2024一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题1 集合的概念-2024一轮数学题型细分与精练（解析版）

专题1集合的概念题型一判断元素与集合的关系1．下面有四个语句:①集合N*中最小的数是0;②-a∉N，则a∈N;③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;④x2+1=2x的解集中含有两个元素.其中说法正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】因为N*是不含0的自然数，所以①错误;取a=，则-∉N，∉N，所以②错误;对于③，当a=b=0时，a+b取得最小值是0，而不是2，所以③错误;对于④，解集中只含有元素1，故④错误.故选：A2．下列四个命题：①{0}是空集；②若a∈N，则－a∉N；③集合{x∈R|x2－2x＋1＝0}含有两个元素；④集合是有限集．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2C．3 D．0【答案】D【解析】①{0}是含有一个元素0的集合，不是空集，所以①不正确；②当a＝0时，0∈N，所以②不正确；③因为由x2－2x＋1＝0，得x1＝x2＝1，所以{x∈R|x2－2x＋1＝0}＝{1}，所以③不正确；④当x为正整数的倒数时，∈N，所以是无限集，所以④不正确．故选：D3．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，给出如下四个结论：①；②；③若整数属于同一“类”，则；④若，则整数属于同一“类”.其中，正确结论的个数是（）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对于①，，，①正确；对于②，，即被除余，，②错误；对于③，设，，，能被整除，，③正确；对于④，设，，即，，不妨令，，，则，，，，属于同一“类”，④正确；综上所述：正确结论的个数为个.故选：.4．已知集合，，则a与集合A的关系是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：，，，，故选：．5．下列三个命题：①集合中最小的数是；②，则；③，，则的最小值是.其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】①表示自然数集，最小的数为，①错误；②若，则，②错误；③若，，则，③错误.正确命题的个数为个故选：6．用符号“”或“”填空：（1）0________N*，________Z；（2）________{x|x＜}，________{x|x＞4}；（3）(－1，1)________{y|y＝x2}，(－1，1)________{(x，y)|y＝x2}．【答案】∉∉∉∈∉∈【解析】（1）∉Z；（2），，∴；，即，∴；（3）(－1，1)为点，{y|y＝x2}中元素为数，故(－1，1){y|y＝x2}．又∵(－1)2＝1，∴(－1，1){(x，y)|y＝x2}．故答案为：；；；；；题型二根据元素与集合的关系求参数1．若由a2，2019a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以是（）A．0 B．2019C．1 D．0或2019【答案】C【解析】若集合M中有两个元素，则a2≠2019a.即a≠0且a≠2019.

故选：C.2．若集合中只有一个元素，则A． B． C．0 D．0或【答案】D【解析】解：集合中只有一个元素，当时，可得，集合只有一个元素为：．当时：方程只有一个解：即，可得：．故选：．3．已知集合A是由a﹣2，2a2+5a，12三个元素组成的，且﹣3∈A，求a=________.【答案】【解析】解：由﹣3∈A，可得﹣3=a﹣2，或﹣3=2a2+5a，由﹣3=a﹣2，解得a=﹣1，经过验证a=﹣1不满足条件，舍去.由﹣3=2a2+5a，解得a=﹣1或，经过验证：a=﹣1不满足条件，舍去.∴a=.故答案为：﹣.4．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为________.【答案】3【解析】∵，且，∴或，即或或，当时，与元素的互异性相矛盾，舍去；当时，与元素的互异性相矛盾，舍去；当时，满足题意，∴，故答案是3.5．已知集合，其中为常数，且．（1）若中至少有一个元素，求的取值范围；（2）若中至多有一个元素，求的取值范围．【答案】（1）；（2）或【解析】解：（1），由，解得，满足题意，因此．时，中至少有一个元素，，解得，．综上可得：的取值范围是．（2），由，解得，满足题意，因此．时，中至多有一个元素，，解得．综上可得：的取值范围是或．题型三利用集合互异性求参数1．含有三个实数的集合既可表示为，也可表示为，则的值为____．【答案】0【解析】由题意，可得，根据集合相等和元素的互异性，可得且，解得，此时集合所以.故答案为.2．已知集合，且，则实数的值为________．【答案】或0【解析】若则或当时，，符合元素的互异性；当时，，不符合元素的互异性，舍去若则或当时，，符合元素的互异性；当时，，不符合元素的互异性，舍去；故答案为：或0.3．已知集合，，若.（1）求实数的值；（2）如果集合是集合的列举表示法，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）∵，∴或者得或，验证当时，集合，集合内两个元素相同，故舍去∴（2）由上得，故集合中，方程的两根为1、-3.由一元二次方程根与系数的关系，得.4．已知，求的值．【答案】【解析】由已知条件得：若a＝0，则集合为{0，﹣1，﹣1}，不满足集合元素的互异性，∴a≠0；若a﹣1＝0，a＝1，则集合为{1，0，0}，显然a≠1；若a2﹣1＝0则a＝±1，由上面知a＝1不符合条件；a＝﹣1时，集合为{﹣1，﹣2，0}；∴a＝﹣1．5．含有三个实数元素的集合既可表示成，又可表示成，求的值．【答案】-1【解析】由题意得与表示同一个集合,所以且,,即,则有与表示同一个集合,所以,解得,所以，故答案为：题型四集合的描述方法1．给出下列说法：①集合用列举法表示为；②实数集可以表示为为实数或；③方程组的解组成的集合为.其中不正确的有______.（把所有不正确说法的序号都填上）【答案】①②③【解析】①由，即，得或或.因为，所以集合用列举法表示为.②实数集正确的表示为为实数或.③方程组的解组成的集合正确的表示应为或.故①②③均不正确.2．定义集合运算，集合，则集合所有元素之和为________【答案】18【解析】当当当当和为故答案为：183．设数集由实数构成，且满足：若（且），则．（1）若，试证明集合中有元素，；（2）判断集合中至少有几个元素，并说明理由；（3）若集合中的元素个数不超过8，所有元素的和为，且集合中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合．【答案】（1）证明见解析；（2）至少有3个元素．理由见解析（3）【解析】（1）由题意，因为，可得．因为，则．所以集合中有元素，．（2）由题意，可知若（且），则，，且，，，故集合中至少有3个元素．（3）由集合中的元素个数不超过8，所以由（2）知中有6个元素．设，，且，且，因为集合中所有元素的积为1，不妨设，或，或．当时，（舍去）或；若，则．∵集合中所有元素的和为，∴，∴，即，即，即，∴或3或，∴．当或时，同理可得．综上，．题型五元素个数的求解及参数问题1．用表示集合A中的元素个数，若集合，，且.设实数的所有可能取值构成集合M，则=（）A．3 B．2 C．1 D．4【答案】A【解析】由题意，，，可得的值为1或3，若，则仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，符合题意若，若仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，不合题意，故有二根，一根是0，另一根是a，所以必仅有一根，所以，解得，此时的根为1或，符合题意，综上，实数a的所有可能取值构成集合，故．故选：A．2．已知集合,则下列四个元素中属于M的元素的个数是（）①;②;③;④A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】①当时，可得，这与矛盾，②，可得，都是有理数，所以正确，③，，可得，都是有理数，所以正确，④而，，是无理数，不是集合中的元素，只有②③是集合的元素.故选：C3．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为A．77 B．49 C．45 D．30【答案】C【解析】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．4．选择适当的方法表示下列集合:（1）被5除余1的正整数组成的集合；（2）由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合；（3）方程(x2－9)x＝0的实数解组成的集合；（4）三角形的全体组成的集合.【答案】（1）{x|x=5k+1，k∈N}；（2）{(x，y)|y＝－x＋4，x