2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题46 直线与平面垂直-2023一轮数学讲义+题型细分与精练（原卷版）

专题46直线与平面垂直题型一对判定定理和性质定理的理解【例1】下列说法正确的有________(填序号)．①垂直于同一条直线的两条直线平行；②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．【变式1-1】下面四个命题：①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个．其中正确的是()A．①④B．②③C．①②D．③④【变式1-2】若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OABB．平面OACC．平面OBCD．平面ABC【变式1-3】如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．题型二线面垂直的判断【例2】如果直线与平面满足，，，，那么必有（）A.且B.且C.且D.和【变式2-1】设，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列判断正确的是()A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，则【变式2-2】直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是()A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β【变式2-3】下列命题①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊂α))⇒a⊥b；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a∥b))⇒b⊥α；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b∥α))⇒a⊥b;④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥b,a⊥b,b⊂α,c⊂α))⇒a⊥α；⑤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊥b))⇒b⊥α；⑥eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥a))⇒b∥α．其中正确命题的个数是()A．3B．4C．5D．6【变式2-4】如图已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为()A．1B．2C．3D．4题型三线面垂直的证明【方法小结】利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤：（1）在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；（2）确定这个平面内的两条直线是相交的直线；（3）根据判定定理得出结论。【例3】在正方体中ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心．求证：B1O⊥平面PAC．【变式3-1】如图，在四面体A­BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝eq\r(2).求证：BD⊥平面ACD.【变式3-2】如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．（1）求证：AN⊥平面PBM.（2）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.【变式3-3】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．证明：A1D⊥平面A1BC；【变式3-4】如图所示，已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，H是△ABC的垂心．求证：PH⊥平面ABC．【变式3-5】如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2eq\r(3)，BC＝6.求证：BD⊥平面PAC．题型四线面垂直证明线线垂直【方法小结】若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质；【例4】如图，已知正方体A1C.（1）求证：A1C⊥B1D1.（2）M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C.【变式4-1】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1【变式4-2】如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，EF与以异面直线AC,A1D都垂直相交，求证：EF//BD1.【变式4-3】如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点，PB＝PD.求证：PC⊥BD；题型五线面垂直证明线线平行【例5】如图在△ABC中，∠B＝90°，SA⊥平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别是N、M，求证：MN⊥SC．【变式5-1】如图，正四棱锥S－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱长是底面边长的eq\r(2)倍，O为底面对角线的交点，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥SD；（2）F为SD的中点，若SD⊥平面PAC，求证：BF∥平面PAC．【变式5-2】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.（1）若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；（2）求证：AD⊥PB.【变式5-3】如图所示，四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G.求证：AE⊥SB.【变式5-4】如图，