2023-2024学年浙江省宁波市鄞州区应麟中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省宁波市郸州区应麟中学九年级（上）开学

数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知。。的半径是6,点P到圆心。的距离为4,则点P与。。的位置关系是（）

A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆外D.无法判断

2.下列事件中，是必然事件的是（）

A.水中捞月B.水涨船高C.守株待兔D.百步穿杨

3.将抛物线y=-2/向上平移1个单位，得到的抛物线是（）

A.y=-2（x+l）2B.y=-2（x—l）2C.y=-2x2+1D.y=—2x2—1

4.一个不透明的盒子内装中有除颜色外，其余完全相同的2个红球，2个白球，2个黄球，小

星将盒中小球搅匀后，每次从中随机摸出一球，记下颜色后放回盒中搅匀，再从中随机摸出

一球下面是他前两次摸球的情况：当小星第三次摸球时，下列说法正确的是（）

次数第1次第2次第3次

颜色红球红球?

A.一定摸到红球B.摸到红球的可能性小

C.一定摸不到红球D.摸到红球、白球、黄球的可能性一样大

5.下列关于二次函数y=2（x-3）2-1的说法，正确的是（）

A.图象的对称轴是直线x=-3B.抛物线的顶点为（—3,—1）

C.当x=3时，函数y有最大值一1D.当x23时，y随x的增大而增大

6.下列说法中，正确的是（）

A.弦的垂直平分线必经过圆心B.三点确定一个圆

C.平分弦的直径垂直于这条弦D.长度相等的弧是等弧

7.已知二次函数y=ax?+bx+c中,其函数y与自变量》之间的部分对应值如下表所示:

X0123

y5212

点A（xi，yi）、8（刀2，丫2）在函数的图象上，则当0<%1<1，2<小<3时，乃与y2的大小关系

正确的是（）

A.y>yB.y>y

x2r2c.%<y2D.%<y2

8.如图，4、B、c、。为一个正多边形的顶点，。为正多边形的中心

.若N/WB=20°,则这个正多边形的边数为（）

A.7

B.8

9

D.10

9.二次函数y=ax2+bx+c（a*0）的图象如图所示.下列结论：

①abc>0：②2a+b=0；③机为任意实数，则a+b>am2+bm；

④a-b+c>0；⑤若a斓+bxx=axl+匕小且丰x2,则与+

x2=2.其中正确的有（）

A.①④

B.③④

C.②⑤

D.②③⑤

10.如图，同一个圆中的两条弦4B、CO相交于点E.若〃EC=120°,

4C=4,则筋与诧长度之和的最小值为（）

A.47r

B.27r

C「.4-7T

D.）

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.正十边形一个内角度数为一.

12.一个盒子里装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外其余都相同.几名同学轮流从盒

子里摸1个球，记录下所摸球的颜色后，再把球放回盒子里搅匀，记录如下:

摸球次数20406080100120140160180200220240

出现红球的频数112333384959698191101109121

根据以上表格可估计摸到红球的概率为（结果保留小数点后一位），袋中白球约有

______个.

13.如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：巾）与水平距离x（单位：m）之间的关系是

14.已知抛物线C：y=x2+2x-4,则该抛物线关于y轴对称后的抛物线C'的函数解析式为

的.

15.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所

示，已知EF=CD=2cm,则球的半径为cm.

16.如图，半径为10的扇形力0B中，Z.AOB=90°,C为弧4B上

一点，C0_L04,CE1OB,垂足分别为D,E.若NCOE=40。，

则图中阴影部分的面积为（结果保留兀）.

17.如图，4B是。。的直径，AB=AC,BC交。。于点。，AC交。。于点E,484c=45。,

给出下列五个结论：①“BC=22.5。；②BD=DC;③AE=2EC;④劣弧AE是劣弧DE的2

倍；⑤AE=BC,其中正确结论的序号是.

18.当一2W无W1时，二次函数y=-（x-m）2+m2+1有最大值4,则实数m的值为

三、解答题(本大题共5小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

19.(本小题10.0分)

己知△4BC在平面直角坐标系中的位置如图所示，把4ABC绕点C按顺时针方向旋转90。后得

到△C4/1.

(1)画出△C&Bi，并写出&、的坐标；

(2)求点/旋转到4所经过的路线长和线段扫过的面积.

20.(本小题8.0分)

一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同.

(1)搅匀后从中任意摸出一个球，则摸出红球的概率是;

(2)如果将摸出的第一个球放回搅匀再摸出第二个球，两次摸球就可能出现3种结果，即“都

是红球”、“都是白球”、“一红一白”.甲乙两人玩游戏，约定若摸到“都是白球”则甲赢：

若摸到“一红一白”则乙赢，问这个游戏公平吗，请说明理由.

21.(本小题10.0分)

某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现.该种健身球每

天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系：y=-2x+80(20<x<40),设这种健身球

每天的销售利润为w元.

(1)求w与"之间的函数关系式；

(2)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

22.(本小题15.0分)

如图1,在。。中，AB.CD是直径，弦BE1CD,垂足为F.

C

E

(1)求证：CE=4D；

(2)如图2,点G在C。上，B.Z.CAG=/.ABE.

①求证：AG=BC；

②若FG=2,BE=4<^0)求OG的长.

23.(本小题15.0分)

已知二次函数y=-x2+bx+c的图象过点4(3,0)、C(-l,0).

(1)求此二次函数的解析式；

(2)如图，二次函数的图象与y轴交于点B,二次函数图象的对称轴与直线交于点P,求P点

的坐标；

(3)在第一象限内的抛物线上有一点Q,当以点B、。、4、Q围成的四边形的面积最大时，求

点Q的坐标.

X

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：:。。的半径为6,点P到圆心。的距离为4,

•••点P到圆心。的距离小于圆的半径，

二点「在。。内.

故选：A.

直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.

本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种.设。。的半径为r,点P到圆心的距离

OP=d,则有：点P在圆外=d>r；点P在圆上Qd=r；点P在圆内

2.【答案】B

【解析】解：4、水中捞月是不可能事件，不符合题意；

8、水涨船高是必然事件，符合题意；

C、守株待兔是随机事件，不符合题意；

。、百步穿杨是随机事件，不符合题意.

故选：B.

根据随便事件的定义对各选项进行逐一分析即可.

本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解

题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：••・将抛物线y=-2/向上平移1个单位，

・•・平移后的抛物线的解析式为：y=-2尤2+1.

故选：C.

接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式.

此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键.

4.【答案】D

【解析】解：•.•不透明的盒子内装有完全相同的2个红球，2个白球，2个黄球，

••・小星第三次摸到红球、白球、黄球的可能性一样大.

故选：D.

根据概率公式直接得出答案.

此题考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比.

5.【答案】D

【解析】解：由二次函数y=2(x—37-1可知：开口向上，顶点坐标为(3,-1),当x=3时有最

小值是-1;对称轴为％=3,当x23时，y随％的增大而增大，当为<3时，y随x的增大而减小，

故月、B、C错误，D正确,

故选：D.

根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.

本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性，

解题时要熟练掌握并理解是关键.

6.【答案】A

【解析】解：力、弦的垂直平分线必经过圆心，故本选项符合题意：

8、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项不符合题意；

C、平分弦(非直径)的直径垂直这条弦，该选项说法错误，故此选项不符合题意；

D,在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故本选项不

符合题意.

故选:A.

根据圆的有关性质对每一项进行判断即可得出答案.

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是理解垂径定理及其推理，难度不大.

7.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，解二元一次方程组，用待定系数法求二次函数的

解析式等知识点的理解和掌握，能根据二次函数的对称性判断两点的纵坐标的大小是解此题的关

键.

根据题意知图象过(0,5)(1,2)(2,1),代入得到方程组，求出方程组的解即可得到抛物线的解析式,

化成顶点式得到抛物线的对称轴，根据对称性得到4的对称点，利用增减性即可得出答案.

【解答】

解：根据题意知图象过(0,5)(1,2)(2,1),

代入得:E=c且6=：+煞二,

12=Q+b+c=4。+2b+c

解得：a=1,b=-4,c=5,

.,・抛物线的解析式是y=x2-4x+5=(x-2)2+1,

••・抛物线的对称轴是直线x=2,

0<<1,2<x2<3,

0<xx<1关于对称轴的对称点在3和4之间，

当x>2时，y随x的增大而增大，

"%>丫2，

故选总

8.【答案】C

"A.B、C、。为一个正多边形的顶点，0为正多边形的中心，

二点4、B、C、。在以点。为圆心，。4为半径的同一个圆上，

vZ.ADB=20°,

•••LAOB=2Z.ADB=40°,

二这个正多边形的边数=驾=9.

40

故选：C.

连接。4OB,根据圆周角定理得到乙4。8=2乙4DB=36。，即可得到结论.

本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：①抛物线开口方向向下，则a<0.

抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab<0.

抛物线与y轴交于正半轴，则c>0.

所以abc<0.

故①错误.

②•••抛物线对称轴为直线x=-?=1，

2a

••・b=-2a,即2Q+b=0,

故②正确；

③•••抛物线对称轴为直线X=1,

二函数的最大值为：y=a+b+c；

■■a+b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm,

故③错误；

(4)•.•抛物线与x轴的一个交点在(3,0)的左侧，而对称轴为直线x=1,

••・抛物线与x轴的另一个交点在(-1,0)的右侧，

二当x=-1时，y<0,

:・a—b+cV0,

故④错误；

⑤vaxl+bxr=a%2+bx2，

x

・•・axl+bxr—a%2-^2=0，

・・xxx

•Q(%I+%2)(i—2)+力(%1—2)=0，

・•・(xj-x2)[a(x1+不)+句=。，

而-t-%2，

•••a(%1+x2~)+b=0,即/+x2=-->

b=-2a,

•**+%2=2,

故⑤正确.

综上所述，正确的有②⑤.

故选：C.

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴

及抛物线与无轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数

与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用.

10.【答案】c

【解析】解：如图，以4C为边作等边△4CH,则乙4HC=60。，而乙4EC=120。，

则E在AACH的外接圆P上运动，记48,CD所在的圆为。。，连接CM,OB,0C,0D,

1

=1zB0C,

Z.A0D+4B0C=2Q4CO+乙BAC）=2（180°-UEC）=2x60°=120°,

结合三角形的三边关系可得：0A+0CN4C,（当A,0,C三点共线时取等号）,

当。4+oc=ac时，。0半径最小，此时半径为34c=2,

;此时检与诧的和最小，

120TTX24

最小值为:----------=-7T

1803

故选：C.

如图，以AC为边作等边A4CH,则"HC=60。，而N4EC=120。，贝伊在A4CH的外接圆P上运

动，记4B,CD所在的圆为。。，连接。4OB,OC,OD,证明乙40。+4BOC=120。，再证明

OA+OC>AC,（当4,0,C三点共线时取等号），再利用弧长公式进行计算即可.

本题考查弧长的计算，确定弧长和取最小值时圆心。的位置是解本题的关键.

11.【答案】144°

【解析】【分析】

本题主要考查了多边形的内角与外角.

利用正十边形的外角和是360度，并且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数，再根据内角

与外角的关系可求出正十边形的每个内角的度数.

【解答】

解：•••正十边形的每个外角都相等，

二正十边形的一个外角为360。4-10=36°.

.••正十边形的每个内角的度数为：180°-36°=144°.

故答案为：144。.

12.【答案】0.510

【解析】解：摸到红球的频率分别为0.55,0.56,0.56,0.48,0.49,0.49,0.49,0.51,0.51,0.51,

0.50,0.50,

白(0.55+0.56+0.56+0.48+0.49+0.49+0.49+0.51+0.51+0.51+0.50+0.50)，0.5,

若从盒子里随机摸出一只球，则摸到红球的概率的估计值为0.5,

设袋中白球约有m个，

根据题意得益一=0.5,

10+m

解得：m=10.

即袋中白球约有10个.

故答案为：0.5,10.

利用平均数的定义和概率公式求解即可.

此题考查利用频率估计概率.大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为：部分的具体

数目=总体数目x相应频率.

13.【答案】10

【解析】解：令y=0,则一*(x-10)(x+4)=0,

解得：％=10或x=-4(不合题意，舍去)，

.-.71(10,0),

OA=10.

故答案为：10.

令y=0,得到关于工的方程，解方程即可得出结论.

本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质和利用点的坐标表示出相应线段的线

段是解题的关键.

14.【答案】y=%2-2%-4

【解析】解：y=%2+2%-4=(%4-1)2-5,

・•・抛物线C的顶点(一1,一5)

vC，与C关于y轴对称，

・,・C'顶点坐标是(1,一5),

・・・抛物线C'的函数解析式为的y=(x-l)2-5,即y=x2-2x-4.

故答案为：y=%2-2%-4.

利用原抛物线上的关于y轴对称的点的特点：纵坐标相同，横坐标互为相反数就可以解答.

本题考查了二次函数的图象与几何变换，解决本题的关键是抓住关于y轴对称的坐标特点.

15.【答案】j

4

I二/'

【解析】解：EF的中点M,作MN14D于点M,取MN上的球心。，连接。尸，；QJ

、二一」

BNC

•••四边形4BCZ）是矩形，

乙C=4D=90°,

四边形CDMN是矩形，

•••MN=CD=2

设0F=x,JiPJO/V=OF,

：.OM=MN-ON=2-x,MF=1,

在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2,

即：（2—%产+•二产,

5

得

葩X=

4-

5

41

首先找到EF的中点M,作MN14。于点M,取MN上的球心0,连接0F,设。尸=X,则0M是2-x,

MF=1,然后在直角三角形M0F中利用勾股定理求得OF的长即可.

本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形.

16.【答案】罗

【解析】解：如图，连接。C,

vZ.AOB=90°,CD1OA,CE10B,

.•・四边形CDOE是矩形,

：,OD=CE,DE=OC,CD//OE,

•・・Z-CDE=40°,

・•・乙DEO=Z.CDE=40°,

在^OOE和△CEO中，

OD=EC

DE=CO,

OE=EO

••.△DOE三△CEO(SSS),

・・・Z,COB=乙DEO=40°,

・・・图中阴影部分的面积=扇形。BC的面积，

_407TX102_1007T

V'扇形OBC=-360-=9，

故答案为：陪.

连接OC,易证得四边形CDOE是矩形，则△DOE三△CEO,得至Ij/COB=Z_DEO=40。，图中阴影

部分的面积=扇形OBC的面积，利用扇形的面积公式即可求得.

本题考查了扇形面积的计算，矩形的判定与性质，利用扇形。BC的面积等于阴影的面积是解题的

关键.

17.【答案】①②④

【解析】解：连接4D,4B是。。的直径，则="DB=90。，,一去

vAB=AC,4BAC=45°,(/；\\

o7

NABE=45。，NC=ZJIBC=67.5。，4。平分NBAC,\/><A.

AE=BE,Z.EBC=90°-67.5°=22.5°,DB=CD,故①②正确，

vAE=BE,

:.AE=BE，

又4D平分4B4C,即劣弧AE是劣弧DE的2倍，④正确.

•・•(EBC=22.5°,BE1CE,

・•・BE>2EC,

AAE>2EC,故③错误.

•・・Z-BEC=90°,

:.BC>BE,

又・・•AE=BE,

・•・BC>AE,

故⑤错误.

故答案为：①②④.

先利用等腰三角形的性质求出ZABE、44BC的度数，即可求4EBC的度数，再运用弧、弦、圆心

角的关系即可求出②、④.

本题利用了：①等腰三角形的性质；②圆周角定理；③三角形内角和定理.

18.【答案】2或一—百

【解析】解：二次函数对称轴为直线》=^1,

①m<—2时，x=-2取得最大值，—(—2—?n)2+机2+1=%

解得巾=一,不合题意，舍去；

(2)—2<m<1.时，x=m取得最大值，m24-1=4,

解得m=±15，

vm=不满足一2WmW1的范围，

.・.m=—x/-3;

(3)m>1时，x=1取得最大值，一(1-m)2+m24-1=4,

解得m=2.

综上所述，僧=2或-「时，二次函数有最大值4.

故答案是：2或一二.

求出二次函数对称轴为直线％=TH,再分mv-2,-2<m<1,m>1三种情况，根据二次函数

的增减性列方程求解即可.

本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象是解题的关键.

19.【答案】解：(1)如图,△CAB1即为所求；

y.

8■■"]—1—:…L"!—:—:—;

7…

O12345678X

点右、名的坐标分别为4(7,5),Bi(7,3)；

(2)根据题意得：AC=V42+22=2c,

.••点4旋转到公所经过的路线长为/=当等=y/~5n

180

线段AC扫过的面积为S=吗产2=57r.

【解析】(1)根据题意得到点A,B的对应点4、Bi，即可求解；

(2)先求出4c的长，再根据弧长公式和扇形面积公式计算，即可求解.

此题主要考查了旋转变换以及弧长公式,扇形面积求法等知识，正确得出对应点位置是解题关键.

20.【答案】|

【解析】解：(1)摸出红球的概率是全

故答案为：

(2)画树状图如图所示：

开始

红白1白2

XTx

红白1白2红白1白2红白1白2

由图可知共有9种等可能的结果，

P(两白)=m，P(—"红一白)=《.

•••概率相同，

游戏公平.

(1)根据概率公式求出摸到红球的概率，从而得出答案；

(2)画树状图得出所有等可能结果，求出“都是白球”、“一红一白”的概率，从而得出答案.

本题考查的是游戏公平性，用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗

漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情

况数之比.

21.【答案】解：(1)根据题意可得：w=(x-20)y

=(x-20)(-2x+80)

=-2x2+120x-1600,

w与％的函数关系式为：w=-2/+120t一1600；

(2)根据题意可得：w=-2x2+120x-1600=-2(x-30)2+200,

,:—2V0»

.•.当x=30时，w有最大值.w最大值为200.

答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.

【解析】(1)根据总利润=每个利润x销售量可得函数解析式；

(2)将所得函数解析式配方成顶点式即可.

本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此得出

函数解析式及二次函数的性质.

22.【答案】(1)证明：•；BELCD,

/—>、Z-\

・・・CE=BC，

vZ-AOD=乙BOC,

AD=BC'

AD=CE>

AD=CE；

(2)①证明：连接4E、CE,如图，

vZ-ACE=乙ABE,Z-CAG=Z-ABE,

・•・Z-CAG=Z-ACE,

ACE//AG,

为直径，

・・・Z,AEB=90°,

•・,CD1.BE,

/.Z.DFE=90°,BF=EF,CE=BC，

•.AE//CD,

-AE//OC,CE//AG,

，四边形4ECG为平行四边形,

・•・AG=CE,

•・•BC=CE,

AG=BC；

②解：设。G=x,则0F=x+2,

v0A=OB,FE=FB,

・•・。/为△4BE的中位线，

・•・AE—20F=2久+4,

•・•四边形AECG为平行四边形，

:.CG=AE=2%+4,

,0C=0G+CG=3%+4,

在RtAOBF中，vOB=0C=3x+4,OF=x+2,BF=：BE=2CU,

(x+2)2+(2<l0)2=(3x+4)2,

整理得2/+5x—7=0,

解得—1，x2=-g(舍去),

即OG的长为1.

【解析】(1)先根据垂径定理得到a=诧，再根据圆心角、弧、弦的关系由乙4OD=NBOC得到

检=诧，所以筋=/，从而得到结论；

(2)①连接力E、CE,如图，根据圆周角定理得到乙4CE=NABE,乙4EB=90。，