2024一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题19 函数的零点与方程的解-2024一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题19函数的零点与方程的解题型一求函数的零点1．关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（）A．当时，，B．若，则C．当时，则D．的零点是和【答案】ABD【解析】A选项，当时，原不等式可化为，解得，所以，；A正确；B选项，设，所以；因为不等式的解集为，，即不等式有解，所以必有，B正确；C选项，令，当时，可由函数向上平移个单位得到；又的零点为和；函数的零点为和；所以；C错；D选项，由C选项可知，，所以，令可得或，即的零点是和.故D正确.故选：ABD.2．若f(x)是奇函数，且x0是y＝f(x)＋ex的一个零点，则－x0一定是下列哪个函数的零点()A．y＝f(－x)ex－1 B．y＝f(x)e－x＋1C．y＝exf(x)－1 D．y＝exf(x)＋1【答案】C【解析】由已知可得f(x0)＝－ex0，则e－x0f(x0)＝－1，e－x0f(－x0)＝1，故－x0一定是y＝exf(x)－1的零点．3．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．【答案】（1）1和3(2)b的取值范围为(4，＋∞)【解析】（1）由，得出，再将代入函数，解方程即可；（2）根据二次函数的图象，只需即可.试题解析：(1)由f(0)＝f(4)，得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1，所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.故b的取值范围为(4，＋∞)．4．已知函数（1）若，求函数的零点；（2）若函数在上为增函数，求a的取值范围.【答案】（1）-2，0，；（2）【解析】（1）当时，由，得；当时，由得或.∴时，函数的零点为-2，0，.（2）函数在上是增函数，且，函数在上为增函数，且，若在[-1，+∞）上为增函数，则，∴.题型二函数零点存在定理的应用1．(多选题)已知函数，则下列对于的性质表述正确的是（）A．为偶函数B．C．在上的最大值为D．在区间上至少有一个零点【答案】ABCD【解析】解：因为，所以其定义域为，A选项，，所以函数为偶函数，故A正确；B选项，，故B正确；C选项，因为，当，单调递增，所以单调递减，因此，故C正确；D选项，因为，所以，，即，由零点存在性定理可得：在区间上存在零点，故D正确；故选：ABCD2．已知函数,,且,则下列结论错误的是A． B． C． D． E.【答案】AD【解析】因为函数,,都是增函数,所以,都是增函数,又,,所以,,,所以,所以,故A错误,B正确；因为,所以,,即,所以,故C正确,D错误；令,,则,,由于函数,都和相交,且和关于直线对称,又和的交点为,所以,所以E正确.故选：AD3．判定方程在区间内是否有实数解．若有，求出精确到0.01的近似解；若没有，请说明理由．【答案】没有，理由见解析.【解析】方程在区间内没有实数解．理由如下．设，则，，又根据函数，增长速度可知，当时，恒成立，故不存在，使．即方程在区间内没有实数解．4．函数和的图象如图所示，设两函数的图象交于点，且.（1）请指出图中曲线，分别对应的函数；（2）结合函数图象，判断的大小.【答案】（1）对应的函数为，对应的函数为；（2）.【解析】（1）当较大时，总有，故为的图象，为函数的图象.（2）由图象可得有两个不同的解，当或时，有；当时，有，令，因为，，，由零点存在定理可以得到，所以，，又为上的增函数，故，所以.题型三根据零点的分布求参数范围1．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是___.【答案】，.【解析】当时，由，得.函数有两个不同的零点，当时，函数还有一个零点，令得，，，实数的取值范围是.故答案为：，.2．若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由可得出，设函数，则直线与函数的图象有交点，作出函数与函数的图象如下图所示，由图象可知，则，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.3．函数在区间上有且只有一个零点，求实数k的取值范围．【答案】【解析】当时，，函数有1个零点3，符合题意；当时，因为所以函数在区间上有且只有一个零点，只需即可即，解得，所以，当时，函数在区间上有且只有一个零点，只需满足，即，解得综上可得或，即实数k的取值范围为4．已知时，函数恒有零点，求实数的取值范围.【答案】【解析】①当时，由，得，此时；②当时，令，即恒有解，即恒成立，即恒成立，则，解得.综上，对，函数恒有零点时，实数的取值范围是.5．关于的方程0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数的取值范围．【答案】【解析】令，依题意得即或解得－＜m＜0，即实数m的取值范围是.6．若常数使得关于的方程有唯一解，求的取值范围．【答案】【解析】由，解得或.由已知可得，可得，所以，在时有唯一解，作出函数在的图象如下图所示：因为，，由图可知，当时，直线与函数在上的图象有且只有一个交点，因此，实数的取值范围是.题型四函数与方程的综合应用1．若直线l：y＝kx﹣2与函数的图象恰好有2个不同的公共点，则k的取值范围为（）A．（﹣∞，0） B．C．（﹣∞，0）∪（2，+∞） D．【答案】D【解析】画出函数的图象，由图可知，当k＜0时，直线l与函数在区间（﹣∞，1）内有两个交点，与区间[1，+∞）的部分没有交点，因而满足条件，当k＝0时，直线l与函数只有一个交点，不满足条件，当k＞0时，直线l与函数在区间（﹣∞，1）内只有一个交点，当直线l与在区间[1，+∞）内的部分也有一个交点时满足条件，这时由y＝kx﹣2与y＝x2﹣4x+3联立，得，由得，当k＞2时，直线l也与f（x）在区间[1，+∞）内的部分也有一个交点，所以满足条件的k的取值范围为．故选：D．2．对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设（，）是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】是定义在上的“倒戈函数，存在满足，，，构造函数，，令，，在单调递增，在单调递减，所以取得最大值，或取得最小值，，，，故选：A．3．已知函数与，若对任意的，都存在，使得，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】因为，所以即，函数的图象开口朝上，对称轴为，①当，函数在上单调递增，所以，即，所以，解得；②当时，函数在上单调递减，所以，即，所以，解得；③当时，，，所以，解得；④当时，，，所以，解得；综上，实数a的取值范围是.故答案为：.4．已知函数，若方程