2025届新高考数学精准冲刺复习数列证明与函数方程

2025届新高考数学精准冲刺复习数列证明与函数方程

考点梳理考情回顾高考预测数列的判断

与证明2023新高考Ⅱ卷第18题2022新高考Ⅰ卷第17题2022新高考Ⅱ卷第17题1.常见题型：利用数列的递推关系构造（判断、证明）等差数列（等比数列）.2.数列中的最值问题是高考热点，常见题型有：求数列的最大项或最小项、与Sn有关的最值、求满足数列的特定条件的n的最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等.数列与不定方程、最值问题2022全国甲卷（理）第17题

（2022·新高考Ⅱ卷）已知{

an

}为等差数列，{

bn

}是公比为2的等比数

列，且

a

2－

b

2＝

a

3－

b

3＝

b

4－

a

4.（1）

求证：

a

1＝

b

1；

（2）

求集合{

k

｜

bk

＝

am

＋

a

1，1≤

m

≤500}中元素的个数.

1.等差或等比数列的判断与证明通常有下列方法：等差数列等比数列定义法an＋1－an＝d通项法an＝a1＋（n－1）dan＝a1qn－1中项法2an＝an－1＋an＋1（n≥2）前n项和法Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）Sn＝Aqn－A（A≠0，q≠0，1）2.一般情况下，涉及

Sn

，

an

的递推关系式时，如果要证明

f

（

an

）为等

差（等比）数列，就消去

Sn

；如果要证明

f

（

Sn

）为等差（等比）数

列，就消去

an

.

5.与数列有关的不等式、最值等问题，常常需要探究数列的单调性.

热点1

数列的判断与证明[典例设计]

[思维导图]选①②证明③

等式变形，得

d

＝2

a

1，从而得

a

2＝3

a

1→→

→选①③证明②→

→

选②③证明①→由②③，可得

Sn

的表达式→利用递推关系式求数列{

an

}

的通项公式→证明{

an

}是等差数列

例2已知数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，且2

Sn

＋1＝

an

.（1）

求证：数列{

an

}为等比数列；（2）

若

bn

＝

an

·2

n

，求数列{

bn

}的前

n

项和

Tn

.[思维导图]→

an

＝－

an

－1（

n

≥2）→利用等比数列的求和公式求和由2

Sn

＋1＝

an

，递减一项作差{

an

}为等

比数列由（1）写出{

an

}的通项公式→写出{

bn

}的通项公式并证明{

bn

}是等比数列→

总结提炼

（1）

证明（判断）等差（等比）数列，基本方法是定义法或者等差

（比）中项法.（2）

出现递推关系的数列问题，要关注数列的前

n

项和或者前

n

项积

与数列的项的关系.消和（积）得到项（或项的递推关系），或者消项

得到和（积）的递推关系是常用的方法.[对点训练]

（1）

求证：数列{

Tn

＋1}是等比数列；

（2）

求{

an

}的通项公式.

2.已知在数列{

an

}中，

a

1＝1，

an

＝2

an

－1＋1（

n

≥2，

n

∈N*），记

bn

＝log2（

an

＋1）.（1）

判断数列{

bn

}是否为等差数列，并说明理由；

（2）

求数列{

an

}的通项公式.

热点2

数列与不定方程、最值问题等[典例设计]例3已知等比数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，且

an

＋1＝2

Sn

＋2（

n

∈N*）.（1）

求数列{

an

}的通项公式.（2）

在

an

与

an

＋1之间插入

n

个数，使这（

n

＋2）个数组成一个公差为

dn

的等差数列，在数列{

dn

}中是否存在3项

dm

，

dk

，

dp

（其中

m

，

k

，

p

成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说

明理由.[思维导图]写出{

dn

}的通项公式

→下结论假设

dm

，

dk

，

dp

成等比数列→→化简得

m

，

k

，

p的关系且与已知矛盾

总结提炼

（1）

解存在性问题，常先假设存在，由此推演，或推出结论；或推出

矛盾，否定存在.（2）

多元不定方程，要根据方程结构与特征，合理变形，并结合整式

（数）的知识综合求解.[对点训练]3.已知

an

＝2

n

，求证：数列{

an

}中的任意三项不可能构成等差数列.证明：假设数列{

an

}中存在三项

ar

，

as

，

at

（

r

＜

s

＜

t

）构成等差数

列，则2

as

＝

ar

＋

at

，即2×2

s

＝2

r

＋2

t

.等式两边同除以2

r

，得2

s

＋1－

r

＝

1＋2

t

－

r

.因为等式左边为偶数，右边为奇数，矛盾，所以假设不成立.故

数列{

an

}中的任意三项不可能构成等差数列.[典例设计]例4已知数列{

an

}是等差数列，

Sn

是等比数列{

bn

}的前

n

项和，

a

6＝

b

1＝16，

a

2＝

b

3，

S

3＝12.（1）

求数列{

an

}，{

bn

}的通项公式.（2）

①

求证：8≤

Sn

≤16；②

求所有满足

ak

＝

Sm

的正整数

k

，

m

.[思维导图]利用等比数列的求和公式写出

Sn

→由8≤

ak

≤16求出可能符合条件的

k

→对

Sn

分奇偶讨论，利用单调性求