2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题44 平面与平面平行-2023一轮数学讲义+题型细分与精练(解析版)

专题44平面与平面平行题型一面面平行的概念辨析【例1】已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下面三个结论：①若，则；②若，则；③若是两条异面直线，且，则.其中正确结论的序号为（）A.①②B.①③C.②③D.③【答案】D【解析】由题意，若，，则与平行或异面，故①错误；若，则与可能平行也可能相交，故②错误；若，是两条异面直线，且，则，故③正确.故正确的结论只有③，故选D.【变式1-1】α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列说法，不正确的是()①⇒a∥b；②⇒a∥b；③⇒α∥β；④⇒α∥β；⑤⇒α∥a；⑥⇒a∥α；A．④⑥B．②③⑥C．②③⑤⑥D．②③【答案】C【解析】由基本事实4及平行平面的传递性知①④正确.举反例知②③⑤⑥不正确.②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内;故选C.【变式1-2】平面与平面平行的条件可以是（）A．内有无数多条直线都与平行B．直线，且C．直线，且直线不在内，也不在内D．一个平面内两条不平行的直线都平行于另一个平面【答案】D【解析】对于,内有无数多条直线都与平行，则可能相交，错；对于,直线，，且，，则可能相交，错；对于,直线，，且直线不在内，也不在内,，则可能相交，错；对于,一个平面内两条不平行的直线必相交，根据平面与平面平行的判定定理知正确．【变式1-3】平面平面，直线，，那么直线与直线的位置关系一定是（）A．平行B．异面C．垂直D．不相交【答案】D【解析】由题平面平面，直线，，则直线与直线的位置关系平行或异面，即两直线没有公共点，不相交.故选D.【变式1-4】已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（）A．内有无穷多条直线与平行B．直线////C．直线满足//////D．异面直线满足，且////【答案】D【解析】A错内有无穷多条直线与平行，平面与平面可能平行，也可能相交，B错若直线////，则平面与平面可能平行，也可能相交，C错若//////，则平面与平面可能平行，也可能相交，D正确当异面直线满足，且////时，可在上取一点，过点在内作直线//，由线面平行的判定定理，得//，异面，所以相交，再由面面平行的判定定理，得//，【变式1-5】已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列说法：①若α∩γ=a，β∩γ=b，且a∥b，则α∥β；②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β；③若a∥α，b∥β，且a∥b，则α∥β；④若a⊂α，a∥β，α∩β=b，则a∥b.其中正确说法的序号是________.【答案】②④【解析】①中，α与β可能相交，②由平面与平面平行的判定定理知正确，④由线面平行的性质知正确,故填②④.题型二面面平行的证明【例2】如图，在四棱锥中，，，，，分别为，的中点,证明：平面平面【答案】证明见解析；【解析】连接，∴，，∴为正三角形.∵为的中点，∴.∵，平面，∴.又平面，平面，∴平面.∵，分别为，的中点，∴.又平面，平面，∴平面.又平面，，∴平面平面.【变式2-1】已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、CC1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1E.【解析】如图，取BB1的中点G，连接EG、GC1，则有EGA1B1.又A1B1C1D1，∴EGC1D1.∴四边形EGC1D1是平行四边形，∴D1EGC1.又BGC1F，∴四边形BGC1F为平行四边形，∴BF∥C1G，∴BF∥D1E.又BF⊄平面B1D1E，D1E⊂平面B1D1E，∴BF∥平面B1D1E.又BD∥B1D1，同理可得BD∥平面B1D1E.又∵BF∩BD＝B，∴由平面与平面平行的判定定理得，平面BDF∥平面B1D1E.【变式2-2】如图，在四棱锥P-ABCD中，E为PA的中点，F为BC的中点，底面ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．求证：平面EFO∥平面PCD【答案】见解析【解析】因为E为PA的中点，O为AC的中点，所以EO∥PC，又EO⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以EO∥平面PCD，同理可证，FO∥平面PCD，又EO∩FO＝O，所以平面EFO∥平面PCD．【变式2-3】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F、G、H分别是AB、AC、A1B1、A1C1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.【解析】∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC．∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1GEB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.【变式2-4】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1.【解析】如图所示，连接SB，SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.同理可证EG∥平面BDD1B1，又∵EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.题型三利用面面平行证明线线平行【例3】如图，在四棱柱中，底面为梯形，，平面与交于点,求证：.【答案】证明见解析【解析】因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE平面AA1D，所以BE∥平面AA1D。因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC平面AA1D，所以BC∥平面AA1D。又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D。又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D。【变式3-1】如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接FN，求证：FN∥CM．【答案】见解析．【解析】因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB．又DE平面ABC，AB平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，所以平面DEF∥平面ABC．又平面PCM∩平面DEF＝FN，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以FN∥CM．【变式3-2】如图，在四面体中，点分别为棱上的点，点为棱的中点，且平面平面，）求证：【答案】证明见解析【解析】因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，又因为为的中点，所以有为的中点，同理：为的中点，所以为的中位线，所以.【变式3-3】如图，平面，平面，，求证：【答案】证明见解析【解析】由题意，平面，平面，∴平面，又平面，，∴平面平面，而平面平面，平面平面，∴.题型四利用面面平行证明线面平行【例4】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC上一点，M，N分别是AE，CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a，求证：MN∥平面ADD1A1.【解析】如图，取CD的中点K，连接MK，NK.因为M，N，K分别是AE，CD1，CD的中点，所以MK∥AD，NK∥DD1.又MK平面ADD1A1，AD平面ADD1A1，所以MK∥平面ADD1A1.同理NK∥平面ADD1A1.又MK∩NK＝K，所以平面MNK∥平面ADD1A1，又MN平面MNK，所以MN∥平面ADD1A1.【变式4-1】如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC,AS=AB,过点A做AF⊥SB，垂足为点F，点E,G分别是棱SA,SC的中点，点P在棱EG上，求证：PF//平面ABC.【解析】∵点E，G分别是侧棱SA，SC的中点，∴EG∥AC，∵AC在平面ABC中，EG在平面外，∴EG∥平面ABC，∵AS=AB，AF⊥SB，∴点F为SB的中点，∴EF∥AB，∵AB在平面ABC中，EF在平面外，∴EF∥平面ABC，∵EF与EG相交于点E，且EF，EG在平买EFG中，∴平面EFG∥平面ABC，∵PF⊂平面EFG，∴PF∥平面ABC【变式4-2】如图，四边形ABCD为矩形，ED⊥平面ABCD，AF∥ED.求证：BF∥平面CDE.【答案】证明见解析【解析】因为四边形ABCD为矩形，所以AB∥CD，因为AB平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE；又AF∥ED，因为AF平面CDE，ED⊂平面CDE，所以AF∥平面CDE；因为AF∩AB＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，所以平面ABF∥平面CDE，又BF⊂平面ABF，所以BF∥平面CDE.【变式4-3】如图所示，两条异面直线，与两平行平面，分别交于点，和，，点，分别是，的中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】过点作交于点，取的中点，连接，，，，，，如图所示：因为，所以，确定平面.则平面，平面，因为，所以.又分别为，的中点，所以，，，所以.又分别为，的中点，所以，且，所以，因为，所以平面.又平面，所以平面.题型五面面平行的简单应用【例5】如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形为截面，则四边形的形状为________.【答案】平行四边形【解析】∵平面ABFE∥平面CDHG，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．【变式5-1】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足_____时，有MN∥平面B1BDD1.【答案】M在线段FH上移动【解析】此时HN∥BD，MH∥DD1，∴平面MNH∥平面BDD1B1，∴MN∥平面B1BDD1．【变式5-2】过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．【答案】6【解析】各中点连线如图，只有面EFGH与面ABB1A1平行，在四边形EFGH中有6条符合题意．【变式5-3】如图，在多面体中，平面平面，且，则()A.平面B.平面C.D.平面平面【答案】A【解析】如图所示，取DG的中点M，连AM、FM，．则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形，∴且。∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE，∴AB∥FM。又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四边形ABFM是平行四边形，∴BF∥AM。又BF平面ACGD，AM平面ACGD，∴BF∥平面ACGD。选A．题型六面面平行中的动点问题【例6】在正方体中，、分别为、的中点，，，如图.（1）若交平面于点，证明：、、三点共线；（2）线段上是否存在点，使得平面平面，若存在确定的位置，若不存在说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且.【解析】（1），平面，平面，所以，点是平面和平面的一个公共点，同理可知，点也是平面和平面的公共点，则平面和平面的交线为，平面，平面，所以，点也是平面和平面的公共点，由基本事实3可知，，因此，、、三点共线；（2）如下图所示：设，过点作交于点，下面证明平面平面.、分别为、的中点，，平面，平面，平面.又，平面，平面，平面，，、平面，因此，平面平面.下面来确定点的位置：、分别为、的中点，所以，，且，则点为的中点，易知，即，又，所以，四边形为平行四边形，，四边形为正方形，且，则为的中点，所以，点为的中点，，因此，线段上是否存在点，且时，平面平面.【变式6-1】如图，在正三棱柱中，的面积为，.点为线段的中点，在线段上找一点，使得平面平面，并证明【解析】取的中点，连接.，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面；同理可得，四边形为平行四边形，平面；，平面，平面.平面平面.【变式6-2】已知四棱锥中，底面为平行四边形，点、、分别在、、上.（1）若，求证：平面平面；（2）若满足，则点满足什么条件时，面.【答案】（1）证明见解析；（2）当点是的中点时，面.【解析】（1），，四边形是平行四边形，，，平面，平面，平面.又，，平面，平面，平面.，、平面，平面平面；（2）连接交于点，连接，取的中点，取的中点，连接、、，则点为的中点，下面证明：当点为的中点时，平面.且为的中点，，为的中点，又点为的中点，，平面，平面，平面，同理，平面.，、平面，平面平面.平面，平面.因此，当点是的中点时，面.【变式6-3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面A