八年级下册数学知识讲解(北师大版)：分式的加减知识讲解

分式的加减（提高）

【学习目标】

1.能利用分式的基本性质通分.

2.会进行同分母分式的加减法.

3.会进行异分母分式的加减法.

【要点梳理】

要点一、同分母分式的加减

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；

上述法则可用式子表为：

aba+b

一+—=----.

CCC

要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号,

当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省,

不然，容易导致符号上的错误.

（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.

要点二、分式的通分

与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改

变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.

要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次

暴的积作为公分母.

（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高

次募的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.

（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个

分式而言.

要点三、异分母分式的加减

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.

上述法则可用式子表为：

acadbead+bc

-±—-±-------.

bdbdbdbd

要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同

分母分式的加减法.

（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化

成最简分式.

要点四、分式的混合运算

与分数的加、减乘、除混合运算一样，分式的加、减乘、除混合运算，也是先算乘、

除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计

算.分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式.

要点诠释：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确

进行分式运算的基础，要牢牢掌握..

（2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的.

（3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用

运算律，将大大提高运算速度.

【典型例题】

类型一、同分母分式的加减

5a+6Z?3b—4〃a+3b2a2b

计算：(1)

--3-a-2-b-e---1---3-b--a9-c3cba2(a-b)2(b-a#

m+2nn2mx

-----+-----------(4)y

n—mm—nn—m(x-y)3(y-x)3.

【答案与解析】

(5〃+6Z?)+(3b-4〃)一(a+3b)_5a+6b+3b-4a-a-3b2

Ba^bc3a2bc

⑵2a2b_la2b_2(a-b)_2

(a-b)2(b-a)2(a-b)2(a-b)2(a-b)2a-b

/、m+2nn2m

(3)+-------------

n—mm—nn—m

_m+2nn2m_m+2n—n—2mn—m_

n—mn—mn—mn—mn—m

-----x------------y-----=------x-----1------y----=---x--+---y--

(x-y)3(y-x)3(x-y)3(x—y)3(x-y)3

【总结升华】根据乘法交换律有3a28c=3瓦/2。=3步片，所以本题是三个同分母分式的加

减法，根据法则：分母不变，分子相加减.注意把分子看成一个整体用括号括起来,

再加减.仔细观察分母中(。一6)2与(6-。)2,("-"7)与(〃7-九)、(%-丁)3与

(y-x)3的互相转化中符号的变化.

类型二、异分母分式的加减

^^2、(2020秋•新罗区校级月考)计算：

c-aa-bb-c

(a-b)(b-c)(b_c)(c-a)+(c-a)(a-b)

【答案与解析】

铲百叶(c-a)2+(a-b)2+(b-c)2

解：原式:(a-b)(b-c)(c-a)一.

【总结升华】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

举一反三：

4y24x2y

【变式】计算(1)x+2y—

2y-x4/-x2

2〃一b—c2b—c—a2c—b—a

------------------------1-------------------------1------------------------

(a-b)(a-c)(b-c)(b-a)(c一b)(c—a)

【答案】

4y2

解：(1)x+2y------:-----1-

2y-x4y2-x

4x2y

12y-x(2y+x)(2y-x)

(x+2y)(2y-x)4y24x2y

--------------------------------------------1-----------------------------

2y-x2y-x(2y-hx)(2y-x)

-x2(2y+x)4%2y

(2y+x)(2y-x)(2y+x)(2y-x)

x2(2y-x)_x2

(2y+x)(2y-x)2y+x'

/、2111111

(2)原式=-----1-------------1------------1------------1------------1----------

a-ca-bb-ab-cc-ac-b

a-ca-ca-ba-bb-cb-c

..p%?+3x+6Jr?+5x+2

化简F------------o-----------

x+3%+2x+5x+6

【答案与解析】

解：原式=

x+3x+2x2+5x+6

%2+3x+2%2+5x+6

(x+l)(x+2)(x+2)(%+3)

4(%+3)4(%+1)

(x+l)(x+2)(%+3)(%+2)(%+3)(%+1)

8x+16

(x+1)(%+2)(%+3)

(x+l)(x+3)

【总结升华】本题按照常规方法先将所有的分母进行因式分解，然后通分计算，不难发现:

所有的分子计算较复杂.通过观察不妨将每一个分式化简使它们的分子变得简单，

然后再计算就非常的容易了.所以，在进行分式化简时不能盲目地计算，首先应该

观察分式的特点，然后选择合适的计算方法.

举一反三:

【变式】某商场文具专柜以每支。(。为整数)元的价格购进一批“英雄”牌钢笔，决定每

支加价2元销售，由于这种品牌的钢笔价格廉、质量好、外观美，很快就被销售一

空，结账时，售货员发现这批钢笔的销售总额为(399a+805)元.你能根据上面的

信息求出文具专柜共购进了多少支钢笔吗?每支钢笔的进价是多少元？

【答案】

解：设文具专柜共购进了钢笔y支，

,399a+805399a+798+7…7

贝nijy=------------=----------------=399+--------.

a+2a+2a+2

因为。为正整数，y也为正整数，所以a+2是7的正约数，

所以a+2=7或a+2=1.

所以a=5或a=-1(不合题意，舍去).

所以当a=5时，y=400.

即文具专柜共购进了400支钢笔，每支进价为5元.

类型三、分式的加减运算的应用

3x—4AB4*一

已知----+-----,求整式A,B.

(x-l)(x-2)x—1x—2

【答案与解析】

3x-4A(x—2)+B(x—1)

解法一：由已知得

(—2)(—2)

即3x-4_(A+3)x-(2A+B)

(x-l)(x-2)--(x-l)(x-2)

A+B=3,A=l,

所以《所以《

2A+B=4,B=2.

解法二：等式两边同时乘以(x—1)(%—2),得3x—4=A(x—2)+3(%-1),

令x=l,则A=l.令x=2,贝！|B=2.

所以A=1,B=2.

【总结升华】解法一是利用多项式恒等，则对应项的系数分别相等，列出方程组，求出A,

B的值.解法二是运用特殊值法，因为多项式恒等，与x取值无关，故令x=l,x=2简化

式子，求出A,B的值.

举一反三:

【变式】(2020春•东台市校级期中)已知上-—5—计算结果是

x+1x-2

2(x+1)_____________雪.....—,求常数A、B的值.

(x+1)(x-2)一(x+1)(x-2)

【答案】解：因为A+B

x+1x-2