八年级数学下册同步讲义（人教版）：第11课 矩形（教师版）

第11课矩形

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课程标准

1.理解矩形的概念.

2.掌握矩形的性质定理与判定定理.

趣知识精讲

知识点01矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

注意：

矩形定义的两个要素：

①是平行四边形;

②有一个角是直角.

即矩形首先是一个平行四边形,然后增加一个角是直鱼这个特殊条件.

知识点02矩形的性质

矩形的性质包括四个方面：

1.矩形具有平行四边形的所有性质；

2.矩形的对角线相等;

3.矩形的四个角都是直角;

4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

注意：

（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.

（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即

对称中心）.

（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面

看：

从边看，矩形对边平行且相等;

从角看，矩形四个角都是直角;

从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.

知识点03矩形的判定

矩形的判定有三种方法：

1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.对角线相等的平行四边形是矩形.

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

注意：

在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.

知识点04直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

注意：

（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.

（2）学过的直角三角形主要性质有：

①直角三角形两锐角互余；

②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;

③直角三角形中30。所对的直角边等于斜边的一半.

（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.

u能力拓展

考法01矩形的性质

【典例1】如图所示，已知四边形ABCD是矩形，APBC和AQCD都是等边三角形，且点P在矩形上方,

点Q在矩形内.求证：（l）NPBA=/PCQ=30。；（2）PA=PQ.

【思路点拨】

(1)矩形的四个内角都等于90°,利用条件APBC和AQCD都是等边三角形，容易求得/PBA和NPCQ度数;

(2)利用⑴的结论以及矩形的性质进一步证明△PABgaPQC(SAS),从而证得PA=PQ.

【答案与解析】

证明：⑴：四边形ABCD是矩形，

/ABC=/BCD=90。.

,?APBC和ZkQCD是等边三角形，

，ZPBC=ZPCB=ZQCD=60°,

二NPBA=NABC—NPBC=30°,NPCD=/BCD—NPCB=30°.

NPCQ=ZQCD-/PCD=30°,故NPBA=NPCQ=30°

(2)V四边形ABCD是矩形，AB=DC.

,?APBC和ZkQCD是等边三角形，

PB=PC,QC=DC=AB.

AB=QC,ZPBA=ZPCQ,PB=PC.

APAB^APQC,PA=PQ.

【点睛】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可.

(即学即练】如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点5,处，点A落在点A处.

⑴求证：B'E=BF；

(2)设AE=a,AB=b,BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.

【答案】

证明：(1)由折叠可得=

AD〃BC,ZB'EF=ZBFE=ZB'FE,

：.B'E=B'F,

：.B'E=BF.

⑵猜想/+y=。2.理由:

由题意，得AE=AE=a,AB'=AB=b.

由⑴知B'E=BF=c.

在△43'£中，：ZA'=90°,AE=a,AB'=b,B'E=c,

/.cr+b2=c2.

【典例2】如图所示，矩形ABCD中，AC、BD相交于O,AE平分/BAD交BC于E,/CAE=15。，求

ZBOE的度数.

【分析】/BOE在ABOE中，易知NOBE=30。，直接求NBOE有困难，转为考虑证BO=BE.由AE平分

NBAD可求NBAE=45。得到AB=BE,进一步可得等边AAOB.有AB=OB.证得BO=BE.

【答案与解析】

解:四边形ABCD是矩形，

NDAB=NABC=90。，AO=-AC,BO=-BD,AC=BD.

22

AO=BO.

AE平分/BAD,ZBAE=45°.

ZAEB=90°-45o=45°=ZBAE.

BE=AB.

ZCAE=15°,ZBAO=60°.

△ABO是等边三角形.

BO=AB,NABO=60°.

BE=BO,ZOBE=30°.

180°-30°

ZBOE==75°.

2

【点睛】矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形中的计算

问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解决.

考法02矩形的判定

【典例3】如图，AB=AC,AD=AE,DE=BC,且NBAD=NCAE.

(1)求证：AABE丝4ACD；

(2)求证：四边形BCDE是矩形.

【分析】(1)利用SAS证得两个三角形全等即可；(2)要证明四边形BCED为矩形，则要证明四边形BCED

是平行四边形，且对角线相等.

【答案与解析】

(1)证明：VZBAD=ZCAE,

.•.ZEAB=ZDAC,

在AABE和AACD中

VAB=AC,ZEAB=ZDAC,AE=AD

.'.△ABE^AACD(SAS)；

(2)VAABE^AACD,

；.BE=CD,

又DE=BC,

四边形BCDE为平行四边形.

VAB=AC,

.\ZABC=ZACB

VAABE^AACD,

；./ABE=NACD,

.•.ZEBC=ZDCB

V四边形BCDE为平行四边形，

，EB〃DC,

.•.ZEBC+ZDCB=180°,

.•.ZEBC=ZDCB=90°,

四边形BCDE是矩形.

【点睛】本题主要考查矩形的判定，证明对角线相等的平行四边形是矩形，解题的关键是熟练掌握矩形的

判定方法.

【即学即练】如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AO=CO,BO二DO中，且NABC+N

ADC=180°.

(1)求证：四边形ABCD是矩形.

(2)若NADF：ZFDC=3：2,DF±AC,则NBDF的度数是多少？

(1)证明：VAO=CO,BODO,

・・・四边形ABCD是平行四边形，

•••NABONADC,

VZABC+ZADC=180°,

JZABC=ZADC=90°,

・•・四边形ABCD是矩形；

(2)解：VZADC=90°,ZADF：ZFDC=3：2,

・•・ZFDC=36°,

VDF±AC,

・•・ZDCO=90°-36°=54°,

•・•四边形ABCD是矩形，

.•.OC=OD,

:.ZODC=54°

ZBDF=ZODC-ZFDC=18°.

考法03直角三角形斜边上的中线的性质

【典例4】如图所示，BD、CE是AABC两边上的高，G、F分别是BC、DE的中点.

求证：FGXDE.

A

【答案与解析】

证明：连接EG、DG,VCE是高,

CE1AB.

:在R3CEB中，G是BC的中点，

EG=-BC,同理DG=^BC.

22

EG=DG.

又：F是ED的中点，

FG±DE.

【点睛】直角三角形斜边中线的性质是依据矩形的对角线互相平分且相等推出来的.根据这个性质.又可

以推出直角三角形的斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形.温馨提示：若题目中给出直角三

角形斜边上的中点，常设法用此性质解决问题.

【即学即练】如图，ZMON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上，当B在边ON上运动

时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2,BC=1,运动过程中，

点D到点O的最大距离为（）

5

A.A/2+1B.y[5D.-

2

R

【答案】A；

解：如图，取AB的中点E,连接OE、DE、OD,

VOD<OE+DE,

...当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大,

此时，；AB=2,BC=1,

1

，OE=AE=—AB=1,

2

DE=VAD2+AE-=A/12+12=A/2,

.,.OD的最大值为：V2+1.

fii分层提分

题组A基础过关练

1.下列选项中，矩形具有的性质是（）

A.四边相等B.对角线互相垂直C.对角线相等D.每条对角线平分一组对角

【答案】C

【解析】

【分析】

根据矩形的性质逐项分析即可.

【详解】

A.四边相等是菱形的性质，不是矩形的性质，故不符合题意；

B.对角线互相垂直是菱形的性质，不是矩形的性质，故不符合题意；

C.对角线相等是是矩形的性质，故符合题意；

D.每条对角线平分一组对角是菱形的性质，不是矩形的性质，故不符合题意；

故选C.

【点睛】

本题考查了矩形的性质：①矩形的对边平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等且互

相平分；

2.能够判断一个四边形是矩形的条件是()

A.对角线相等B.对角线垂直

C.对角线互相平分且相等D.对角线垂直且相等

【答案】C

【解析】

略

3.如图，在AABC中，AB=AC,BD=CD,点E为AC的中点，连接。E,若AABC的周长为20cm,则

的周长为()

A.10cmB.12cmC.14cmD.16cm

【答案】A

【解析】

【分析】

根据三角形中位线定理求出DE,根据三角形的周长公式计算，得到答案.

【详解】

解：；点E为AC的中点，

：.AE=CE,

"：BD=CD,

：.DE=^AB,

,/AABC的周长为20,即AB+BC+AC=20cm,

；.△(7£)£的周长=DE+CZ)+CE=；CAB+BC+AC)=10cm,

故选：A.

【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键.

4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3,点E在边BC上，将AABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角

线AC上的点F处，若NEAC=/ECA,则AC的长是（）

BEC

A.3#B.6C.4D.5

【答案】B

【解析】

【详解】

•.•将"BE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，

；.AF=AB,ZAFE=ZB=90°,

/.EF±AC,

,/ZEAC=ZECA,

；.AE=CE,

；.AF=CF,

；.AC=2AB=6,

故选B.

【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质等，得到EF垂直平分AC是解题的关键.

5.顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所形成的新四边形是（）

A.菱形B.矩形C.正方形D.三角形

【答案】B

【解析】

【分析】

先画出图形，再根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边平行且相等，那么其必为平行四边形，然后

根据邻边互相垂直得出四边形是矩形.

【详解】

解：如图，,:E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，

EHBDFG,EFACHG,FG=-BD,EF=-AC

229

・••四边形瓦‘GH是平行四边形，

ACA.BD,

：.EFLFG,

・•・平行四边形£FGH是矩形，

又1AC与2。不一定相等，

.•.EF与尸G不一定相等，

，矩形EFGH不一定是正方形，

故选:B.

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键.

6.如图，在MAA8C中，/BAC=90。，点D、E、尸分别是三边的中点，且。E=4cm,则AF的长度是（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm

【答案】C

【解析】

【分析】

根据中位线的性质可得3c=8cm,再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可求解.

【详解】

解：点。、E、尸分别是三边的中点NR4c=90°

二DE为二ABC的中位线，A厂为斜边3c的中线，

:・BC=2DE=8cm,AF=-BC

2

AF=4cm

故选C

【点睛】

此题考查了三角形中位线的性质，以及直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质.

7.如图，矩形ABC。的对角线AC和2D相交于点。，若/49。=120。，AC=16,则A3的长为()

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意可得AO=2O=CO=DO=8,可证AAB。是等边三角形，可得A2=8.

【详解】

解：：四边形ABC。是矩形，

：.AC=2AO=2CO,BD=2BO=2DO,AC=BD=16,

OA=OB=S,

ZAOD=120°,

：.ZAOB=6Q0,

•••△A。8是等边三角形，

：.AB=AO=BO=S,

故选：C.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，熟练掌握矩形的性质是本题的关键.

8.如图，DE是A3C的中位线，点尸在。E上，且NA产3=90。，若A8=5,BC=8,则切的长为()

A.2.5B.1.5C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得£»F=g48=2.5,再利用三角形中位线定理可得。£=4,

进而可得答案.

【详解】

解：；£＞为中点，ZAFB=90°,AB=5,

DF=-AB=2.5,

2

是AABC的中位线，BC=8,

；.DE=4,

：.EF=4-2.5=1.5,

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了直角三角形的性质和三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边

的一半.

9.如图，在矩形ABC。中，A8=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点B落在点9处，则重叠部分AAFC的面积

为（）

C.8D.6

【答案】B

【解析】

【分析】

已知AD为CF边上的高，要求△人■7的面积，求得尸C即可，求证白△CFB，,得BF=DF,设方=x,

则在RSAED中，根据勾股定理求X,于是得到CF=8-D尸，即可得到答案.

【详解】

解：由翻折变换的性质可知，△AFD^ACFB，,

:.DF=B'F,

^DF=x,贝l|Ab=CF=8—x,

在RtzXA/D中，AF-=DF2+AD1，即（8-婿=炉+4。，

解得：x=3,

:.CF=CD-FD=8-3=5,

:.SAAFC=~AF-BC=}0.

故选：B.

【点睛】

本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等内容，根据折叠的性质得到△的£唱AC咫是解题的关键.

10.如图，矩形ABC。的对角线AC,8。相交于点。，点尸是边上的一个动点，过点尸分别作PELAC

于点E,打」8。于点?若AB=6,BC=8,贝UPE+尸产的值为（）

【答案】C

【解析】

【分析】

首先连接。尸.由矩形A3C。的两边A2=6,BC=8,可求得。4=。£>=5,然后由544。。=544。尸+$4£）。尸求

得答案.

【详解】

矩形ABCD的两边AB=6,BC=8,

；.S矩形ABCD=AB，BC=48,OA=OC,OB=OD,AC=BD,AC=y]AB2+BC2=10,

S^AOD=S^ABCD=12,OA=OD=5,

：.S^AOD=S^AOP+S^DOP=1OA-PE+OD-PF=|OA（PE+PF）=gx5x（PE+PF）=12,

24

：.PE+PF=—^4.S.

5

故选：C.

【点睛】

此题考查了矩形的性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

题组B能力提升练

11.如图，已知四边形A3CD是平行四边形，再增加一个条件—即可判定四边形ABCD是矩形.（不添加

其他辅助线）

【答案】ZA=90°（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得出结果.

【详解】

四边形ABCD是平行四边形，

,当NA=90°时，平行四边形ABCD为矩形，

故答案为：NA=90°（答案不唯一）.

【点睛】

本题主要考查矩形的判定，属于基础题，熟练掌握矩形的判定是解题的关键.

12.若矩形ABC。的周长为26CM对角线的长是则它的面积是

【答案】20a〃##20平方厘米

【解析】

【分析】

设BC=ycm,则根据矩形的周长和对角线长即可列出关于x、y的关系式，解得盯的值，即可解

决问题.

【详解】

解：设AB=xcm,BC=ycm,

•矩形周长为26cm,

,\2x+2y=26,

.*.x+y=13,

•・•对角线的长是加西cm,

.，・N+y2=i29,

(x+y)2-2孙=129,

A132-2xy=129,

/.xy=20(cm2),

二・矩形面积为20cm2.

故答案为：20cm2.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，完全平方公式，矩形面积的计算，本题中列出

关于小y的关系式并求得孙的值是解题的关键.

13.如图，在中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4f尸为边5C上一动点，于E,PFLAC^F,

M为政的中点，则AM的最小值是______________.

【答案】I

【解析】

【分析】

根据题意，AM=^EF,利用三个直角的四边形是矩形，得至得AM=^AP,当AP最小时，AM有

最小值，根据垂线段最短，计算AP的长即可.

【详解】

VZBAC=90°,AB=3,AC=4,

22

：.BC=^+4=5.

12

**•BC边上的图h=—,

VZBAC=90°,PELAB,PF_LACf

・•・四边形A现平是矩形，

：・AP=EF,

VZBAC=90°,M为Eb的中点，

：.AM=^EF,

：.AM=^AP,

...当AP最小时，AM有最小值，

根据垂线段最短，当AP为2C上的高时即AP=〃时最短，

・・・AP的最小值为?1?，

.•.AM的最小值为g,

故答案为：y.

【点睛】

本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短原理，熟练掌握矩形的判定和

性质，直角三角形的性质是解题的关键.

14.如图，在中，ZACB=90°,将AABC绕顶点C逆时针旋转得到△⑷戌。，M是BC的中点，P

是49的中点，若BC=2,ZBAC=30°,则线段PM的最大值是.

A73

【答案】3

【解析】

【分析】

连结PC,根据30。直角三角形性质得出AB=2BC=4,根据将ZkABC绕顶点C逆时针旋转得到得出A!B'

=AB=4,根据“为2C中点，求出。加=:叱=叁2=1,根据直角三角形斜边中线性质得出CP=

1A®=^?42,利用两点距离得出尸MWPC+CM,当点P、C、M三点共线时最大即可求解.

22

【详解】

解:连结PC,

VZACB=9Q°,BC=2,ZBAC=3Q°,

：.AB=2BC=4,

•.•将“BC绕顶点C逆时针旋转得到

/.A'B=AB=4,

为2C中点，

：.CM=-BC=-x2=l,

22

:点P为A3'的中点，△A?C是直角三角形，

.\CP=-A®=-?42,

22

根据两点间距离得出PM<PC+CM,

当点尸、C、M三点共线时PM最大，PM^PC+CM=2+1=3.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查30。直角三角形性质，三角形旋转性质，线段中点，直角三角形斜边中线性质，掌握30。直角三角

形性质，三角形旋转性质，线段中点，直角三角形斜边中线性质，利用三角形三边关系是解题关键.

15.如图所示，A3CD是长方形地面，长AB=16m,宽AD=9m,中间竖有一堵砖墙高MV=1m.一只蚂

蚱从B点爬到。点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走m的路程.

【答案】9乖

【解析】

【分析】

根据题意，将长方形底面和中间墙展开为平面图，并连接根据两点之间直线段最短和勾股定理的性质

计算，即可得到答案.

【详解】

将长方形底面和中间墙展开后的平面图如下，并连接2。

根据题意，展开平面图中的AB=16+2=18m

一只蚂蚱从8点爬到。点，最短路径长度为展开平面图中长度

ABCD是长方形地面

ZA=90°

BD=^lAB2+AD2=V405=9石m

故答案为：9君.

【点睛】

本题考查了立体图形展开图、矩形、两点之间直线段最短、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握立体

图形展开图、勾股定理的知识，从而完成求解.

16.如图，矩形A3CD,AB=l,BC=2,点A在x轴正半轴上，点。在y轴正半轴上.当点A在x轴上运

动时，点。也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点c到原点。的最大距离为

【答案】夜+i##i+&

【解析】

【分析】

取的中点H,连接CH,OH,由勾股定理可求CH的长，由直角三角形的性质可求O"的长，由

三角形的三边可求解.

【详解】

如图，取AO的中点连接CH,OH,

矩形ABC。，AB=1,BC=2,

.-.CD=AB=1,AD=BC=2,

点H是AO的中点，

：.AH=DH=I,

：.CH=-JDH2+CD2=>/l+T=VI，

ZAOD=90。，点H是的中点,

:.OH=-AD=1,

2

在AOS中，CO<OH+CH,

当点H在。C上时，CO=OH+CH,

的最大值为OH+CH=0+1,

故答案为：V2+1.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的三边形关系，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构

造三角形是解题的关键.

题组c培优拔尖练

17.如图，在AABC中，AB=BC,BD平分/ABC,四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F,连接

CE

求证：四边形BECD是矩形.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形.结合等腰AABC“三线合一”的性质证得BD1AC,即/

BDC=90。，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到&BECD是矩形.

【详解】

证明：VAB=BC,BD平分/ABC,

ABDXAC,AD=CD.

•••四边形ABED是平行四边形，

；.BE〃AD,BE=AD,

四边形BECD是平行四边形.

VBDXAC,

.,.ZBDC=90°,

0BECD是矩形.

【点睛】

本题考查矩形的判定，掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形是本题的解题关键.

18.己知：如图，平行四边形ABCD,对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点，连接CG,CG

的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.

(1)求证：AB=AF；

(2)若AG=AB,ZBCD=120°,判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论.

【答案】(1)证明见解析；(2)结论：四边形ACDF是矩形.理由见解析.

【解析】

【分析】

(1)只要证明AB=CD,AF=CD即可解决问题；

(2)结论：四边形ACDF是矩形.根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可;

【详解】

(1)证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃CD,AB=CD,

ZAFC=ZDCG,

VGA=GD,ZAGF=ZCGD,

.♦.△AGF之△DGC,

；.AF=CD,

，AB=AF.

(2)解：结论：四边形ACDF是矩形.

理由：VAF=CD,AF/7CD,

二四边形ACDF是平行四边形，

V四边形ABCD是平行四边形，

.".ZBAD=ZBCD=120°