第7练 函数的性质（解析版）-2023届高三数学一轮复习五层训练（新高考地区）

第7练函数的性质

一、课本变式练

1.(人A必修一P85习题3.2T5变式)下列函数是奇函数的是()

2

x_x3xII

A.y=2+2~B.y=xiC.y=—―-D.y=x\x\

【答案】D

【解析】y=/(x)=2'+2T,定义域为R关于原点对称，且〃-x)=2T+2'=/(x),故该函数为偶函数,

3_

故A不符题意；y=/(x)=/=J47,定义域为［0,8)不关于原点对称，.•.该函数为非奇非偶函数，故B

不符题意：y=f(x)=lg(-x),定义域由一x>0得(-00,0)不关于原点对称，故该函数为非奇非偶函数，故

C不符题意；y=/(x)=x|x|,定义域为R关于原点对称，且x)=-x|x|=-〃力，故该函数为奇函数,

故选D.

2.(人A必修一P85习题3.2T7(1)变式)下列函数在(1,3)上单调递减的是()

A.y=x2-4xB.y=2'-1

C.y=D.y=cosx+l

【答案】D

【解析】A：由二次函数性质知，y=d-4x图象开口向上，且在(ro,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递

增，故A错误；

B：根据指数函数的单调性知I,函数y=2,在R上单调递增，将y=2»图象向右平移1个单位长度得出丫=2一

的图象，其在(1,3)上单调递增，故B错误；

C:由篝函数的单调性知y=场在［0,+8)上单调递增，其在(1,3)上单调递增，故C错误；

D：根据余弦函数的单调性知，y=cosx+l在(2版',2^+万)(4eZ)上单调递减，当左=0时，

(2版;2Qr+乃)=(0㈤，又(1,3)口0,万)，所以y=cosx+l在(1,3)上单调递减，故D正确.

故选D.

3.(人A必修一P85习题3.2T11变式)已知函数f(x)为R上的奇函数，当无<0时，〃x)=x+2,则

/(x)=.

x+2,x<0

【答案】/(x)=-o

x-2,x>0

【解析】因为/(x)为R上的奇函数，所以"0)=0,当x>0时r<0,此时〃x)=-f(r)=—(r+2)=x-2,

x+2,x<0

所以"x)=,0.

x-2,x>0

4.(人A必修一P85习题3.2T7(2)变式)函数/(x)=+一2万的最小值是.

【答案】3

【解析】“X)在定义域［3,内)上为增函数，所以其最小值为〃3)=3.

二、考点分类练

(一)函数的值域与最值

5.(2022届广东省深圳市高三上学期期末)如果函数/(“对任意的实数*,都有〃1+耳=/(一),且当犬2；

时，/(x)=log2(3x-l),那么函数f(x)在［-2,0］上的最大值与最小值之和为()

A.2B.3C.4D.-1

【答案】C

【解析】根据/(l+x)=/(-X),可知：/⑴关于x对称，那么要求函数/(X)在［-2,0］上的最大值与最小

值之和，即求函数“X)在［1,3］上的最大值与最小值之和，因为，(力=1。8式3》-1)递增，所以最小值与最大

值分别为：/⑴=1,/(3)=3,/(1)+/(3)=4,故选C.

6.(2022届浙江省3月联考)已知函数〃x)=T二，g(x)=log2x+«,若存在%«3,4］,任意电«4,8］,

使得f(xjNg(w),则实数。的取值范围是.

【答案】b

【解析】若解劝在［3,4］上的最大值f(x)1nM,8(》)在［4,8］上的最大值8@)2,由题设,只需析x)1aNg(x)1rax

即可.在［3,4］上，f(x)=2+xN2、氏=6当且仅当x=3时等号成立，由对勾函数的性质：Ax)在［3,4］上递

xVx

增，故/(0侬=2?5在［4,8］上，g(x)单调递增，则g(x)max=3+*所以2亍5N3+*可得13

(二)函数的奇偶性

7.(2022届甘肃省兰州市高三诊断)已知/(X)是奇函数，当x>0时，/(x)=-log2(or),若/(-4)=3,

则”=()

13

A.—B.—C.2D.1

322

【答案】c

【解析】由题可知/(4)=一/(-4)=—3,.•.〃4)=-10g2(4a)=­3na=2.故选C.

8.(2022届星云联盟高三统一模拟)已知函数〃x)='+一二，则()

A./。+1)是奇函数B.f(x-l)是奇函数C.f(-x+D是偶函数D.7(-x-1)是偶函数

【答案】B

【解析】对于小)=%力〃，X+1H0

A,nx+l)=W++n且x*-3

尤+3

/(x+1)的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故A错误，对于B,了(0=：+七

,、11fx-1^0.、

=—+x+]/0=>xwi且工工一]，所以/(X—1)的定义域关于原点对称

又了(一工-1)=-=------------1=一/(1+1),所以/(x-l)为奇函数，故B正确

-X—11—XX-1X+1

/、11/、11f-x+lwO

对于C,f(x]=—+------=>/(-x+l)=--------H----------,\且工工3

v7XX+2八7-x+\-x+3|-x+3^0

/(-X+1)的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故C错误，对于D,”》)=：+力

=f(-x-l)=—^+—^=--二-一二，且xxT,所以/(-尤-1)的定义域关于原点

-X—1—X+1X-1x+1[x+lw(J

对称，乂/(x-l)=」7+」7=-/(—x-l),所以函数是奇函数，故D错误，故选B

9.(2022届福建省高三4月百校联合测评)已知奇函数/(X)在[05上单调递增，在。,一)上单调递臧,

且〃x)有且仅有一个零点，则f(x)的函数解析式可以是〃力=.

x,xe[-l,l]

【答案】/(%)=>(答案不唯一)

—,XG(一8,—1)U(1,4-0))

IX

【解析】由题意可知，.f(x)仅有一个零点x=0,结合单调性，可知/(力=八

—,xGu(L+8)

x,xe[-l,l]

故答案为/(x)=l1(答案不唯一).

—,xe(-8,-1)u(1,+8)

lx

(三)函数的单调性

10.(2022届山西省太原市高三二模)已知函数〃x)=a(e*T+ej),则()

A.“X)在(—,2)上单调递增

B.〃x)在(2,+8)上单调递减

C.y=〃x)的图象关于直线x=l对称

D.y=〃x)的图象关于点(1,0)对称

【答案】C

【解析】因为〃x)=a(ei+ei),当a=0时〃x)=0,此时”x)为常数函数，不具有单调性，故A、B

均错误；因为〃17)=a(eET+eTi))=a(e-，+e,),〃l+x)=+皿=q(e，+e，)，

所以〃l-x)=〃l+x),所以〃x)=a(e'T+e5)关于x=l对称，故C正确，D错误；故选C

11.(2022届山东省聊城市高三下学期二模)已知f(x)为R上的奇函数，"2)=2,若对%,毛«。，口)，

当西时，都有(匕-W)半D-牛^<0,则不等式(x+l)f(x+l)>4的解集为()

A.(-3,1)B.(-3,-l)U(-l,l)

C.D.(-oo,-3)1,+oo)

【答案】B

【解析】由(％-々)["'—~~~7'I<。，得(百-/'--'I<。，因为不一马>。X\X2>0,所以

%/(%)-毛/(工2)<0,即%/(3)<马/(%),设g(%)=^(力,则g(»在(o,y)上单调递减,

而g(x+l)=(x+l)/(x+l)>4=2〃2)=g⑵，则0<x+l<2,解得：因为f(x)为R上的奇函数，

所以g(r)=YA-x)=4(x)=g(x),则g(x)为R上的偶函数，故g(x)在(—,0)上单调递增，

g(x+l)=(x+l)/(x+l)>4=g(—2),则-2<x+l<(),解得：-3<x<-l；综上，原不等式的解集为

(-3,-1)；(-1,1).故选B.

12.(2022届辽宁省锦州市高三第一次质量检测)设函数f(x)的定义域为R,/(x-1)为奇函数，/(x+1)

为偶函数，当时，f(x)=—V+1,则下列结论正确的是()

A.=B.八力在(6,8)上为减函数

C.点(3,0)是函数〃x)的一个对称中心D.方程f(x)+lgx=0仅有6个实数解

【答案】CD

【解析】f(x-l)为奇函数，=1),g|J./,(-%)=-/(-^-2),••・〃力关于点(一1,0)对称;

Q/(x+l)为偶函数，二/(7：+1)=/(》+1),即〃T)=〃X+2),.・J(x)关于x=l对称；由

f(-x)=-f(x-2),/(-x)=〃x+2)得:f(x+2)=-/(-8)-4)=f(x),即是

周期为8的周期函数；对于A,=Z3+2]===A错误；对于C，

Q/(x+6)=-/(x+2)=-/(-x),BP/(x+6)+/(-x)=0,，/⑴关于点(3,0)成中心对称，C正确；

对于BD,由周期性和对称性可得/(X)图象如下图所示，

由图象可知：f(x)在(6,8)上单调递增，B错误；方程f(x)+lgx=0的解的个数，等价于/(力与y=-lgx

的交点个数，Q/(12)=/(4)=-/(O)=-l,-lgl2<-lgl0=-l,

・・.结合图象可知：〃x)与y=-Igx共有6个交点，即〃x)+lgx=0有6个实数解，D正确.

故选CD.

13.(2022届皖豫名校联盟体高三第三次联考)函数/(幻=|“一2把'，》：°的单调递减区间为__________.

-x-2,x<0

【答案】(f,1)

【解析】当x<0时，fM=-x-2,则其在(-00,0)上递减，当xN()时，/(x)=(x-2)el,贝I］

尸(x)=e，+(x-2)e，=(x-l)e，，当04x<l时，f'(x)<0,所以〃x)在［0,1)上递减,综上,广㈤的单调递减

区间为(-8/)

(四)函数的周期性

14.(2022届湖北省武汉市高三下学期四月调研)定义在R上的函数f(x)满足/(x+l)=/(x)-2,则下列

是周期函数的是()

A.y=f(x)-xB.y=f(x)+x

C.y=/(x)-2xD.y=/(x)+2x

【答案】D

【解析】依题意，定义在R上的函数满足〃x+l)=〃x)-2,所以〃x+l)+2(x+l)=〃x)+2x,

所以y=/(x)+2x是周期为1的周期函数.故选D

15.(2022届陕西省汉中市高三下学期教学质量第二次检测)定义在R上的函数/(x),满足〃x+5)=/(x),

当3,0］时,f(x)=-x-1,当xe(0,2］时,/(x)=log2x,M/(l)+/(2)+-+/(2022)=().

A.403B.405C.806D.809

【答案】B

【解析】由〃x+5)=〃x)得/(x)是周期函数，周期是5,/(l)=log2l=(),/(2)=log22=l,

/(3)=/(-2)=-(-2)-1=1,/(4)=/(-1)=0,/⑸=-0T=T,所以/⑴+/(2)+八3)+/(4)+/(5)=1,

/(l)+/(2)+-+/(2022)=404xl+/(l)+/(2)=405.故选B.

三、最新模拟练

16.(2022届江苏省南通市如皋市高三下学期适应性考试)若函数f(x)=4上^为奇函数，则实数。的值为

()

A.1B.2C.—1D.il

【答案】D

【解析】由/(X)为奇函数，所以f(-x)+f(x)=24±0+马士^=匕土马+4士=0,

''7Tx-a2'-a]-a-2x2x-a

所以2-2,-24.2,=0,可得"=1,解得。=±1,当a=—1时，”好的定义域为R,符合题意，当。=1时,

的定义域为(―,0)U(0,y)符合题意，故选D

17.(2022届河南省许昌济源平顶山高三第三次质量检测)己知函数/(x)是定义在R上的偶函数，且在区

间(-8,0)上是减函数，/(1)=0,则不等式〃1幅力>0的解集为()

A.B,(2,+oo)

C.(g』)u(2,+8)D.(0,；卜(2，+8)

【答案】D

【解析】因为函数“力是定义在R上的偶函数，且在区间(YO,0)上是减函数，所以，函数“X)在(0,田)

上是增函数，所以/(log2-r)>0<^>/(|log2x|)>/(l),即有|隆2耳>1,所以logzX〉1或log2K<-1，解得x>2

或0cxvL故选D.

2

18.(2022届山西省太原市高三二模)已知函数〃x)=1——二，则()

xx-2

A.“X)在(fo,2)上单调递增B.f(x)在(2,+8)上单调递减

C.y=的图象关于直线对称D.y=/(x)的图象关于点(1,0)对称

【答案】c

【解析】因为===

—Z—Z—Z4—1—Z3

所以/(-2)>/(-1),所以A不正确;

因为/(3)=；-1=一|,7⑷=+£=一：，

所以〃3)</(4),故B不正确;

因为…=£1

~/3),

2-X-2

所以y=/(x)的图象关于直线下।对称，故c正确；

在一士的图象上取一点(_2,一和则其关于点的点为《),

因为，(4)=-；=；，所以点(4,；)不在函数f(x)的图象上，故y=f(x)的图象不关于点(L0)对称，故D不

正确.故选C

19.(2022届江西省南昌市高三第二次模拟)若〃x)=F0；c为奇函数，则g(-2)=()

[g(x)+x,x<0\/

A.-8B.-4C.-2D.0

【答案】A

【解析】因为/(x)为奇函数，所以/(-2)=-/(2)=T,又/(-2)=g(-2)+4,可得g(—2)=—8.故选A.

20.(2022届辽宁省鞍山市高三第二次质量监测)已知函数/U)是定义在R上的奇函数，若对任意的

“吃目0,+功，且x产土，都有一/(“):成立,则不等式时(〃?)一(2m-1)〃2机-1)>0的解

X\~X2

集为()

A.(1)1)B.(-8,1)

C.(1,00)D.,°°，g)(1，+°°)

【答案】D

【解析】•..函数<x)是定义在R上的奇函数，，g(x)=^(x)为定义在R上的偶函数

又...(\)(、』<0,r.g(x)=#(x)在[0,+8)上递减，则g(x)在(—0,0)上递增，

西一*2

时⑵“_[)>0即可'(6)>(26_1)/(26_1),则加|<|2机_"解得：e卜8,；)u(l,+8).故

选D.

21.(2022届天津市静海区高三下学期4月调研)已知函数f(x)=3*且/(x)=g(x)+〃(x),其中g(x)为奇

函数，从x)为偶函数.若关于x的方程2ag(x)+/z(2x)=0在(0,1]上有两个解，则实数。的取值范围是()

41rr整-冏C.D」夜萼

A.———f—y/2B.―

_24」.24；L24J[24J

【答案】B

【解析】f(X)=g(X)+/7(X)①，则/(-x)=g(-x)+h(-x),即一g(x)+h(x)=f(-x)②,

由①②得g(x)=/(x)?(-x)

—1,H(X)——,

222

O-2x

x

方程2ag(x)+A(2x)=0为a(3-3^)+=0(*),

2

Q

令/=3'—3一x是增函数，%£(0,1］，则f£(0q］,

方程(*)变为2必+d+2=0,此方程在(0,1］上有两不等实解,

△=4/一8>0

八8

3,解得一亲一起,

记°。)=/+2at+2,则<

奴0)=2>0

力、6416八

)=—+—6T+2>0

故选B.

22.(2022届江西省临川高三4月模拟)已知定义在R上的函数y=/(x)满足f{-x)=-/(x),函数y=f(x+1)

为偶函数，且当xeOl］时，/(x)=log?(x+a),则“2022)+/(2023)=()

A.-1B.1C.504D.无法确定

【答案】A

【解析】因为函数y=/(x)的定义域为R,且/(-x)=-/(x),所以函数y=.f(x)是定义在R上的奇函数，

所以/(0)=log2a=0,解得a=l,HP/U)=log2(x+l),/(I)=log22=1；

因为y=f(x+D为偶函数，所以/(x+l)=〃-x+l),即y=f(x)的图象关于x=l对称，

又y=/(x)满足J(T)=-J(X),所以=(x+D=_/d),贝！!/(x+2)=—7(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

即函数y=/(x)是周期函数，周期为4,

则/(2022)+/(2023)=/(2)+/(3)=-/(0)-/⑴=-1.故选A.

V

23.已知函数/(犬)1=：+质1+士1+3图像与函数g(x)=7^4-9、图像的交点为区J),小,%)，…，(4，%)，

则Z(±+%)=()

i=\

A.20B.15C.10D.5

【答案】A

【解析】函数〃乂)=4+<+<+3定义域为(y,0)50,2)52,4)54,+«)),

xx-2x-4

其图象是4条曲线组成，在区间(-8,0),Q2),(2,4),(4,+s)上都单调递减，

当x<0时，/(x)<3,当0vx<2或2cx<4时，f(x)取一切实数，当x>4时，/(x)>3,

"IM(加(-3-3-泊+今士+占+3)=6,即小)的图象关于点(2,3)对称,

Q

函数g(X)=4--^-定义域为R,在R上单调递增，值域为(2,4),其图象夹在二平行直线y=2,y=4之间，

g(4-x)+g(x)=(4-王三卜〔4一号)=8-(最三+七)=6,g(x)的图象关于点(2,3)时称，

因此,函数〃x)的图象与g(x)的图象有4个交点,即机=4,它们关于点(2,3)对称,

不妨令点(石,凹)与相互对称，。2，/)与(七，%)相互对称，则4+又=&+,=4,y+M=%+%=6,

所以£(苦+»)=20.故选A

1=1

24.(多选)(2022届河北省秦皇岛市高三二模)已知函数,f(x)=lg(必而-x),g(x)=j-^7,

F(x)=/(x)+g(x),则()

A.7(x)的图象关于(0,1)对称

B.g(x)的图象没有对称中心

C.对任意的xe[-a,a](a>0),F(x)的最大值与最小值之和为4

D.若3HI<i,则实数*的取值范围是(Y>/)U(3,+8)

x-\

【答案】ACD

【解析】由题意知f(x)的定义域为R，因为〃x)+/(-x)=lgl00=2,所以〃x)的图象关于(0,1)对称,

故A正确；

因为g(x)的定义域为R,且g(x)+g(-x)=2,所以g(x)的图象关于(0,1)对称，故B不正确；

因为尸(x)=/(x)+g(x),所以F(x)的图象关于(0,2)对称，所以对任意的xe[—。,可(。>0),尸(x)最大

值与最小值之和为4,故C正确；

由川x-3)+x-3<],得小一3)+x-3_]=小一^4,又尸(力在R上单调递减，且产⑼=2,所

X—1X—1X—1

fx-3>0[x-3<0

以<।八或<।八，解得x>3或xvl,故D正确，故选ACD.

25.(2022届江苏省如东中学、姜堰中学、沐阳中学三校高三下学期4月阶段性测试)华人数学家李天岩和

美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作

用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设f(x)是定义在R上的函数，对于xeR,

令%=f(x,i)(〃=l,2,3,),若存在正整数&使得尤《=x0,且当0勺<&时，XjHx。，则称为是/(x)的一个周

2x,x<—

期为4的周期点.若f(x)=J］,下列各值是/(x)周期为2的周期点的有()

2(1—x),x..

A.0B.-C.-D.1

33

【答案】AC

【解析】A：x°=0时，内=/(0)=0,周期为1,周期为2也正确，故A正确；

B：时，玉=/(g)=■1，*2=/■(：)=!■,七==X“=：，所以(不是f(x)的周期点.故B错误;

J\JJJ\JJJJ

22

C：时，x,=x2==%=§,周期为1,周期为2也正确.故C正确；D：题=1时，

%=〃1)=0,受=/(0)=0k不，.•」不是“X)周期为2的周期点，故D错误.故选AC.

26.(2022届山东省潍坊市高三下学期二模)已知定义在［0,+s)上的函数“X)满足〃x+2)=/(x),且当

\fix,o<x<i,,、

xe[(),2]时，/(x)="厂「.fX图像与X轴的交点从左至右为O,4，与，8\,…，8,,，…:

->J3x+2>J3,l<x<2,

f(x)图像与直线y=6的交点从左至右为A,4,A”…，4.....若G，g,C3,。为线段4冬

iozuuiruuu\

上的10个不同的点，则Z(o&3)=

/=!'

【答案】480

【解析】因为定义在［0,+功上的函数〃x)满足〃x+2)=〃x),所以/(x)是在［0,+8)匕周期为2的周

期函数,

y/3x,0<x<\

且当xw[0,2]时，〃x)=,

rr,函数图象如下所示:

-v3x+2v3J<x<2

依题意可得人卜，6)、4(15,73),坊(16,0),且AA的方程为y=d(x-14)+2GX«15,16],

设C,(X,.，-Gr；+166),x;e[15,16],

所以求=(3,@,OC,=(X,.,-A/3X,.+16A/3),

uuuuuu.iouuiruuir

所以O\-OC,=3x,.+Vz3+16>/3)=48,所以^(0^0^)x=10x48=480

27.(2022届陕西省咸阳市高三3月月考)设函数=-2aT(a>0,aXl,&eR),〃x)是定义域为R

的奇函数

(1)确定&的值

⑵若/⑴=3,判断并证明的单调性；

⑶若。=3,使得2/(2x)W(2+l)/(x)对一切XG[-2,-日恒成立，求出，的范围.

【解析】⑴因/(力=敏-为是定义域为R的奇函数，

则/(-x)+/(x)=M-2ax+kax-2ax=(k-2)(/+^)=0,而/+/*>0,解得&=2,

所以％的值是2.

⑵由(1)得f(x)=2“'-2「，〃x)是定义域为R的奇函数，

而7(1)=3,则2a-2/1=3,即2a2-3a-2=0,又a>0,”wl,解得a=2,

则函数/(X)=2(2,-2-')在R上单调递增，

XxX

VgeR,占<通,/(x))-f(x2)=2(2'-T')-2(2^-2^)=2(2'-2^)(1+—1—),

22・2七

因则2"一2逅<0,1+"^>0,于是得即/0)</(当)，

2,*-2,2

所以函数“X)在定义域R上单调递增.

⑶当。=3时，/(x)=2(3x-3-v),

Vxe[-2,-l],2/(2x)<(2+l)/(x)<=>4(32x-3-2')<2(2+1)(3r-3-1)

o2(3V+3f)(3,一3-，)4(2+。仗—3-*),而函数y=3*-3T在[-2,-1]上单调递增,3'-3一"3T-3<0，

于是得2+142(3'+3一、)，令3*=feg,J,函数y=2(r+)在匕单调递减，

rx

当t=g，即x=-l时，[2(3+3-)]min=y,因此，2+l<y,解得24日，

所以4的范围是4sm17.

四、高考真题练

28.(2021新高考卷H)已知函数/(X)的定义域为R,/(x+2)为偶函数,/(2x+l)为奇函数，则(

A.U)=°B./(-1)=0C.42)=0D.44)=0

【答案】B

【解析】因为函数/(x+2)为偶函数，则〃2+X)=〃27),可得〃X+3)=〃1T),

因为函数〃2x+l)为奇函数，则"1—2x)=—"2x+l),所以,"1一x)=-/(x+l),

所以，/(%+3)=—/(%+1)=/(%—1),即/(x)=/(x+4),

故函数/(x)是以4为周期的周期函数，

因为函数F(x)=/(2x+l)为奇函数，则F(0)=/(1)=0,

故/(—1)=一/(1)=0,其它三个选项未知.故选B.

29.(2020新高考山东卷)若定义在R的奇函数;(x)在(-8,0)单调递减，且八2)=0,则满足犷>-1)i0的x

的取值范围是()

A.[-!,!]_[3,+o))B.[-3,-1]_[0,1]

C.[一1,0]31,+8)D.[-l,()]u[l,3]

【答案】D

【解析】因为定义在R上的奇函数"X)在(3,0)上单调递减，且/(2)=0.

所以/(X)在(0,+8)上也是单调递减，且『(一2)=0,/(0)=0,

所以当xG(-00,-2)u(0,2)时,f(x)>0,当xe(-2,0)J(2,4w)时,/(x)<0.

所以由4(%一1)20可得：

x<0fx>0

’—2Wx—lW0<x—1N2或[0<x—1W2则—1<—2或*=°

解得TWxWO或

所以满足方'(x—1)N0的x的取值范围是[-1,0]<41,3],故选D.

30.(2021新高考卷I)已知函数是偶函数，则〃=—.

【答案】1

【解析】因为函数f(x)=x\a-2(-2-，)是偶函数，

y=为R上的奇函数，

故y=a-2*-2T也为R上的奇函数,

所以yL=o=a-2°-2°=«-1=0.

所以a=l.

31.（2021新高考卷I）函数/（x）=|2x-1|-2/nr的最小值为.

【答案】1

【解析】函数/（x）=\2x-\\-2lnx的定义域为（0,+oo）.

当0<%,g时,/（x）=2x-l|-2lwc=-2x+1-2lnx,

此时函数，（x）在（0,上为减函数，

所以/（X）../（^）=-2x1+1-2/n^=21rl2；

当x>g时，/（x）=|2x-11-2lnx=2x-1-11m,

则小）=2二=22

XX

当X€（；.1）时,/'（x）<0J（x）单调递减，

当X€（1,-+W）时.r（x）>0"（X）单调递增，

.♦.当x=l时f（x）取得最小值为/（1）=2x1—1-2加1=1.

2lri2=//?4>Ine=1,

二函数/（%）=（2%-1|-2/四的最小值为1.

32.（2021新高考卷H）写出一个同时具有下列性质①②③的函数/（%）：

①/（X1A2）=/（不）/（尤2）;②当xe（0,+8）时,/'（x）>0；③/'（X）是奇函数.

【答案】f（x）=x4（答案不唯一,/（司=/"（〃6'*）均满足）

【解析】取〃X）=f,则/（中2）=（叱2）4=•<4=/（百）/（%），满足①，

r⑺=底,%>o时有r（%）>o,满足②，

/'（"=4%3的定义域为取

又/'（一X）=-4*3=_/，（x），故（⑴是奇函数，满足③.

五、综合提升练

33.（2022届江西省赣州市高三二模）若函数〃x）邛x+〃+77W-X有零点,则a的取值范围是（

A."也,乌B.—00,———2,+8J

22

C.(0,1)D.(y,+00)

【答案】A

【解析】由”八―+&-1=0有解,

|121

可得x21,/(%)=-x+a------「.,

2x+Vx*2-1

与户一金T在口'9都是增函数'

因为y=

所以/(X)在口,+00)是增函数，乂Xf+(»时/(x)f”,

1+/-1W0,即一旦日时/(x)有零点.故选A.

所以当〃1)=

22

34.(2022届福建省泉州市高三质量监测)已知函数f(x)的定义域为［0,+8),且满足

2,-l,xe[0,l)皿-上

log2(3-x),xw[l,2)'当M2时,/(x)=2/(x-2),义为非零常数，则下列说法正确的是(

A.当4=-1时，/(log,80)=^

B.当一>0时,“X)在［10,11)单调递增

C.当4<-1时，“X)在的值域为［万"［产

D.当/l>0,且让I时，若将函数且仁卜2咛与f(x)的图象在［0,2矶〃e")的加个交点记为

(七,y)(i=1,2,3,…,间,则E(七+%)="+斯一1

/=1

【答案】BC

【解析】对于A,当4=一1时，/(x)=-/(x-2),则/(x+4)=—/(x+2)=/(x),

.,.当xN2时，/(x+4)=/(x),f(x+2)=-f(x),

2嘲.1、4+1=4,人错误

.■■/(log280)="log?80-4)=/(log,5)=

7

对于B,当％>0时，”力在［0,1)上的单调性与在［2〃,2鹿+N*)的单调性相同,

/(X)在［0,1)上单调递增，.•J(x)在［10,11)上单调递增，B正确;

对于C,由/(x)=2/(x—2)得：/(X+4)=2/(X+2)=/17(X).

依次类推可得:/(x+8)=24/(x),/(X+12)=26/(X),……，贝打(尖+4〃)=纪"(x)；

4<T,在［0,1］和［4〃-1,4〃+1］(〃€")上单调递增，在［4〃—3,4〃-1］(〃€N*)上单调递减;

当xw［0,4"］("eN")时，

2(2(n1)22n1

/(x)n.n=/(4n-l)=2"-'7(4/J-l-4(«-l))=/l-/(3)=2«-7(l)=A-；

皿=〃4“-3)=不(1)/(4〃-3-45-1))=产1)〃1)=矛1

・・J(x)在［0,4矶〃eV)上的值域为［力小,a一1,C正确；

对于D,由图象可知：g(x)=/?与“X)的图象在［0,2〃］("eN，)有〃个交点，且占=万-1,

。=犷(』,2,3「、“),

.4>0且4x1,.・.数歹U｛x,｝是等差数加J,数列｛%｝是等比数列，

—\S6〃(1+2〃-1)1-2"21-精c，

ZU+