2023-2024学年山东省聊城市冠县重点学校八年级（上）9月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省聊城市冠县重点学校八年级（上）月考数学试卷

（9月份）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列图形中，对称轴最多的图形是（）

2.数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题.如

图所示，Z1=42.若43=25°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入底袋

中，那么击打白球时，必须保证41为（）

A.65°B.75°C.55°D.85°

3.到三角形的三个顶点距离相等的点是（）

A.三条角平分线的交点B,三条中线的交点

C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点

4.如图，DEC'V,已知力B=DE,还需添加两个条件才能使

△ABC三4DEC,添加的一组条件不正确的是（）

A.BC=EC,乙4=乙D

B.BC=EC,AC=DC

C.乙B=Z-E,乙BCE=Z.ACD

D.BC=EC,Z-B=Z.F

5.已知线段a,b,c,求作△ABC,使BC=a,AC=b,AB=c,下面作法的合理顺序为（）

①分别以B,C为圆心，c,b为半径作弧，两弧交于点4

②作直线BP,在BP上截取BC=a；

③连接AB,AC,△ABC为所求作的三角形.

A.①②③B.①③②C.②①③D.②③①

6.如图所示，将一张长方形纸片4BCD沿EF折叠，使顶点C、D分别落在点C'、D'处，C'E交4F于点G,乙CEF=

70°,则“FD'=()

D'

A.20°B.40°C.70°D.110°

7.如图，AC=BC,Z.ACB=90°,AE平分NB4C,BFLAE,交4c延长线于F,且

垂足E,则以下结论：①AD=BF;②CO=CT;（3）AC+CD=AB;®AD=2BE.

正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.如图，在△ABC中，AB=AC,分别以点4,B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N,

作直线MN分别交BC、4B于点。和点E,若乙B=50°,则/C4D的度数是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

9.如图,在△力BC中，4c=90。,DE14B于点E,CD=DE,乙CBD=28。，则NA的

度数为（）

A.34°B.36°C.38°D.40°

10.如图，在AABC中，AABC,NACB的平分线交于点D,过点。作EF//BC交AB于

点E,交4c于点F.若48=12,AC=8,BC=13,则AAEF的周长是（）

B

A.15

B.18

C.20

D.22

11.如图，在中，^LA=90°,AB=2,BC=5,BD是的平A

分线，超

A.1：2

B.2：5

C.3：5

D.1：5

12.如图，在△ABC中，Z-C=90°,zB=30°,以点4为圆心，任意长为半

径画弧分别交AB,4c于点M和N,再分别以M,N为圆心，大于gMN的长为

半径画弧，两弧交于点P,连接力P并延长，交BC于点、D,则下列结论不正确

的是()

A.AD平分4B/C

B./.ADC=60°

C.点。在48的垂直平分线上

D-SMAC：S4ABe=1：2

二、填空题(本大题共5小题，共15.0分)

13.在平面直角坐标系中，若点力(1+巾,1-71)与点8(-3,2)关于x轴对称，则点P(n,m)位于第象限.

14.如图，小明站在堤岸的4点处，正对他的S点停有一艘游艇.他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿

堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点.然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条

直线上时停下来，此时他位于。点.小明测得C、。间的距离为90米，则在4点处小明与游艇的距离为

米.

S

Cp

月A

B

D

15.如图，在△ABC中，BC边上的两点O,E分别在4B,4c的垂直平分线上，若

BC=20,则^ADE的周长为.

16.如图所示，己知的周长是20,OB,0C分别平分乙4BC和乙4CB,0D1BC

于D,且OD=3,则△力BC的面积是.

17.如图，。为坐标原点，△AB。的两个顶点4(6,0),8(6,6),点。在边48上，点C

在边。4上，且8。=AC=1,点P为边OB上的动点，则PC+PD的最小值为

三、解答题(本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

18.(本小题8.0分)

如图：已知。4和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P,使车站到两个村庄距离相等即PC=PD,

且P到。4,OB两条公路的距离相等.

19.(本小题8.0分)

如图，AC1BC,DC1EC,AC=BC,DC=EC,AE与BD交于点F.

(1)求证：AE=BD；

(2)求乙4FD的度数.

20.(本小题8.0分)

如图，在四边形4BCD中，AD//BC,E为CD的中点，连接AE、BE,BE1AE,延长AE交BC的延长线于点尸.

已知力D=2cm,BC=5cm.

(1)求证：FC=4。；

(2)求4B的长.

21.(本小题10.0分)

在△ABC中，48边的垂直平分线。交BC于D,4C边的垂直平分线％交BC于E,。与相交于点。.△ADE的周

长为6cm.

(1)求BC的长；

(2)分别连结04、OB、OC,若△OBC的周长为16cm,求04的长.

22.(本小题10.0分)

如图：AE1AB,AFLAC,AE=AB,AF=AC,

(1)图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论.

(2)连接AM,求证：MA平分

23.(本小题12.0分)

如图，在MBC中，AD是/BAC的平分线，NB=2NC.

(1)求证：AC=AB+BD；

(2)4B=4,BD=2,点D到4B的距离为会求AABC的面积.

24.(本小题13.0分)

如图，在直角坐标系中，AABC的三个顶点都在坐标轴上，A,B两点关于y轴对称，点C是y轴正半轴上一

个动点，4D是角平分线.

(1)如图1,若N4CB=90。，直接写出线段4B,CD,AC之间数量关系;

(2)如图2,^AB=AC+BD,求乙4cB的度数;

(3)如图2,若乙4cB=100。，求证：AB=AD+CD.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4有一条对称轴；

B.有三条对称轴；

C.有四条对称轴；

D圆有无数条对称轴；

所以对称轴最多的图形是圆.

故选：D.

依据各图形对称轴的数量进行判断，即可得出结论.

本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

2.【答案】A

【解析】解：：由题意可得：42+43=90。，43=25。，

42=65°,

•••Zl-Z.2,

Azl=65°.

故选：A.

利用42+43=90°,进而求出42的度数，再利用41=42即可得出答案.

此题主要考查了生活中的轴对称现象，得出42的度数是解题关键.

3.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查了垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线上任意一

点，到线段两端点的距离相等.

根据垂直平分线的性质，可得到三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点.

【解答】

解：三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点.

故选。.

4.【答案】A

【解析】解：A.AB=DE,BC=EC,=不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC三△DEC,

故本选项符合题意；

B.AC=DC,BC=EC,AB=DE,符合全等三角形的判定定理SSS,能推出DEC,故本选项不符

合题意；

C.vZ.BCE=Z.ACD,

・••Z.BCE+Z.ACE=Z.ACD+Z-ACE,

^Z.ACB=乙DCE,

所以乙8=4邑乙ACB=LDCE,AB=DE,符合全等三角形的判定定理44S,能推出△4BC三△DEC,故本

选项不符合题意；

D.AB=DE,乙B=4E,BC=EC,符合全等三角形的判定定理$4S,能推出△ABC三△DEC,故本选项不

符合题意；

故选:A.

根据全等三角形的判定定理逐个判断即可.

本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的

判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,两直角三角形全等还有HL

5.【答案】C

【解析】解：做三角形，使三角形的三边等于已知边，作图的顺序应该是：

②作直线8P,在BP上截取BC=a；

①分别以B,C为圆心，c,b为半径作弧，两弧交于点4

③连接4B,AC,AABC为所求作的三角形.

所以合理的顺序为：②①③.

故选C.

根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答.

本题考查的是学生利用基本作图做三角形的能力，以及用简练、准确地运用几何语言表达作图方法与步骤

的能力.

6.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了平行线的性质，注意观察图形.根据平行线的性质求出NDFE的度数和NAFE的度数，继而用折

叠的性质可得ND'FE的度数，再结合角的和差关系求的度数即可.

【解答】

解：VAD//BC,

：.乙DFE=180°-乙CEF=180°-70°=110°,A.AFE=乙CEF=70°,

由折叠的性质可得Z_D'FE=乙DFE=110°,

Z.GFD'=乙D'FE-Z.AFE=110°-70°=40°.

故选B.

7.【答案】D

【解析】解：因为乙4cB=90。，BF1AE,

所以4AC8=乙BED=Z.BCF=Z.FEA=90°,

所以NF+NFBC=90。，/.F+/.DAC=90°,

所以"8C=A.DAC,

在4BC尸和△ACD中，

NFBC=Z.DAC

BC=AC,

.^BCF=乙ACB

所以ABCF三△4CD(ASA),

所以AD=BF,CD=CF；

所以①②正确；

因为ABCF三ZMCO,

所以AD=BF,

因为4E平分NB4F,AE1BF,

所以NBE4="E4=90。，^BAE=^FAE,

在ABEA^^FE4中，

/.BAE=Z.FAE

AE=AE,

Z.BEA=Z.FEA

所以△BEA^LFEA^ASA),

所以4B=AF,BE=EF,

所以AD=BF=2BE,④正确；

因为△BCFm4ACD,

所以CD=CF,

所以AC+CO=AF,

又因为4B=4F,

所以AC+CD=AB.③正确；

综上，①②③④都正确，

故选：D.

利用4S4证明△BC&ACD,根据全等三角形的性质即可判断①②；证根据全等三角形的判定4S4得出△

BEA^^FEA,推出BE=EF,即可判断④；由CD=CF,AB=AF,即可判断③.

本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角

形全等是解题的关键.

8.【答案】A

【解析】解：由作法得MN垂直平分AB,

DA=DB,

/.DAB=48=50°,

vAB=AC,

•••Z.C=/.B—50°,

•­•ABAC=180°一4B—乙C=180°-50°-50°=80°,

•••/.CAD=/.BAC-4DAB=80°-50°=30°.

故选：A.

利用基本作图可判断MN垂直平分4B,则DA=DB,所以N/MB=NB=50。，再利用等腰三角形的性质和

三角形内角和计算出4B4C,然后计算4BAC-即可.

本题考查了作图-基本作图：利用基本作图判断MN垂直平分4B是解决问题的关键.也考查了线段垂直平分

线的性质和等腰三角形的性质.

9.【答案】A

【解析】解：:DE_LAB,DC1BC,DE=DC,

BD平分/ABC,

•1•乙EBD=4CBD=28°,

LA=90°-/.ABC=90°-2x28°=34°.

故选：A.

利用角平分线的性质定理的逆定理得到BD平分/ABC,则NEBD=乙CBD=28°,然后利用互余计算NA的度

数.

本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了角平分线定理的逆定理.

10.【答案】C

【解析】解：・・・EF〃BC,

・•・Z-EDB=乙DBC,

•・•平分44BC,

・•・Z,ABD=乙DBC,

・•・乙EBD=乙EDB,

・••ED—EB,

同理可证得DF=PC,

:.4E++EF=4E+E8+4尸+FC=AB+力。=20,

即△AEF的周长为20,

故选：C.

利用平行线的性质和角平分线的定义可得到NEB。=4ED8,所以可得ED=E8,同理可得。/=FC,所以

△4£产的周长即为48+力匚可得出答案.

本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由条件得到ED=EB,DF=FC是解题的关键.

11.【答案】B

A

【解析】解：过。点作DEJ_BC于E,如图，心/\

•••BD是N4BC的角平分线，DE1BC,DALAB,

：.DE=DA,CE

Si_[xZMxAB_AB^_2

,•S?一^xDExBC~BC~S'

故选：B,

过。点作DELBC于E,根据角平分线的性质得到DE=ZZ4,然后利用三角形的面积公式求工：S2的值.

本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

12.【答案】D

【解析】解：由作法得4。平分乙BAC,所以4选项的结论正确；

vZC=90°,L.B=30°,

・•・Z.BAC=60°,

・・.Z.CAD=/.BAD=30°,

Z-ADC=90°-LCAD=90°-30°=60°,所以B选项的结论正确；

vZ-B=乙BAD,

・•・DA=DB,

点。在AB的垂直平分线上，所以C选项的结论正确；

在RtZiACD中，•••NOW=30。，

•1•AD=2CD,

而BD=AD,

•••BD=2CD,

BC=3CD,

・••SADAC：SAABC=1：3,所以。选项的结论错误•

故选：D.

利用基本作图可对4选项进行判断；通过角度的计算得到484c=60。，/.CAD=/.BAD=30°,则可对B选

项的结论正确；利用NB=4BAD得到DA=DB,则根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理可对C选项

进行判断；根据含30度的直角三角形三边的关系得到4。=2CO,则BO=2C。，所以BC=3CD,然后根据

三角形面积公式可对。选项进行判断.

本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于己知角；作已

知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线),也考查了角平分线的性质和线段垂

直平分线的性质.

13.【答案】四

【解析】解：•点4(1+m,1-n)与点B(-3,2)关于x轴对称，

1+m=—3,1—n=—2,

解得=—4,n=3,

•••点P坐标为(3,-4)在第四象限，

故答案为：四.

根据点4(1+m,1-n)与点8(-3,2)关于x轴对称，可得1+m=-3,1-n=-2,进一步求出点P坐标，即

可确定答案.

本题考查了关于无轴对称的点的坐标，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键.

14.【答案】90

【解析】解：在AABS与ACBD中，

Z-A-zC

AB=CB,

./.ABS—乙CBD

ABS^^CBD(ASA),

•••AS—CD,

CD=90米，

.-.AS=CD=90米，

答：在4点处小明与游艇的距离为90米，

故答案为：90米.

根据全等三角形的判定定理和性质定理进行解答.

本题考查的是全等三角形在实际生活中的运用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.

15.【答案】20

【解析】解：■:D,E分别在48,4C的垂直平分线上，

•••DA=DB,EA=EC,

ADE的周长=DA+DE+EADB+DE+EC=BC=20,

故答案为：20.

根据线段垂直平分线的性质得到04=DB,EA=EC,根据三角形的周长公式计算，即可得到答案.

本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解

题的关键.

16.【答案】30

【解析】解：如图，连接04,，八

•­•OB>。。分另IJ平分N4BC和Z14CB,/：\

•••点。至丛B、AC.BC的距离都相等，/坎\

•・•△ABC的周长是20,OD人BC于D,且。。=3,

RDC.

••S&ABC=gx20x3=30.

故答案为：30.

根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点。到48、AC.BC的距离都相等，从而可得到AABC的面

积等于周长的一半乘以OD,然后列式进行计算即可求解.

本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质及判断出三角形的面积

与周长的关系是解题的关键.

17.【答案】6

【解析】解：•••4(6,0),6(6,6),

■1•OA=AB—6,

•••乙B=45°,

BD=AC=1,

如图，过点。作DE，AB交y轴于点E,交8。于点P,

・・・Z.PDA=Z.DAC=tPCA=90°,

・•・四边形/CPD是矩形，

同理可得四边形。CPE是矩形，

•・•乙COP=45°,

・•・PC=OC,

・•・四边形。CPE是正方形，

・•.DP=BD=1,

・•.PC=AD=5，

此时PC+PO的值最小，为6.

故答案为：6.

过点。作DE_LAB交y轴于点E,交8。于点P,得矩形4cPZ),正方形OCPE,此0寸PC+PD的值最小.

本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握轴对称的性质.

18.【答案】解：如图，点P为所作.

【解析】作N40B的角平分线和线段CD的垂直平分线，它们的交点为P点.

本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了线段垂直平分线的性质.

19.【答案】解：⑴DC1EC,

•••^ACB=乙DCE=90°,Z.ACB+乙BCE=乙DCE+乙BCE,

即乙4CE=乙BCD,

在和ABCD中,

AC=BC

Z.ACE=乙BCD,

CE=CD

・•.△ACE=^BCD(SAS),

，AE=BD；

(2)如图，•・•乙4cB=90。，

:.乙4+Z.ANC=90°,

ACENABCD,

・•・Z.A=乙B,

vZ.ANC=乙BNF,

・・・Z-B+乙BNF=Z.A+Z,ANC=90°,

・•・Z.AFD=NB+乙BNF=90°.

【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，解题的关键是正确寻

找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

（1）先证明乙4CE=乙BCD,再证明△ACE*BCD（S/1S）便可得4E=BD；

（2）由全等三角形的性质得乙4=48,由4/1NC=NBNF,44+4/1/7。=90。推出48+48可尸=90。，可得

ZAFD=90°.

20.【答案】⑴证明:「4D〃BC（已知）,

^ADC=/ECF（两直线平行，内错角相等）

•••E是CD的中点（已知），

•••DE=EC（中点的定义）.

•••在△ADE与AFCE中，

,^ADC=4ECF

DE=EC,

Z.AED=Z.CEF

■■■^ADE^^FCE^ASA'）,

.••FC=AD（全等三角形的性质）;

(2)解：“ADEmAFCE,

AE=EF,AD=CF(全等三角形的对应边相等)，

•••BE是线段45的垂直平分线，

:.AB=BF=BC+CF,

•：AD=CF(已证)，

.•.4B=BC+4D(等量代换)

=5+2=7(cm).

【解析】(1)根据4D〃BC可知乙4DC=4ECF,再根据E是CD的中点可求出△ADE三△FCE,根据全等三角

形的性质即可解答.

(2)根据线段垂直平分线的性质判断出=BF=BC+CF=BC+AD,将已知代入即可.

此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端

点的距离相等.

21.【答案】解：⑴rB边的垂直平分线k交8c于D,4C边的垂直平分线力交BC于E,。与。相交于点。，

AD=BD,AE=CE,

■■AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC,

•••△40E的周长为6cm,即40+0E+AE=6cm,

•••BC—6cm；

(2);/IB边的垂直平分线。交BC于D,4c边的垂直平分线，2交BC于E,

0A=0C=0B,

•••△OBC的周长为16cm,即OC+OB+=16cm,

・•・OC+OB=16—6=10cm,

0C=5CTYl,

・•,OA=OC=OB=5cm.

【解析】(1)先根据线段垂直平分线的性质得出4。=BD,AE=CE,再根据4。+DE+4E=BD+DE+CE

即可得出结论；

(2)先根据线段垂直平分线的性质得出。/=。。=。8,再由AOBC的周长为16m求出OC的长，进而得出结

论.

本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

22.【答案】(1)解：结论：EC=BF,ECLBF.

理由：-AELAB,AFLAC,

・・・乙EAB=Z.CAF=90°,

・•・Z.EAB+乙BAC=Z-CAF+Z.BAC,

Z.EAC=Z-BAF.

在△E4C和△BA/中，

AE=AB

Z-EAC=乙BAF,

.AC=AF

・•.△EAC=LB4F(S4S),

・•・EC=BF.乙AEC=LABF

vz_AEG+Z-AGE=90°,/-AGE=乙BGM,

・•.Z.ABF+乙BGM=90°,

・•・乙EMB=90°,

・•・EC1BF.

・・・EC=BF,EC1BF.

(2)证明：作4PleE于P,4。_18/于。，连结力M,

EAC=LBAF,

AP=4Q（全等三角形对应边上的高相等）.

•••AP1CE^P,AQ1BF^Q,

AM平分ZEM凡

【解析】本题考查全等三角形的判定与性质的运用，角平分线的判定定理、垂直的判定的运用等知识，解

题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

（1）先由条件可以得出MAC=^BAF,再证明△EAC=^B4F就可以得出结论；

（2）作4PJ.CE于P,4Q18F于Q.由△E4C三ABAF,推出ZP=4Q（全等三角形对应边上的高相等）.由4P_L

CE于P,AQ1BF^Q,可得AM平分4EMF.

23.【答案】（1）证明：如图，在力C上截取AP=AB,连接。P,

•••4。是484c的平分线，

•1•乙BAD=/.PAD,

在△ABD和△力PD中，

AB=AP

乙BAD=4PAD,

.AD=AD

.,•△ABD三△APD(SAS),

BD=PD,乙B—Z.APD,

Z.APD=zC+Z.CDP,Z-B=2zC,

Z.C=Z.CDP,

•••CP=DP,

・•,BD=CP,

・・・4C=AP+CP,

AC=AB+BD；

(2)解：如图，过点。分别作DM_L4B于点M,ONIAC于点N,

•••4。是484c的平分线，点。到AB的距离为次

3

・・・DM=DN=全

vAB=4,BD=2,AC=AB+BD,

・•・AC=6,

•・,△ABC的面积=SLABD+S&ACD=^48•DM+-ON,

：•△ABC的面积=|x4x|+|x6x|=^.

【解析】(1)在AC上截取4P=AB,连接DP,利用$4S证明△4BD三△APD,根据全等三角形的性质得出BD=

PD,=结合三角形外角性质推出“="DP,则8。=",根据线段的和差求解即可；

(2)根据角平分线性质及点到直线的距离推出DM=DN=|,根据三角形面积公式求解即可.

此题考查了全等三角形的判定与性质、角