河北省2023届新高考数学二轮复习 解三角形解答题30题专项提分计划含解析

2023届河北省新高考数学复习

专题1解三角形解答题30题专项提分计划

1.(2022•河北石家庄•统考一模)在a'中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,

已知GacosC-asinC=6b.

⑴求角4的大小；

(2)若。=2,求BC边上的中线长度的最小值.

【答案】⑴A=?

⑵3

【分析】(1)边化角即可；(2)利用余弦定理和基本不等式解决.

【详解】(1)由\Z5ocosC-asinC=\/^。得，

石sinAcosC-sinAsinC=bsin(A+C)

/.-sinAsinC=>/3cosAsinC,

即tanA=-A/3,Ae(0,%),?.A=—.

3

23

二.3口2伊+川-“22；存4=争当且仅当匕=。取等号.

2.(2022•河北沧州•统考二模)在ABC中；内角A,B,C的对边分别为a,0,c,已知

⑴求A：

(2)若。=2,点。为8c的中点，求AD的最大值.

【答案】(1)A=？

⑵6

【分析】⑴根据正弦定理可知6(2sin4-GcosA)=bsinA,由此可知

1

sinA-y/3cosA=0f进而求出A.

(2)由(1)结合余弦定理可知"+/=Z?c+4,对其使用基本不等式可知历K4,根据

三角形中线的向量表示可知AO=g(AB+AC),对其两边平方，根据平面向量数量积公

22Z?c+4

式以及基本不等式可知A。,由此即可求出结果.

4

(1)

解：在“WC中，由正弦定理得asin3=/?sinA.

因为〃(2sinA-GcosA)=asin〃,所以Z?(2sinA-\/5cosA)=bsin4.

又Z?wO,所以sinA—百cos4=0,所以tan4=

因为ABC中，OVAVTT,所以A二三.

(2)

jr

解：在二ABC中，由。=2,A=§及余弦定理"=》2+C2-2)CCOS4,

得4=〃+c?—he,

所以6+/=儿+422"，所以历44,当且仅当人=c=2时等号成立.

又点。为BC的中点，所以

1AB+AC]AB+AC+2ABACc2+b2+hc次+4八

AD=-------=--------------------=----------=-------<3,

\27444

所以,4=+,

IImax

即的最大值为后.

3.(2022•河北邯郸•统考模拟预测)已知一ABC的内角A、B、C所对的边分别为。、

.门_.A+B

b、c,“csinB=bcos-----.

2

⑴若a=6,c=5/3/7,求匕；

⑵若点。在线段8c上，且CE>=2B£>,AD=1,求a+b的最大值.

【答案】(1)6=6

【分析】(D利用正弦定理结合A+8+C=7t整理得sinC=cos一,再借助诱导公式和

倍角公式化简整理；(2)本题可以设NC4O=c,利用正弦定理边化角整理可得

2

〃+Z?=[^sin（a+夕）；也可以利用余弦定理得到边的关系9b?+4a2+6ab=9,令

1=。+力整理得7〃—2必+4产一9=0,结合二次函数零点分布处理.

⑴

A+A

由正弦定理可知：sinCsinB=sinBcos-------

2

又sin3wO,A+B+C=7C

,,.K-C.CC7T_C.c

故sinC=cos-------,则NIL2Osin—cos—=cos=sin-,

2225一，2

又sinCwO,^cos—=—,

222

71C*jr27r

由于,所以万=§'即c=T

2

由余弦定理可知，c2=a2+b2-2abcosC,即劝2=36+〃+6〃，

解得b=6或8=一3（舍去）

⑵

解法一：设/CA£>=ae（0高,

CDACAD

由正弦定理可得:

sinasin^CDAsinC'

2a

即瘾b12A/3

.(2n

sina+——

I3

gina+cosa,

故a=gsina，b=-

3

从而a+6=^^sina+cosa=^^sin(a+p),

兀兀

其中tan9=

6,4

237

当a+s=]时，有的最大值为粤

解法二：在AC£）中，由余弦定理得，AD2^AC2+CD2-2AC-CDCOSC，

42

2222

HPb+-a+-ab=\fBP9b+4a+6ab=9

令f=a+b(f>0),从而9必+4(f-6)2+6(f-b)b=9,

整理得7从-2法+4/-9=()

依题意，上述关于b的方程有正实数解;

因为函数g（b）=7〃—2%+4/一9的对称轴力=/0

3

所以A=4产—4x7(4/—9)..0,解得友卫

所以a+b的最大值为回，此时。=也，b=­.

3721

4.(2022•河北衡水•统考二模)在中，角力，B,C所对的边分到为a,b,c,

已知/-24>ccosA=/-2accosB,c=2.

(1)证明：△/笈为等腰三角形；

⑵设△儿K的面积为S,若，S的值.在①7cosB=2cosC；®CACB=2Sa2+b2=8c2

三个选项中，选择一个填入上面空白处，并求解.

【答案】(1)证明见解析

⑵选①：s=y[\5;选②：S=l+&;选③：S=V15

【分析】(1)由三角形的余弦定理，结合三角形的形状即可得证.

(2)分别选①②③，运用余弦定理、同角的基本关系和向量数量的定义、面积公式,

可得所求值.

(1)

证明：-2bccosA-a2-2accosB

所以"+c?-2bccosA=a2+c2-laccosB

由余弦定理可知，a2=b2,即。=方，即ABC为等腰三角形.

(2)

解：由题意得：

选①：由(1)可知，A=8,所以C=i—23

所以7cosB=2cosC=2cos(乃-26)=-2cos2B=2-4cos2B,

整理得：4COS2B+7COSB-2=0,解得COSB=L，

4

77

所以cosC=—cosB=—,

28

所以sinC=71-cos2C=

8

又由cosB=,，可得。=4,

a

所以S=’"Z?sinC=—x4x4x^^-=Vf5；

228

选②：因为G4・C3=2S

4

TT

所以/cosC=/sinC,解得C=--,

4

所以4=2/—2八*，得6=4+2应，s=g/x*乎*(4+2何=1+a;

选③：因为6+02=8。2,且。=/?,c=2

所以a=0=4

a2+h2-c216+16-47

故cosC=

2ab2x4x4-8

因止匕sinC=-71—cos2C=@5.

8

于是S=L"sinC='x4x4x叵=Vi?

228

5.(2022•河北保定•校联考一模)在_43(7中，角4B,C的对边分别为a,b,c.

已知ZBAC=60°,a=2y/3.

⑴若C=45。,求6；

(2)若〃为BC的中点，且40=石，求一43c的面积.

【答案】⑴娓+无

⑵石

【分析】(1)求出,然后按照正弦定理计算即可;

(2)利用NAT应+ZADC=i,以及力。是中线的特点列方程即可.

⑴

因为c=45。，所以sin8=sin(ZBAC+C)=sin(60°+45°)=近史

b

在“AfiC中，由正弦定理得

sinZ.BACsinB'

口「，asinBr:rr

即b=-------------=V6+V2.

sinNBAC

⑵

在“ABC中，由余弦定理得〃+,2-*=12........①

因为〃为8c的中点，所以BO=CO=JL

Dr)-iAri-_AD-o_

在△加中，由余弦定理得C=2XBD"D-本.

在；ACD中，由余弦定理得cosNADC=C；+，:二；0=竽

2xCDxAD2/15

由cosZADB+cosZADC=0^b2+c2=16......②

5

联立①②可得bc=4,即SAIIC=gbcsinABAC=G,

故答案为：A/6+\/2,\/3.

6.(2022•河北邯郸•统考二模)在中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,

点〃在边比'上，且sinZB4)=2sinNC4£).

(1)若4£>=。=2,cosZBAD=-,且NG4。为锐角，求功的长；

4

⑵若BD=CD,求2的值.

C

【答案】(1)C£>=1；

⑵2.

【分析】(1)由题设可得sinZBAZ)=正，进而求得cos44O=：,应用余弦定理求切

48

的长;

/c、•/end2Z?sinZCAD.___2csinZBAD人人

(2)由正弦定理可得sin/CD4=----------、sinZBDA4=-----------,结合

a

4M+4必=180。即可求目标式的值.

(1)

由cosNR4D=』，OC/BADVTT,贝hin®Q=姮，

44

所以sinNCA£>=*叱丝2=巫，又〃为锐角，则cos/C4Z)=1,

288

5LCA=AD=b=2,在△。£>中8$/。4。=:=。-e〃可得仪>=1.

2b288

(2)

由BO=C£>=g,

2

be-2Z?sinZCAD

在△C4O中,则sin/CD4=----------

sinZCDA2sinZCADa

在△BAD中,贝iJsinNBDA=----------

sinZBDA2sinZBAD

又4D4+ZBD4=180°,故2加血4cAe=2c网.®0,又sin/fiW=2sin/C4D,

aa

所以2=2.

c

7.(2022•河北沧州•沧县中学校考模拟预测)在锐角.71BC中，角A,B,C的对边分

2

别为a,b,c9且2sin2A+cos2A=1.

(1)求角4

(2)若〃=2百，求一ABC的周长的最大值.

6

【答案】(1)A=?

⑵

【分析】(1)由题知2cos22A-COS2A-1=0,进而解方程并结合题意得cos2A=-；,

故A=拳

(2)根据题意，结合余弦定理与基本不等式得人+CW4G，进而得答案.

(1)

解：由ZsinbA+cos2A=1,得2(1-cos?2A)+cos2A=1,

即2cos22A-cos2A-l=0.

因为ABC是锐角三角形，

所以Ae(0,1^,则2A€(0,万)，

cos2A=一一(cos2A=1舍去)，

2

所以2A='，所以A=g.

(2)

解：由余弦定理得"=从+c?-2Z?c・cosA,又a=2百，

所以，12="+C2-6C=S+C)2-3匕CNS+C)2-3X(^^),

当且仅当力=c时取等号，此时b=c=2G，

所以S+c)*48,即。+C445/5.

所以a+b+cS6G(〃=c=q=2岔时取等号)，

一45C周长的最大值为6K.

8.(2022•河北•模拟预测)已知一ABC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,

满足\/5(acosC+ccosA)=2Z?sinB,且c>8.

⑴求角8；

②若b=6求乂8。周长的取值范围.

【答案】⑴B=g

7

(2)(2>/3,3>/3)

【分析】(1)利用正弦定理、两角和的正弦展开式化简可得答案；

(2)由正弦定理得。=2sinA,c=2sinC,/=a+b+c=2(sinA+sinC)+G

再利用两角和的正弦展开式和C的范围计算可得答案.

【详解】(1)由石(acosC+eos4)=»sin3、正弦定理可得，

G(sinAcosC+sinCcosA)=Gsin(A+C)=2sinBsinB,

因为A+C=TT—3,所以J5sin8=2sin8sin8,

而0<_B〈兀，所以sin^wO,

即sin5=,

2

3

(2)"==E，由正弦定理得二二三二工=2,即a=2sinA,c=2sinC,

3sinAsmCsin8

/=a+b+c=2(sinA+sinC)+V5=2sin[C+—|+sinC+>/3

=2—sinCH-----cosC+5/3

\22/

=2氐布｛+己)+亚

c>b,:.C>B=~,/l+B+C=7t,.-.Ce|I,

3(33J

...C+X|，V，...sin(C+SH；,1,.」e(2G3码.

9.(2022•河北衡水•衡水市第二中学校考一模)在_ABC中，48,C所对的边分别为

a，b,c,且2R_q="("+c—)其中R是三角形外接圆半径，且A不为直角.

a2+c2-b2

(1)若Bn?,求A的大小；

6

O22

(2)求石工的最小值.

【答案】⑴3

O

⑵45/2-7

8

【分析】（1）根据余弦定理和正弦定理即可求出A的大小.

2

（2）运用正弦定理和二倍角的余弦公式，化简，再利用基本不等式求解入；；°的最小

值.

【详解】(1)在JWC中，2R.a=女±丝&3=卷,

a2+c2-b22accosBcosB

进而2/?cosB-acosB=bcosA,

27?cosB-27?sinAcosB=2/?sinBcosA，

/.cosB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+3)=sinC,

jrTT

又A不为直角，则B+Cwg,，C=<+8,

22

兀7t

B=—,:.A=n-B-C=-.

66

⑵由⑴知，-W+cT)

a2+c2-b2

jrjr

转化为cos5=sinC,XA+B+C=n,C=—+B,A=—2B.

22

.2a2-c22sii？A—sin2c

h2sin2B

2sin?(—28)-cos"8个22n

_、2_2cos2B-cosB

sin2Bsin2B

2(l-2sina町一(一sin咽)8sin4B8sin*+2-l+sin2B

sin25sin2B

Ssii/BVsinO+l

=8sin2B+sin2B7

sin2B

>2x./8sin2Bx—5^-7=472-7,

Vsin-S

当且仅当8sin5=」一，即sinB=Jl时,

等号成立,

sin~BV8

R最小值为4『.

10.（2023•河北•河北衡水中学校考模拟预测）如图，〃为二口。内部一点，DE1BC

于区=.请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立.①CE=3£5;

2

/ADDEFTAE

(2)sin(B+C)=V2(sinsinC)③——+——+，2=

DEADAD-DE

9

BEC

【答案】答案见解析.

【分析】以①③为条件，②为结论：由已知可得8E,CE,NOFE=f.设防=x,则

4

DF=0x，表示出各边长，由勾股定理，可推出（c+b）（b-c）=a（GB+GC）.代入GB,GC,

整理可得关于。的方程，得a=6（b-c）,由正弦定理可推得②成立;

以①②为条件，③为结论：由己知可得BE，CE的长，a=&（6-c）.由勾股定理，可推

出（c+b）=&（GB+GC）.根据三角形相似，求出尸G,GB,GC,代入可得%=也，

n2

NEDF二,进而得到乙M>E=毛，由余弦定理即可推得③成立；

44

以②③为条件，①为结论：由已知可推出”也…），=：.设=EF=x,

则QF="x，得到G8,GC.由勾股定理得（c+3作—c）=a（G3+GC）.然后得到

（42—1）（6-c）=0.由6-cxO,可得a=；,即BE=；BC,结合图象得到方=4地，

所以有CE=3EB,即①成立.

以①③为条件，②为结论:

证明：如图，过点A作AG垂直于BC的延长线于G点，延长AD交BC于F点.

113

由CE=3E8可得，BE=-BC=~a,CE=：a.

444

,ADDEr-

由——+——+V2=可得,AD2+DE2+近ADDE=AE2，

DEADAD-DE

在7ADE中，由余弦定理可得AE2AD2+DE2-2AD-DEcosZADE,

所以cosNAQE=-也，0<ZADE<7t,则NAQE=学，则=

244

10

设=则。尸=小，又AD=A3=c,所以AF=c+&x，

贝ijAG=FG=^AF=^c+x,GB=GF-BE-EF=—+x---x=~~-,

222424

’3

GC=----c—ci.

24

在RtAAGB中，有AG2=AB2-GB2.^£RtAAGC中，有AG2=AC2-GC2.

所以有AB2-AC2=Gg2-GC2,即M-从=GR2-GC2,

整理可得，(c+b)(b-c)^a(GB+GC).

代入整理可得，”(2/0+4)=29+c)(Z>-c),gpa2-2y/2ca+2^c2-ft2)=0.

解关于。的方程可得，叱20c±J8c：8一/)_0,土。),

因为avb+c,所以。=夜他+c)不成立，舍去.

所以,a=>j2(b-cY

由正弦定理可得，sinA=V2(sinB-sinC),

又A=7T-(B+C),所以sinA=sin[冗一(3+C)]=sin(3+C),

所以sin(B+C)=e(sinB-sinC),即②成立.

以①②为条件，③为结论：

证明：如图，过点A作AG垂直于3c的延长线于G点，延长AO交BC于/点.

设EF=m,DF=n,则AF=AD+DF=c+n,

113

由CE=3E3可得，BE=-BC=-aCE=-a.

44i4

由sin(3+C)=0(sinB-sinC)可得，sinA=V2(sinB-sinC),

由正弦定理可得“=0(6—C).

在RtaAGB中，有AG2=A82-GB2.在Rt^AGC中，WAG2=AC2-GC2.

所以有AB?-AC2=GB2-GC2,BPc2-b2=GB2-GC2,

整理可得，(c+b)(b-c)=a(GB+GC).

因为(。-c),所以(c+6)=亚(GB+GC).

FOFFnm

由已知可得，EDUAG,所以VFDESAFAG,所以有即——=—,

FAFGc+nFG

mC+/?

所以FG=^-=m+—c,所以GB=FG-BE-EF=c--a-tn=—c--af

nnn4n4

11

m3

GC=GB^BC=—c^--a

n49

所以GB+GC=^c+4a=^c+^e-c),

n2n2v'

郎c+b=区网c+邑立(b-c)=^^c+b-c,整理可得巴=也.

n2nn2

在RtZXOE尸中，sinZEDF=—=—=—,则NEDF=色，

DFn24

所以NADE=兀一NEDF=型.

则在V45E中，由余弦定理可得AE?=AD2+DE2-2AD-DEcosZADE

=AD2+DE2+y/2ADDE，

u匚1“七人。DEnrAE2目4

所以有-----1-------1-yJ2=----------，即③成U;

DEADADDE

以②③为条件，①为结论：

证明：如图，过点A作AG垂直于BC的延长线于G点，延长交5。于尸点.

由sin(3+C)=0(sin3-sinC)可得，sinA=&(sinB-sinC),

由正弦定理可得a=^(6—c).

由+V2=~~~~z可得，AD2+DE2+>/2AD-DE=AE?,

在VADE中，由余弦定理可得AE?=AD%。炉-2A£>OEcosZAZ)E,

所以cosNAOE=—变，0<ZADE<TI,贝IJNAOE=亚，则=

244

'设BE=2BC,EF=x,则。/二行工，又A£)=AB=c,所以AE=c+V^x，

则AG=FG=^AF=@c+x,

22

孝c+(lT)”

GB=GF-BE-EF=+x-Aa-x=-------A,aGC=

22

.ADDErrAf2

由——+——+V2=可得,AD2+DE2+金ADDE=AE2，

DEADAD-DE

在NADE中，由余弦定理可得AE2AD2+DE2-2ADDEcosZADE,

所以cosNAOE=-正，0<ZADE<n,则NA£>E=皿，则NOFE=色.

244

由sin(8+C)=V5(sin8-sinC)可得，sinA=72(sinB-sinC),

由正弦定理可得"=0(6-c).

在RtAAGB中，有AG?=AB2-GB2.^.RtAAGC中，有AG)=AC2-GC2.

所以有AB--AC1=GB2-GC2,即/-加=GB?-GC?,

整理可得，(c+b)(b-c)=a(GB+GC).

12

因为4=血(〃一0),所以(c+6)=0(G8+GC).

GB+GC=^--Aa+^c+(\-A)a=>/2c+(l-2A)a,

所以有b+c=2c+0(l-24)a=2c+2(l-2/l)S-c),

整理可得(4彳-。e-c)=0.

因为a=00-c)*O,所以A—CKO,所以4/1一1=0,所以2=；.

即3E=：BC,由图知昌=4/，所以有CE=3EB，即①成立.

11.(2023•河北衡水•衡水市第二中学校考模拟预测)已知函数

2

/(x)=sin(0x-f(切>0),g(x)=f(x),〃x)与g(x)均在区间上单调递增,

若〃-，〃的最大值为1

(1)求。的值

(2)在不等腰ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若/(A+?)+2g(B—高=1,

证明：a2-b2=bc

【答案】(1)。=1;

⑵证明见解析；

【分析】(1)把g(x)降幕后，分别求出/(x),g(x)的增区间，再求出得公共增区间，然

后由题意可得”;

(2)由(1)代入后化简，并由正弦定理、余弦定理化角为边，整理可证.

【详解】(1)<y>0,

//、-I乃)z兀一万,c,n2k兀TC,,2k兀In,“

flx)=sincox---,2k兀----Kcox---W22乃H—,-------------«x«-----1---,kwZ,

\67262co3a)co3a)

7V2&7T2»

f(x)的增区间是一一,------十一ZeZ,

co3a)co3。

1-COS(2GX-----)

g(x)=sin2(cox-£)=-------....—

62

〜n，三,k7V4/,k冗24

2k兀<2cox---<2kjv+乃，贝!]——+——<x<——+——,

3a>6CDco3co

因此g(x)的增区间是[竺+"keZ,

CDDCDCD3d)

1+4-4-1?^TT

所以它们公共增区间是［可勺乃,三旦加,左€Z,每个区间的长度为总,

069069

由题意言=3'...ty=l;

13

⑵由⑴“r)=sin(x-£),“一一8s⑶-丁，

6g⑶=-------------

TT

已知式为sinA+1-cos(25——)=1,

2

TT7T

sinA=cos(2B---)=cos(---2B)=sin23=2sin3cosB,

22

由正弦定理、余弦定理得a=2b-「+c—”,整理得(6-c)(/-〃-历)=o,

lac

三角形是不等腰的三角形，即bwc,

a2-tr-bc=0>HPa2-b'=bc'

12.(2022•河北秦皇岛•统考三模)从①的@11/480=3404,②5诋=36这两

个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.

TT

问题：如图，在平面四边形A8CD中，已知A8=4,A=§,且__________.

(2)若N5OC=工，且4?人8C,求3c的长.

6

【答案】(1)粤

13

8、130

12

【分析】(1)若选①，先用正弦定理算出A。，然后用余弦定理算出80,再用正弦定

理计算sinNADB；若选②，先用面积公式算出A。，然后用余弦定理算出BD,再用正

弦定理计算sinZADB.

(2)先用两角和的正弦公式算出sinC,然后利用正弦定理计算8c的长.

(1)

选①

因为BZ>sin-4BD=3sinA,所以BDAD=3BD,解得4)=3,

所以BO?=AB?+AD?-2AO•A8cosA=16+9-12=13，

解得BD=V13.

14

,AB8。始./…ABsiM2732屈

由---------=,得sin/AZ)B=----------=-f=r=——

sin^ADBsinABD>/v313

选②

由5AB0=3G=gABAQsinA=64。，得AD=3,

所以5=AB2+AD2-2AZZABCOSA=16+9-12=13，解得8£)=相.

由」£=殁，得5%3=4=您=返

sin^ADBsiMBD71313

(2)

由(1)知8O=g,又AB15C,

所以sin/CBD=cos/ABD—,从而cos/CBD=3'^^

2x4V132626

13a85如2屈

所以sinC=sin(NBCC+NCBD)=__V____________I_______v__________—__________

22622613

,BC_BDBDsin/BDCV131313^

由碇菽^菽'得BC=一熹「=〒乂荻=可

13.（2022•河北唐山•统考三模）如图，在四边形A3c。中,

sinZBAD

48=30c=cos4ABD

sinZADB

（1）证明：△ABD为直角三角形;

（2）若43=6,求四边形A5CZ）面积S的最大值.

【答案】（1）证明见解析

(2)12

sinZBAD

【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简=cosZABD即可；

sinZADB

14

(2)由SgD=§SABD与S四边形ABCD=SYABD+^VBCD=1^XfABD'结合A。、BD?=36与基

本不等式求解即可

sinZBADBDAB

【详解】（1）=cosZABD由与余弦定理

sinZADBsin/BAD~sinZADB

15

.BDAB?+8》-A》

*'Afi~-2ABxBD'

整理得，AD2+BD2=AB2,

71

：.ZADB=-.

2

・・・△ABQ为直角三角形.

（2）*：AB=3DC^

,・・OqBCD-_13UvABD•

由AB=6,得AD?+BD?=36.

AD+BD

$3.=s“w,+s=-SAIII）=-X-XADXBD<-X-=-x—=n.（当

四段形A8CDAtil）,BCDflrD3AtitJ323232

且仅当AD=BD时取等号）

所以四边形A8CD面积S的最大值为12.

14.（2022•河北唐山•统考二模）ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知

6

a=2,acosCd--asinC=b-

3

⑴求4

（2）若点〃在比边上，AD平■分NBAG且A。=变，求_ABC的周长.

3

【答案】（1）。

⑵C+2

【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求出角A即可；

（2）利用角平分线分三角形面积等于两个小三角形面积之和得出等式，再用余弦定理

联立求解周长即可.

（1）

由正弦定理得sinAcosC+-^-sinAsinC=sinB,

3

在一ABC中，sinB=sin（A+C）=sin/IcosC+sinCcosA,

化简为避^sinAsinC=sinCeosA,又sinCwO,

3

/.tanA=A/3,又A£（0，兀）

(2)

16

依题意得s=-feesinA=-AD-csinZBAD+-ADbsinZCAD,

,222

BP>/3Z?c=^y-（Z?+c）,

由余弦定理得4=〃+c2-bc,

石

一方•（〃+（?）=4,解得b+c=\/6

.二ABC的周长为C+2.

15.（2022•河北•校联考模拟预测）在一4?。中，内角4B,。的对边分别为ab,c,

口田口。十方sin2Csin8

且7两足----=----------------

bsinAsinBsinA

⑴求a

（2）若a=3,ZACB的平分线交45于点。，且CD=1,求A

【答案】（1）；2乃

3

呜

【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理进行求解.

（2）依据题意作出简图，在△8CQ中，利用正弦定理及余弦定理求出角4得值，然后

在中，求解出角A的值，利用正弦定理，即可求解边。.

⑴

..a+bsin-CsinB百丁什上何团a+bc"b

解：・一=---------------,由正弦定理得：———一，

bsinAsinBsinAbaba

整理得：a2+b2-c2=-ab，

〃2+〃2―J2-ab_1

又由余弦定理得：cosC=----

lab2ab~~2

2

又C£（O,»）,故。二§乃.

⑵

根据题意作出简图，如下:

在△BCD中，a=CB=3,CD=l,2DCB=9,

17

由仝昉生础俎/"RCD2+CB2-BD2\2+32-BD21

由余弦定理得：cosZDCB=-----------------------=-----------------=—,

2CDCB2x1x32

解得BD=布,

]后

由正弦定理得：总=一咒〃,则；解得sinB=冬，

sinBsinZDCBsin—14

3

又由(1)知3w(0,q),故cosB=Jl-siYB=,

在2ABe中，sinA=sin(B+ZACB)=sinBcosZACB+cosBsinZACB

V21(1A577V3V21

=-----x——H-------x——=------,

14V2j1427

3AC

A「一.—=—.—a

由正弦定理得：4T=则⑨V21,解得AC==.

smAsinB———2

714

3

故b

2

16.(2022•河北•统考模拟预测)已知一ABC的内角4B,。的对边分别为ab,3

且(a+/?)cosC=c(cosA+cosB).

⑴求c；

(2)若A8边上的中线CO长为4,求二ABC面积的最大值.

【答案】(1)?

【分析】(1)利用余弦定理将已知的式子统一成边的形式，化简后，再利用余弦定理可

求出角C；

2

(2)在48和△88中分别利用余弦定理可得/+〃=£+32,再结合(1)中的

2

64

a2+b2-c2=ab,可得片+/?=64-"，然后利用基本不等可得而4方，再由三角形

的面积公式可求出其最大值

(1)

因为(a+")cosC=c(cosA+cos8),

所以由余弦定理得，3+力."2+〃2=/+/一*“2+.2_外,

2ah2hclac

(a+b)(a2+b2-c2)=a(b2+c2-a2)+b(a2+