2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列专题18.12 平行四边形全章十六类必考压轴题（人教版）含解析

2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列专题18.12平行四边形全章十六类必考压轴题【人教版】必考点1必考点1平行四边形中边的关系运用1．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠A＝120°，E是AB的中点，点F在平行四边形ABCD的边上，若△AEF为等腰三角形，则EF的长为_____．2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期中）如图，已知▱ABCD中，AF垂直平分DC，且AF=DC，点E为AF上一点，连接BE、CE，若∠CEF=2∠ABE，AE=2，则AD的长为______．3．（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为___________．4．（2022春·江西吉安·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，∠D<90°，点E在AD边上，CM⊥AD，垂足为M，以CE为边，E为直角顶点，作等腰直角△CEF，使点F落在射线AB上．(1)当△CED是边长为6的等边三角形时，∠AFE的度数为_______，AD的长为_______；(2)当AE=ED时，求∠ECD的度数；(3)是否存在AF=BF的情况，如果存在，求AE，ED和CM之间满足的数量关系；如果不存在，说明理由．5．（2022春·广东清远·八年级统考期末）在平形四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若DE=DC，∠CBD=45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．①当CD=6，CE=4时，求BE的长；②求证：CD=CH．6．（2022秋·湖北·九年级统考期中）如图，点P是▱ABCD内一点，∠BPC=90°(1)如图1，求证：PB=PC；(2)如图2，若AB=8，PC=52，且(3)如图3，将△PBA绕点P旋转至△PCE处，过D作DF⊥EP，交EP延长线于F，若AB=6AP，∠PAB=75°，直接写出必考点2必考点2平行四边形中的面积转换1．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，点E、F、G、H分别在▱ABCD的AD、AB、BC、CD边上，EG∥CD，FH∥AD，EG与FH交于点P，连接BD交FH于点Q，连接BP，设▱AEPF、▱EDHP、▱FPGB、▱PHCG的面积分别为S1、S2、S3、SA．S2−S1 B．S3−2．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在平行四边形FBCE中，点J，G分别在边BC，EF上，JG∥BF，四边形ABCD∼四边形HGFA，相似比k=3，则下列一定能求出A．四边形HDEG和四边形AHGF的面积之差 B．四边形ABCD和四边形HDEG的面积之差C．四边形ABCD和四边形ADEF的面积之差 D．四边形JCDH和四边形HDEG的面积之差3．（2022春·浙江·八年级阶段练习）如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S①S1+S3=S2+S4；②如果S4>S2，则S3>S4．（2022秋·上海·七年级校考期末）小明在学习了中心对称图形以后，想知道平行四边形是否为中心对称图形．于是将一张平行四边形纸片平放在一张纸板上，在纸板上沿四边画出它的初始位置，并画出平行四边形纸片的对角线，用大头针钉住对角线的交点．将平行四边形纸片绕着对角线的交点旋转180°后，平行四边形纸片与初始位置的平行四边形恰好重合．通过上述操作，小明惊喜地发现平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心．请你利用小明所发现的平行四边形的这一特征完成下列问题：(1)如图①，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O．过点O的直线l与边AB、CD分别相交于点M、N，四边形AMND的面积与平行四边形ABCD的面积之比为___________；(2)如图②，这个图形是由平行四边形ABCD与平行四边形ECGF组成的，点E在边CD上，且B、C、G在同一直线上．①请画出一条直线把这个图形分成面积相等的两个部分（不要求写出画法，但请标注字母并写出结论）；②延长GF与边AD的延长线交于点K，延长FE与边AB交于点H．联结EB、EK、BK，如图③所示，当四边形AHED的面积为10，四边形CEFG的面积为2时，求三角形EBK的面积．5．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．性质：“朋友三角形”的面积相等．例如：如图1，在△ABC中，如果AD是AB边上的中线，那么△ACD和△ABD是“朋友三角形”，则有S△ACD应用：如图2，在矩形ABCD中，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．(1)求证：△AOE和△AOB是“朋友三角形”．(2)如图3，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AD//BC，AD=DC=8，BC=12，点G在BC上，点E在AD上，DG与CE交于点F，GF=DF．①求证：△DFE和△DFC是“朋友三角形”；②连接AF，若△AEF和△DEF是“朋友三角形”，求四边形ABGF的面积．(3)在△ABC中，∠B=30°，AB=8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于6．（2022秋·重庆大足·九年级统考期末）如图1，两个等腰直角三角形△ABC、△EDC的顶点C重合，其中∠ABC=∠EDC=90°，连接AE，取AE中点F，连接BF,DF．(1)如图1，当B、C、D三个点共线时，请猜测线段BF、FD的数量关系，并证明；(2)将△EDC绕着点C顺时针旋转一定角度至图2位置，根据“AE中点F”这个条件，想到取AC与EC的中点G、H，分别与点F相连，再连接BG,DH，最终利用△BGF≌△FHD（SAS）证明了（1）中的结论仍然成立．请你思考当△EDC绕着点C继续顺时针旋转至图3位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；(3)连接BD，在△EDC绕点C旋转一周的过程中，△BFD的面积也随之变化．若AC=52,CB=32必考点3必考点3平行四边形中的角度转换1．（2022春·江西新余·八年级新余四中校考期中）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：①△ABE是等边三角形：②△ABC≌△EAD；③AD=AF：④S△ABE=SA．①②③ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②③④2．（2022春·江苏南京·八年级统考期中）如图，在等边三角形ABC中，AB=4，P为AC上一点（与点A、C不重合），连接BP，以PA、PB为邻边作平行四边形PADB，则PD的取值范围是_______．3．（2022秋·辽宁朝阳·九年级校考期中）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③EG=GF；④EA平分∠GEF．其中正确的是________．

4．（2022春·浙江·八年级期末）如图，四边形ABCD中，AB//CD,∠B=∠D，点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于H．∠DCE的平分线交AE于G．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）如图1，若AB=2AD=10，H为CD的中点，HE=6，求AC的长；（3）如图2，若∠BAC=∠DAE①∠AGC=2∠CAE，求∠CAE的度数；②∠AGC=n∠CAE,∠CAE=_____°（用含有n的式子表示）5．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在□ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G.(1)求证：BE⊥CF；(2)若AB=a，CF=b，求BE的长.6．（2022春·湖北武汉·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，点A（a，6），B（4，b），（1）若a，b满足(ab5)22a−b−10，①求点A，B的坐标；②点D在第一象限，且点D在直线AB上，作DC⊥x轴于点C，延长DC到P使得PC=DC，若△PAB的面积为10，求P点的坐标；（2）如图，将线段AB平移到CD，且点C在x轴负半轴上，点D在y轴负半轴上，连接AC交y轴于点E，连接BD交x轴于点F，点M在DC延长线上，连EM，3∠MEC+∠CEO=180°，点N在AB延长线上，点G在OF延长线上，∠NFG=2∠NFB，请探究∠EMC和∠BNF的数量关系，给出结论并说明理由.必考点4必考点4平行四边形中勾股定理的运用1．（2022春·浙江温州·八年级统考期中）如图，一副三角板如图1放置，AB＝CD＝6，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连接2．（2022春·广西贵港·八年级统考期中）如图，四边形ABCD为菱形，AB=3，∠ABC=60°，点M为BC边上一点且BM=2CM，过M作MN∥AB交AC，AD于点O，N，连接BN．若点P，Q分别为OC，BN的中点，则PQ的长度为________．3．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）已知：如图，在平行四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．(1)求证：四边形GEHF是平行四边形．(2)若AB=4，BC=7，当四边形GEHF是矩形时BD的长为．4．（2022秋·辽宁辽阳·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为平面内一点，以CD为腰在CD右侧作等腰Rt△CDE，且∠CDE=90°，过点B作BF∥DE，且BF=DE，连接(1)如图①，当点D在AC边上时，直接写出线段AF与AD的关系为；(2)将图①中的等腰Rt△CDE绕点C逆时针旋转α0°<α<45°到图②的位置，连接AD(3)若AD=3，AC=5，当A、E、F三点在一条直线上时，请直接写出CD的长．5．（2022春·广东广州·八年级广州市南武中学校考期中）如图：(1)如图1，平行四边形ABCD中，AM⊥BC于M，DN⊥BC于N．求证：BM=CN．(2)如图2，平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，求证：AC(3)如图3，PT是△PQR的中线，已知：PQ=7，QR=6，RP=5．求：PT的长度．6．（2022春·广东深圳·八年级深圳中学校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，过点C作CH⊥AB，垂足为H，求CH的长．必考点5必考点5平行四边形中的多解问题1．（2022春·浙江杭州·八年级期末）平行四边形的一边长为12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可能是（）A．8和12 B．9和13 C．12和12 D．11和142．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）已知：一组邻边分别为6cm和10cm的平行四边形ABCD，∠DAB和∠ABC的平分线分别交CD所在直线于点E，F，则线段EF的长为________cm．3．（2022春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA′，当折叠后△EPA′与△BEP的重叠部分的面积恰好为4．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）如图1，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E为BD上的一个动点，连接CE并延长到点F，使EF=CE，连接AF．(1)若点E与点B重合（如图2），判断AF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)若以A，F，B，E为顶点的四边形是平行四边形，BD=3，请直接写出线段BE的长度．5．（2022春·四川成都·八年级四川省成都市七中育才学校校考期末）已知△ABC为等边三角形，其边长为4．点P是AB边上一动点，连接CP．(1)如图1，点E在AC边上且AE=BP，连接BE交CP于点F．①求证：BE=CP；②求∠BFC的度数；(2)如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D．设BP=x，CD=y，求y与x的函数关系式；(3)如图3，在（2）的条件下，延长BC至点E，且CE=BP，连接QE，DE．在点P运动过程中，当△CEQ的周长为4+13时，求DE6．（2022春·浙江杭州·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm，点P从点B出发，沿线段BA，向点A以2cm/s的速度匀速运动；点Q从点D出发，沿线段DC向点C以（1）连结P、Q两点，则线段PQ长的取值范围是________；（2）当PQ=10cm时，求t的值；（3）若在线段CD上有一点E，QE=2cm，连结AC和PE．请问是否存在某一时刻使得AC平分PE？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．必考点6必考点6平行四边形中的动点问题1．（2022秋·广东广州·九年级广州四十七中校考期末）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为CA上一动点，E为BC延长线上的动点，始终保持CE=CD．连接BD和AE，将AE绕A点逆时针旋转90°到AF，连接DF(1)请判断线段BD和AF的位置关系并证明；(2)当S△ABD=1(3)如图2，连接EF，G为EF中点，AB=22，当D从点C运动到点A的过程中，EF的中点G也随之运动，请求出点G2．（2022春·贵州遵义·八年级校考期末）如图，点P是□ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．(1)当点P与点O重合时如图1，线段OE与线段OF的数量关系是______．(2)如图2，点P在OC上运动时（不与点O与C重合），（1）中的结论是否成立？(3)点P在OC的延长线上运动时，当∠OFE=60°时，如图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？3．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）如图（a），直线l1∶y=kx+b经过点A、B，OA=OB=3，直线l2:y=32x−2交y轴于点C，且与直线l(1)求直线l1(2)求△OCD的面积；(3)如图（b），点P是直线l1上的一动点，连接CP交线段OD于点E，当△COE与△DEP的面积相等时，求点P(4)在（3）的条件下，若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以D、C、P、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2022春·吉林四平·八年级统考期末）如图1，直线y＝kx＋b分别交x轴，y轴于点A，点B，点C、P分别是线段OB，AB的中点，且OC=32，CP＝2，动点D，E分别在直线CP和线段AB上，设点E的横坐标为m，线段CD的长为n（n>0），且m＋n＝3，以DO，DE为邻边作平行四边形(1)求出直线AB的解析式．(2)当n＝1时，请求出点F的坐标．(3)当点F落在△AOB的边OB或AB上时，求直接写出点F的坐标．5．（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B(1)CD边的长度为______cm，t的取值范围为______．(2)从运动开始，当t取何值时，PQ∥(3)从运动开始，当t取何值时，PQ=CD？6．（2022春·浙江温州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是(−16，0)，线段BC交y轴于点D，点D的坐标是(0，8)，线段CD=6．动点P从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，运动时间为t秒.(1)用t的代数式表示：BQ=_______，AP=_______；(2)若以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；(3)当△BQP恰好是等腰三角形时，求t必考点7必考点7平行四边形中的最值问题1．（2022秋·湖北黄冈·九年级统考期中）如图，点D，E是△ABC内的两点，且DE//AB，连结AD，BE，CE．若AB＝92，DE＝22，BC＝10，∠ABC＝75°，则AD+BE+CE的最小值为___________．2．（2022春·上海静安·八年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是___．3．（2022春·浙江·八年级期中）如图，已知在△ABC中，AB=AC=5,BC=6，点M是AC边上任意一点，连接MB，以MB、MC为邻边作平行四边形MCNB，连接MN，则MN的最小值_________．4．（2022春·江苏南通·八年级校联考期中）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+PD的最小值等于______.5．（2022春·重庆·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥AC，AD=AC，点E为AB上一动点，DE与AC相交于点G，CH⊥DE，垂足为H，CH的延长线与AB相交于点F，点P在边AB上（1）若DG=10，AG=1，求AB的长（2）求证DG=CF+FG（3）若AP=1，AD=42，请直接写出PH6．（2022春·四川遂宁·九年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝12AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；（2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值．必考点8必考点8构造平行四边形1．（2022春·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）如图，线段AB长为6cm，点C是线段AB上一动点（不与A，B重合），分别以AC和BC为斜边，在AB的同侧作等腰直角三角形△ADC，△CEB，点P是DE的中点，当点C从距离A点1cm处沿AB向右运动至距离B点1cm处时，点P运动的路径长是_____cm．2．（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）【模型建立】(1)如图1，已知在△ABC中，点D是AB边的中点，将△BDC沿CD翻折得到△FDC，连接FA，FB．①求证：△AFB是直角三角形；②延长FA，BC交于点E，判断CF与BE的数量关系，并证明你的结论；(2)【拓展应用】如图2，已知在△ABC中，点D是AB边的中点，点E是BC边上一点，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，连接FA，FB．①判断AF与DE的位置关系，并证明你的结论；②若AC∥EF，用等式表示线段BE，CE，3．（2022秋·广东广州·八年级华南师大附中校考期中）如图，△CAB与△CDE为等腰直角三角形．∠ACB=∠DCE=90°，连接AD、BE．(1)如图1，若∠CAD=30∘，(2)如图2，若A、D、E三点共线，AE与BC交于点F，且CF=BF，AD=3，求(3)如图3，BE与AC的延长线交于点G，若CD⊥AD，延长CD与AB交于点N，在BC上有一点M且BM=CG，连接NM，请猜想CN、4．（2022春·江苏无锡·八年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）我们知道，平行四边形的对边平行且相等，利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助．重温定理，识别图形（1）如图1，我们在探究三角形中位线DE和第三边BC的关系时，所作的辅助线为“延长DE到点F，使EF=DE，连接CF”，此时DE与DF在同一直线上且DE=12DF，又可证图中的四边形______为平行四边形，可得BC与DF的关系是______，于是推导出了“DE寻找图形，完成证明（2）如图2，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，△BEH是等边三角形，∠ABC=∠AEF=60°，连接CF、CH．求证：CF=BE．构造图形，解决问题．（3）如图3，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，连接BE、CF．直接写出CF与BE的数量关系．5．（2022秋·重庆渝北·八年级重庆市两江育才中学校校考期中）如图，△CAB与△CDE为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CDE＝∠CED＝45°，连接AD、BE．（1）如图1，若∠CAD＝28°，∠DCB＝10°，则∠DEB的度数为________度；（2）如图2，若A、D、E三点共线，AE与BC交于点F，且CF＝BF，AD＝3，求△CEF的面积；（3）如图3，BE与AC的延长线交于点G，若CD⊥AD，延长CD与AB交于点N，在BC上有一点M且BM＝CG，连接NM，请猜想CN、NM、BG之间的数量关系并证明你的猜想．6．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校考期中）已知ΔABC和ΔDEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点．（1）如图1，当点D在BC边上时，连接AD、BE，求证：AD=BE；（2）如图2，F是线段AD上的一点，连接CF，若AF=CF，试判断BE与CF的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图3，把ΔDEC绕点C顺时针旋转α角（0°<α<90°）将（2）问的条件AF=CF换成AF=FD，其他条件不变，（2）问中的关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出相应的正确的结论．必考点9必考点9矩形的折叠问题1．（2022春·福建福州·八年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，点O为对角线的交点，点E为CD上一点，沿BE折叠，点C恰好与点O重合，点G为BD上的一动点，则EG+CG的最小值m与BC的数量关系是（）A．3m=5BC B．m=2BC C．3m=7BC D．2m=7BC2．（2022秋·四川达州·九年级统考期末）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=25．以上结论中，你认为正确的有__________．（填序号）3．（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．(1)根据定义判矩形已知：如图1，在平行四边形ABCD中，AC,BD是它的两条对角线，AC=BD．求证：平行四边形ABCD是矩形．(2)动手操作有发现如图2，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系?并证明你的结论．(3)类比探究到一般如图3，将(2)中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，(2)中的结论是否仍然成立，请说明理由．(4)解决问题巧应用如图4，保持(2)中的条件不变，若G点是CD的中点，且AB=2，请直接写出矩形ABCD的面积．4．（2022春·湖北宜昌·八年级统考期末）（1）【操作发现】：如图一，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC的数量关系是．（2）【类比探究】：如图二，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）【应用】：如图三，将（1）中的矩形ABCD改为正方形，边长AB＝4，其它条件不变，求线段GC的长．5．（2022春·全国·八年级统考期末）已知：如图，矩形纸片ABCD的边AD=3，CD=2，点P是边CD上的一个动点（不与点C重合，把这张矩形纸片折叠，使点B落在点P的位置上，折痕交边AD与点M，折痕交边BC于点N.（1）写出图中的全等三角形.设CP=x，AM=y，写出y与x的函数关系式；（2）试判断∠BMP是否可能等于90°.如果可能，请求出此时CP的长；如果不可能，请说明理由.必考点10必考点10矩形与等腰三角形1．（2022秋·江西吉安·九年级统考期末）在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，点E在AD边上，若△BCE是等腰三角形，则线段DE的长为______．2．（2022秋·浙江·八年级期末）在一张长为6cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm3．（2022秋·福建福州·八年级校考期末）已知：若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角和是180°，则称这个两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．如图1，四边形ABCD中，BC是一条对角线，AB＝AC，DB＝DC，则点A与点D关于BC互为顶针点；若再满足∠A+∠D＝180°，则点A与点D关于BC互为勾股顶针点．初步思考(1)如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，D、E为△ABC外两点，EB＝EC，∠EBC＝45°，△DBC为等边三角形．①点A与点______关于BC互为顶针点：②求证：点D与点A关于BC互为勾股顶针点．实践操作(2)在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10．①如图3，点E在AB边上，点F在AD边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E、F，使得点E与点C关于BF互为勾股顶针点．（不写作法，保留作图痕迹）思维探究②如图4，点E是直线AB上的动点，点P是平面内一点，点E与点C关于BP互为勾股顶针点，直线CP与直线AD交于点F，求在点E运动过程中，当线段BE与线段AF的长度相等时AE的长．4．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）有一张矩形纸条ABCD，AB=15，BC=4，点M、N分别在边AB、CD上．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点E，F上．(1)如图，当点E与点D重合时①求证：△EMN是等腰三角形；②点G在EM上，当四边形EGNF为矩形时，求MG的长．(2)如图，若CN=3，点M从点A出发运动到终点B的过程中，若四边形MEFN的边ME与线段CD交于点P，求点P的运动路程．5．（2022春·上海长宁·八年级上海市民办新世纪中学校考期末）如图矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点P是边AD上一点，联结BP，过点P作PE⊥BP，交DC于E点，将△ABP沿直线PE翻折，点B落在点B′处，若△B′6．（2022秋·江苏·八年级期末）问题背景若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．如图1，四边形ABCD中，BC是一条对角线，AB=AC，DB=DC，则点A与点D关于BC互为顶针点；若再满足∠A+∠D=180°，则点A与点D关于BC互为勾股顶针点．初步思考(1)如图2，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，D、E为△ABC外两点，EB=EC，∠EBC=45°，△DBC为等边三角形．①点A与点______关于BC互为顶针点；②点D与点______关于BC互为勾股顶针点，并说明理由．实践操作(2)在长方形ABCD中，AB=8，AD=10．①如图3，点E在AB边上，点F在AD边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E、F，使得点E与点C关于BF互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹)思维探究②如图4，点E是直线AB上的动点，点P是平面内一点，点E与点C关于BP互为勾股顶针点，直线CP与直线AD交于点F．在点E运动过程中，线段BE与线段AF的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE的长；若不相等，请说明理由．7．（2011秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=10．（1）求矩形ABCD的周长；（2）E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处．①求DE的长；②点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长．（3）M是AD上的动点，在DC上存在点N，使△MDN沿折痕MN折叠，点D落在BC边上点T处，求线段CT长度的最大值与最小值之和．必考点11必考点11矩形的多解与最值1．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，矩形ABCD的边AD长为4，将△ADC沿对角线AC翻折得到△AD′C，CD′与AB交于点E，再以CD′为折痕，将△BCE进行翻折，得到△2．（2022秋·天津和平·九年级天津一中校考期末）如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则3．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是对角线BD上一点，EF⊥BC于点F，EG⊥CD于点G，连接FG，则EF+FG的最小值为______________．4．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角，得到矩形CDEF．设若A0,3，C4,0，则5．（2022春·辽宁沈阳·八年级统考期末）等边△ABC中，AB＝14．平面内有一点D，BD＝6，AD＝10，则CD的长为_____．6．（2022秋·天津·九年级校考期末）在平面直角坐标系中，矩形OABC，O为原点，A3,0,B3,4,C0,4，将△OBC绕点B(1)如图（1），当∠CBC′=30°(2)如图（2），当点O′恰好落在x轴上时，O′C′与①此时DB与DO②求点D的坐标；(3)求△AO必考点12必考点12菱形中的全等三角形的构造1．（2022春·山东济南·八年级统考期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD=DE，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：①OG=12AB；②S四边形ODGF>S△ABF；③由点A、B、A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④2．（2022秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点E，F，G分别是线段AB和线段AC上的动点，且AF=CG，若DE=1，AB=2，则DF+DG的最小值为______．3．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，交DC的延长线于点F．(1)如图1，求证：CE=CF；(2)如图2，FG∥BC,FG=EC，连接DG、EG，当∠ABC=120°时，求证：∠BDG=60°；(3)如图3，在（2）的条件下，当BE=2CE,AE=43时，求线段BD4．（2022春·山东德州·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=−34x+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A(1)求b的值和点D的坐标；(2)点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外）．①如图2，将△BMC沿CM折叠，点B的对应点是点E，连接ME并延长交AD边于点F，问△AMF的周长是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由；②点P是x轴上一个动点，Q是坐标平面内一点，探索是否存在一个点P，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点Q的坐标．5．（2022春·河南鹤壁·八年级鹤壁市外国语中学校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，EF经过点O且垂直于AC，分别与边AD，BC交于点F，E．(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AD＝3，CD=2，且∠ADC＝45°，直接写出四边形AECF6．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AC=2AB．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转β°0<β<180，分别交直线BC、AD于点E、F(1)当β=______°，四边形ABEF是平行四边形；(2)在旋转的过程中，从A、B、C、D、E、F中任意找4个点为顶点构造四边形．①β=______°，构造的四边形是菱形；②若构造的四边形是矩形，则不同的矩形应该有______个．必考点13必考点13正方形中线段的和差倍分关系1．（2022春·广东惠州·八年级统考期末）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段DG与BE、AE分别相交于点H、K．(1)求证：∠ABE=∠ADG；(2)判断BE与DG的关系，并说明理由；(3)若AB=62，AG=6，求DK2．（2022春·黑龙江绥化·八年级统考期末）已知四边形ABCD是正方形，等腰Rt△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．(1)当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，求证：AB＋BE＝AM；（提示：延长MF，交边BC的延长线于点H）(2)当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图③．请分别写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，不需要证明；(3)在（1）、（2）的条件下，若BE＝3，∠BAF＝15°，则AM的长为．3．（2022春·河南信阳·八年级统考期末）已知正方形ABCD与正方形CEFG，点M是AF的中点，连接DM，EM．(1)如图，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；(2)如图，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；(3)将（1）图中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB=13，CE=5，请直接写出MF的长__________．4．（2022春·山东济南·八年级统考期末）阅读下列材料：数学课上老师出示了这样一个问题：如图1，等腰Rt△PBF的直角顶点P在正方形ABCD的边AD上，斜边BF交CD于点Q，连接PQ．请探索PQ、AP、CQ的数量关系．某学习小组的同学经过探索，交流了自己的想法：利用现在所学的旋转知识，可将△ABP旋转到△CBE位置，然后通过证明△BPQ≌△BEQ来探索数量关系．(1)（问题解决）请你根据他们的想法写出PQ、AP、CQ的数量关系是________；(2)（学以致用）如图2，若等腰Rt△PBF的直角顶点P在正方形ABCD的边DA的延长线上，斜边BF的延长线交CD的延长线于点Q，连接PQ，猜想线段PQ，AP，CQ满足怎样的数量关系？并证明你的结论；(3)（思维拓展）等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内部一点，若BC＝2．则AP＋BP＋CP的最小值＝________．5．（2022秋·四川达州·九年级统考期末）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标物上，点B坐标为3,3．将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α0°<α<90°，得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P．连AP、AG（1）求证：△AOG≌△ADG；（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式（可能用到的数据：在Rt△中，30°内角对应的直角边等于斜边的一半）．（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．6．（2022春·江西南昌·八年级校联考期末）如图，四边形ABCD中，已知：A（a，0），B（0，b），C（c，0）和D（0，d）．（1）当四边形ABCD正方形时，写出a，b，c，d满足的等式关系：（2）若AB、BC、CD、DA的中点分别为E、F、G、H．①直接写出E、F、G、H四点的坐标；②证明：四边形EFGH是矩形；③若矩形EFGH是正方形，则a，b，c，d满足的等式关系是．7．（2022春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，P是正方形ABCD的边CD右侧一点，CP=CD，∠PCD为锐角，连PB，PD．（1）如图1，若PD=PC，则∠BPD的度数为；（2）如图2，作CE平分∠PCD交PB于E．①求∠BEC的度数；②猜想PD，BE，CE之间有何数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若PB=6，则四边形PCBD的面积为平方单位必考点14必考点14正方形中的折叠问题1．（2022春·江苏无锡·八年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期末）如图，E为正方形ABCD边AB上一动点（不与A重合），AB＝4，将△DAE绕点A逆时针旋转90°得到△BAF，再将△DAE沿直线DE折叠得到△DME．下列结论∶①若延长DE，则DE⊥BF；②若连接AM，则AM∥FB；③连接FE，当F、E、M三点共线时，AE=42−4；④连接EF、EC、FC，若△FEC是等腰三角形，则A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）已知正方形的边长为12，点P是边AD上的一个动点，连接BP，将△ABP沿BP折叠，使点A落在点A′上，延长PA′交CD于E，当点E与CD的中点F3．（2022春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如图，正方形ABCD的边长为6，点E为边AD的中点，将三角形ABE沿BE折叠使点A与恰好落在点F处，又将点C折叠使其与BF上的点M重合，且折痕GH与BF平行交CD于点H，则线段GH的长度为____．4．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）综合与实践数学活动课上，张老师找来若干张等宽的矩形纸条，让学生们进行折纸探究．(1)希望小组将如图（1）所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点A1处，折痕为BE埴空：图（1）中四边形ABA(2)智慧小组准备了一张如图（2）所示的长、宽之比为2+1:2的矩形纸片ABCD，用希望小组的方法折叠纸片，得到四边形ABA1E，接着沿过点C的直线折叠纸片，使点D落在EA(3)勤奋小组拿着一张如图（3）所示长为5，宽为2的矩形纸片ABCD，利用希望小组的方法折叠纸片，得到四边形ABA1E，在ED上取一点F（不与点D，E重合），沿CF折叠△CDF，点D的对应点为M，射线FM交直线BC①FY与CY的数量关系为______；②当射线FM经过△BA1E5．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）综合与实践动手操作：利用“正方形纸片的折叠和旋转”开展数学活动，探究体会图形在正方形折叠和旋转过程中的变化及其蕴含的数学思想方法．折一折：如图1，已知正方形ABCD的边长AB=6，将正方形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B的对应点M落在AC上，展开正方形ABCD，折痕为AE，延长EM交CD于点F，连接AF．(1)思考探究：图1中，与△ABE全等的三角形有________个，∠EAF=________°，BE、EF、DF三者的数量关系________，BE的长为________．转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转到图2所示位置，与BC、CD的交点分别为E、F，连接EF．(2)证明推理：图2中，BE、EF、DF三者的数量关系________．并给出证明．(3)开放拓展：如图3，在旋转∠EAF的过程中，当点F为CD的中点时，BE的长为________．6．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）【探究问题】（1）阅读并补全解题过程如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AB的中点，求证：DE平分∠ADC．张某某同学受到老师说过的“有中点，延长加倍构造全等”的启发，延长DE交射线CB于点F，请你依据该同学的做法补全证明过程．证明：延长DE交射线CB于点F．【应用】（2）如图②在长方形ABCD中，将△ABF沿直线AF折叠，若点B恰好落在边CD的中点E处，直接写出∠AFB的度数．【拓展】（3）如图③在正方形ABCD中，E为边AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在正方形ABCD内部的点F处，延长BF交CD于点G，延长EF交CD于点H，若正方形ABCD的边长为4，直接写出FG的值．7．（2022春·广东汕头·八年级统考期末）（1）如图1，在正方形ABCD中，AE，DF相交于点O且AE⊥DF．则AE和DF的数量关系为．（2）如图2，在正方形ABCD中，E，F，G分别是边AD，BC，CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．（3）如图3，在正方形ABCD中，E，F，M分别是边AD，BC，AB上的点，AE＝2，BF＝4，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点与CD边上的点N重合，求CN的长度．必考点15必考点15坐标系中的正方形1．（2022春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边OA1、OC1在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推，则正方形OB16B17C17的顶点B17的坐标是（

）A．(128，-128) B．(256，0) C．(256，256) D．(0，512)2．（2022春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=−125x+12的图象交x轴、y轴于A、B两点，以AB为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，过点C作CF⊥x轴于点F，交BD于点E，连接AEA．点D的坐标为(17,7) B．∠EAF=45°C．点C的坐标为(12,17) D．△AEF的周长为14+73．（2022春·湖北孝感·七年级统考期末）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，AD∥BC∥x轴，AD与y轴交于点E，OE=1，且AE,DE的长满足AE−3+|DE−1|=0(1)求点A的坐标；(2)若P(−2,−1)，①求△EPC面积；②正方形ABCD的边CD上是否存在点M，使S△ECM=S4．（2022秋·福建漳州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，B（8，6），过点B作AB∥x轴，交y轴于点A．过点B作BC⊥x轴，垂足为C，点E为OC的中点，点F在线段BC上，连接EF，将△CEF沿直线EF折叠得△DEF．(1)如图1，当四边形CFDE是正方形时，求点D的坐标；(2)如图2，当BF=2CF时，求点D到x轴的距离．5．（2022春·广东广州·八年级统考期末）在正方形ABCD中，点E是直线BC上一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）如图1，若点E是BC的中点．求证：AE=EF；（2）如图2，若点E是BC边上任意一点（不含B，C），结论“AE=EF”还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点E是BC延长线上任意一点，结论“AE=EF”还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（4）如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为4，若点F恰好落在直线y=12x+76．（2022秋·四川成都·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，一次函数y=−23x+4的图象与x轴和y轴分别交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O即停止运动．其中A、Q两点关于点P对称，以线段PQ为边向上作正方形（1）当t=2秒时，OQ的长度为；（2）设MN、PN分别与直线y=−23x+4交于点C、D，求证：MC=（3）在运动过程中，设正方形PQMN的对角线交于点E，MP与QD交于点F，如图2，求OF+EN的最小值．必考点16必考点16四边形中存在性问题1．（2022秋·福建福州·八年级福州华伦中学校考期末）在平面直角坐标系中，已知矩形OBCD，点C6,4，现将矩形OBCD绕点O逆时针旋转0°<∠EOB<180°得到矩形OEFG，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G(1)如图1，当点E恰好落在边CD上时，则EC的长为______(请直接写出答案)；(2)如图2，CD所在直线与OE、GF分别交于点H、M，且CH=MH．求线段MF的长度．(3)如图3，设点P为边FG的中点，连接PB，PE，BE，在矩形OBCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．2．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O．点E从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点F从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接EO并延长，交BC于点G，连接OF和EF．设运动时间为t（s）（(1)是否存在某一时刻t，使EF⊥BD垂直？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．(2)求△EOF的面积y（cm2）与运动时间t（s）的关系式．(3)求t为何值时，△AOE是等腰三角形？3．（2022秋·广东河源·九年级统考期末）折叠变换是特殊的轴对称变换，我们生活中常对矩形纸片进行折叠，这其中蕴含着丰富的数学知识和思想．(1)如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E是DC的中点，将矩形ABCD沿BE折叠，点C落在点F的位置．①求证：DF∥BE；②求DF的长度．(2)如图2，在直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，AD与y轴交于点E，OA＝2，OC＝23，点G是直线AC上的一个动点，在x轴上是否存在点H，使得以点E，A，G，H为顶点的四边形是菱形，求出点H坐标．4．（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级抚远市第三中学校考期末）如图，直角三角形ABC在平面直角坐标系中，直角边BC在y轴上，AB,BC的长分别是一元二次方程x2−14x+48=0的两个根，AB<BCA，且BC=2OB，P为AB上一点，且(1)求点A的坐标；(2)求过点P的反比例函数解析式；(3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2022秋·山东青岛·九年级青岛三十九中校考期末）如图1，正方形ABCD中，AB=8cm，点P从点D出发沿DA向点A匀速运动，速度是2cm/s，同时，点Q从点A出发沿AB方向，向点B匀速运动，速度是4cm/s，连接PQ、CP、CQ，设运动时间为t（s）（0<t<2）．(1)是否存在某一时刻t，使得PQ∥BD？若存在，求出(2)设△PQC的面积为s（cm2），求s与t(3)如图2，连接AC，与线段PQ相交于点M，是否存在某一时刻t，使S△QCM:S6．（2022春·四川达州·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点Am,0，与y轴交于点B0,n，且m，(1)求：S△AOB(2)D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角△BDE，连接EA，求直线EA与y轴交点F(3)在（2）的条件下，当AD=2时，在坐标平面内是否存在一点P，使以B、E、7．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，且B4,2，E为直线AC上一动点，连OE，过E作GF⊥OE，交直线BC、直线OA于点F、G，连OF(1)求直线AC的解析式．(2)当E为AC中点时，求CF的长．(3)在点E的运动过程中，坐标平面内是否存在点P，使得以P、O、G、F为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由．专题18.12平行四边形全章十六类必考压轴题【人教版】必考点1必考点1平行四边形中边的关系运用1．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠A＝120°，E是AB的中点，点F在平行四边形ABCD的边上，若△AEF为等腰三角形，则EF的长为_____．【答案】33或3或57【分析】△AEF为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30°直角三角形性质、平行四边形的性质可求解．【详解】解：当AE=AF时，如图，过点A作AH⊥EF于H，∵E是AB的中点，∴AE=1∵AE=AF，AH⊥EF，∠A=120°，∴∠AEF=∠AFE=30°，FH=EH，∴AH=12AE=∴EF=2EH=33当AF=EF时，如图2，过点A作AN⊥CD于N，过点F作FM⊥AB于M，

图2∵在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠A=120°，∴AD=BC=4，∠ADC=60°，∴∠DAN=30°，∴DN=12AD=2∵AB//CD，AN⊥CD，FM⊥AB，∴AN=MF=23∵AF=EF，FM⊥AB，∴AM=ME=3∴EF=M当AE=EF=3时，如图3，图3∴EF=3，综上所述：EF的长为33或3或57【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期中）如图，已知▱ABCD中，AF垂直平分DC，且AF=DC，点E为AF上一点，连接BE、CE，若∠CEF=2∠ABE，AE=2，则AD的长为______．【答案】3【分析】过点B作BM⊥CE于M，由平行四边形的性质得出AD=BC，AB=CD，AB∥CD，证明△BAE≌△BMEAAS，由全等三角形的性质得出AE=EM=2，AB=BM，证明Rt△AFD≌Rt△BMCHL，由全等三角形的性质得出FD=CM【详解】解：过点B作BM⊥CE于M，∵AF垂直平分DC，∴CF=DF，AF⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，AB∥∴AB⊥AF，∵∠BAE+∠AEM+∠BME+∠ABM=360°，∴∠ABM+∠AEM=180°，∵∠CEF+∠AEM=180°，∴∠CEF=∠ABM=∠ABE+∠EBM，又∵∠CEF=2∠ABE，∴∠ABE=∠EBM，∵BE=BE，∠BAE=∠BME=90°，∴△BAE≌∴AE=EM=2，AB=BM，∵AB=CD=AF，∴BM=AF，在Rt△AFD和RtAD=BCAF=BM∴Rt△AFD∴FD=CM，设CF=FD=x，则AB=BM=2x，EF=2x−2，CE=2+x，在Rt△CEF中，E∴2x−22解得x=3或x=0（舍去），∴CM=3，BM=6，∴BC＝∴AD=35故答案为：35【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．3．（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为___________．【答案】9.6【分析】设AC,ED交于点O，过点O作OF⊥BC于点F，勾股定理求得OB，等面积法求得OF，根据垂线段最短，当点D与点F，重合时，OD最小，进而求得DE的最小值，即可求解．【详解】设AC,ED交于点O，过点O作OF⊥BC于点F，如图所示，在四边形ADCE中，AO=CO，EO=DO，∵AB=BC=10，∴BO⊥AC，∵AC=12，∴AO=CO=6,在Rt△BOC中，BO=∵S△OBC∴OF=4.8，当点D与点F，重合时，OD最小，∴ED的最小值为2OD=9.6．故答案为：9.6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．4．（2022春·江西吉安·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，∠D<90°，点E在AD边上，CM⊥AD，垂足为M，以CE为边，E为直角顶点，作等腰直角△CEF，使点F落在射线AB上．(1)当△CED是边长为6的等边三角形时，∠AFE的度数为_______，AD的长为_______；(2)当AE=ED时，求∠ECD的度数；(3)是否存在AF=BF的情况，如果存在，求AE，ED和CM之间满足的数量关系；如果不存在，说明理由．【答案】(1)30°，6+2(2)45°(3)存在，4AE+2DE=5CM【分析】（1）利用等边三角形的性质得到DE=CD=CE=6，∠D=∠DEC=∠ECD=60°，利用平行四边形的性质及三角形内角和即可求出∠AFE的度数，由此得到AE=AF，过点A作AN⊥EF于N，求出EN=FN=12EF=12EC=3，利用勾股定理得到（2）取FC的中点N，连接EN，根据△EFC是等腰直角三角形，得到∠EGC=90°，∠GEC=∠GCE=45°，利用梯形中位线定理得到EG∥CD，即可求出（3）存在，当AF=BF时，延长EF交CB延长线于G，作EH⊥BC于H，则四边形EHCM是矩形，得到EH=CM，证明△AEF≌△BGF，推出AE=BG，EF=GF，得到GC=GB+BC=2AE+DE，设CE=x，则GE=2x，勾股定理求出GC，利用面积公式求出EH，即可得到结论【详解】（1）∵△CED是边长为6的等边三角形，∴DE=CD=CE=6，∠D=∠DEC=∠ECD=60°，∵∠CEF=90°，∴∠AEF=180°−90°−60°=30°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD+∠D=180°，∴∠BAD=120°，∴∠AFE=180°−∠A−∠AEF=30°=∠AEF，∴AE=AF，过点A作AN⊥EF于N，∴EN=FN=1在Rt△AEN中，AE=2AN，AN∴AN解得AN=3∴AD=AE+DE=6+23故答案为：30°，6+23（2）取FC的中点N，连接EN，∵△EFC是等腰直角三角形，∴∠EGC=90°，∠GEC=∠GCE=45°，∵AF∥CD，E为AD中点，G为∴EG∥∴∠ECD=∠GEC=45°；（3）存在，当AF=BF时，延长EF交CB延长线于G，作EH⊥BC于H，则四边形EHCM是矩形，∴EH=CM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠G=∠AEF,∠A=∠GBF，

∵AF=BF，∴△AEF≌∴AE=BG，EF=GF，∴GC=GB+BC=2AE+DE，∴GE=2CE，设CE=x，则GE=2x，∴GC=G∵S△CEG∴EH=CE⋅EG∴CM=EH=2∴GC=2AE+DE=5∴4AE+2DE=5CM．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟记各定理并熟练应用是解题的关键．5．（2022春·广东清远·八年级统考期末）在平形四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若DE=DC，∠CBD=45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．①当CD=6，CE=4时，求BE的长；②求证：CD=CH．【答案】(1)证明见解析(2)①42【分析】（1）通过ASA证明△BOE≌△DOF，得DF=BE，又DF∥BE，即可证明四边形（2）①过点D作DN⊥EC于点N，先根据勾股定理求出DN=42，由∠DBC=45°得BN=DN②根据DN⊥EC，CG⊥DE，得∠CEG+∠ECG=90°，∠DEN+∠EDN=90°，则有∠EDN=∠ECG，再证∠CDH=∠CHD，结论即可得证．【详解】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，在△BOE与△DOF中，∠EBO=∠FDOBO=DO∴△BOE≌△DOFASA∴DF=BE，又∵AD∥BC，即∴四边形BEDF是平行四边形．（2）①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N，∵DE=DC=6，DN⊥EC，CE=4，∴EN=CN=2，∴DN=D∵∠DBC=45°，DN⊥BC，∴∠DBC=∠BDN=45°，∴DN=BN=42∴BE=BN−EN=42∴BE的长为42②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE，∴∠CEG+∠ECG=90°，∠DEN+∠EDN=90°，∴∠EDN=∠ECG，∵DE=DC，DN⊥EC，∴∠EDN=∠CDN，∴∠ECG=∠CDN，∵∠DHC=∠DBC+∠BCH=45°+∠BCH，∠CDB=∠BDN+∠CDN=45°+∠CDN，∴∠CDB=∠DHC，∴CD=CH．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等知识．理解和掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．6．（2022秋·湖北·九年级统考期中）如图，点P是▱ABCD内一点，∠BPC=90°(1)如图1，求证：PB=PC；(2)如图2，若AB=8，PC=52，且(3)如图3，将△PBA绕点P旋转至△PCE处，过D作DF⊥EP，交EP延长线于F，若AB=6AP，∠PAB=75°，直接写出【答案】(1)见解析(2)32(3)2【分析】（1）由平行四边形的性质及∠BPC=90°，∠BAD−∠PCD=45°，可得（2）过点P作PE⊥AB于点E，交CD于点F，则由平行四边形的性质得PF⊥CD，证明△PEB≌△CFP，可得PE=CF，从而由已知面积关系可得PF=3CF，由勾股定理可求得CF的长，从而可求得平行四边形的面积；（3）连接DE，由旋转性质易得CE⊥CD，则可得∠DEF=30°，设AP=a，由旋转及勾股定理可分别求得DE、DF、EF，进而可求得PF，由勾股定理求得PD，则最后可求得结果．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD，∵∠BAD−∠PCD=45°，∴∠BCD−∠PCD=45°，即∠BCP=45°，∵∠BPC=90°，∴∠PBC=∠BCP=45°，∴PB=PC；（2）过点P作PE⊥AB于点E，交CD于点F，如图，∴∠PEA=∠PEB=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠PFC=∠PEA=90°，即PF⊥CD，∴∠FPC+∠FCP=90°，∵∠BPE+∠FPC=180°−∠BPC=90°，∴∠BPE=∠FCP，在△PEB与△CFP中，∠PEB=∠PFC=90°∠BPE=∠FCP∴△PEB≌△CFP，∴PE=CF，∵S△ABP即12∴PE:PF=1:3，∴PF=3PE=3CF，在Rt△PFC中，由勾股定理得：P即9CF解得：CF=5∴EF=PE+PF=4PE=4CF=45∴平行四边形的面积为；AB·EF=8×45（3）连接DE，如图，由旋转性质得：PE=AP，∠PEC=∠PAB=75°，∠PCE=∠PBA，CE=AB，∵AB∥∴∠ABC+∠BCD=180°，即∠PBA+∠PBC+∠PCB+∠PCD=180°，∵∠PBC+∠PCB=90°，∴∠PBA+∠PCD=90°，即∠PCE+∠PCD=90°，∴CE⊥CD，∵AB=CD，∴CE=CD=AB，∴∠CED=45°，∴∠DEF=∠PEC−∠CED=75°−45°=30°，设AP=a，则PE=a，CE=CD=AB=6在Rt△CED中，由勾股定理得DE=∵DF⊥PF，∠DEF=30°，∴DF=1在Rt△DFE中，由勾股定理得：EF=∴PF=EF−PE=3a−a=2a，在Rt△DFP中，由勾股定理得PD=∴PFPD故答案为：27【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，含30°角直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，综合性强，既要灵活运用这些知识，又要构造适当的辅助线，对学生而言有一定的难度．必考点2必考点2平行四边形中的面积转换1．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，点E、F、G、H分别在▱ABCD的AD、AB、BC、CD边上，EG∥CD，FH∥AD，EG与FH交于点P，连接BD交FH于点Q，连接BP，设▱AEPF、▱EDHP、▱FPGB、▱PHCG的面积分别为S1、S2、S3、SA．S2−S1 B．S3−【答案】D【分析】根据▱AEPF∽▱PHCG，设相似比=k，AE=m，AF=n，∠AFP=θ，得到S1、S2、S3、S4的面积等式，根据△BFQ∽△DHQ，得到相似比【详解】解：如图，∵▱AEPF∽▱PHCG，设相似比PHAE=PGAF=k∴DE=PH=CG=kAE=km，BF=PG=CH=kAF=kn，∴S1=mn·sinθ，S2∵△BFQ∽∴FQQH∴FQ=k∴PQ=FQ−FP=km−m=k−1过点B作BM⊥FH于点M，则BM=BF·sin∴S△BPQ∵S4∴S△BPQ故选：D．【点睛】本题考查相似多边形的性质，平行四边形的性质，三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．2．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在平行四边形FBCE中，点J，G分别在边BC，EF上，JG∥BF，四边形ABCD∼四边形HGFA，相似比k=3，则下列一定能求出A．四边形HDEG和四边形AHGF的面积之差 B．四边形ABCD和四边形HDEG的面积之差C．四边形ABCD和四边形ADEF的面积之差 D．四边形JCDH和四边形HDEG的面积之差【答案】C【分析】分别过点A，D作BC的平行线，根据相似比，找出对应相似图形的面积关系，然后找出符合的选项即可．【详解】解：如图，分别过点A，D作BC的平行线交CE于点M，交BF于点N，∵四边形ABCD∼四边形HGFA，相似比k=3，∴CD=3AF=3ME，BC=3FG=3BJ，△BCD∼△BJI，相似比k=3，则S▱BCDN=3S∵S∴S故选：C．【点睛】本题考查了根据相似比求面积关系，平行四边形性质，相似三角形性质等知识，适当添加辅助线，找出对应面积关系，采用面积作差方法是解题关键．3．（2022春·浙江·八年级阶段练习）如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S①S1+S3=S2+S4；②如果S4>S2，则S3>S【答案】①④⑤【分析】根据平行四边形的性质得AB=CD，AD=BC，设点P到AB，BC，CD，DA的距离分别是ℎ1，ℎ2，ℎ3，ℎ4，再根据三角形的面积公式整理判断①；然后根据三角形面积公式可判断②③；再根据两个等高的三角形面积的比等于底的比，得出S1【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC．设点P到AB，BC，CD，DA的距离分别是ℎ1，ℎ2，ℎ3则S1=12AB·ℎ1∵12AB·ℎ∴S平行四边形∴S2根据S4>S2只能判断ℎ4根据S3=2S1，能得出ℎ3∵点P在对角线BD上，∴S1:S∴S1由S1−S2=S3∴点P一定在对角线在BD上，故⑤正确，综上所述，正确的结论是①④⑤．故答案为：①④⑤【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的面积等，用平行四边形的面积表示出相应的两个三角形的面积的和是解本题的关键．4．（2022秋·上海·七年级校考期末）小明在学习了中心对称图形以后，想知道平行四边形是否为中心对称图形．于是将一张平行四边形纸片平放在一张纸板上，在纸板上沿四边画出它的初始位置，并画出平行四边形纸片的对角线，用大头针钉住对角线的交点．将平行四边形纸片绕着对角线的交点旋转180°后，平行四边形纸片与初始位置的平行四边形恰好重合．通过上述操作，小明惊喜地发现平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心．请你利用小明所发现的平行四边形的这一特征完成下列问题：(1)如图①，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O．过点O的直线l与边AB、CD分别相交于点M、N，四边形AMND的面积与平行四边形ABCD的面积之比为___________；(2)如图②，这个图形是由平行四边形ABCD与平行四边形ECGF组成的，点E在边CD上，且B、C、G在同一直线上．①请画出一条直线把这个图形分成面积相等的两个部分（不要求写出画法，但请标注字母并写出结论）；②延长GF与边AD的延长线交于点K，延长FE与边AB交于点H．联结EB、EK、BK，如图③所示，当四边形AHED的面积为10，四边形CEFG的