内蒙古赤峰宁城县联考2023年数学九年级上册期末调研试题含解析

内蒙古赤峰宁城县联考2023年数学九上期末调研试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.已知二次函数%=加+区+。（。。0）和一次函数%="+〃住。0）的图象如图所示，下面四个推断:

①二次函数X有最大值

②二次函数X的图象关于直线X=-1对称

③当x=-2时，二次函数必的值大于。

④过动点尸（〃八0）且垂直于x轴的直线与弘，%的图象的交点分别为C,D,当点C位于点D上方时，m的取值范围是

/n<-3或相>一1,其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，已知YADE:VABC,若49:43=1:3丫4?。的面积为9,则44）石的面积为（）

A

3.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、

6,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为何？

4.已知：，"=+1,〃=-1,则加2+〃2+3/削=（）

A.±3B.-3C.3D.V5

5.如图，已知的内接正方形边长为2,则.。的半径是（）

0

A.1B.2c.V2D.272

6.在MAABC中，NC=90°,n1A、B8的对边分别是。、b,且满足/一"一2〃=0,则tanA等于（）

12。273

A.-B.2c

232

k

7.在同一平面直角坐标系xOy中,函数y="+1与y=-（ZwO）的图象可能是（）

X

“1

A.,B.■

0«0（7I

W

FA

c.一，.

D..

OL-IO•-x

8.如图，过。0上一点C作。。的切线,交。。直径的延长线于点若ND=40°,则NA的度数为（）

金

CD

A.20°B.25°C.30°D.40°

9.如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2,直角顶点A在直线V=%上，其中点A的横坐标为1,

且两条直角边AB，AC分别平行于x轴、轴，若反比例函数丫=4的图象与/XABC有交点，则人的取值范围是

X

.\<k<3C.1<A:<4D.\<k<^

-4),顶点C在x轴的正半轴上，函数y=K(k<0)

10.如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(3,

x

的图象经过点B,则k的值为()

A.B.-32D.-36

11.二次函数y=(x-+3图象的顶点坐标是()

A.(1,3)B.(1,-3)C.(-1,3)D.(-1,-3)

12.如图，正方形ABCD的边长为2,点E是BC的中点，AE与BD交于点P,F是CD上的一点，连接AF分别交

BD,DE于点M,N,且AF_LDE,连接PN,则下列结论中:

①5ABM=4sFDM；②PN=口叵;③tanNEAF=-；DPE.正确的是()

154

A.①②③B.0(2)@C.①③④D.②③④

二、填空题(每题4分，共24分)

13.某校九年1班共有45位学生，其中男生有25人，现从中任选一位学生，选中女生的概率是—・

14.一个圆锥的底面圆的半径为3C”,母线长为9。加，则该圆锥的侧面积为而.

,V1x+V

15.已知二二一,则---=_____.

x2x

16.如图，直线片x+2与反比例函数尸&的图象在第一象限交于点P.若OP=J而，则4的值为

17.如图，在半径为3的。。中，48的长为万，若随意向圆内投掷一个小球，小球落在阴影部分的概率为

18.函数y=炉—2x+4沿直线y=1翻折所得函数解析式为.

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，已知。。是△A5C的外接圆，40是。。的直径，且延长4。到£且有

⑴求证：8E是。。的切线;

⑵若8c=6，AC=5,求圆的直径40的长.

20.（8分）计算或解方程：（1）（2一Gy+.牛二逆+2sin30。xtan60。

V2

(2)2/+%—6=0

21.（8分）解方程：（1）x2-2x+l=0（2）2x2-3x+l=0

22.（10分）如图所示，是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱的高为10米，灯柱与灯杆A3的夹角为120。.

路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域OE的长为13.3米，从。，E两处测得路灯A的仰角分别为。和45°,且

tana=6.求灯杆的长度.

A

\

23.(10分)近期江苏省各地均发布“雾霾”黄色预警，我市某口罩厂商生产一种新型口罩产品，每件制造成本为18

元，试销过程中发现，每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系满足下表.

销售单价X(元/件)•••20253040・・・

每月销售量y(万件)•••60504020…

⑴请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数三个模型中确定哪种函数能比较恰当地表示y与x的变化规律，

并直接写出y与x之间的函数关系式为；

(2)当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为440万元？

⑶如果厂商每月的制造成本不超过540万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多

少万元？

24.(10分)在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为r">()).给出如下定义：若平面上一点尸到圆心O的距离d,

13

满足一rKdW-r,则称点P为。。的“随心点”.

22

2

234

3D一!)中，。。的“随心点”是

(1)当。。的半径尸2时，A(3,0),B((),4),C(一一，2),

222

(2)若点E(4,3)是。。的“随心点”，求。O的半径r的取值范围;

(3)当。。的半径r=2时，直线y=-x+)。邦)与x轴交于点M,与y轴交于点N,若线段MN上存在。。的“随心

点”，直接写出〃的取值范围.

25.（12分）如图，在矩形ABC。中，AB=6,BC=4,动点。在边AB上，连接CQ,将ABQC沿C0所在的直线对

折得到△CQN,延长QN交直线。于点M.

（备用图）（备用图）

(1)求证：MC=MQ

（2）当8。=1时，求。W的长；

DF1

（3）过点。作。ELCQ,垂足为点E,直线QN与直线OE交于点尸，且跖=§，求B。的长.

26.解方程:

(l)x2-2x-1=0

(2)2(x-3)2=x2-9

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1,B

【分析】根据函数的图象即可得到结论.

【详解】解：♦.•二次函数y产ax2+bx+c（a邦）的图象的开口向上，

.•.二次函数yi有最小值，故①错误；

观察函数图象可知二次函数yi的图象关于直线x=-l对称，故②正确:

当x=-2时，二次函数十的值小于0,故③错误；

当xV-3或x>-l时，抛物线在直线的上方，

...m的取值范围为：mV-3或m>-l,故④正确.

故选B.

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及函数图象，熟练运用二次函数图象上点的坐标特征求出二次函数解析式

是解题的关键.

2、A

V(1V

【分析】根据相似三角形的性质得出"更=-,代入求出即可.

SABC

【详解】解：VAADE^AABC,AD：AB=1：3,

4二邛

S'A"。J

VAABC的面积为9,

.SADE_1

••-------------9

99

.".SAADE=1»

故选：A.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质定理，能熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键.

3、C

【解析】依题意可得，当其中一个夹角为180。即四条木条构成三角形时，任意两螺丝的距离之和取到最大值，为夹角

为180。的两条木条的长度之和.因为三角形两边之和大于第三边，若长度为2和6的两条木条的夹角调整成180。时，

此时三边长为3,4,8,不符合；若长度为2和3的两条木条的夹角调整成180。时，此时三边长为4,5,6,符合，此时任

意两螺丝的距离之和的最大值为6；若长度为3和4的两条木条的夹角调整成180。时，此时三边长为2,6,7,符合，此

时任意两螺丝的距离之和的最大值为7；若长度为4和6的两条木条的夹角调整成180。时，此时三边长为2,3,10,不

符合.综上可得，任意两螺丝的距离之和的最大值为7,故选C

4、C

【分析】先根据题意得出机-“和根”的值，再把式子化成含〃-〃与机〃的形式，最后代入求值即可.

【详解】由题得：m—n=2、mn=\

2+rr+3mn-y](m—ri)2+5mn-~J22+5x1-也-3

故选：C.

【点睛】

本题考查代数式求值和完全平方公式，运用整体思想是关键.

5、C

【分析】如图，连接BD,根据圆周角定理可得BD为。。的直径，利用勾股定理求出BD的长，进而可得。O的半径

的长.

【详解】如图，连接BD,

•••四边形ABCD是正方形，边长为2,

.,.BC=CD=2,ZBCD=90°,

.,.BD=V22+22=272>

•.•正方形ABCD是。O的内接四边形,

...BD是。O的直径，

•••OO的半径是gx20=0,

【点睛】

本题考查正方形的性质、圆周角定理及勾股定理，根据圆周角定理得出BD是直径是解题关键.

6、B

【分析】求出a=2b,根据锐角三角函数的定义得出tanA=f,代入求出即可.

b

【详解】解：

(a-2b)(a+b)=0,

则a=2b,a=-b(舍去),

则tanA=-=2,

b

故选：B.

【点睛】

ZA的对边

本题考查了解二元二次方程和锐角三角函数的定义的应用，注意：tanA=

ZA的邻边

7、D

【分析】分两种情况讨论，当k>0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k<0时，一次函数和反比

例函数所过象限，符合题意者即为正确答案.

【详解】当%>0时，一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过一、三象限；

当k<0时，一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限.

观察图形可知，只有A选项符合题意.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中k和b的符号对函数图象的影响是解题的关键.

8、B

【分析】直接利用切线的性质得出NOCD=90。，进而得出NDOC=50。，进而得出答案.

【详解】解：连接OC,

•••DC是。O的切线，C为切点，

.•.ZOCD=90°,

VZD=40°,

ZDOC=50°,

VAO=CO,

/.ZA=ZACO,

.,.ZA=—ZDOC=25°.

2

故选:B.

【点睛】

此题主要考查了切线的性质，正确得出NDOC=50。是解题关键.

9,D

【解析】设直线y=x与BC交于E点，分别过A、E两点作x轴的垂线，垂足为D、F,则A(1,1),而AB=AC=2,则B

(3,1),ZXABC为等腰直角三角形，E为BC的中点，由中点坐标公式求E点坐标，当双曲线与aABC有唯一交点时，

这个交点分别为A、E,由此可求出k的取值范围.

解：•••AC=BC=2,NCAB=90°.A(l,l).又•.•y=x过点A,交BC于息E,EF=ED=2,

E（2,2）,：,[<k<4.故选D.

【解析】解：

•••O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(3,-4),顶点C在x轴的正半轴上，

.*.OA=5,AB〃OC,

...点B的坐标为(8,-4),

k

•.•函数y=—(k<0)的图象经过点B,

x

k3

..-4=—,得k=-32.

8

故选B.

【点睛】

本题主要考查菱形的性质和用待定系数法求反函数的系数，解此题的关键在于根据A点坐标求得OA的长，再根据菱

形的性质求得B点坐标，然后用待定系数法求得反函数的系数即可.

11、A

【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.

【详解】•.•y=(无一1尸+3,

...二次函数图像顶点坐标为：(1,3).

故答案为A.

【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x-h)2+k中，对称轴为x=h,顶点

坐标为(h,k).

12、A

【解析】利用正方形的性质，得出NDAN=NEDC,CD=AD,NC=NADF即可判定尸名△OCE(ASA),再证

明AABMs/\FDM,即可解答①；根据题意可知：AF=DE=AE=非,再根据三角函数即可得出③；作尸H_L4N于

H.利用平行线的性质求出A"=2X拽==生叵，即可解答②；利用相似三角形的判定定理，即可解答④

351515

【详解】解：：正方形ABC。的边长为2,点E是3c的中点，

：.AB=BC=CD=AD=2,ZABC=ZC=ZADF=9d°,CE=BE=1,

,：AFA.DE,

:.Z.DAF+ZADN=NAON+NCDE=9()°,

：.ZDAN=ZEDC,

ZADF=ZC

在AAO尸与ADCE中，，A。=CO,

ZDAF=ZCDE

.,.△ADF^ADCE(ASA),

：.DF=CE=l,

'：AB//DF,

.♦.△ABMs△尸OM,

...出必*罔=4,

SXFDM{DFJ

SAABM=4SAH>M;故①正确；

根据题意可知：AF=DE=AE=45,

11

V-xAD^DF=-xAFxDN,

22

：.DN=—,

5

.•.EN=述，AN=^-,

55

.".tanZ£AF=—=-,故③正确，

AN4

作尸“J_AN于".

•:BE"AD,

.PA_AD

PEBE

：.PA=^!L,

3

■:PH//EN,

.AHPA2

•・-------=一，

ANAE3

:.AH=Zx迫且l,HN=也,

351515

APH=SJPA2-AH2=—

15

PN=4PH2+HN?=汉画,故②正确,

15

,:PN*DN,

：.NDPN“PDE,

.•.△PMN与AOPE不相似，故④错误.

故选：A.

【点睛】

此题考查三角函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质难度较大，解题关键在于综

合掌握各性质

二、填空题（每题4分，共24分）

45-25204

【详解】解:选中女生的概率是:

45-45-9

14、27万

【分析】先求出底面圆的周长，然后根据扇形的面积公式：5=1/厂即可求出该圆锥的侧面积.

2

【详解】解：底面圆的周长为2x3万=6次小，即圆锥的侧面展开后的弧长为6万s,

•母线长为9cm,

圆锥的侧面展开后的半径为9cm,

...圆锥的侧面积S=1x6%x9=27万ctn2

2

故答案为：27万

【点睛】

此题考查的是求圆锥的侧面积，掌握扇形的面积公式：S=」/r是解决此题的关键.

2

【分析】由已知可得小y的关系，然后代入所求式子计算即可.

y1入y2y+y3

【详解】解：・・・2二7，，x=2y,・・・一

x2x2y2

3

故答案为：—.

2

【点睛】

本题考查了比例的性质和代数式求值，属于基本题型，掌握求解的方法是关键.

16、3

【分析】已知直线y=x+2与反比例函数y=&的图象在第一象限交于点P,设点P的坐标为(m,m+2),根据OP=JHL

x

列出关于m的等式，即可求出m,得出点P坐标，且点P在反比例函数图象上，所以点P满足反比例函数解析式，即

可求出k值.

【详解】•..直线y=x+2与反比例函数y=&的图象在第一象限交于点P

x

二设点P的坐标为(m,m+2)

VOP=VW

二"川+(++2>=Vio

解得011=1,H12=-3

・・♦点P在第一象限

:.m=l

・•・点P的坐标为(10)

V点P在反比例函数y=V图象上

x

..k

3=一

1

解得k=3

故答案为：3

【点睛】

本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，交点坐标同时满足一次函数和反比例函数解析式，根据直角坐标系中点

坐标的性质，可利用勾股定理求解.

1

17、-

6

【分析】根据圆的面积公式和扇形的面积公式分别求得各自的面积，再根据概率公式即可得出答案.

【详解】•・•圆的面积是：3?♦乃=9〃，

13

扇形的面积是：-♦^-♦3=-^,

22

3

...小球落在阴影部分的概率为：5、1.

9兀6

故答案为：—.

6

【点睛】

本题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应面积与总面积之比.

18、y=-(x-l)2-i

【解析】函数y=/-2x+4沿直线y=1翻折所得函数图像开口向下，只要根据轴对称的性质求出对称后的顶点坐标

即可.

【详解】y=x2-2x+4=(x-l)2+3,

,其顶点坐标是(1,3),

V(1,3)关于直线y=i的点的坐标是(1,-1),

...所得函数解析式为y=-a-i)2-i.

故答案为：y=—(x—1)—1.

【点睛】

本题考查了二次函数的轴对称变换，其形状不变，但开口方向相反，因此“值为原来的相反数，顶点位置改变，只要

根据轴对称的点坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定解析式.

三、解答题(共78分)

19、(1)详见解析;(2)1

【分析】(1)先根据等弦所对的劣弧相等，再结合NEBD=NCAB从而得到NBAD=NEBD,最后用直径所对的圆周

角为直角即可；

(2)利用三角形的中位线先求出OM,再用勾股定理求出半径r,最后得到直径的长.

【详解】解：⑴证明：连接OB,CDQB、CD交于点M

VBC=BD,

:.ZCAB=ZBAD.

VOA=OB,

.,.ZBAD=ZOBA.

ZCAB=ZOBA.

AOB//AC.

又AD是直径，

.,.ZABD=ZACD=90',

又NEBD=NCAB,ZCAB=ZOBA.

/.ZOBE=90",即OB_LBE.

又OB是半径，

.'BE是。O的切线.

(2)VOB〃AC,OA=OD,AC=5,.

:.OM=2.5,BM=OB-2.5,OB±CD

设。。的半径为r,则

在RtAOMD中：MD2=r2-2.52;

在RtABMD中：MD2=BD2-(r-2.5)2,BD=BC=百.

An=3,r2=-0.5(舍).

...圆的直径AD的长是1.

【点睛】

此题是切线的判定，主要考查了圆周角的性质，切线的判定，勾股定理等，解本题的关键是作出辅助线.

3

20、(1)5-V3;(2)xi=-2,x2=-

2

【分析】(1)利用完全平方差公式以及化简二次根式和代入特殊三角函数进行计算即可；

(2)由题意观察原方程，可用因式分解法中十字相乘法或者公式法求解.

【详解】(D计算：(2—百1+后■&+2sin30°xtan60。

V2

解：原式=7-4后+疵一4+2x；x6

=7-4^+2^-2+73

=5—73•

(2)2X2+%-6=0

解法一：(2x-3)(x+2)=0

2x—3=0或x+2=0,

3

Xl=-2,X2=—.

2

解法二：a=2,b=Lc=—6,

△=b2—4ac=I2—4x2x(—6)=49,

-1±V49-1±7

x=--------=-----,

2x24

3

Xl=-2,X2=—.

2

【点睛】

本题主要考查用因式分解法解一元二次方程以及实数的综合运算，涉及的知识点有特殊角的三角形函数值、完全平方

差公式以及二次根式的分母有理化等.

21、(1)X1=X2=1；(2)Xl=l,X2=—

2

【分析】(D利用配方法解一元二次方程即可得出答案；

(2)利用十字相乘法解一元二次方程即可得出答案.

【详解】解：(1)x2-2x+l=0

(x-l)2=0

/.X1=X2=1

(2)2x2-3x+l=0

(2x-l)(x-l)=0

I

.♦.Xl=l,X2=一

2

【点睛】

本题考查的是解一元二次方程，解一元二次方程主要有以下几种解法：直接开方法、配方法、公式法和因式分解法.

22、2.8米

【分析】过点A作A尸_LC£,交CE于点F,过点5作交AE于点G,则FG=BC=10米.设AF=x.

AFYX

根据正切函数关系得=—=二^=3,可进一步求解.

tanZADFtana6

【详解】解：由题意得NAOE=a,ZE=45°.

过点A作A尸_LCE,交.CE于点F,

过点3作8GLAE,交AE于点G,则R7=BC=10米.设AF=x.4=45。，，历=人尸=x.在&AA£＞尸中,

AK

tanZADF-——，

DF

：.DF=———=二一

tanZADFtana6

Y

。£=13.3,..X+—=13.3...X=11.4.

6

AG=AF-GF=\\A-\Q=\A（米）.

ZABC=120°,

/.ZABG=ZABC-ZCBG=120°-90°

=3Q°.:.AB=2AG=2.S（米）.

答：灯杆AB的长度为2.8米.

A

/!\

/1、

11、、【点睛】

/।\

…\

/I_____________K

CDFE

考核知识点：解直角三角形应用.构造直角三角形，利用直角三角形性质求解是关键.

23、（1）y=-2X+100；（2）当销售单价为28元或1元时，厂商每月获得的利润为41万元；（3）当销售单价为35

元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元.

【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式；

（2）根据利润=销售量x（销售单价-成本），代入代数式求出函数关系式，令利润z=4L

求出x的值；

（3）根据厂商每月的制造成本不超过51万元，以及成本价18元，得出销售单价的取值范

围，进而得出最大利润.

【详解】解：（1）由表格中数据可得：y与x之间的函数关系式为：y=kx+b,

把（20,60）,（25,50）代入得:

‘200+6=60

'25左+8=50,

k=-2

解得：〈

8=100.

故y与x之间的函数关系式为：y=-2x+100；

(2)设总利润为z,由题意得，

z=y(x-18)

=(-2x+100)(x-18)

=-2x2+136x-1800；

当z=41时，

-2x2+136x-1800=41,

解得：xi=28,X2=l.

答：当销售单价为28元或1元时，厂商每月获得的利润为41万元；

(3)•.•厂商每月的制造成本不超过51万元，每件制造成本为18元，

540

•••每月的生产量为：小于等于：3=30万件，

1O

y=-2x+l00<30,

解得：x>35,

Vz=-2x2+136x-1800=-2(x-34)2+512,

...图象开口向下，对称轴右侧z随x的增大而减小，

.♦.x=35时，z最大为：510万元.

当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元.

【点睛】

本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用增减性求出最值.

24、(1)A,C；(2)y<r<10；(3)IWbW3亚或-3亚WbWT.

【分析】(1)根据已知条件求出d的范围：lWdW3,再将各点距离O点的距离，进行判断是否在此范围内即可，满

足条件的即为随心点；

13

(2)根据点E(4,3)是。。的“随心点”，可根据一rWdW-r,求出d=5,再求出r的范围即可；

22

(3)如图a〃b〃c〃d,。。的半径r=2,求出随心点范围1WdW3,再分情况点N在y轴正半轴时，当点N在y轴

负半轴时，分情况讨论即可.

【详解】(1)：OO的半径r=2,

VA(3,0),

.\OA=3,在范围内

...点A是。O的“随心点”

VB(0,4)

.•.OB=4,而4>3,不在范围内

.•.B是不是。。的“随心点”,

3

VC(——，2),

2

3

.,.OC=-,在范围内

2

...点C是。。的“随心点”,

VD(—,——),

22

.,.OD=-<1,不在范围内

2

...点D不是。O的“随心点”,

故答案为：A,C

(2)•.•点E(4,3)是。。的“随心点”

.*.OE=5,即d=5

若工r=5,.*.r=10

2

310

若25,r=一

23

.•2E。

3

⑶

.如图a〃b〃c〃d,。。的半径r=2,随心点范围

22

/.1<<3

•.•直线MN的解析式为y=x+b,

.*.OM=ON,

①点N在y轴正半轴时，

当点M是。。的“随心点”，此时，点M(-1,0),

将M(-1,0)代入直线MN的解析式y=x+b中，解得，b=l,

即：b的最小值为1,

过点。作OGJLMN于G,

当点G是。O的“随心点”时，此时OG=3,

在RtAON'G中，NON'G=45°,

.\GO=3

GO焉=3后，

...在RtdGNN'中,NN'=

sinNGN'N

b的最大值为3亚,

二1930，

②当点N在y轴负半轴时，同①的方法得出-3也Wb£L

综上所述，b的取值范围是：lWbS3也