专题08 分式方程（学生版）

知识点01：解分式方程【高频考点精讲】1．解分式方程的步骤（1）去分母。方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程。（2）去括号。系数分别乘以括号里的数。（3）移项。含有未知数的式子移到方程左边，常数移到方程右边。（4）合并同类项。（5）系数化为1。（6）检验。把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；如果最简公分母不等于0，这个根就是原分式方程的根；如果解出的根是增根，那么原方程无解。2．换元法解分式方程（1）将原分式方程中含有字母的整体用另一个字母代替，从而使问题得到简化，这种方法叫做换元法。（2）常见类型①直接换元。例如，设。②配方换元。例如，原方程配方，得，设。③倒数换元。例如，设。④变形换元。例如，可变形为，设。知识点02：由实际问题抽象出分式方程【高频考点精讲】1．利用常见数量关系确定等量关系。例如行程问题中的相遇时间、追击时间相等。2．利用关键词确定等量关系。例如“倍”“多”“少”等。检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.56一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•哈尔滨）方程＝的解为（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣22．（2分）（2023•德州）某次列车平均提速v千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，相同的时间，提速后比提速前多行驶50千米，根据以上信息，下列说法正确的是（）A．若设提速后这次列车的平均速度为x千米/小时，则可列方程为 B．若设提速后这次列车的平均速度为x千米/小时，则可列方程为 C．若设提速前这次列车的平均速度为y千米/小时，则可列方程为 D．若设提速前这次列车的平均速度为y千米/小时，则可列方程为3．（2分）（2023•大连）解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（）A．1+3＝3x（1﹣x） B．1+3（x﹣1）＝﹣3x C．x﹣1+3＝﹣3x D．1+3（x﹣1）＝3x4．（2分）（2023•深圳）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝5．（2分）（2023•聊城）若关于x的分式方程+1＝的解为非负数，则m的取值范围是（）A．m≤1且m≠﹣1 B．m≥﹣1且m≠1 C．m＜1且m≠﹣1 D．m＞﹣1且m≠16．（2分）（2023•广元）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高40%，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（）A． B． C． D．7．（2分）（2023•东营）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程．课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（）A．﹣＝0.4 B．﹣＝0.4 C．﹣＝0.4 D．﹣＝0.48．（2分）（2023•云南）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（）A． B． C． D．9．（2分）（2023•辽宁）某校八年级学生去距离学校120km的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车的速度是xkm/h，所列方程正确的是（）A．+1＝ B．﹣1＝ C．＝ D．＝10．（2分）（2023•黑龙江）已知关于x的分式方程+1＝的解是非负数．则m的取值范围是（）A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠﹣2 D．m＜2且m≠﹣2二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•青岛）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为．12．（2分）（2023•苏州）分式方程的解为x＝．13．（2分）（2023•永州）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是．14．（2分）（2023•绵阳）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘新购买的新能源车，去相距180km的古镇旅行，原计划以速度vkm/h匀速前行，因急事以计划速度的1.2倍匀速行驶，结果就比原计划提前了0.5h到达，则原计划的速度v为km/h．15．（2分）（2023•建华区三模）若关于x的分式方程﹣1＝有正数解，求m的取值范围．16．（2分）（2023•南海区模拟）分式方程的解是．17．（2分）（2023•高新区模拟）若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是．18．（2分）（2023•眉山）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是．19．（2分）（2023•重庆）若关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程+＝2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为．20．（2分）（2023•沙坪坝区校级二模）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的a的值之积为．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•镇江）（1）解方程：＝+1；解不等式组：．22．（6分）（2023•南通）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：信息一工程队每天施工面积（单位：m2）每天施工费用（单位：元）甲x+3003600乙x2200信息二甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等．（1）求x的值；（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于15000m2．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？23．（8分）（2023•长春）随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个摆件？24．（8分）（2023•宁夏）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．（1）求两种型号玩具的单价各是多少元？根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：甲：＝+30，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的解．乙：＝1.6×，解得x＝65，经检验x＝65是原方程的解．则甲所列方程中的x表示，乙所列方程中的x表示该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？25．（8分）（2023•黑龙江）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．26．（8分）（2023•荆州）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客