专题06 二元一次方程与方程组（教师版）

知识点01：解二元一次方程组【高频考点精讲】1．用“代入法”解二元一次方程组的一般步骤（1）从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；（2）将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；（4）将求得未知数的值代入变形后的关系式，求出另一个未知数的值；（5）把求得的x、y的值写在一起，用的形式表示，就是方程组的解。2．用“加减法”解二元一次方程组的一般步骤（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数；（2）把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求得x（或y）的值；（4）将求得未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值；（5）把求得的x、y的值写在一起，用的形式表示，就是方程组的解。知识点02：由实际问题抽象出二元一次方程组【高频考点精讲】1．由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系；2．一般来说，有几个未知量就列出几个方程，所列方程必须满足：（1）方程两边表示的是同类量；（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相符。3．找等量关系是列方程组的关键和难点，有以下规律和方法：（1）如果题目中国给出的条件由“；”分割成两部分，可以在“；”前、后找出对应的等量关系。（2）如果题目中借助表格提供信息，可以将信息进行横向或纵向对比，找出对应的等量关系；（3）如果题目中给出图形，可以分析图形的长、宽，找出对应的等量关系。知识点03：列二元一次方程组解决实际问题【高频考点精讲】1．审题：找出已知条件和未知量以及它们之间的关系；2．设元：找出题目中两个关键的未知量，并用字母表示出来，直接设元与间接设元；3．列方程组：找出题目中的两个等量关系，列出方程组；4．求解；5．检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答。知识点04：三元一次方程组的应用【高频考点精讲】在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程。1．把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础；2．通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性。检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.58一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•绵阳）我国古代数学著作《孙子算经）中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组（）A． B． C． D．解：∵上有16头，∴x+y＝16；∵下有44足，∴2x+4y＝44．∴根据题意可列方程组．故选：A．2．（2分）（2023•泰安）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得（）A． B． C． D．解：∵甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，∴9x＝11y；∵两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，∴（10y+x）﹣（8x+y）＝13．根据题意可列方程组．故选：C．3．（2分）（2023•甘孜州）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（）A． B． C． D．解：由题意得：，故选：A．4．（2分）（2023•西宁）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，根据题意列方程组得（）A． B． C． D．解：由题意可得，，故选：A．5．（2分）（2023•眉山）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3解：∵关于x、y的二元一次方程组为，①﹣②，得：2x﹣2y＝2m+6，∴x﹣y＝m+3，∵x﹣y＝4，∴m+3＝4，∴m＝1．故选：B．6．（2分）（2023•黑龙江）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（）A．5种 B．6种 C．7种 D．8种解：当购买5本A种图书时，设购买x本B种图书，y本C种图书，根据题意得：30×5+25x+20y＝500，∴x＝14﹣y，又∵x，y均为正整数，∴或或，∴当购买5本A种图书时，有3种采购方案；当购买6本A种图书时，设购买m本B种图书，n本C种图书，根据题意得：30×6+25m+20n＝500，∴n＝16﹣m，又∵m，n均为正整数，∴或或，∴当购买6本A种图书时，有3种采购方案．∴此次采购的方案有3+3＝6（种）．故选：B．7．（2分）（2023•宜宾）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有x只，兔有y只，则所列方程组正确的是（）A． B． C． D．解：由题意得：，故选：B．8．（2分）（2023•齐齐哈尔）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150cm的导线，将其全部截成10cm和20cm两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（）A．5种 B．6种 C．7种 D．8种解：设截成10cm的导线x根，截成20cm的导线y根，根据题意得10x+20y＝150，∴x＝15﹣2y，∵15﹣2y＞0，∴y＜7.5，∵y是正整数，∴y的值为1，2，3，4，5，6，7，即截取方案共有7种．故选：C．9．（2分）（2023•绍兴）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是（）A． B． C． D．解：由题意得：，故选：B．10．（2分）（2023•宁波）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为（）A． B． C． D．解：设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，由题意得：，故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•谷城县模拟）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙共有钱48文，甲、乙二人原来各有多少钱？试求甲原有36文钱．解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，依题意，得：，解得：．故答案为：36．12．（2分）（2023•四平三模）《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程（组）后，我们可以非常快捷地解决这个问题，如果设鸡有x只，兔有y只，那么可列方程组为．解：∵上有三十五头，∴x+y＝35；∵下有九十四足，∴2x+4y＝94．∴根据题意可列方程组．故答案为：．13．（2分）（2023•朝阳）已知关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝4，则a的值为2．解：，①﹣②得：x﹣y＝a+2，又∵关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝4，∴a+2＝4，∴a＝2．故答案为：2．14．（2分）（2023•盐城）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为7人．解：设该问题中的人数为x人，物品的价格为y钱，根据题意得：，解得：，∴该问题中的人数为7人．故答案为：7人．15．（2分）（2023•永康市一模）《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去180里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了6小时，则戴宗的速度为60里/小时．解：戴宗顺风行走的速度为：180÷2＝90（里/小时），戴宗逆风行走的速度为：180÷6＝30（里/小时），设戴宗的速度为x里/小时，风速为y里/小时，由题意得：，解得：，∴设戴宗的速度为60里/小时，答：戴宗的速度为60里/小时．故答案为：60．16．（2分）（2023•朝阳区一模）一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚130元．（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元．）（1）若该旅游团一晚的住宿房费为1530元，则他们租住了1间一人间；（2）若该旅游团租住了3间一人间，且共有19名男士，则租住一晚的住宿房费最少为1600元．解：（1）设该旅游团租住了x间一人间，y间三人间，根据题意得：100x+130y＝1530，∴x＝，又∵x，y均为自然数，且x≤4，∴，∴他们租住了1间一人间．故答案为：1；（2）当租住的三人间全部住满时，租住一晚的住宿房费最少．∵19﹣1＝18（人），18÷3＝6（间），33﹣19﹣（3﹣1）＝12（人），12÷3＝4（间），6+4＝10（间），∴租住一晚的住宿房费最少的租住方案为：租住的3间一人间里面1间住男士，2间住女士，另租住10间三人间，∴此时租住一晚的住宿房费为100×3+130×10＝1600（元），∴租住一晚的住宿房费最少为1600元．故答案为：1600．17．（2分）（2023•秦淮区模拟）关于x，y的方程组的解满足x+y＝1，则m的值为﹣1．解：方程组两式相加得：3x+3y＝4+m，即x+y＝，∵x+y＝1，∴＝1解得：m＝﹣1，故答案为：﹣1．18．（2分）（2023•上虞区模拟）我国古代数学问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，问井深几尺？则该问题中的井深是8尺．解：设绳长是x尺，井深是y尺，依题意有，解得，．故井深是8尺．故答案为：8．19．（2分）（2023•威海）《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组：．解：若设有x人，物品价值y元，根据题意，可列方程组为，故答案为：．20．（2分）（2023•仪征市二模）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为．解：设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为：．故答案为：．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•西藏）列方程（组）解应用题如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由10块形状大小相同的长方形墙砖砌成．（1）求一块长方形墙砖的长和宽；（2）求电视背景墙的面积．解：（1）设一块长方形墙砖的长为xm，宽为ym．依题意得：，解得：，答：一块长方形墙砖的长为1.2m，宽为0.3m．（2）求电视背景墙的面积为：2×1.2×1.5＝3.6（m2）．答：电视背景墙的面积为3.6m2．22．（6分）（2023•常德）解方程组：．解：①×2+②得：5x＝25，解得：x＝5，将x＝5代入①得：5﹣2y＝1，解得：y＝2，所以原方程组的解是．23．（8分）（2023•重庆）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？解：（1）设购买杂酱面x份，牛肉面y份，根据题意得：，解得：．答：购买杂酱面80份，牛肉面90份；（2）设购买牛肉面m份，则购买杂酱面（1+50%）m份，根据题意得：﹣＝6，解得：m＝60，经检验，m＝60是所列方程的解，且符合题意．答：购买牛肉面60份．24．（8分）（2023•张家界）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）4560租金（元/辆）200300（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？解：（1）设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车．根据题意，得，解得．答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；（2）租45座客车：600÷45≈14（辆），所以需租14辆，租金为200×14＝2800（元），租60座客车：600÷60＝10（辆），所以需租10辆，租金为300×10＝3000（元），∵2800＜3000，∴租用14辆45座客车更合算．25．（8分）（2023•安徽）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．解：设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元，由题意得：，解得：，答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单价为50元．26．（8分）（2023•深圳）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．（1）求A，B玩具的单价；（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？解：（1）设每件A玩具的进价为x元，则每件B玩具的进价为（x+25）元，根据题意得：2（x+25）+x＝200，解得：x＝50，可得x+25＝50+25＝75，则每件A玩具的进价为50元，每件B玩具的进价为75元；（2）设商场可以购置A玩具y个，根据题意得：50y+75×2y≤20000，解得：y≤100，则最多可以购置A玩具100个．27．（8分）（2023•宜昌）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．豆沙粽数量肉粽数量付款金额小欢妈妈2030270小乐妈妈3020230（1）求豆沙粽和肉粽的单价；（2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）；①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别