2024年中考数学复习（全国版）专题07 分式方程及其应用【八大题型】（举一反三）（原卷版）

专题07分式方程及其应用【八大题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1由分式方程的解求参数】 2【题型2解分式方程】 2【题型3由分式方程无解或存在增根求参数】 3【题型4由分式方程的取值范围求参数】 3【题型5由实际问题抽象出分式方程】 4【题型6分式方程的应用与函数的综合运用】 4【题型7中考最热考法之以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用】 6【题型8中考最热考法之以数学文化为背景考查分式方程的实际应用】 8【知识点分式方程及其应用】1.定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2.分式方程的解法①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）；③检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。3.分式方程与实际问题解有关分式方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。第6步：答。【题型1由分式方程的解求参数】【例1】（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的方程2kx+3x-1-7x2-x=4k【变式1-1】（2023·山东淄博·统考中考真题）已知x=1是方程m2-x-1A．-2 B．2 C．-4 D【变式1-2】（2023·黑龙江·统考中考真题）下列分式方程中，解为x=A．4x-1=1x B．x【变式1-3】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）若关于x的不等式组3x+54≤x+32x+A．10 B．12 C．16 D．14【题型2解分式方程】【例2】（2023·河北·统考中考真题）根据下表中的数据，写出a的值为．b的值为．x结果代数式2n37b2a1【变式2-1】（2023·四川·中考真题）关于x的分式方程2x-1【变式2-2】（2023·西藏·统考中考真题）解分式方程：xx【变式2-3】（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）小丁和小迪分别解方程xx小丁：解：去分母，得x去括号，得x合并同类项，得3=解得x∴原方程的解是x小迪：解：去分母，得x去括号得x合并同类项得2解得x经检验，x=2你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．【题型3由分式方程无解或存在增根求参数】【例3】（2023·黑龙江·统考中考真题）若分式方程xx-1A．1 B．-1 C．2 D．【变式3-1】（2023·河北石家庄·校联考一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?x（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x=2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”【变式3-2】（2023·黑龙江鸡西·校考二模）若关于x的分式方程1x-2+axA．a≠32 B．a≠-1 C．a=-1【变式3-3】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）若关于y的分式方程2y+ay-4+2a4-y【题型4由分式方程的取值范围求参数】【例4】（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）若分式方程ax+2=1-3xA．a<-1且a≠-2 B．aC．a<-2且a≠-3 D．a【变式4-1】（2023·黑龙江鸡西·校考模拟预测）若关于x的分式方程x+mx-2A．m<6且m≠1 B．m<3且m≠2 C．m<6【变式4-2】（2023·河北·统考模拟预测）已知关于x的分式方程mx+6=1，对于方程的解，甲、乙两人有以下说法：甲：当m<4时，方程的解是负数；乙：当A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错【变式4-3】（2023·重庆·统考中考真题）若关于x的不等式组x+23>x2+14x+a<【题型5由实际问题抽象出分式方程】【例5】（2023·四川内江·统考中考真题）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（）A．26402x=C．26402x=【变式5-1】（2023·广东广州·统考中考真题）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60kmh，动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为xkmh，则下列方程正确的是（A．360x=480x+60 B．360x【变式5-2】（2023·湖北十堰·统考中考真题）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（

）A．1500x+20-800x=5 B．1500【变式5-3】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的14．在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物12天，运完全部货物．求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程，正确的是（A．14+1C．141+1【题型6分式方程的应用与函数的综合运用】【例6】（2023·湖北武汉·统考中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是．

【变式6-1】（2023·广东深圳·校联考模拟预测）按要求解答(1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？(2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度OC=OD=4米，人行道地基AC，BD宽均为2①此抛物线的函数表达式为________．（函数表达式用一般式表示）②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高________米．③已知人行道台阶CE，DF高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于+【变式6-2】（2023·内蒙古·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同．

(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；(2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，B两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：A厂家：一律打8折出售．B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒，设去A厂家购买应付y1元，去B厂家购买应付y①分别求出y1，y2与②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？【变式6-3】（2023·四川凉山·统考一模）某班家委会讨论决定购买A，B两种型号的口罩供班级学生使用，已知A型口罩每包价格a元，B型口罩每包价格比A型少4元，180元钱购买的A型口罩比B型口罩少12包．

(1)求a的值．(2)经与商家协商，购买A型口罩价格可以优惠，其中每包价格y（元）和购买数量x（包）的函数关系如图所示，B型口罩一律按原价销售．①求y关于x的函数解析式；②若家委会计划购买A型、B型共计100包，其中A型不少于30包，且不超过60包．问购买A型口罩多少包时，购买口罩的总金额最少，最少为多少元？【题型7中考最热考法之以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用】【例7】（2023·河南南阳·统考一模）2023春节档电影《满江红》热映，进一步激发观众爱国之情．帝都南阳与名将岳飞有着一段传颂至今的历史——公元1138年，岳飞统军过南阳到武侯祠敬拜诸葛亮，雨夜含泪手书前后《出师表》，为南阳留下了千古绝唱“三绝碑”．某超市采购了两批同样的《出师表》纪念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进25个．(1)求第二批每个挂件的进价；(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？【变式7-1】（2023·山西吕梁·统考一模）随着新能源汽车的普及，我国新能源汽车的保有量已经处于世界第一，解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向，从2023年开始，4C甚至6C的快速充电方案已经开始逐步落地．据测试数据显示，使用6C充电技术，每分钟充电量的续航里程（汽车所能行驶的路程）比采用4C技术提高了50%，若采用6C充电技术，续航里程480公里的充电时间，比采用4C充电技术续航里程【变式7-2】（2023·云南昭通·统考一模）瑞兔迎春，福满万家吉祥物“兔圆圆”拉开2023央视总台兔年春晚的帷幕．竖直的耳朵、微昂的脑袋、挺起的胸脯等设计巧思，彰显出奋进向上的精气神，某商店用1500元购进了一批“兔圆圆”玩具，过了一段时间，又用3500元购进一批“兔圆圆”玩具，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每个“兔圆圆”玩具的价格比第一次购进的价格贵了5元．(1)商店第一次购进“兔圆圆”玩具多少个？(2)若该商店两次购进的“兔圆圆”玩具按相同的标价销售，全部售完后利润不低于1150元，则每个“兔圆圆”玩具的标价至少是多少元？【变式7-3】（2023·河南安阳·统考一模）京东发布的《2023春节假期消费趋势》显示：消费者春节期间购物品类更加多元，也在节日之外更“日常化”，其中预制菜成交额同比增长超6倍．春节期间，某超市分别用2000元和1600元购进A，B两类同等数量的预制菜礼盒，已知B类预制菜礼盒每盒进价比A类预制菜礼盒每盒便宜20元，A，B两类预制菜礼盒每盒的售价分别是130元和120元．(1)求A，B两类预制菜礼盒的进价各是多少元；(2)第一次进的货很快销售一空，该超市决定第二次购进A，B两类预制菜礼盒共30盒，且购进的A类预制菜礼盒数量不少于B类预制菜礼盒数量的2倍，该超市第二次如何进货才能在销售完该次所进预制菜礼盒后，获得最大利润？并求出最大利润（此处指销售第二次所进预制菜礼盒的利润）．【题型8中考最热考法之以数学文化为背景考查分式方程的实际应用】【例8】（2023·安徽·校联考三模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？【变式8-1】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）《九章算术》是我国古代著名的数学专著之一．它总结了我国战国、秦汉时期的数学成就．其中有一题，原文：今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之大意为：现今有不善行者先走10里，善行者再按同路追赶不善行者，当善行者走到100里时，超过不善行者20里．问：善行者走多少里时追上了不善行者？【变式8-2】（2023·山东·统考中考真题）欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称），”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖得623(1)试问这两名农妇各带来多少个鸡蛋？(2)试问这