中考数学复习《三角板问题》专项检测卷(附带答案)

第页中考数学复习《三角板问题》专项检测卷(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________三角板是学生最常用的学习工具,以三角板为道具,以学生常见、熟悉的几何图形为载体,并辅之以平移、旋转等变换手段的问题,能为学生提供动手实践操作设计的空间,较好地考查了学生观察、实验、比较、联想、类比、归纳的能力以及运动变化、分类讨论思想等的综合运用能力.这类操作性的题目格调清新,立意新颖,充分体现了课标中提出的“培养学生动手动脑、实践探索的能力”的要求,既注重基础知识,同时又具有很强的综合性,因此受到了各地中考命题专家的青睐.由一副三角板产生的问题（一）.由一副三角板的叠放1、一副三角板如图1所示叠放在一起，则图中∠a的度数是。解析：本题利用学生熟知的三角板的度数和三角形的内角和易知∠a的度数为750。图1.2.一幅三角板按图2所示叠放在一起,若固定△AOB,将△ACD绕着公共顶点A,按顺时针方向旋转α度(0<α<180),当△ACD的一边与△AOB的某一边平行时,相应的旋转角α的值是.（二）.由一副三角板的拼接3、一副三角板按如图3所示的方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大500，若设∠1=x0,∠2=y0，则可得到方程组为（）。EQA、B、EQEQC、D、图3（三）．由一副三角板的旋转4取一副三角板图6（1）拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°<α≤45°）等到△ABC′，如图6（2）所示。试问（1）当α为多少度时，能使得图6（2）中的AB∥DC?（2）当旋转至图6（3）位置时，此时α又为多少度？图中你能找出哪几对相似三角形，并求出其中一对的相似比；（3）连接BD，当0°<α≤45°时，探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明。5.一副三角板按图5所示叠放在一起，若固定△AOB，将△ACD绕着公共顶点A，按顺时针方向旋转α度（0°<α<180°），当△ACD的一边与△AOB的某一边平行时，相应的旋转角α的值是______________________________________。7、已知：将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图6摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点，将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H.(1)当α=30°时(如图7)，求证：AG=DH；(2)当α=60°时(如图8)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；(3)当0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图9说明理由.二．由两块形状大小都相同的三角板产生的问题（一）.两块形状大小都相同三角板的平移8、如图4，两个相同的直角三角尺重叠后，沿斜边推动其中一块，使它平移到某一位置。四边形ABOA/的面积与四边形B/C/CO的面积有什么关系？已知BO=3，OB/=2，BC=a。用含a的整式表示四边形ABOA/的面积。图49、把两块含有300的相同的直角尺按如图所示摆放，使点C、B、E在同一条直线上，连结CD，若AC=6cm，则ΔBCD的面积是。（二）.两块形状大小都相同三角板的旋转10、把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4。把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交与点Q。

（1）如图17（1），当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，

易证△APD∽△CDQ。此时，AP·CQ=____。

（2）将三角板DEF由图17（1）所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α，其中0°<α<90°，问AP·CQ的值是否改变？说明你的理由。

（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y,求y与x的函数关系式。11、将两块全等的含30°的三角尺如图15摆放在一起,它们的较短直角边长为3.(1)将△ECD沿直线l向左平移到图16的位置,使E点落在AB上,则CC′为多少？(2)将△ECD绕点C逆时针旋转到图17的位置,使点E落在AB上,则△ECD绕点C旋转的度数为多少？(3)将△ECD沿直线AC翻折到图18的位置,ED′与AB相交于点F,求证:AF=FD′.12、把两块全等的直角三角板和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点．（1）如图5，当射线经过点，即点与点重合时，易证．此时，________．（2）将三角板由图5所示的位置绕点沿逆时针方向旋转至图6，设旋转角为．其中，问的值是否改变？说明你的理由．（3）在（2）的条件下，设，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（三）.两块形状大小都相同三角板的叠放13、如图4，两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图4所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME、MC.试判断△EMC的形状，并说明理由.14、（1）把两个含有45°角的直角三角板如

图18（1）放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F。

求证:AF⊥BE。

（2）把两个含有30°角的直角三角板如图18（2）放置，点D在BC上，连结BE,AD,AD的延长线交BE于点F。问AF与BE是否垂直？并说明理由。三．由两块形状相同但大小不等的三角板产生的问题15、如图,腰长为1和2的两个等腰直角三角形,其一腰在同一水平线上,小等腰直角三角形沿该水平线自左向右匀速穿过大等腰直角三角形,设穿过的时间为x,大等腰三角形内减去小等腰直角三角形部分的面积为y(各个图中的阴影部分),则y与x的大致图象为（）16、(1)把两个含有45°角的直角三角板如图19放置,点D在BC上,连结BE,AD,AD的延长线交BE于点F.求证:AF⊥BE.(2)把两个含有30°角的直角三角板如图20放置,点D在BC上,连结BE,AD,AD的延长线交BE于点F.问AF与BE是否垂直?说明理由.17、两个大小不同的等腰直角三角形三角板图1图1图2DCEAB如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：．四．由一块三角板产生的问题（一）.由一块三角板产生旋转18、如图2，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C′的位置，若BC的长为15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为().A.10πcmB.10πcmC.15πcmD.20πcm19、如图5，斜边长为6cm，∠A=30°的直角三角板ABC，绕点C顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板向左平移的距离为____cm.EBMACN20、含角的直角三角板（）绕直角顶点沿逆时针方向旋转角（），再沿的对边翻折得到，与交于点，与交于点，与相交于点．EBMACN（1）求证：．（2）当时，找出与的数量关系，并加以说明．21、如图5，已知等腰直角三角板ABC中，AB=AC=1，ABC=900，把一块含300角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N。证明DM=DN。在这一旋转过程中，直角三角板DEF与等腰直角三角板ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积？继续旋转至如图6所示的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；继续旋转至如图7的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明。图5图6图722、孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于、两点，请解答以下问题：

⑴若测得（如图7），求的值；

⑵对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图8所示位置时，过作轴于点，测得，写出此时点的坐标，并求点的横坐标；

⑶对该抛物线，孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点、的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标。

（二）.由一块三角板产生平移23.在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G，一等腰直角三角尺按如图13（1）所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边也恰好经过点B。（1）在图13(1)中请你通过观察，测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（2）当三角尺沿AC方向平移到图13（2）所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E。此时请你再通过观察测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（3）当三角尺在图13（2）的基础上沿AC方向平移到图13（3）所示位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，图13（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）五．一块三角板相对运动问题24、如图(1)，将斜边长为6cm的直角三角板放置在直角坐标系中，直角顶点与原点重合，直角边分别与x轴、y轴重合，且∠MNO=60°。将长和宽分别为6cm、2cm的直尺ABCD的长边与直线MN重合，其中C点与N点重合（如图(2)）。三角板固定不动，直尺以1cm/s的速度沿着直线MN向左上方滑动（如图(3)），直到C点与M点重合为止。设移动ts后，直尺和三角板重叠部分的面积为Scm2。求：（1）直线MN的函数关系式；（2）S与t

之间的函数关系式，并求S的最大值。答案部分一．由一副三角板产生的问题（一）.由一副三角板的叠放1、一副三角板如图1所示叠放在一起，则图中∠a的度数是。解析：本题利用学生熟知的三角板的度数和三角形的内角和易知∠a的度数为750。图1.2.一幅三角板按图2所示叠放在一起,若固定△AOB,将△ACD绕着公共顶点A,按顺时针方向旋转α度(0<α<180),当△ACD的一边与△AOB的某一边平行时,相应的旋转角α的值是.解析当CD∥AB时,α=30°;当AC∥OB时,α=45°;当CD∥OA时,α=75°;当AD∥OB时,α=135°;当CD∥OB时,α=165°.（二）.由一副三角板的拼接3、一副三角板按如图3所示的方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大500，若设∠1=x0,∠2=y0，则可得到方程组为（）。EQA、B、EQEQC、D、图3解析：本题是以三角板的拼接为背景，巧妙的利用∠1和∠2互余和∠1比∠2的度数500两个数量关系列出方程。故选择D。（三）．由一副三角板的旋转4取一副三角板图6（1）拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°<α≤45°）等到△ABC′，如图6（2）所示。试问（1）当α为多少度时，能使得图6（2）中的AB∥DC?（2）当旋转至图6（3）位置时，此时α又为多少度？图中你能找出哪几对相似三角形，并求出其中一对的相似比；（3）连接BD，当0°<α≤45°时，探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明。5.一副三角板按图5所示叠放在一起，若固定△AOB，将△ACD绕着公共顶点A，按顺时针方向旋转α度（0°<α<180°），当△ACD的一边与△AOB的某一边平行时，相应的旋转角α的值是______________________________________。7、已知：将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图6摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点，将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H.(1)当α=30°时(如图7)，求证：AG=DH；(2)当α=60°时(如图8)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；(3)当0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图9说明理由.(1)证明如图7，∵∠A=∠ADM=30°，∴MA=MD.又MG⊥AD于点G，∴AG=AD.∵∠BDC=180°-∠ADE-∠EDF=180°-30°-90°=60°=∠B，∴CB=CD.∴C与N重叠.又NH⊥DB于点H，∴DH=DB.∵AD=DB，∴AG=DH.(2)解当α=60°时，(1)中的结论成立.如图8，∵∠ADM=60°，∴∠NDB=90°-60°=30°.∴∠MAD=∠NDB.又AD=DB，∠ADM=∠B=60°，∴△MAD≌△NDB.∴MA=ND.∵MG，NH分别是△MAD，△NDB的对应高，∴Rt△MAG≌Rt△NDH.∴AG=DH.(3)解当0°＜α＜90°时，(1)中的结论成立.如图9，在Rt△AMG中，∠A=30°，∴∠AMG＝60°＝∠B.又∠AGM=∠NHB=90°，∴△AGM∽△NHB.∴.①∵∠MDG=α，∴∠DMG=90°-α=∠NDH.又∠MGD=∠DHN=90°，∴Rt△MGD∽Rt△DHN.∴.②①×②，得.由比例的性质，得，即.∵AD=DB，∴AG=DH二．由两块形状大小都相同的三角板产生的问题（一）.两块形状大小都相同三角板的平移8、如图4，两个相同的直角三角尺重叠后，沿斜边推动其中一块，使它平移到某一位置。四边形ABOA/的面积与四边形B/C/CO的面积有什么关系？已知BO=3，OB/=2，BC=a。用含a的整式表示四边形ABOA/的面积。图4解析：（1）因为两个三角尺的面积相等，平移后重叠部分的面积相等，所以未重叠部分的面积也相等。（2）由图知，四边形B/C/CO是直角梯形，底边B/C/=BC=a，底边OC=BC-BO=a-3，高OB/=2，所以它的面积为。即四边形ABOA/的面积也为2a-3。9、把两块含有300的相同的直角尺按如图所示摆放，使点C、B、E在同一条直线上，连结CD，若AC=6cm，则ΔBCD的面积是。（二）.两块形状大小都相同三角板的旋转10、把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4。把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交与点Q。

（1）如图17（1），当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，

易证△APD∽△CDQ。此时，AP·CQ=____。

（2）将三角板DEF由图17（1）所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α，其中0°<α<90°，问AP·CQ的值是否改变？说明你的理由。

（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y,求y与x的函数关系式。解：（1）∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，

∴△APD∽△CDQ．

∴AP：CD=AD：CQ．

∴即AP×CQ=AD×CD，

∵AB=BC=6，

∴AD=CD=3

2

，

∴AP×CQ=AD×CD=18；

故答案为：18．

（2）当时，如图2

过点D作于M，

于N

则

∵，则

∴

∴

当时，如图3

过点D作

于G，

∵

∴

∴

∵

即

∴

∴（）

（3）在图（2）的情况下，

时

则

∴则

当，11、将两块全等的含30°的三角尺如图15摆放在一起,它们的较短直角边长为3.(1)将△ECD沿直线l向左平移到图16的位置,使E点落在AB上,则CC′为多少？(2)将△ECD绕点C逆时针旋转到图17的位置,使点E落在AB上,则△ECD绕点C旋转的度数为多少？(3)将△ECD沿直线AC翻折到图18的位置,ED′与AB相交于点F,求证:AF=FD′.12、把两块全等的直角三角板和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点．（1）如图5，当射线经过点，即点与点重合时，易证．此时，________．（2）将三角板由图5所示的位置绕点沿逆时针方向旋转至图6，设旋转角为．其中，问的值是否改变？说明你的理由．（3）在（2）的条件下，设，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．分析：本题综合考查函数、相似三角形、动点问题，第三问通过分析不同情况下两个三角板的位置，确定函数解析式．解：（1）8；（2）的值不会改变．理由如下：在与中，，，，∴，∴，∴，∴．（3）情形1：当时，，即，此时两三角板重叠部分为四边形，过作于，于，∴，由（2）知：，得．于是．情形2：当时，时，即，此时两三角板重叠部分为，由于，，易证：，∴即解得，∴，于是．综上所述，当时，．当时，．（三）.两块形状大小都相同三角板的叠放13、如图4，两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图4所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME、MC.试判断△EMC的形状，并说明理由.14、（1）把两个含有45°角的直角三角板如

图18（1）放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F。

求证:AF⊥BE。

（2）把两个含有30°角的直角三角板如图18（2）放置，点D在BC上，连结BE,AD,AD的延长线交BE于点F。问AF与BE是否垂直？并说明理由。证明：（1）证明：方法一：在△ACD和△BCE中，AFBCEAFBCED∠DCA＝∠ECB＝90°，DC＝EC，∴△ACD≌△BCE（SAS）．………………2分∴∠DAC＝∠EBC．………3分∵∠ADC＝∠BDF，∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°．∴∠BFD=90°．∴AF⊥BE．…………………5分方法二：∵AC＝BC，DC＝EC，ABDCEF∴．即tan∠DAC＝ABDCEF∴∠DAC＝∠EBC．（下略）…3分（2）AF⊥BE．…………………6分∵∠ABC＝∠DEC＝30°，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴＝tan60°．……7分∴△DCA∽△ECB．…………8分∴∠DAC＝∠EBC．…………9分∵∠ADC＝∠BDF，∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°．∴∠BFD=90°．∴AF⊥BE．…………三．由两块形状相同但大小不等的三角板产生的问题15、如图,腰长为1和2的两个等腰直角三角形,其一腰在同一水平线上,小等腰直角三角形沿该水平线自左向右匀速穿过大等腰直角三角形,设穿过的时间为x,大等腰三角形内减去小等腰直角三角形部分的面积为y(各个图中的阴影部分),则y与x的大致图象为（）16、(1)把两个含有45°角的直角三角板如图19放置,点D在BC上,连结BE,AD,AD的延长线交BE于点F.求证:AF⊥BE.(2)把两个含有30°角的直角三角板如图20放置,点D在BC上,连结BE,AD,AD的延长线交BE于点F.问AF与BE是否垂直?说明理由.证明：（1）证明：方法一：在△ACD和△BCE中，AFBCEAFBCED∠DCA＝∠ECB＝90°，DC＝EC，∴△ACD≌△BCE（SAS）．………………2分∴∠DAC＝∠EBC．………3分∵∠ADC＝∠BDF，∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°．∴∠BFD=90°．∴AF⊥BE．…………………5分方法二：∵AC＝BC，DC＝EC，ABDCEF∴．即tan∠DAC＝ABDCEF∴∠DAC＝∠EBC．（下略）…3分（2）AF⊥BE．…………………6分∵∠ABC＝∠DEC＝30°，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴＝tan60°．……7分∴△DCA∽△ECB．…………8分∴∠DAC＝∠EBC．…………9分∵∠ADC＝∠BDF，∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°．∴∠BFD=90°．∴AF⊥BE．…………17、两个大小不同的等腰直角三角形三角板图1图1图2DCEAB（第22题）如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：．解：图2中证明如下：与均为等腰直角三角形，，即证明：由（1）知又5方法二：∵AC＝BC，DC＝EC，∴．即tan∠DAC＝tan∠EBC．∴∠DAC＝∠EBC．（下略（2）AF⊥BE．…∵∠ABC＝∠DEC＝30°，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴＝tan60∴△DCA∽△ECB．∴∠DAC＝∠EBC．∵∠ADC＝∠BDF，∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°．∴∠BFD=90°．∴AF⊥BE．四．由一块三角板产生的问题（一）.由一块三角板产生旋转18、如图2，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C′的位置，若BC的长为15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为().A.10πcmB.10πcmC.15πcmD.20πcm19、如图5，斜边长为6cm，∠A=30°的直角三角板ABC，绕点C顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板向左平移的距离为____cm.EBMACN20、含角的直角三角板（）绕直角顶点沿逆时针方向旋转角（），再沿的对边翻折得到，与交于点，与交于点，与相交于点．EBMACN（1）求证：．（2）当时，找出与的数量关系，并加以说明．21、如图5，已知等腰直角三角板ABC中，AB=AC=1，ABC=900，把一块含300角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N。证明DM=DN。在这一旋转过程中，直角三角板DEF与等腰直角三角板ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积？继续旋转至如图6所示的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；继续旋转至如图7的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明。图5图6图7解析：（1）①证明：连结DB。在Rt△ABC中，因为AB=AC，AD=DC，所以DB=DC=AD，BDC=900所以∠ABD=∠C=450因为∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=900所以∠MDB=∠NDC所以△BMD≌△CND。所以DM=DN。四边形DMBN的面积不发生变化。由①知△BMD≌△CND。所以S△BMD=S△CND所以S四边形DMBN=S△DBN+S△DMB=S△DBN+S△DNC=S△DBC=S△ABC=。（2）DM=DN仍然成立。证明：连结DB在Rt△ABC中，因为AB=AC，AD=DC，所以DB=DC，∠BDC=900所以∠DCB=∠DBC=450所以∠DBM=∠DCM=1350因为∠NDC+∠CDN=∠BDM+∠BDN=900所以∠CDN=∠BDM所以△CDN≌△BDM所以DM=DNDM=DN。22、孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于、两点，请解答以下问题：

⑴若测得（如图7），求的值；

⑵对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图8所示位置时，过作轴于点，测得，写出此时点的坐标，并求点的横坐标；

⑶对该抛物线，孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点、的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标。

解析：⑴设线段与轴的交点为，由抛物线的对称性可得为中点，又由三角板的特殊性可知，点的坐标为：(，)，将(，)代入抛物线得，。

⑵此问解法较多，现举例如下：

如图8，过点作轴于点，

解法一：证△∽△和抛物线的有关知识可求得点的横坐标；

解法二：由解直角三角形和抛物线的有关知识可求得点的横坐标；

解法三：利用勾股定理和抛物线的有关知识可求得点的横坐标。

⑶解法一：设（，）（），（，）（），

设直线的解析式为：，得，解得，又易知△∽△，，，，.由此可知不论为何值，直线恒过点（，）

解法二：设（，）（），（，）（），直线与轴的交点为，根据，可得

，

化简，得.又易知△∽△，∴，

∴，∴，∴为固定值。故直线恒过其与轴的交点（,）。

解法三：的值也可以通过以下方法求得：

由前可知，，，由，得：，化简，得。（二）.由一块三角板产生平移23.在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G，一等腰直角三角尺按如图13（1）所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边也恰好经过点B。（1）在图1