余弦定理 高一数学人教A版（2019）必修2

余弦定理引入

我们知道，一个三角形含有各种各样的几何量，比如：

三边的边长，三个内角的度数，三角形的面积等.

它们之间应该是存在确定关系的，如

在直角三角形中，边、角之间的定量关系就有勾股定理，锐角三角函数等.

在一般三角形中，我们曾定性地研究过三角形的边角关系，并得到了判定三角形全等的一些方法，如SSS，SAS，ASA，AAS

这些判定方法表明：给定一个三角形三条边、三个角这6个元素中的某些元素，这个三角形就能唯一确定.

那么三角形的其它元素与这些给定元素之间在数量上到底有着怎样的关系呢，这就是这一部分内容要研究的问题。

在全等三角形的判定中，有一种方法叫SAS(边角边),即一个三角形，只要给出了两边及其夹角，这个三角形就唯一确定了，也就是说，这个三角形的其它边和角都可用给出的两边及其夹角计算出来.知识探究

几何图形到向量恰当的向量运算向量到几何关系返回余弦定理的内容

三角形中，任何一边的平方，等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即思考(3):

这些结论有何特点，用自然语言该怎样叙述？

问题2:

这你还有证明这个定理的其它思路吗，能把它们现刚才的向量法比较一下吗？返回

以CB

所在的直线为x

轴，过C点垂直于CB

的直线为y

轴，建立如图所示的坐标系，则有返回返回

这三种方法中，用向量法最为简洁，将取两边对应向量为基底，将另一边表示出来，用数量积运算即得结果；

用几何法较为繁琐，要涉及作垂线，需将分锐角、钝角、直三种情况进行讨论，最后进行整合.返回

思考(3):

由几何法的证明过程，你能得出勾股定理和余弦定理的关系吗？

勾股定理是余弦定理的特例(当两边的夹角为直角时)，

余弦定理是勾股定理的推广(把两边的夹角由直角推广到(0°,180°)内的任意角)

问题3:

余弦定理解决了“已知三角两边和夹角，求第三边的问题”.但我们已知了三角形的三边，你能用余弦定理确定三个角的大小吗？

思考(1):

你能用全等三角形的判定方法来解释吗?余弦定理的推论

SSS.

即三角形的三边确定后,三个角的大小也是确定的.

思考(3):

请再回顾一下余弦定理的相关内容?

思考(2):

请你能用自然语言来表述这个结论吗?返回余弦定理

三角形中，任何一边的平方，等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即推论：特例：勾股定理

思考(4):

三角形的三条边，三个角叫三角形的元素.

已知三角形的一些元素,求其余元素的过程叫解三角形.你认为余弦定理在解三角形时可以解决哪些类型的问题？①已知两边和夹角，求其它的边和角；②已知三边，求三个角.

三角形中，任何一

角的余弦，等于该角两边的平方和减去对边的平方，与这两边乘积的两倍的比值，即返回例析

思考(3):解三角形，一般是怎样一个思路?

先作一个草图，并标出已知元素，

再结合定理，确定恰当求解顺序，

然后依次求余下的元素.返回

思考:若去掉题目中“锐角”二字，结果会怎样?分两种情况进行讨论：练习1.我们是怎样由向量知识得到余弦定理？课堂小结

余弦定理还有哪些哪些推导方法？你更喜欢哪一种？坐标法；几何法.2.说说余弦定理是怎样的？其推论是又是怎样的？3.余弦定理可以直接解决解三角形