OO相切于A、B两点，点C为。O上一点，连AC、BC,若NP=80。，则的NACB度数

3.小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（）

Illl

A.—B.—C.—D.一

10965

4.某超市一天的收入约为450000元，将450000用科学记数法表示为（）

A.4.5×106B.45×105C.4.5×10sD.0.45×106

5.不透明袋子中有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机取出1个球，是红球的概率是（）

1123

A.—B.-C.-D.一

6555

6.已知正比例函数y=h的图象经过第二、四象限，则一次函数y=h-★的图象可能是图中的（）

7.已知二次函数y=aχ2+bx+c的x、y的部分对应值如表:

X•••0123•..

y______•••-5_5-9-17

则该函数的对称轴为（）

A.y轴B.直线X=^C.直线x=lD.直线X=一

2

8.一名射击爱好者5次射击的中靶环数如下：6,7,1,8,1.这5个数据的中位数是（）

A.6B.7C.8D.1

9.如图，正六边形ABa）EF内接于O,M为EF的中点,连接DM,若Q的半径为2,则MD的长度为（）

0

A.√7B.√5C.2D.1

10.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）

ʌ《

11.已知二次函数y=αx2+bx+c（α≠0）的对称轴为直线X=-1,与X轴的一个交点5的坐标为（1,0）其图象如图所

示，下列结论：①c>0；②2°-5=0；③一元二次方程0r2+Z>x+c=0的两个根是-3和1；④当y>0时，-3VXV1；

⑤当x>0时，），随X的增大而增大：⑥若点E（-4,ʃɪ）,F（-2,J2）,M（3,#）是函数图象上的三点，则yι>"

>J3,其中正确的有（）个

A.5B.4D.2

12.若要得到函数y=（x-1>+2的图象，只需将函数.Y=/的图象（）

A.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度

B.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度

C.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度

D.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度

二、填空题（每题4分，共24分）

13.若n?-2m-1=0,则代数式2m2-4m+3的值为.

14.抛物线了=-/+2%-1在对称轴（填“左侧”或“右侧”）的部分是下降的.

15.当-l≤x≤3时，二次函数J=-（x-m）2+m2-1可取到的最大值为3,则m=

如图，、CD-）所在的圆的半径分别为、则、门的大小关系是.（用“V”连接）

16.ABrir2>r3,nr2>

17.如图,直线yι=1x+2与双曲线y2=9交于A（2,m）、B（-6,n）两点.则当y1≤y2时,x的取值范围是.

18.抛物线y=x2-4x-5与X轴的两交点间的距离为.

三、解答题（共78分）

19.（8分）一艘运沙船装载着50（）（）m3沙子，到达目的地后开始卸沙，设平均卸沙速度为V（单位：n?/小时），卸沙所

需的时间为t(单位：小时).

(1)求V关于t的函数表达式，并用列表描点法画出函数的图象；

(2)若要求在20小时至25小时内(含20小时和25小时)卸完全部沙子，求卸沙的速度范围.

20.(8分)(1)计算：一(T)2°2°+Or-2019)°-√^sin60+(；)T

3x+4≥2Λ(D

(2)解不等式组：χ+2χ-3[C，并求整数解。

I54

21.(8分)如图，ZkABC内接于。O,AB=AC,ZBAC=36o,过点A作AD〃BC,与NABC的平分线交于点D,

BD与Ae交于点E,与。O交于点F.

(1)求NDAF的度数；

(2)求证：AE2=EF∙ED;

(3)求证：AD是。。的切线.

22.(10分)对于二次函数y=χ2-3x+2和一次函数y=-2x+4,把y=f(x2-3x+2)+(1-0(-2x+4)称为这两个

函数的“再生二次函数”，其中f是不为零的实数，其图象记作抛物线L现有点A(2,0)和抛物线L上的点B(-1,

〃)，请完成下列任务:

(尝试)

(1)当f=2时，抛物线y=f(χ2-3x+2)+(1-/)(-2x+4)的顶点坐标为；

(2)判断点A是否在抛物线L上；

(3)求"的值；

(发现)

通过(2)和(3)的演算可知，对于，取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为.

(应用)

二次函数y=-3x2+5x+2是二次函数j=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t

的值；如果不是，说明理由.

23.（10分）如图，BD为。O的直径，点A是劣弧BC的中点，AD交BC于点E,连结AB.

（1）求证：AB2=AE∙AD；

⑵若AE=2,ED=4,求图中阴影的面积.

24.（10分）如图，。。是aABC的外接圆，圆心。在AB上，过点5作。。的切线交AC的延长线于点。.

（1）求证：XABCSXBDC.

（2）若AC=8,BC=6,求48OC的面积.

Q

25.（12分）如图，一次函数.V=日+5为常数，且Z≠0）的图像与反比例函数＞=—I的图像交于A（-2,b）,B

两点.

（1）求一次函数的表达式；

（2）若将直线AB向下平移〃?（根＞0）个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求机的值.

26.在平面直角坐标系Xoy中，抛物线y=-/+2枢+1交y轴于点为4,顶点为O,对称轴与X轴交于

点H.

（1）求顶点。的坐标（用含机的代数式表示）；

（2）当抛物线过点（1,-2）,且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线y=-∕+2x的位置，求平移的方向和

距离；

（3）当抛物线顶点。在第二象限时，如果NAOH=N4//0,求胆的值.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、B

【分析】根据铅球出手高度是gm,可得点（0,|）在抛物线上，代入解析式得a=-《，从而求得解析式，当y=0

时解一元二次方程求得X的值即可；

【详解】解：•••铅球出手高度是gm,

.∙.抛物线经过点(0,),代入解析式,=。(％-4)2+3得：

I=16a+3,解得a=-∖,故解析式为：y=-^(x-4)2+3

令y=0,得：—\(x—4)2+3=0,

解得：xι=-2(舍去)，X2=10,

则铅球推出的距离为10m.

故选：B.

【点睛】

本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键.

2、B

【分析】先利用切线的性质得NoAP=NOBP=90。，再利用四边形的内角和计算出NAoB的度数，然后根据圆周角

定理计算NACB的度数.

【详解】解：连接OA、OB,

VPA,PB分别与。O相切于A、B两点，

ΛOA±PA,OB±PB,

二ZOAP=NoBP=90°,

：.ZAOB=180o-ZP=180o-80°=100°,

ΛZACB=-ZAOB=-×100o=50o.

22

【点睛】

本题考查圆的切线,关键在于牢记圆切线常用辅助线:连接切点与圆心.

3,A

【解析】；密码的末位数字共有10种可能(0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、0都有可能),

.∙.当他忘记了末位数字时，要一次能打开的概率是*.

故选A.

4、C

【分析】根据科学记数法的表示方法表示即可.

【详解】将150000用科学记数法表示为1.5×2.

故选：C.

【点睛】

本题考查科学记数法的表示,关键在于牢记科学记数法的表示方法.

5、D

【分析】利用概率公式直接求解即可.

【详解】解：袋子装有5个球，其中3个红球，2个白球，

3

二从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是:g

故选:。.

【点睛】

本题考查的是利用概率的定义求事件的概率.

6,A

【分析】根据正比例函数y="的图象经过第二、四象限可判断出々的符号，进而可得出结论.

【详解】解：Y正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限，

Λk<0,

二-k>0,

.∙.一次函数y=kx-k的图象经过第一、二、四象限.

故选：A.

【点睛】

本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据题意判断出k的符号是解答此题的关键.

7、B

【分析】根据表格中的数据可以写出该函数的对称轴，本题得以解决.

【详解】解：由表格可得，

该函数的对称轴是：直线X="ɪ=L,

22

故选：B.

【点睛】

本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于基础题型.

8、C

【分析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），据此求

解即可∙

【详解】将这组数据重新排序为6,7,8,1,1,

/.中位数是按从小到大排列后第3个数为：8.

故选C.

9、A

【解析】连接OM、OD,OF,由正六边形的性质和已知条件得出OMJ_OD,OM±EF,NMFo=60°,由三角函数

求出OM,再由勾股定理求出MD即可.

【详解】连接OM、OD,OF,

丫正六边形ABCDEF内接于。O,M为EF的中点，

ΛOM±OD,OM±EF,NMFO=60°,

NMOD=NOMF=90。，

n

：.OM=OF∙sinNMFO=2×—=√3，

2

二MD=^OM2+OD2=J(G)2+22=√7»

故选A.

【点睛】

本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM

是解决问题的关键.

10、B

【分析】把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图

形，根据中心对称图形的概念求解.

【详解】A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、不中心对称图形，故本选项不合题意；

D、不中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形的概念：关键是找到相关图形的对称中心，旋转180度后与原图重合.

11、C

【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性逐个进行判断，得出答案.

【详解】由抛物线的开口向上，可得”>0,对称轴是X=-L可得a、Z>同号，即5>0,抛物线与y轴交在y轴的负

半轴，cVO,因此∙c<0,故①不符合题意；

b

对称轴是X=-1,即——=-1,即2α-b=0,因此②符合题意；

2a

抛物线的对称轴为X=-1,与X轴的一个交点B的坐标为（1,0）,可知与X轴的另一个交点为（-3,0）,因此一元

二次方程ax2+bx+c=Q的两个根是-3和1,故③符合题意；

由图象可知y>0时，相应的X的取值范围为xV-3或x>l,因此④不符合题意；

在对称轴的右侧，y随X的增大而增大，因此当χ>0时，y随X的增大而增大是正确的，因此⑤符合题意；

由抛物线的对称性，在对称轴的左侧y随X的增大而减小，

V-4<-2,

.∙.J1>J2,（3,J3）/离对称轴远

因此刈>山，因此>3>yι>y2,因此⑥不符合题意；

综上所述，正确的结论有3个，

故选：C.

【点睛】

考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握a、b、C的值决定抛物线的位置，抛物线的

对称性是解决问题的关键.

12、A

【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a值不变即可找出结论.

【详解】：抛物线y=（X-I）∣+1的顶点坐标为（1,1）,抛物线y=χ∣的顶点坐标为（0,0）,

.∙.将抛物线y=χ∣先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度即可得出抛物线y=（χ-l）j+l.

故选：A.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、1

【解析】试题分析：先求出n√-2m的值，然后把所求代数式整理出已知条件的形式并代入进行计算即可得解.

解：⅛m2-2m-1=0得m?-2m=l,

所以，2m2-4m+3=2(m2-2m)+3=2×1+3=1.

故答案为1.

考点：代数式求值.

14、右侧

【解析】根据二次函数的性质解题.

【详解】解：∙.∙a=UVO,

.∙.抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴右侧的部分是下降的，

故答案为：右侧.

点睛：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质上解题的关键.

15、-1.5或1.

【分析】根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得机的值.

【详解】V当-10r≤3时，二次函数y=-(X-m)∙+m*-1可取到的最大值为3,

：.当m<-1时，X=-I时，函数取得最大值，

即3=-(T-时+加-1,得m=-1.5；

当-1<,"V3时，X="?时，函数取得最大值，

即3=加T,得MIl=1,m∖=-1(舍去)；

当m≥3时，x=3时，函数取得最大值，

13

BP3=-(3-∕n)l+∕nl-1,得，〃=一(舍去)；

6

由上可得，，〃的值为-1.5或1,

故答案为：-1.5或L

【点睛】

本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论是解题的关键.

16、rɜ<Γ2<rι

【分析】利用尺规作图分别做出AB、CD、)所在的圆心及半径，从而进行比较即可.

【详解】解：利用尺规作图分别做出A3、CD、0'所在的圆心及半径

.".Γ3<∏Vrl

故答案为：rɜVr2Vrl

【点睛】

本题考查利用圆弧确定圆心及半径，掌握尺规作图的基本方法，准确确定圆心及半径是本题的解题关键.

17、A≤-6^0<A<1

【解析】当yι≤yι时，X的取值范围就是当y1的图象与yι重合以及y1的图象落在yι图象的下方时对应的X的取值范围.

【详解】根据图象可得当y∣≤y∣时，X的取值范围是：χ≤-6或OVxWL

故答案为χ≤-6或0<x≤l.

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，理解当y∣≤yι时，求X的取值范围就是求当yι的图象与yι重合以

及y∣的图象落在yι图象的下方时对应的X的取值范围，解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想.

18、1

22

【分析】根据抛物线y=χ2∙4x-5,可以求得抛物线y=x-4x-5与X轴的交点坐标，即可求得抛物线y=x-4x-5与X轴的两交

点间的距离.

【详解】解:∙.∙y=r2-4x-5=(x-5)(x+l),

：.当y=0时JXI=5M=-1,

•••抛物线y=x2-4x-5与X轴的两交点的坐标为(5,0),(-1,0),

.∙.抛物线y=x2-4x-5与X轴的两交点间的距离为:5-(-1)=5+1=1,故答案为:1.

【点睛】

本题主要考查抛物线与X轴的交点,解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答。

三、解答题(共78分)

,、5000L…，、

19、(1)V=-------，见解析；(2)200≤v<l

【分析】（1）直接利用反比例函数解析式求法得出答案;

（2）直接利用（1）中所求解析式得出V的取值范围.

【详解】（1）由题意可得：V=的四

列表得:

V•••1011625…

t•••246•・・

5000

当t=25时,V=-------=200,

20

故卸沙的速度范围是：200≤v≤l.

【点睛】

本题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键.

20、（1）ɪ;（2）原不等式组的整数解为:-4,+1,±2,±1,0.

【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可；

（2）先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，进而求其整数解即可.

【详解】（1）解：（1）原式=一1+1一百乂走+2

2

—ɪ.

2

3x+4≥2Λ<D

⑵解:居上

[54

由①得x≥-4

由②得XW1；

Λ-4≤x≤l.

.∙.原不等式组的整数解为:-4,+1,+2,+1,0

【点睛】

本题考查了实数的混合运算和解不等式组，正确解出不等式组的解集是解决本题的关键.

21、(I)NDAF=36。；(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】(1)求出NABC、NABD、NCBD的度数，求出ND度数，根据三角形内角和定理求出NBAF和NBAD度

数，即可求出答案；

(2)求出AAEFSADEA,根据相似三角形的性质得出即可；

(3)连接AO,求出NOAD=90。即可.

【详解】(1)：AD〃BC,

AZD=ZCBD,

VAB=AC,ZBAC=36o,

I

ΛZABC=ZACB=-×(180o-ZBAC)=720,

2

ΛZAFB=ZACB=72o,

VBD平分NABC,

11

.∙.ZABD=ZCBD=-ZABC=-×72o=36o,

22

ΛZD=ZCBD=36o,

ΛZBAD=180o-ZD-NABD=I80°-36°-36°=108°,

ZBAF=1800-ZABF-ZAFB=180°-36°-72o=72o,

ΛZDAF=ZDAB-ZFAB=108o-72°=36°;

(2)证明：∙.∙NCBD=36°,ZFAC=ZCBD,

ΛZFAC=36o=ZD,

VZAED=ZAEF,

Λ∆AEF^∆DEA,

*AEED

••-----=------,

EFAE

/.AE2=EFxED;

(3)证明：连接OA、OF,

VZABF=360,

ΛZAOF=2ZABF=72o,

VOA=OF,

1

ΛZOAF=ZOFA=-×(180o-ZAOF)=54o,

由⑴知NDAF=36。，

ΛZDAO=36o+54o=90o,

即OA±AD,

∙.∙OA为半径，

二AD是。O的切线.

本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是

解此题的关键.

22、［尝试］⑴(1,-2)；(2)点A在抛物线L上；(3)"=1；［发现］(2,0),(-1,1)；［应用］不是，理由见解析.

【分析】［尝试］

(1)将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；

(2)将点A的坐标代入抛物线L直接进行验证即可；

(3)已知点B在抛物线L上，将该点坐标代入抛物线L的解析式中直接求解，即可得到n的值.

［发现］

将抛物线L展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0(此时无论t取何值都不会对函数值产生影响)，即

可求出这个定点的坐标.

［应用］

将［发现］中得到的两个定点坐标代入二次函数y=-3x2+5x+2中进行验证即可.

【详解】解：［尝试］

(1)：将，=2代入抛物线L中，得：

y=t(x2-3x+2)+(1-/)(-2x+4)=2x2-4x=2(X-I)2-2,

.∙.此时抛物线的顶点坐标为：(1,-2).

(2)T将x=2代入y=f(x2-3x+2)+(1-/)(-2x+4),得y=0,

二点A(2,())在抛物线L上.

(3)将X=-I代入抛物线L的解析式中，得：

n=t(.x2-3x+2)+(I-Z)(-2x+4)=1.

［发现］

∙.∙将抛物线L的解析式展开，得：

y=t(.x2-3x+2)+(1-/)(-2x+4)=t(.x-2)(x+l)-2x+4

当x=2时，y=0,当X=-I时，y=l,与t无关，

，抛物线L必过定点(2,0)、(-1,1).

［应用］

将x=2代入y=-3x2+5x+2,y=0,即点A在抛物线上.

将X=-I代入y=-3x2+5x+2,计算得：y=-1≠1,

即可得抛物线J=-3x2+5x+2不经过点B,

二次函数y=-3χ2+5x+2不是二次函数y=χ2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一"个“再生二次函数

【点睛】

本题考查二次函数的新型定义问题，熟练掌握二次函数的图像与性质，理解“再生二次函数”的定义是解题的关键.

23、⑴见解析；(2)2π-3√3.

【解析】(1)点A是劣弧BC的中点，即可得NABC=NADB,又由NBAD=NEAB,即可证得^ABEs2^ADB,根

据相似三角形的对应边成比例，即可证得AB2=AE∙AD.

⑵连结OA,由S阴影=S扇形AoB-SAAOB求出即可.

【详解】(1)证明：Y点A是劣弧BC的中点，

ʌAB=AC

.∙.ZABC=ZADB.

XVZBAD=ZEAB,ΛΔABE<^ΔADB.

.ABAD

''~AE~~AB'

ΛAB2=AE∙AD.

(2)解：连结OA

VAE=2,ED=4,

由(1)可知

ΛAB2=AE∙AD,

，AB2=AE∙AD=AE(AE+ED)=2X6=1.

∙∙∙AB=26(舍负).

∙.∙BD为。。的直径，

ΛZBAD=90o.

在RtAABD中，BD=√AB2+AD2=√12+36=4√3

ΛOB=2√3.

.,.OA=OB=AB=2√3

Λ∆AOB为等边三角形

ΛZA0B=60β.

S用彩=S南彩AOB-SAAOB==2π—ɜʌ/ɜ

【点睛】

本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练的掌握相

似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形.

27

24、(1)详见解析；(2)SABDC=W

【分析】(1)由48是。。的直径，可得NACB=N509=90。，又由80是。。的切线，根据同角的余角相等，可得

ZA=ZCBD,利用有两角对应相等的三角形相似，即可证得44BCSA3Z)G

(2)由AC=8,BC=6,可求得aABC的面积，又由4A8CS45OC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，

即可求得C的面积.

【详解】(1)'."O是。。的切线，

：.ABLBD,

：.ZABD=9Qo.

：.ZA+ZD=90o.

YAB是。。的直径，

二NACB=NSCD=90°,

ΛZCBZ)+ZD=90o，

.,.ZA=ZCBD,

：.AABCsABDC;

(2)MABCSABDC,

..SABCJAC

SBDC、BCJ

VAC=8,BC=6,

11

.∙.SΛBC=-AC∙BC=-×8×6=24,

Δ22

8,27

=24÷(-)2=——.

62

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的性质以及直角三角形的性质.此题难度适中，注意掌握数

形结合思想的应用.

25、(1)y=ɪ%+5；(2)1或9.

2

【解析】试题分析：(1)把A(-2,b)的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式，求得k、b的值，即可得一次函

数的解析式；(2)直线AB向下平移m(m>O)个单位长度后，直线AB对应的函数表达式为y=；x+5—m,根据平移

后的图象与反比例函数的图象有且只有一个公共点，把两个解析式联立得方程组，解方程组得一个一元二次方程，令

A=O,即可求得m的值.

试题解析：

b=-2k+5

(1)根据题意，把A(—2,b)的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式，得

b=4

解得《k∖’

2

所以一次函数的表达式为y=ɪx+5.