北师大版2018-2019学年九年级数学第二学期全册教案(含教学反思)

1．1锐角三角函数第1课时正切与坡度1．理解正切的意义，并能举例说明；(重点)2．能够根据正切的概念进行简单的计算；(重点)3．能运用正切、坡度解决问题．(难点)一、情境导入观察与思考：某体育馆为了方便不同需求的观众，设计了不同坡度的台阶．问题1：图①中的台阶哪个更陡？你是怎么判断的？问题2：如何描述图②中台阶的倾斜程度？除了用∠A的大小来描述，还可以用什么方法？方法一：通过测量BC与AC的长度算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度；方法二：在台阶斜坡上另找一点B1，测出B1C1与AC1的长度，算出它们的比，也能说明台阶的倾斜程度．你觉得上面的方法正确吗？二、合作探究探究点一：正切【类型一】根据正切的概念求正切值分别求出图中∠A、∠B的正切值(其中∠C＝90°)．由上面的例子可以得出结论：直角三角形的两个锐角的正切值互为________．解析：根据勾股定理求出需要的边长，然后利用正切的定义解答即可．解：如图①，tan∠A＝eq\f(16,12)＝eq\f(4,3)，tan∠B＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4)；如图②，BC＝eq\r(732－552)＝48，tan∠A＝eq\f(48,55)，tan∠B＝eq\f(55,48).因而直角三角形的两个锐角的正切值互为倒数．方法总结：求锐角的三角函数值的方法：利用勾股定理求出需要的边长，根据锐角三角函数的定义求出对应三角函数值即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题【类型二】在网格中求正切值已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC的值．解析：先证明△ACD≌△BCE，再根据tan∠ADC＝tan∠BEC即可求解．解：根据题意可得AC＝BC＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，CD＝CE＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，AD＝BE＝5，∴△ACD≌△BCE(SSS)．∴∠ADC＝∠BEC.∴tan∠ADC＝tan∠BEC＝eq\f(1,3).方法总结：三角函数值的大小是由角度的大小确定的，因此可以把求一个角的三角函数值的问题转化为另一个与其相等的角的三角函数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题【类型三】构造直角三角形求三角函数值如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，D为AC的中点，求tan∠ABD的值．解析：设AC＝BC＝2a，根据勾股定理可求得AB＝2eq\r(2)a，再根据等腰直角三角形的性质，可得DE与AE的长，根据线段的和差，可得BE的长，根据正切三角函数的定义，可得答案．解：如图，过D作DE⊥AB于E.设AC＝BC＝2a，根据勾股定理得AB＝2eq\r(2)a.由D为AC中点，得AD＝a.由∠A＝∠ABC＝45°，又DE⊥AB，得△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝eq\f(\r(2)a,2).∴BE＝AB－AE＝eq\f(3\r(2)a,2)，tan∠ABD＝eq\f(DE,BE)＝eq\f(1,3).方法总结：求三角函数值必须在直角三角形中解答，当所求的角不在直角三角形内时，可作辅助线构造直角三角形进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题探究点二：坡度【类型一】利用坡度的概念求斜坡的坡度(坡比)堤的横断面如图．堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是()A．1∶3B．1∶2.6C．1∶2.4D．1∶2解析：由勾股定理得AC＝12米．则斜坡AB的坡度＝BC∶AC＝5∶12＝1∶2.4.故选C.方法总结：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1∶m的形式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题【类型二】利用坡度解决实际问题已知一水坝的横断面是梯形ABCD，下底BC长14m，斜坡AB的坡度为3∶eq\r(3)，另一腰CD与下底的夹角为45°，且长为4eq\r(6)m，求它的上底的长(精确到0.1m，参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)．解析：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，根据已知条件求出AE＝DF的值，再根据坡度求出BE，最后根据EF＝BC－BE－FC求出AD.解：过点A作AE⊥BC，过点D作DF⊥BC，垂足分别为E、F.∵CD与BC的夹角为45°，∴∠DCF＝45°，∴∠CDF＝45°.∵CD＝4eq\r(6)m，∴DF＝CF＝eq\f(4\r(6),\r(2))＝4eq\r(3)(m)，∴AE＝DF＝4eq\r(3)m.∵斜坡AB的坡度为3∶eq\r(3)，∴tan∠ABE＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3)，∴BE＝4m.∵BC＝14m，∴EF＝BC－BE－CF＝14－4－4eq\r(3)＝10－4eq\r(3)(m)．∵AD＝EF，∴AD＝10－4eq\r(3)≈3.1(m)．所以，它的上底的长约为3.1m.方法总结：考查对坡度的理解及梯形的性质的掌握情况．解决问题的关键是添加辅助线构造直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计正切与坡度1．正切的概念在直角三角形ABC中，tanA＝eq\f(∠A的对边,∠A的邻边).2．坡度的概念坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，也就是坡角的正切值．在教学中，要注重对学生进行数学学习方法的指导．在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目．通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解和掌握基本概念、基础知识1.1锐角三角函数第2课时正弦与余弦1．理解正弦与余弦的概念；(重点)2．能用正弦、余弦的知识，根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角．(难点)一、情境导入如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m，他的相对位置升高了5m.如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了am呢？在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分别移动了多少？根据相似三角形的性质可知，当直角三角形的一个锐角的大小确定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也就确定了．二、合作探究探究点：正弦和余弦【类型一】直接利用定义求正弦和余弦值在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求sinA，cosA.解析：利用勾股定理求出AC，然后根据正弦和余弦的定义计算即可．解：由勾股定理得AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(132－52)＝12，sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(5,13)，cosA＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(12,13).方法总结：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，熟记三角函数的定义是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】已知一个三角函数值求另一个三角函数值如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝eq\f(3,5)，求sinB的值．解析：先由AD＝BC＝5，cos∠ADC＝eq\f(3,5)及勾股定理求出AC及AB的长，再由锐角三角函数的定义解答．解：∵AD＝BC＝5，cos∠ADC＝eq\f(3,5)，∴CD＝3.在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，∴AC＝eq\r(AD2－CD2)＝eq\r(52－32)＝4.在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(42＋52)＝eq\r(41)，∴sinB＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(4,\r(41))＝eq\f(4\r(41),41).方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题【类型三】比较三角函数的大小sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是()A．tan70°＜cos70°＜sin70°B．cos70°＜tan70°＜sin70°C．sin70°＜cos70°＜tan70°D．cos70°＜sin70°＜tan70°解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°.故选D.方法总结：当角度在0°<∠A<90°间变化时，0<sinA<1，1>cosA>0.当角度在45°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞1.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题【类型四】与三角函数有关的探究性问题在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC边(除端点外)上的一点，设∠ADC＝α，∠B＝β.(1)猜想sinα与sinβ的大小关系；(2)试证明你的结论．解析：(1)因为在△ABD中，∠ADC为△ABD的外角，可知∠ADC＞∠B，可猜想sinα＞sinβ；(2)利用三角函数的定义可求出sinα，sinβ的关系式即可得出结论．解：(1)猜想：sinα＞sinβ；(2)∵∠C＝90°，∴sinα＝eq\f(AC,AD)，sinβ＝eq\f(AC,AB).∵AD＜AB，∴eq\f(AC,AD)＞eq\f(AC,AB)，即sinα＞sinβ.方法总结：利用三角函数的定义把两角的正弦值表示成线段的比，然后进行比较是解题的关键．【类型五】三角函数的综合应用如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cos∠DAC.(1)求证：AC＝BD；(2)若sinC＝eq\f(12,13)，BC＝36，求AD的长．解析：(1)根据高的定义得到∠ADB＝∠ADC＝90°，再分别利用正切和余弦的定义得到tanB＝eq\f(AD,BD)，cos∠DAC＝eq\f(AD,AC)，再利用tanB＝cos∠DAC得到eq\f(AD,BD)＝eq\f(AD,AC)，所以AC＝BD；(2)在Rt△ACD中，根据正弦的定义得sinC＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(12,13)，可设AD＝12k，AC＝13k，再根据勾股定理计算出CD＝5k，由于BD＝AC＝13k，于是利用BC＝BD＋CD得到13k＋5k＝36，解得k＝2，所以AD＝24.(1)证明：∵AD是BC上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，tanB＝eq\f(AD,BD)，在Rt△ACD中，cos∠DAC＝eq\f(AD,AC).∵tanB＝cos∠DAC，∴eq\f(AD,BD)＝eq\f(AD,AC)，∴AC＝BD；(2)解：在Rt△ACD中，sinC＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(12,13).设AD＝12k，AC＝13k，∴CD＝eq\r(AC2－AD2)＝5k.∵BD＝AC＝13k，∴BC＝BD＋CD＝13k＋5k＝36，解得k＝2，∴AD＝12×2＝24.变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题三、板书设计正弦与余弦1．正弦的定义2．余弦的定义3．利用正、余弦解决问题本节课的教学设计以直角三角形为主线，力求体现生活化课堂的理念，让学生在经历“问题情境——形成概念——应用拓展——反思提高”的基本过程中，体验知识间的内在联系，让学生感受探究的乐趣，使学生在学中思，在思中学．在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.1.230°，45°，60°角的三角函数值1．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)2．能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算；(重点)3．能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应锐角的大小．(难点)一、情境导入在直角三角形中(利用一副三角板进行演示)，如果有一个锐角是30°(如图①)，那么另一个锐角是多少度？三条边之间有什么关系？如果有一个锐角是45°呢(如图②)？由此你能发现这些特殊锐角的三角函数值吗？二、合作探究探究点一：30°，45°，60°角的三角函数值【类型一】利用特殊角的三角函数值进行计算计算：(1)2cos60°·sin30°－eq\r(6)sin45°·sin60°；(2)eq\f(sin30°－sin45°,cos60°＋cos45°).解析：将特殊角的三角函数值代入求解．解：(1)原式＝2×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)－eq\r(6)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)－eq\f(3,2)＝－1；(2)原式＝eq\f(\f(1,2)－\f(\r(2),2),\f(1,2)＋\f(\r(2),2))＝2eq\r(2)－3.方法总结：解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型二】已知三角函数值求角的取值范围若cosα＝eq\f(2,3)，则锐角α的大致范围是()A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．0°＜α＜30°解析：∵cos30°＝eq\f(\r(3),2)，cos45°＝eq\f(\r(2),2)，cos60°＝eq\f(1,2)，且eq\f(1,2)＜eq\f(2,3)＜eq\f(\r(2),2)，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C.方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题【类型三】已知三角函数值，求角度根据下列条件，确定锐角α的值：(1)cos(α＋10°)－eq\f(\r(3),2)＝0；(2)tan2α－(eq\f(\r(3),3)＋1)tanα＋eq\f(\r(3),3)＝0.解析：(1)根据特殊角的三角函数值来求α的值；(2)用因式分解法解关于tanα的一元二次方程即可．解：(1)cos(α＋10°)＝eq\f(\r(3),2)，α＋10°＝30°，∴α＝20°；(2)tan2α－(eq\f(\r(3),3)＋1)tanα＋eq\f(\r(3),3)＝0，(tanα－1)(tanα－eq\f(\r(3),3))＝0，tanα＝1或tanα＝eq\f(\r(3),3)，∴α＝45°或α＝30°.方法总结：熟记特殊角的三角函数值以及将“tanα”看作一个未知数解方程是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题探究点二：特殊角的三角函数值的应用【类型一】特殊角的三角函数值与其他知识的综合已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－eq\f(\r(3),2)|＝0，试判断△ABC的形状．解析：根据非负性的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．解：∵(1－tanA)2＋|sinB－eq\f(\r(3),2)|＝0，∴tanA＝1，sinB＝eq\f(\r(3),2)，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形．方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题【类型二】利用特殊角的三角函数值求三角形的边长如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，若AC＝eq\r(3)，求线段AD的长．解析：首先根据直角三角形的性质推出∠BAC的度数，再求出∠CAD＝30°，最后根据特殊角的三角函数值求出AD的长度．解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD＝30°，∴在Rt△ADC中，AD＝eq\f(AC,cos30°)＝eq\r(3)×eq\f(2,\r(3))＝2.方法总结：解决此题的关键是利用转化的思想，将已知和未知元素化归到一个直角三角形中，进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题【类型三】构造三角函数模型解决问题要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt△ABC，使∠C＝90°，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝eq\r(3)，∠ABC＝30°，∴tan30°＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值．解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长，进而得出tan15°＝eq\f(CD,BC)，tan75°＝eq\f(BC,CD).解：作∠B的平分线交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E.∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.设CD＝x，则AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－eq\r(3).在Rt△ADE中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－eq\r(3))2＝(1－x)2，解得x＝2eq\r(3)－3，∴tan15°＝eq\f(2\r(3)－3,\r(3))＝2－eq\r(3)，tan75°＝eq\f(BC,CD)＝eq\f(\r(3),2\r(3)－3)＝2＋eq\r(3).方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计30°，45°，60°角的三角函数值1．特殊角的三角函数值30°45°60°sinαeq\f(1,2)eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(3),2)cosαeq\f(\r(3),2)eq\f(\r(2),2)eq\f(1,2)tanαeq\f(\r(3),3)1eq\r(3)2.应用特殊角的三角函数值解决问题课程设计中引入非常直接，由三角板引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．设计引题开门见山，节省了时间，为后面的教学提供了方便．在讲解特殊角三角函数值时也很细，可以说前部分的教学很成功，学生理解的很好.1.3三角函数的计算1．熟练掌握用科学计算器求三角函数值；(重点)2．初步理解仰角和俯角的概念及应用．(难点)一、情境导入如图①和图②，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子斜面的倾斜角为10°，楔子沿水平方向前进5cm(如箭头所示)．那么木桩上升多少厘米？观察图②易知，当楔子沿水平方向前进5cm，即BN＝5cm时，木桩上升的距离为PN.在Rt△PBN中，∵tan10°＝eq\f(PN,BN)，∴PN＝BNtan10°＝5tan10°(cm)．那么，tan10°等于多少呢？对于不是30°，45°，60°这些特殊角的三角函数值，可以利用科学计算器来求．二、合作探究探究点一：利用科学计算器解决含三角函数的计算问题【类型一】已知角度，用计算器求三角函数值用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：(1)sin47°；(2)sin12°30′；(3)cos25°18′；(4)sin18°＋cos55°－tan59°.解析：熟练使用计算器，对计算器给出的结果，根据题目要求用四舍五入法取近似值．解：根据题意用计算器求出：(1)sin47°≈0.7314；(2)sin12°30′≈0.2164；(3)cos25°18′≈0.9041；(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.方法总结：解决此类问题关键是熟练使用计算器，使用计算器时要注意按键顺序．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题【类型二】已知三角函数值，用计算器求锐角的度数已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)：(1)sinA＝0.7，sinB＝0.01；(2)cosA＝0.15，cosB＝0.8；(3)tanA＝2.4，tanB＝0.5.解析：熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据题目要求用四舍五入取近似值．解：(1)由sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；由sinB＝0.01，得∠B≈0.6°；(2)由cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；由cosB＝0.8，得∠B≈36.9°；(3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得∠B≈26.6°.方法总结：解决此类问题关键是熟练使用计算器，在使用计算器时要注意按键顺序．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型三】利用计算器比较三角函数值的大小(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：①sin30°________2sin15°cos15°；②sin36°________2sin18°cos18°；③sin45°________2sin22.5°cos22.5°；④sin60°________2sin30°cos30°；⑤sin80°________2sin40°cos40°.猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α________2sinαcosα；(2)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请根据提示，利用面积方法验证(1)中提出的猜想．解析：(1)利用计算器分别计算①至⑤各式中左边与右边的值，比较大小；(2)通过计算△ABC的面积来验证．解：(1)①＝②＝③＝④＝⑤＝猜想：＝(2)已知0°＜α＜45°，则sin2α＝2sinαcosα.证明：S△ABC＝eq\f(1,2)AB·sin2α·AC，S△ABC＝eq\f(1,2)×2ABsinα·ACcosα，∴sin2α＝2sinαcosα.方法总结：本题主要运用了面积法，通过用不同的方法表示同一个三角形的面积，来得到三角函数的关系，此种方法在后面的学习中会经常用到．探究点二：利用三角函数解决实际问题【类型一】非特殊角三角函数的实际应用如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝45°.因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．(1)求改直后的公路AB的长；(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?解析：(1)过点C作CD⊥AB于D，根据AC＝10千米，∠CAB＝25°，求出CD、AD，根据∠CBA＝45°，求出BD、BC，最后根据AB＝AD＋BD列式计算即可；(2)根据(1)可知AC、BC的长度，即可得出公路改直后该段路程比原来缩短的路程．解：(1)过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝10千米，∠CAB＝25°，∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)，AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)．∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)，BC＝eq\f(CD,sin∠CBA)＝eq\f(4.2,sin45°)≈5.9(千米)，∴AB＝AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3(千米)．所以，改直后的公路AB的长约为13.3千米；(2)∵AC＝10千米，BC＝5.9千米，∴AC＋BC－AB＝10＋5.9－13.3＝2.6(千米)．所以，公路改直后该段路程比原来缩短了约2.6千米．方法总结：解决问题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题【类型二】仰角、俯角问题如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡顶E的仰角∠EBN＝25.6°.现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE大约是多少米(结果精确到个位)．解析：根据锐角三角函数关系表示出BF的长，进而求出EF的长，得出答案．解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°.∵∠A＝45°，∴AF＝DF.设EF＝x，∵tan25.6°＝eq\f(EF,BF)≈0.5，∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x，故tan61.4°＝eq\f(DF,BF)＝eq\f(50＋2x,2x)＝1.8，解得x≈31.故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．所以，塔高DE大约是81米．方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计三角函数的计算1．已知角度，用计算器求三角函数值2．已知三角函数值，用计算器求锐角的度数3．仰角、俯角的意义本节课尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能真正提高课堂教学效率，提高成绩.1.4解直角三角形1．正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形；(重点)2．选择适当的关系式解直角三角形．(难点)一、情境导入如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为该市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段AC上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得∠DAC＝60°，∠DBC＝75°.又已知AB＝100米，根据以上条件你能求出观景台D到徒骇河西岸AC的距离吗？二、合作探究探究点：解直角三角形【类型一】利用解直角三角形求边或角已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对应边分别为a、b、c，按下列条件解直角三角形．(1)若a＝36，∠B＝30°，求∠A的度数和边b、c的长；(2)若a＝6，b＝6，求∠A、∠B的度数和边c的长．解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形．解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，eq\f(a,c)＝cosB，即c＝eq\f(a,cosB)＝eq\f(36,\f(\r(3),2))＝24eq\r(3)，∴b＝eq\f(1,2)c＝eq\f(1,2)×24eq\r(3)＝12eq\r(3)；(2)在Rt△ABC中，∵a＝6，b＝6，∴c＝6eq\r(2)，∠A＝∠B＝45°.方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】构造直角三角形解决长度问题一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12eq\r(2)，试求CD的长．解析：过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12eq\r(2)，∴BC＝AC＝12eq\r(2).∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝12eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝eq\f(BM,tan60°)＝4eq\r(3)，∴CD＝CM－MD＝12－4eq\r(3).方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型三】构造直角三角形解决面积问题在△ABC中，∠B＝45°，AB＝eq\r(2)，∠A＝105°，求△ABC的面积．解析：过点A作AD⊥BC于点D，根据勾股定理求出BD、AD的长，再根据解直角三角形求出CD的长，最后根据三角形的面积公式解答即可．解：过点A作AD⊥BC于点D，∵∠B＝45°，∴∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)×eq\r(2)＝1.∵∠A＝105°，∴∠CAD＝105°－45°＝60°，∴∠C＝30°，∴CD＝eq\f(AD,tan30°)＝eq\f(1,\f(\r(3),3))＝eq\r(3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)(CD＋BD)·AD＝eq\f(1,2)×(eq\r(3)＋1)×1＝eq\f(\r(3)＋1,2).方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题三、板书设计解直角三角形1．解直角三角形的概念2．解直角三角形的基本类型及其解法3．解直角三角形的简单应用本节课的设计，力求体现新课程理念．给学生自主探索的时间，给学生宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新能力、合作能力，激发学生学习数学的积极性、主动性.1.5三角函数的应用1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用；(重点)2．能够建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．(难点)一、情境导入为倡导“低碳生活”，人们常选择自行车作为代步工具，图①所示的是一辆自行车的实物图．图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm.点A、C、E在同一条直线上，且∠CAB＝75°.你能求出车架档AD的长吗？二、合作探究探究点：三角函数的应用【类型一】利用方向角解决问题某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．(1)试说明点B是否在暗礁区域外；(2)若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．解析：(1)求点B是否在暗礁区域内，其实就是求CB的距离是否大于16，如果大于则不在暗礁区域内，反之则在．可通过构造直角三角形来求CB的长，作CD⊥AB于D点，CD是Rt△ACD和Rt△CBD的公共直角边，可先求出CD的长，再求出CB的长；(2)本题实际上是问C到AB的距离即CD是否大于16，如果大于则无触礁危险，反之则有，CD的值在第(1)问已经求出，只要进行比较即可．解：(1)作CD⊥AB于D点，设BC＝x，在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，∴BD＝eq\f(1,2)x，CD＝eq\f(\r(3),2)x.在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(\f(\r(3),2)x,18＋\f(1,2)x)＝eq\f(\r(3),3).∴x＝18.∵18>16，∴点B是在暗礁区域外；(2)∵CD＝eq\f(\r(3),2)x＝9eq\r(3)，9eq\r(3)＜16，∴若继续向东航行船有触礁的危险．方法总结：解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】利用仰角和俯角解决问题某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动．在活动中，某小组为了测量校园内①号楼AB的高度(如图)，站在②号楼的C处，测得①号楼顶部A处的仰角α＝30°，底部B处的俯角β＝45°.已知两幢楼的水平距离BD为18米，求①号楼AB的高度(结果保留根号)．解析：根据在Rt△BCE中，tan∠BCE＝eq\f(BE,CE)，求出BE的值，再根据在Rt△ACE中，tan∠ACE＝eq\f(AE,CE)，求出AE的值，最后根据AB＝AE＋BE，即可求出答案．解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，CE⊥AB，∴四边形CDBE是矩形，∴CE＝BD＝18米．在Rt△BEC中，∵∠ECB＝45°，∴EB＝CE＝18米．在Rt△AEC中，∵tan∠ACE＝eq\f(AE,CE)，∴AE＝CE·tan∠ACE＝18×tan30°＝6eq\r(3)(米)，∴AB＝AE＋EB＝18＋6eq\r(3)(米)．所以，①号楼AB的高为(18＋6eq\r(3))米．方法总结：解决本题的关键是结合仰角、俯角构造直角三角形，然后再解直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题【类型三】求河的宽度根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82米．求AB的长(精确到0.1米，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5)．解析：设AD＝xm，则AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB＝2.5(x＋82)m，在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB＝4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．解：设AD＝xm，则AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，tan∠BCA＝eq\f(AB,AC)，∴AB＝AC·tan∠BCA＝2.5(x＋82)．在Rt△ABD中，tan∠BDA＝eq\f(AB,AD)，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴2.5(x＋82)＝4x，解得x＝eq\f(410,3).∴AB＝4x＝4×eq\f(410,3)≈546.7m.所以，AB的长约为546.7m.方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或宽度．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型四】仰角、俯角和坡度的综合应用如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度．她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i＝1∶1(即tan∠CED＝1)的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是15°.已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE的长度(参考数据：eq\r(2)≈1.41，结果精确到0.1米)．解析：作辅助线EF⊥AC于点F，根据速度乘以时间得出CE的长度，通过坡度得到∠ECF＝30°，通过平角减去其他角从而得到∠AEF＝45°，即可求出AE的长度．解：作EF⊥AC于点F，根据题意，得CE＝18×15＝270(米)．∵tan∠CED＝1，∴∠CED＝∠DCE＝45°.∵∠ECF＝90°－45°－15°＝30°，∴EF＝eq\f(1,2)CE＝135米．∵∠CEF＝60°，∠AEB＝30°，∴∠AEF＝180°－45°－60°－30°＝45°，∴AE＝eq\r(2)EF＝135eq\r(2)≈190.4(米)．所以，娱乐场地所在山坡AE的长度约为190.4米．方法总结：解决本题的关键是能借助仰角、俯角和坡度构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．三、板书设计三角函数的应用1．方向角的概念2．三角函数的实际应用本节课尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节，上课前多揣摩．让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．教师尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能真正提高课堂教学效率.1.6利用三角函数测高1．经历运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程，能够对所得到的数据进行分析；(重点)2．能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题．(难点)一、情境导入如图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？实际上，我们利用图①中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系(即勾股定理)，那么它的边与角又有什么关系？这就是本节要探究的内容．二、合作探究探究点：利用三角函数测高【类型一】测量底部可以到达的物体的高度如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部B处6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB的高度(结果精确到0.1米，eq\r(3)≈1.732)．解析：由题意可得四边形BCED是矩形，所以BC＝DE，然后在Rt△ACE中，根据tan∠AEC＝eq\f(AC,EC)，即可求出AC的长．解：∵BD＝CE＝6m，∠AEC＝60°，∴AC＝CE·tan60°＝6×eq\r(3)≈6×1.732≈10.4(米)，∴AB＝AC＋DE＝10.4＋1.5＝11.9(米)．所以，旗杆AB的高度约为11.9米．方法总结：本题借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型二】测量底部不可到达的物体的高度如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少厘米(结果精确到0.1cm，参考数据：eq\r(3)≈1.732)?解析：首先过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，进而求出FC的长，再求出BG的长，即可得出答案．解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G.∴四边形BFDG矩形，∴BG＝FD.在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝20×eq\f(1,2)＝10(cm)．在Rt△ABG中，∠BAG＝60°，∴BG＝AB·sin60°＝30×eq\f(\r(3),2)＝15eq\r(3)(cm)．∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋15eq\r(3)＋2＝12＋15eq\r(3)≈37.98≈38.0(cm)．所以，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm.方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形，转化为解直角三角形问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】利用三角板测量物体的高度如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离AB是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红眼睛与地面的距离CD是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧(点B、N、D在同一条直线上)．求出旗杆MN的高度(参考数据：eq\r(3)≈1.7，结果保留整数)．解析：过点A作AE⊥MN于点E，过点C作CF⊥MN于点F，由△AEM是等腰直角三角形得出AE＝ME，设AE＝ME＝xm，根据三角函数列方程求出x的值即可求解．解：过点A作AE⊥MN于点E，过点C作CF⊥MN于点F，则EF＝AB－CD＝1.7－1.5＝0.2(m)，在Rt△AEM中，∵∠AEM＝90°，∠MAE＝45°，∴AE＝ME.设AE＝ME＝xm，则MF＝(x＋0.2)m，FC＝(28－x)m.在Rt△MFC中，∵∠MFC＝90°，∠MCF＝30°，∴MF＝CF·tan∠MCF，∴x＋0.2＝eq\f(\r(3),3)(28－x)，解得x≈10.1，∴MN＝ME＋EN＝10.1＋1.7≈12(米)．所以，旗杆MN的高度约为12米．方法总结：解决问题的关键是作出辅助线构造直角三角形，设出未知数列出方程．三、板书设计利用三角函数测高1．测量底部可以到达的物体的高度2．测量底部不可到达的物体的高度3．利用三角板测量物体的高度本节课为了充分发挥学生的主观能动性，学生通过小组讨论，大胆地发表意见，提高了学生学习数学的兴趣．能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形，并通过解直角三角形解决实际问题，这本身是一个质的飞跃．在教学过程中，注重引导学生运用方程思想解决实际问题，数学思想方法的渗透使学生的能力发展先于知识能力，从而促进学生知识能力的提高.2.1二次函数1．理解、掌握二次函数的概念和一般形式；(重点)2．会利用二次函数的概念解决问题；(重点)3．列二次函数表达式解决实际问题．(难点)一、情境导入已知长方形窗户的周长为6m，窗户面积为ym2，窗户宽为xm，你能写出y与x之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？二、合作探究探究点一：二次函数的概念【类型一】二次函数的识别下列函数中是二次函数的有()①y＝x＋eq\f(1,x)；②y＝3(x－1)2＋2；③y＝(x＋3)2－2x2；④y＝eq\f(1,x2)＋x.A．4个B．3个C．2个D．1个解析：①y＝x＋eq\f(1,x)，④y＝eq\f(1,x2)＋x的右边不是整式，故①④不是二次函数；②y＝3(x－1)2＋2，符合二次函数的定义；③y＝(x＋3)2－2x2＝－x2＋6x＋9，符合二次函数的定义．故选C.方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】利用二次函数的概念求字母的值当k为何值时，函数y＝(k－1)xk2＋k＋1为二次函数？解析：根据二次函数的概念，可得k2＋k＝2且同时满足k－1≠0即可解答．解：∵函数y＝(k－1)xk2＋k＋1为二次函数，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＋k＝2，,k－1≠0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1或－2，,k≠1，))∴k＝－2.方法总结：解答本题要考虑两方面：一是x的指数等于2；二是二次项系数不等于0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型三】二次函数相关量的计算已知二次函数y＝－x2＋bx＋3，当x＝2时，y＝3.则x＝1时，y＝________．解析：∵二次函数y＝－x2＋bx＋3，当x＝2时，y＝3，∴3＝－22＋2b＋3，解得b＝2.∴这个二次函数的表达式是y＝－x2＋2x＋3.将x＝1代入得y＝4.故答案为4.方法总结：解题的关键是先确定解析式，再代入求值．【类型四】二次函数与一次函数的关系已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋m＋1.(1)若这个函数是一次函数，求m的值；(2)若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？解析：根据二次函数与一次函数的定义解答．解：(1)根据一次函数的定义，得m2－m＝0，解得m＝0或m＝1.又∵m－1≠0，即m≠1，∴当m＝0时，这个函数是一次函数；(2)根据二次函数的定义，得m2－m≠0，解得m≠0或m≠1，∴当m≠0或m≠1时，这个函数是二次函数．方法总结：熟记二次函数与一次函数的定义，另外要注意二次函数的二次项的系数不等于零．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题探究点二：从实际问题中抽象出二次函数解析式【类型一】从几何图形中抽象出二次函数解析式如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y(单位：米2)与x(单位：米)的函数关系式为多少？解析：根据已知由AB边长为x米可以推出BC＝eq\f(1,2)(30－x)，然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式．解：∵AB边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，∴BC＝eq\f(1,2)(30－x)，∴菜园的面积＝AB×BC＝eq\f(1,2)(30－x)·x，则菜园的面积y与x的函数关系式为y＝－eq\f(1,2)x2＋15x.方法总结：函数与几何知识的综合问题，关键是掌握数与形的转化．有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题【类型二】从生活实际中抽象出二次函数解析式某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．解析：(1)每件的利润为6＋2(x－1)，生产件数为95－5(x－1)，则y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]；(2)由题意可令y＝1120，求出x的实际值即可．解：(1)∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，∴第x档次，提高的档次是(x－1)档，利润增加了2(x－1)元．∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)；(2)由题意可得－10x2＋180x＋400＝1120，整理得x2－18x＋72＝0，解得x1＝6，x2＝12(舍去)．所以，该产品的质量档次为第6档．方法总结：解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计二次函数1．二次函数的概念2．从实际问题中抽象出二次函数解析式二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型．许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究．本节课是学习二次函数的第一节课，通过实例引入二次函数的概念，并学习求一些简单的实际问题中二次函数的解析式．在教学中要重视二次函数概念的形成和建构，在概念的学习过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.2.2二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质1．会用描点法画出形如y＝x2和y＝－x2的二次函数图象，理解抛物线的概念；(重点)2．通过观察图象能说出二次函数y＝x2和y＝－x2的图象特征和性质，并会应用．(难点)一、情境导入学生观看图片雨后天空的彩虹、河上架起的拱桥等都会形成一条曲线．问题1：这些曲线能否用函数关系式表示？问题2：如何画出这样的函数图象？二、合作探究探究点：二次函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质【类型一】二次函数y＝x2和y＝－x2的图象的画法及特点在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：(1)y＝x2；(2)y＝－x2.根据图象分别说出抛物线(1)(2)的对称轴、顶点坐标、开口方向及最高(低)点坐标．解析：利用列表、描点、连线的方法作出两个函数的图象即可．解：列表如下：xy)－2－1012y＝x241014y＝－x2－4－10－1－4描点、连线可得图象如下：(1)抛物线y＝x2的对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)，开口方向向上，最低点坐标为(0，0)；(2)抛物线y＝－x2的对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)，开口方向向下，最高点坐标为(0，0)．方法总结：画抛物线y＝x2和y＝－x2的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】二次函数y＝x2和y＝－x2的图象的增减性二次函数y＝(m＋1)x2的图象过点(－2，4)，则m＝________，这个二次函数的解析式为________，当x<0，y随x的增大而________(填“增大”或“减小”)；当x>0，y随x的增大而________(填“增大”或“减小”)．解析：将点(－2，4)代入y＝(m＋1)x2中得出m＝0.所以二次函数解析式为y＝x2.故当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大．故答案分别为0；y＝x2；减小；增大．方法总结：此类题的关键在于确定用二次函数的解析式，根据图象性质分析函数值的增减性得出答案．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题【类型三】二次函数y＝x2与一次函数的综合已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．解析：联立两解析式构成方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3x＋4，,y＝x2，))方程组的解即为交点坐标．解：由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3x＋4，,y＝x2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝16))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1.))所以直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．如图，连接AO、BO.∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，∴CO＝4.∴S△ACO＝eq\f(1,2)·CO·4＝8，S△BOC＝eq\f(1,2)×4×1＝2，∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.方法总结：解本题的关键是求直线和抛物线的交点，可联立方程求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计二次函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质1．二次函数y＝x2和y＝－x2的图象的画法及特点2．二次函数y＝x2和y＝－x2的图象的性质3．二次函数y＝x2和y＝－x2的应用在教学中主要采用了体验探究的教学方式，在教师的配合引导下，让学生自己动手作图，观察、归纳出二次函数的性质，体验知识的形成过程，力求体现“主体参与、自主探索、合作交流、指导引探”的教学理念.2.2二次函数的图象与性质第2课时二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质1．能画出二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的图象；(重点)2．掌握二次函数y＝ax2与y＝ax2＋c(a≠0)图象之间的联系；(重点)3．能灵活运用二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的知识解决简单的问题．(难点)一、情境导入在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋2的图象．观察这两个函数图象，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有哪些相同和不同之处？你能由此说出函数y＝2x2与y＝2x2＋2的图象之间的关系吗？本节就探讨二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的图象与性质．二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2的图象与性质关于二次函数y＝2x2，下列说法中正确的是()A．它的开口方向是向下B．当x<0时，y随x的增大而减小C．它的对称轴是x＝2D．当x＝0时，y有最大值是0解析：∵二次函数y＝2x2中，a＝2＞0，∴此抛物线开口向上，A选项错误；∵抛物线y＝2x2的对称轴为y轴，当x＜0时，函数图象在对称轴左侧，y随x的增大而减小，B选项正确，C选项错误；∵抛物线开口向上，∴此函数有最小值，D选项错误．故选B.方法总结：解答本题的关键是结合图象熟记二次函数y＝ax2的性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题探究点二：二次函数y＝ax2＋c的图象与性质【类型一】二次函数y＝ax2＋c的图象与y＝ax2的图象的关系二次函数y＝－3x2＋1的图象是将()A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到解析：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的．故选D.方法总结：熟记二次函数y＝ax2(a≠0)图象平移得到y＝ax2＋c图象的规律：“上加下减”．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型二】在同一坐标系中判断二次函数和一次函数的图象在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝ax2＋c的图象大致为()解析：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的点(0，c)，∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象从左向右上升，故C选项错误；当a＜0时，二次函数的图象开口向下，一次函数的图象从左向右下降，故A选项错误，D选项正确．故选D.方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题【类型三】二次函数y＝ax2＋c的图象与三角形的综合如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．解析：令抛物线解析式中y＝0求出x的值，确定出A点与B点的坐标，进而求出线段AB的长，△ABP可看作是以AB为底，P点的纵坐标的绝对值为高的三角形，根据已知面积求出高即为P点纵坐标的绝对值，代入解析式求出对应x的值，即可确定出P点坐标．解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，∴AB＝4.∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，∴eq\f(1,2)×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝±eq\r(6)，此时P点坐标为(eq\r(6)，2)，(－eq\r(6)，2)；当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝±eq\r(2)，此时P点坐标为(eq\r(2)，2)，(－eq\r(2)，2)．综上所述，P点的坐标为(eq\r(6)，2)或(－eq\r(6)，2)或(eq\r(2)，2)或(－eq\r(2)，2)．方法总结：解决本题的关键是会求二次函数与x轴的交点坐标以及掌握坐标系中三角形面积的求法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第11题三、板书设计二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的图象与性质1．二次函数y＝ax2的图象与性质2．二次函数y＝ax2＋c的图象与性质3．二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的应用本节课的设计重视学生数学学习的过程，采取数学归纳的方式，使学生有机会回忆亲身体验，亲历知识的自主建构过程，使学生学会从具体情境中提取概念，并作更深层次的数学概括与抽象，从而学会数学思考方式．注重创设机会，使学生有机会看到数学的全貌，体会数学的全过程．整堂课的设计围绕研究函数的图象及性质展开，以问题：“函数的性质有哪些？”为主线，通过对性质的探讨让学生清楚研究函数的必要性，明确学习目标，又让学生学会如何应用性质解决问题，体会知识的价值，增强求知欲.2.2二次函数的图象与性质第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质1．掌握二次函数y＝ax2与y＝a(x－h)2(a≠0)图象之间的联系；(重点)2．能灵活运用二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的知识解决简单的问题．(难点)一、情境导入二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象可以由y＝ax2(a≠0)的图象平移得到：当c>0时，向上平移c个单位长度；当c<0时，向下平移－c个单位长度．问题：函数y＝(x－2)2的图象，能否也可以由函数y＝x2平移得到？本节课我们就一起讨论．二、合作探究探究点：二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质【类型一】二次函数y＝a(x－h)2的图象顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y＝－eq\f(1,2)x2的图象相同的抛物线的解析式为()A．y＝eq\f(1,2)(x－2)2B．y＝eq\f(1,2)(x＋2)2C．y＝－eq\f(1,2)(x＋2)2D．y＝－eq\f(1,2)(x－2)2解析：因为抛物线的顶点在x轴上，所以可设该抛物线的解析式为y＝a(x－h)2(a≠0)，而二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)与y＝－eq\f(1,2)x2的图象相同，所以a＝－eq\f(1,2)，而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h＝2，把a＝－eq\f(1,2)，h＝2代入y＝a(x－h)2得y＝－eq\f(1,2)(x＋2)2.故选C.方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型二】二次函数y＝a(x－h)2的性质若抛物线y＝3(x＋eq\r(2))2的图象上的三个点，A(－3eq\r(2)，y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为________________．解析：∵抛物线y＝3(x＋eq\r(2))2的对称轴为x＝－eq\r(2)，a＝3＞0，∴x＜－eq\r(2)时，y随x的增大而减小；x＞－eq\r(2)时，y随x的增大而增大．∵点A的坐标为(－3eq\r(2)，y1)，∴点A在抛物线上的对称点A′的坐标为(eq\r(2)，y1)．∵－1＜0＜eq\r(2)，∴y2＜y3＜y1.故答案为y2＜y3＜y1.方法总结：函数图象上点的坐标满足解析式，即点在抛物线上．解决本题可采用代入求值方法，也可以利用二次函数的增减性解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题【类型三】二次函数y＝a(x－h)2的图象与y＝ax2的图象的关系将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是()A．向上平移1个单位B．向下平移1个单位C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位解析：抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象．故选C.方法总结：解决本题要熟练掌握二次函数的平移规律．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型四】二次函数y＝a(x－h)2与三角形的综合如图，已知抛物线y＝(x－2)2的顶点为C，直线y＝2x＋4与抛物线交于A、B两点，试求S△ABC.解析：根据抛物线的解析式，易求得点C的坐标；联立两函数的解析式，可求得A、B的坐标．画出草图后，发现△ABC的面积无法直接求出，因此可将其转换为其他规则图形的面积求解．解：抛物线y＝(x－2)2的顶点C的坐标为(2，0)，联立两函数的解析式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋4，,y＝（x－2）2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝4，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝6，,y2＝16.))所以点A的坐标为(6，16)，点B的坐标为(0，4)．如图，过A作AD⊥x轴，垂足为D，则S△ABC＝S梯形ABOD－S△ACD－S△BOC＝eq\f(1,2)(OB＋AD)·OD－eq\f(1,2)OC·OB－eq\f(1,2)CD·AD＝eq\f(1,2)(4＋16)×6－eq\f(1,2)×2×4－eq\f(1,2)×4×16＝24.方法总结：解决本题要明确以下两点：(1)函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解；(2)不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题【类型五】二次函数y＝a(x－h)2的探究性问题某抛物线是由抛物线y＝－2x2向左平移2个单位得到．(1)求抛物线的解析式，并画出此抛物线的大致图象；(2)设抛物线的顶点为A，与y轴的交点为B.①求线段AB的长及直线AB的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否存在点C，使△ABC为等腰三角形？若存在，求出这样的点C的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)抛物线y＝－2x2向左平移2个单位所得的抛物线的解析式是y＝－2(x＋2)2；(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式，即可得出其顶点A和B点的坐标，然后根据A，B两点的坐标即可求出直线AB的解析式；②本题要分三种情况进行讨论解答．解：(1)y＝－2(x＋2)2，图略；(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式y＝－2(x＋2)2，可得A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(0，－8)．因此在Rt△ABO中，根据勾股定理可得AB＝2eq\r(17).设直线AB的解析式为y＝kx－8，已知直线AB过A点，则有0＝－2k－8，k＝－4，因此直线AB的解析式为y＝－4x－8；②本题要分三种情况进行讨论：当AB＝AC时，此时C点的纵坐标的绝对值即为AB的长，因此C点的坐标为C1(－2，2eq\r(17))，C2(－2，－2eq\r(17))；当AB＝BC时，B点位于AC的垂直平分线上，所以C点的纵坐标为B点的纵坐标的2倍，因此C点的坐标为C3(－2，－16)；当AC＝BC时，此时C为AB垂直平分线与抛物线对称轴的交点．过B作BD垂直于抛物线的对称轴于D，那么在直角三角形BDC中，BD＝2(A点横坐标的绝对值)，CD＝8－AC，而BC＝AC，由此可根据勾股定理求出AC＝eq\f(17,4)，因此这个C点的坐标为C4(－2，eq\f(17,4))．综上所述，存在四个点，C1(－2，2eq\r(17))，C2(－2，－2eq\r(17))，C3(－2，－16)，C4(－2，－eq\f(17,4))．方法总结：本题主要考查了二次函数图象的平移及等腰三角形的构成情况，主要涉及分类讨论、数形结合的数学思想方法的运用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题三、板书设计二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质1．二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质2．二次函数y＝a(x－h)2的图象与y＝ax2的图象的关系3．二次函数y＝a(x－h)2的图象的应用本节课采用启发式、讨论式结合的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给学生留出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构.另外，在教学过程中，采用多媒体辅助教学，直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率.2.2二次函数的图象与性质第4课时二次函数y=a(x-h