专题19 圆（讲义）（原卷版）

专题19圆核心知识点精讲理解掌握圆的相关概念、表示方法；理解掌握圆的对称性、弦、弧等与圆有关的概念及其运用；理解掌握圆周角定理及其推论，并能够进行运用；理解掌握垂径定理及其推论；掌握圆和圆的位置关系；理解掌握直线与圆的位置关系；理解掌握正多边形和圆之间的关系；理解与正多边形有关的概念；掌握正多边形的对称性；理解掌握弧长和扇形面积的计算方法。考点1圆的概念1.圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。2.圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”考点2圆的对称性、弦、弧等与圆有关的概念1.圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2.圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。3.弦、弧、弦心距、圆心角等相关概念（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。（如图中的CD）直径等于半径的2倍。（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）（5）圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。（6）弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。（7）弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。考点3圆周角定理及其推论1.圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。2.圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。考点4垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三 平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧考点5圆和圆的位置关系1.圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。2.圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。3.圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆外离d>R+r两圆外切d=R+r两圆相交R-r<d<R+r（R≥r）两圆内切d=R-r（R>r）两圆内含d<R-r（R>r）4.两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。考点6直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．考点7正多边形和圆1.正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。2.正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。考点8与正多边形有关的概念1.正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。2.正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。3.正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。4.中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。考点9正多边形的对称性1.正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。2.正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。3.正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。考点10弧长和扇形面积1.弧长公式n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为2.扇形面积公式其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。3.圆锥的侧面积其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。【题型1：圆的概念】【典例1】（2022•南山区校级模拟）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是（）A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分” B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形” C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线” D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”1．（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（）A．53 B．8 C．6 D．2．（2023•福田区校级三模）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC=12OD，则∠A．90° B．95° C．100° D．105°【题型2：实数的分类】【典例2】（2023•东莞市一模）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，OC交AB于点D，若AB＝8cm，CD＝2cm，求⊙O的半径．1．（2023•荔湾区校级二模）下列语句中，正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2022•龙岗区模拟）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（）A．25° B．50° C．65° D．75°3．（2022•蓬江区校级一模）以下说法正确的是（）A．平行四边形是轴对称图形 B．函数y=1x-2的自变量取值范围x≥C．相等的圆心角所对的弧相等 D．直线y＝x﹣5不经过第二象限【题型3：圆周角定理及其推论】【典例3】（2023•陆丰市二模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝130°，OA＝3，若弦BC∥AO，则AC的长为（）A．5π12 B．2π3 C．5π6 1．（2023•封开县一模）已知：如图OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（）A．45° B．40° C．35° D．50°2．（2023•佛山一模）如图，在⊙O中，∠O＝50°，则∠A的度数是（）A．25° B．30° C．50° D．100°3．（2023•东莞市一模）如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于（）A．4 B．5 C．3 D．23【题型4：垂径定理及其推论】【典例4】（2023•东莞市校级模拟）如图，在半径为13的⊙O中，M为弦AB的中点，若OM＝12，则AB的长为10．．1．（2023•南海区校级模拟）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（）A．5 B．6 C．8 D．102．（2023•高明区二模）如图，⊙O的半径为5cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，则OP的长度范围是（）A．8≤OP≤10 B．5≤OP≤8 C．4≤OP≤5 D．3≤OP≤53．（2023•荔湾区校级二模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是485【题型5：垂径定理的应用】【典例5】（2023•龙岗区校级一模）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为1.3m．1．（2023•越秀区校级三模）如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（）A．50m B．45m C．40m D．60m2．（2023•香洲区校级三模）如图是某品牌的香水瓶．从正面看上去它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分，与矩形ABCD组合而成的图形（点B，C在⊙O上），其中BC∥EF；已知⊙O的半径为25，BC＝14，AB＝26，EF＝48，则香水瓶的高度h是（）A．56 B．57 C．58 D．593．（2023•东莞市校级一模）如图，某同学准备用一根内半径为5cm的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度AB为8cm，则槽的深度CD为2cm．【题型6：圆与圆的位置关系】【典例6】（2022•龙岗区校级模拟）直径分别为8和6的两圆相切，则这两圆的圆心距等于（）A．14 B．2 C．14或2 D．7或11.（2023•罗湖区校级自主招生）如图，由三个半圆和一个整圆构成，已知大半圆半径60，小半圆半径为30，则圆O的直径40．2．（2020•龙岗区校级模拟）两圆的半径分别为3和3，圆心距为3，则两圆的位置关系为相交．【题型7：直线与圆的位置关系】【典例7】（2022•潮南区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD＝6，DE＝5，求⊙O的直径．1．（2022•金平区校级模拟）在平面直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（3，5），半径为方程x2﹣2x﹣15＝0的一个根，那么⊙A与x轴的位置关系是相切．2．（2023•茂南区二模）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，OP＝2，求图中阴影部分的面积．3．（2022•香洲区校级三模）如图，已知△ABC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，点E为BD的中点，连接CE交AB于点F，且AF＝AC．（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，sinA=45，求【题型8：正多边形与圆】【典例8】（2023•南海区模拟）如图，已知圆O的内接正六边形的边长为4，H为边AF的中点，则图中阴影部分的面积是8π3+431．（2023•花都区二模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点G是EF弧上的一点，则∠BGA的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．40°2．（2023•南山区二模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（）A．π B．2π C．24 D．3．（2023•黄埔区校级二模）AB是⊙O的内接正六边形一边，点P是优弧AB上的一点（点P不与点A，B重合）且BP∥OA，AP与OB交于点C，则∠OCP的度数为90°．【题型9：弧长与扇形面积】【典例9】（2023•顺德区校级三模）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕到心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′'在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（）（结果保留π）A．16π B．13π-12 C1．（2023•东莞市一模）如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于（）A．π3 B．π2 C．π D．2．（2023•蕉岭县一模）如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝33cm；③扇形OCAB的面积为12π；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（）A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④3．（2023•德庆县二模）若扇形的半径是12cm弧长是20πcm，则扇形的面积为（）A．120πcm2 B．240πcm2 C．360πcm2 D．60πcm24．（2023•东莞市校级模拟）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D分别在OA，AB上，连接BC，CD，点D，O关于直线BC对称，AD的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A．6π-33 B．6π-63 C．12π-932一．选择题（共7小题）1．如图，点A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为（）A．70° B．60° C．50° D．40°2．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD＝54°，则∠A的度数是（）A．36° B．33° C．30° D．27°3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC．若∠A＝70°，则∠B的度数是（）A．50° B．40° C．35° D．20°4．已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为6，则OA的长可能为（）A．2 B．4 C．6 D．85．如图，圆上依次有A，B，C，D四个点，AC，BD交于点P，连接AD，AB，BC，则图中一定等于∠C的角是（）A．∠CAD B．∠CBD C．∠ABD D．∠D6．杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形．该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）约为3.2m，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为2m，则此桥拱的半径是（）A．1.62m B．1.64m C．1.14m D．3.56m7．一个扇形的半径是3，扇形的圆心角120°，那么这个扇形面积是（）A．4π B．3π C．2π D．π二．填空题（共5小题）8．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为点D．如果AB＝10cm，CD＝3cm，那么⊙O的半径是cm．9．用一个圆心角为120°，半径为5的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AD=CD，延长CB到E，连接AC．若∠ABE＝110°，则∠ACD＝11．若一个正多边形的一个内角是140°，则这个多边形的边数为．12．已知如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝45°，以C为圆心AC为半径作弧，交BC的延长线于点E，以B为圆心BA为半径交BC的延长线于点D，若AC＝1，则阴影部分的面积是．三．解答题（共3小题）13．如图，AB是⊙O的直径，BC=CD，∠COD＝50°，求∠14．如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF．（1）求证：EF为⊙O的切线；（2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径．15．如图，在2×2的正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B为格点，即是小正方形的顶点，若将扇形OAB围成一个圆锥，求这个圆锥的底面圆的半径的最大长度．一．选择题（共7小题）1．如图，AB为⊙O的直径，CD垂直平分OA，垂足为E．若AB＝8，则CD的长为（）A．23 B．4 C．43 D．62．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC，AC，AB的长度分别为a，b，c，⊙H与⊙I分别与直线AC、BC、AB相切（⊙H与⊙I分别在直线AB的异侧），若⊙H的半径为R1，⊙I的半径为R2，则R1﹣R2为（）A．a B．b C．c D．a+b+c3．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A，B除外），∠C＝25°，则∠BOD的度数是（）A．50° B．65° C．25° D．130°4．如图，已知OB是⊙O的半径，弦CD⊥OB，垂足为点E，且tan∠BDC=23，OE=54，过点C作⊙O的切线，交OB的延长线于点A．7 B．365 C．395 D5．如图，△ABC内接于⊙O，AC为直径，半径OD∥BC，连接OB，AD．若∠AOB＝α，则∠BAD的度数为（）A．α2 B．90°-α2 C．90°-α6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠ABD＝41°，则∠BCD的大小为（）A．41° B．45° C．49° D．59°7．如图所示的正八边形是用八个全等的等腰三角形拼成的，OA＝OB＝2，则正八边形的面积为（）A．82 B．83 C．8 D二．填空题（共5小题）8．如图，⊙O的弦AB⊥OC，且OD=2DC，AB=25，则⊙O的半径是9．长方形ABCD中，以点A为圆心AD的长为半径画弧交AB于点E，以DC为直径的半圆与AB相切，切点为E，已知AB＝4，则图中阴影部分的面积为.（结果保留π）10．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，连接AC，取AC中点O，以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交边AD，AB于点E，F，则图中阴影部分的面积是．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，以点C为圆心，CA为半径画弧，分别与AB、CB交于点D、E，若图中阴影部分的面积为π6，则AC＝12．如图，已知，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．（1）若∠C＝90°，∠A＝30°，AC=23，则⊙O的半径为（2）若⊙O的半径为3，△ABC的面积为45，且BC＝9，则AD＝．三．解答题（共3小题）13．如图，已知AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，∠ABD的平分线交⊙O于点E，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE与BA的延长线交于点G．（1）求证：GF是⊙O的切线；（2）若AG＝3，GE=42，求⊙O14．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线交于点D．（1）求证：∠BCD＝∠A；（2）若BD＝2，CD＝4，求sin∠ABC的值．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠A＝60°，AD＝23，求⊙O的半径长．一．选择题（共5小题）1．（2023•广东）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（）A．20° B．40° C．50° D．80°2．（2023•广州）如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分别为（）A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r，90°-α2 D．03．（2022•深圳）已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，DE为圆的直径，BC为圆O切线，C为切点，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（）A．1：3 B．1：2 C．2：2 D．（2-1）：4．（2022•深圳）下列说法错误的是（）A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形 B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形5．（2021•广州）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB＝60°，则劣弧AB的长是（）A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm二．填空题（共5小题）6．（2023•深圳）如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与⊙O交于点D，若∠ADC＝20°，则∠BAD＝°．7．（2022•广东）扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留π）为．8．（2022•广州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧DE的长是．（结果保留π）9．（2021•广东）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．点D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为．10．（2021•广东）如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4．分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点