湖南省常德市市直学校2024届八年级下册数学期末学业水平测试试题含解析

湖南省常德市市直学校2024届八年级下册数学期末学业水平测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形2．已知点（-2，y1），（1，0），（3，y2）都在一次函数y＝kx-2的图象上，则y1，y2，0的大小关系是()A．0＜y1＜y2 B．y1＜0＜y2 C．y1＜y2＜0 D．y2＜0＜y13．如图，在正方形纸片ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点M，BM与EF交于点P，再展开．则下列结论中：①CM＝DM；②∠ABN＝30°；③AB2＝3CM2；④△PMN是等边三角形．正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．一个等腰三角形的边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一根，则此三角形的周长是（）A．12 B．13 C．14 D．12或145．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点O为坐标原点，边CO在x轴正半轴上，∠AOC＝60°，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点A，交菱形对角线BO于点D，DE⊥x轴于点E，则CE长为()A．1 B． C．2﹣ D．﹣16．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．

B．C． D．7．把多项式分解因式，下列结果正确的是()A． B． C． D．8．不能使四边形ABCD是平行四边形是条件是（）A．AB=CD，BC=AD B．AB=CD，C． D．AB=CD，9．下列说法：①平方等于64的数是8；②若a，b互为相反数，ab≠0,则；③若，则的值为负数；④若ab≠0，则的取值在0，1，2，－2这四个数中，不可取的值是0.正确的个数为()A．0个 B．1个 C．2个 D．3个10．下列二次根式中是最简二次根式的是（）A． B． C． D．11．下列条件中能构成直角三角形的是（）A．a＝3，b＝4，c＝6 B．a＝5，b＝6，c＝7C．a＝6，b＝8，c＝9 D．a＝5，b＝12，c＝1312．已知，则的关系是()A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，Rt△中，分别是的中点，平分，交于点．若，，则的长是________．14．在菱形ABCD中，M是BC边上的点（不与B，C两点重合），AB=AM，点B关于直线AM对称的点是N，连接DN，设∠ABC，∠CDN的度数分别为，，则关于的函数解析式是_______________________________．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6，BD＝4，则点D到AB的距离是_________．16．线段、正三角形，平行四边形、菱形中，只是轴对称图形的是_________．17．关于x的方程(a≠0)的解x＝4，则的值为__．18．如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为______．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，中，，是上一点，于点，是的中点，于点，与交于点，若，平分，连结，．（1）求证：；（2）求证：．（3）若，判定四边形是否为菱形，并说明理由．20．（8分）如图，是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学对该题的解答.（老师找聪聪和明明分别用不同的方法解答此题）（1）聪聪同学所列方程中的表示_______________________________________.（2）明明一时紧张没能做出来，请你帮明明完整的解答出来.21．（8分）（1）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥l，过点B作BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：AD＝CE，CD＝BE．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（1，3），求点N的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y＝﹣3x+3与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．22．（10分）如图所示，已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°.作∠BAC的平分线AM交BC于点D，在所作图形中，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使点A与点D重合，折痕EF交AC于点E，交AB于点F，连接DE、DF，再展回到原图形，得到四边形AEDF.（1）试判断四边形AEDF的形状，并证明；（2）若AB=10，BC=8，在折痕EF上有一动点P，求PC+PD的最小值.23．（10分）已知，直线y=2x+3与直线y=﹣2x﹣1.（1）求两直线与y轴交点A，B的坐标；（2）求两直线交点C的坐标；（3）求△ABC的面积．24．（10分）解方程：（1）＝2+；（2）．25．（12分）在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=∠D．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）若点P为对角线AC上的一点，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE=PF,求证：四边形ABCD是菱形.26．已知5x+y＝2，5y﹣3x＝3，在不解方程组的条件下，求3（x+3y）2﹣12（2x﹣y）2的值．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【解析】试题分析：根据题意，可知，连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断：A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；C．当E，F，G，H不是各边中点时，EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH为平行四边形，故C正确；D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可能为菱形，故D错误；故选D．考点：中点四边形2、B【解析】

先根据点（1，0）在一次函数y=kx﹣1的图象上，求出k=1＞0，再利用一次函数的性质判断出函数的增减性，然后根据三点横坐标的大小得出结论．【详解】∵点（1，0）在一次函数y=kx﹣1的图象上，∴k﹣1=0，∴k=1＞0，∴y随x的增大而增大．∵﹣1＜1＜3，∴y1＜0＜y1．故选B．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．也考查了一次函数的性质．3、C【解析】∵△BMN是由△BMC翻折得到的，∴BN=BC，又点F为BC的中点，在Rt△BNF中，sin∠BNF=，∴∠BNF=30°，∠FBN=60°，∴∠ABN=90°-∠FBN=30°，故②正确；在Rt△BCM中，∠CBM=∠FBN=30°，∴tan∠CBM=tan30°=，∴BC=CM，AB2=3CM2故③正确；∠NPM=∠BPF=90°-∠MBC=60°，∠NMP=90°-∠MBN=60°，∴△PMN是等边三角形，故④正确；由题给条件，证不出CM=DM，故①错误．故正确的有②③④，共3个．故选C．4、C【解析】解方程x2﹣7x+12=0，得，则等腰三角形的三边为4,4,6或3,3,6（舍去），易得等腰三角形的周长为4+4+6=14，故选C.5、C【解析】

由菱形ABCO，∠AOC=60°，由解直角三角形可以设A（m,m）,又点A在反比例函数的图像上，带入可以求出A的坐标，进而可以求出OA的长度，即OC可求．再根据菱形ABCO，∠AOC=60°，可知∠BOC=30°，可设E（n，0）,则D（n，n）,带入反比例函数的解析式可以求出E点坐标，于是CE=OC-OE，可求.【详解】解：∵四边形ABCO为菱形，∠AOC=60°，∴可设A（m,m）,又∵A点在反比例函数y=上，∴m2=2，得m=(由题意舍m=-),∴A（,）,OA=2，∴OC=OA=2，又∵四边形ABCO为菱形，∠AOC=60°，OB为四边形ABCO的对角线，∴∠BOC=30°，可设D（n，n）,则E（n，0），∵D在反比例函数y=上，∴n2=2，解得n=(由题意舍n=-),∴E（，0），∴OE=,则有CE=OC-OE=2-.故答案选C.【点睛】掌握菱形的性质，理解“30°角所对应的直角边等于斜边的一半”，再依据勾股定理分别设出点A和点D的坐标，代入反比例函数的解析式.灵活运用菱形和反比例函数的性质和解直角三角形是解题的关键.6、C【解析】

先求出不等式②的解集，然后根据：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解确定出不等式组的解集即可.【详解】，解②得，x≤3,∴不等式组的解集是-2<x≤3,在数轴上表示为：故选C.【点睛】本题考查了不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.不等式组的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点.7、A【解析】

利用因式分解即可解答本题．（x＋p）（x＋q）＝x2＋（p＋q）x＋pq【详解】解：x2＋x−2＝（x−1）（x＋2）故选：A．【点睛】本题主要靠着因式分解的相关知识，要熟练应用十字相乘法．8、D【解析】

根据平行四边形的判定即可得．【详解】A、，即两组对边分别相等，能使四边形ABCD是平行四边形，此项不符题意B、，即一组对边平行且相等，能使四边形ABCD是平行四边形，此项不符题意C、，即两组对边分别平行，能使四边形ABCD是平行四边形，此项不符题意D、，即一组对边相等，另一组对边平行，这个四边形有可能是等腰梯形，则不能使四边形ABCD是平行四边形，此项符合题意故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题关键．9、B【解析】

根据平方、相反数的定义、绝对值的性质依次判定各项后即可解答.【详解】①平方等于64的数是±8；②若a，b互为相反数，ab≠0,则；③若，可得a≥0，则的值为负数或0；④若ab≠0，当a>0，b>0时，=1+1=2；当a>0，b<0时，=1-1=0；当a<0，b>0时，=-1+1=0；当a<0，b<0时，=-1-1=-2；所以的取值在0，1，2，－2这四个数中，不可取的值是1.综上，正确的结论为②，故选B.【点睛】本题考查了平方的计算、相反数的定义及绝对值的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.10、A【解析】

根据最简二次根式的定义判断即可．【详解】A．是最简二次公式，故本选项正确；B．=不是最简二次根式，故本选项错误；C．=不是最简二次根式，故本选项错误；D．=不是最简二次根式，故本选项错误．故选A．【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．11、D【解析】

由勾股定理的逆定理，判定的是直角三角形．【详解】A.32+42≠62，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；B.52+62≠72，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；C.62+82≠92，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；D.52+122=132，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确.故选D.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形.12、D【解析】

将a进行分母有理化，比较a与b即可.【详解】∵，，∴.故选D.【点睛】此题考查了分母有理化，分母有理化时正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、1；【解析】

依据题意，DE是△ABC的中位线，则DE=5，根据平分线和角平分线的性质，易证△BDF是等腰三角形，BD=DF，D是BC中点，DF=，由EF=DE-DF，即可解出EF．【详解】∵D、E点是AC和BC的中点，则DE是中位线，∴DE∥AB,且DE=AB=5∴∠ABF=∠BFD又BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBD∴∠BFD=∠FBD∴△FDB是等腰三角形∴DF=BD又∵D是BC中点，∴BD=3∴DF=3∴EF=DE-DF=5-3=1故本题答案为1．【点睛】本题考查了平分线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定及性质以及中位线的性质，熟练掌握相关知识点事解决本题的关键．14、【解析】

首先根据菱形的性质得出∠ABC=∠ADC=，AB=BC=CD=AD，AD∥BC，进而得出∠BAM，然后根据对称性得出∠AND=∠AND==180°-，分情况求解即可.【详解】∵菱形ABCD中，AB=AM，∴∠ABC=∠ADC=，AB=BC=CD=AD，AD∥BC∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠BAD=180°-∵AB=AM，∴∠AMB=∠ABC=∴∠BAM=180°-∠ABC-∠AMB=180°-2连接BN、AN，如图：∵点B关于直线AM对称的点是N，∴AN=AB，∠MAN=∠BAM=180°-2，即∠BAN=2∠BAM=360°-4∴AN=AD，∠DAN=∠BAD-∠BAN=180°--（360°-4）=3-180°∴∠AND=∠AND==180°-∵M是BC边上的点（不与B，C两点重合），∴∴若，即时，∠CDN=∠ADC-∠AND=，即；若即时，∠CDN=∠AND-∠ADC=，即∴关于的函数解析式是故答案为：.【点睛】此题主要考查菱形的性质与一次函数的综合运用，熟练掌握，即可解题.15、1【解析】

首先根据已知易求CD=1，利用角平分线的性质可得点D到AB的距离是1．【详解】∵BC=6，BD=4，∴CD=1.∵∠C=90°，AD平分∠CAB，∴点D到AB的距离=CD=1．故答案为：1．【点睛】此题考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等；本题比较简单，属于基础题．16、正三角形【解析】

沿着一条直线对折，图形两侧完全重合的是轴对称图形，绕着某一点旋转180°后能与原图形重合的是中心对称图形，根据定义逐个判断即可．【详解】线段既是轴对称图形，又是中心对称图形；正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形；只是轴对称图形的是正三角形，故答案为：正三角形．【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形的判断，熟练掌握定义是解题的关键．17、4【解析】

将x=4代入已知方程求得b=4a，然后将其代入所以的代数式求值．【详解】∵关于x的方程(a≠0)的解x=4，∴，∴b=4a，∴=，故答案是：4.【点睛】此题考查分式方程的解，分式的化简求值，解题关键在于求得b=4a18、1．【解析】解：依题意知，BG=AF=DE=8，EF=FG=2，∴BF=BG﹣BF=6，∴直角△ABF中，利用勾股定理得：AB===1．故答案为1．点睛：此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角△ABF的两直角边的长度．三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）证明见解析；（3）四边形AEGF是菱形，证明见解析．【解析】

（1）依据条件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，依据F是AD的中点，FG∥AE，即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE=GD，∠CGE=∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD；（注：本小题也可以通过证明四边形ECGH为矩形得出结论）

（2）过点G作GP⊥AB于P，判定△CAG≌△PAG，可得AC=AP，由（1）可得EG=DG，即可得到Rt△ECG≌Rt△DPG，依据EC=PD，即可得出AD=AP+PD=AC+EC；

（3）依据∠B=30°，可得∠ADE=30°，进而得到AE=AD，故AE=AF=FG，再根据四边形AEGF是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形．【详解】解：（1）∵AF=FG，

∴∠FAG=∠FGA，

∵AG平分∠CAB，

∴∠CAG=∠FAG，

∴∠CAG=∠FGA，

∴AC∥FG，

∵DE⊥AC，

∴FG⊥DE，

∵FG⊥BC，

∴DE∥BC，

∴AC⊥BC，

∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，

∵F是AD的中点，FG∥AE，

∴H是ED的中点，

∴FG是线段ED的垂直平分线，

∴GE=GD，∠GDE=∠GED，

∴∠CGE=∠GDE，

∴△ECG≌△GHD；

（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，

∴GC=GP，而AG=AG，

∴△CAG≌△PAG，

∴AC=AP，

由（1）可得EG=DG，

∴Rt△ECG≌Rt△DPG，

∴EC=PD，

∴AD=AP+PD=AC+EC；

（3）四边形AEGF是菱形，

证明：∵∠B=30°，

∴∠ADE=30°，

∴AE=AD，

∴AE=AF=FG，

由（1）得AE∥FG，

∴四边形AEGF是平行四边形，

∴四边形AEGF是菱形．【点睛】此题考查菱形的判定，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．20、（1）行驶普通火车客车所用的时间；（2）见解析.【解析】

（1）根据题意可知x表达的是时间（2）设普通火车客车的速度为，则高速列车的速度为，根据题意用总路程除以普通火车客车的速度-用总路程除以高速列车的速度=4，列出方程即可【详解】解：（1）行驶普通火车客车所用的时间（2）解：设普通火车客车的速度为，则高速列车的速度为，由题意列方程得．整理，得：解，得：经检验是原方程的根因此高速列车的速度为【点睛】此题考查分式方程的应用，解题关键在于列出方程21、（1）见解析（2）（4，2）（3）（6，0）【解析】

（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；（2）先判断出MF=NG，OF=MG，进而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出结论；（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=4，SH=0Q=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论.【详解】证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l∴∠ACB＝∠ADC∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE∴∠CAD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC∴△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，∵M（1，3）∴MF＝1，OF＝3∴MG＝3，NG＝1∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，∴点N的坐标为（4，2），（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3∴P（0，3），∴OP＝3由y＝0得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，∵∠QPR＝45°∴∠PSQ＝45°＝∠QPS∴PQ＝SQ∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1∴S（4，1），设直线PR为y＝kx+b，则，解得∴直线PR为y＝﹣x+3由y＝0得，x＝6∴R（6，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键.22、（1）见解析；（2）PC+PD的最小值为：1.【解析】

（1）根据对称性，围绕证明对角线互相垂直平分找条件；（2）求线段和最小的问题，P点的确定方法是：找D点关于直线EF的对称点A，再连接AC，AC与直线EF的交点即为所求．【详解】解：（1）四边形AEDF为菱形，证明：由折叠可知，EF垂直平分AD于G点，

又∵AD平分∠BAC，

∴△AEG≌△AFG，∴GE=GF，∵EF垂直平分AD，∴EF、AD互相垂直平分，

∴四边形AEDF为菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）．

（2）已知D点关于直线EF的对称点为A，AC与EF的交点E即为所求的P点，

PC+PD的最小值为：CP+DP=CE+DE=CE+AE=AC==1．故答案为：（1）见解析；（2）PC+PD的最小值为：1.【点睛】本题考查折叠问题以及菱形的判定．解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后线段相等．23、（1）A（0，3），B（0，-1）；（2）点C的坐标为（-1，1）；（3）S△ABC=2.【解析】

（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）构建方程组确定交点坐标即可；（3）过点C作CD⊥AB交y轴于点D，根据S△ABC=AB•CD计算即可.【详解】（1）在y=2x+3中，当x=0时，y=3，即A（0，3）；在y=-