2023-2024学年江苏省苏州市常熟市高一年级上册期中数学试题（含答案）

2023-2024学年江苏省苏州市常熟市高一上册期中数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合'=--x-2<0},则集合A的真子集有()

A.2个B.3个C.4个D.6个

【正确答案】B

【分析】根据题意得到4={0」},再求其真子集即可.

【详解】Z={xeZ|x2-x-2<o|={xeZ|-1<x<2}={0,1},

所以集合A的真子集有22-1=3个.

故选：B

2.“函数/(x)=("2)x+3在R上为减函数”是的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分又不必要条件

【正确答案】B

【分析】根据函数/(x)在R上为减函数求出实数。的取值范围，再利用集合的包含关系判

断可得出结论.

【详解】若函数/(x)=(a-2)x+3在R上为减函数，则a—2<0,解得。<2,

又因为{a|a<2}{a[0<a<l},

因此，“函数/(x)=("2)x+3在R上为减函数”是“ae(O,l)”的必要不充分条件.

故选：B.

3.己知函数/(》+2)=/+》，则/(1)的值为()

A.12B.6C.2D.0

【正确答案】D

【分析】在等式/(8+2)=/+》中，令x=—1可求得/(1)的值.

【详解】在等式/(x+2)=/+x中，令》=一1可得/=1+2)=(—I)?—1=0.

故选：D.

X2+1X<1

4.已知函数/(x)=《'，若/'(。)=10,则实数。的值是()

2x,x>l

A.一3或5B.3或一3C.5D.3或—3

或5

【正确答案】A

【分析】根据函数解析式，分别讨论a<1,两种情况，结合题中条件，即可求出结

果.

【详解】若a<1,则/(。)=/+1=10,.\a=_3(a=3舍去)，

若a»l,则/(a)=2a=10,二a=5,

综上可得，a=5或。=一3.

故选：A.

5.若函数/(x)=(*-22)x"-'是幕函数，且V=f(x)在(0,+oo)上单调递增，则/⑵=

1।

A.-B.-C.2D.4

42

【正确答案】D

【分析】

由某函数的定义及幕函数的单调性可得加=3,再求值即可得解.

【详解】解：因为函数/(x)=(/—2加一2卜'"1是累函数，

所以-2加-2=1，解得m=-1或加=3.

又因为y=f(x)在(0,+co)上单调递增，所以加一1»0,

所以加=3,

即/(%)=/，

从而/(2)=22=4,

故选：D.

本题考查了幕函数的定义及基函数的单调性，重点考查了求值问题，属基础题.

6.己知函数/(力=如？+2%+m在(-L+00)上单调递增，则实数机的取值范围是()

A.(0,1]B,[0,1]C,[1,+°0)D.

SU

【正确答案】B

【分析】分机=0、mH0两种情况讨论，在加=0时，直接验证即可；在〃?H0时，利用

二次函数的单调性可得出关于实数〃?的不等式组，综合可得出实数〃，的取值范围.

【详解】当机=0时，函数/(x)=2x在(―1,+8)上单调递增，合乎题意；

当加H0时，则二次函数/(X)=+2x+7〃图象的对称轴方程为X=--,

m

/n>0

若函数/(x)=g：2+2x+用在(-1,+00)上单调递增，则.1,解得0<加工1.

-----<-1

、m

综上所述，实数〃?的取值范围是[0,1].

故选：B.

7.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英

国数学家哈利奥特首次使用“v”和“〉”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的

发展影响深远.若a,b,ceR,则下列命题正确的是()

A.若abw0且a<6,则丄〉丄

ah

B.若a>b,c>d,则〉bd

C.若a>b>0且c<0,则5>-y

ab-

D.若a>b,c>d,则

【正确答案】C

【分析】对A,B,D举反例，对C利用不等式的基本性质判断即可.

【详解】对A,当a=-1,6=1时，丄<《，故错误；

ab

对B,当a=2,b=l,。=-1,1=一2时，ac=bd,故错误；

11cc

对C,a>b>0a2>b2>0则一T<7T，c<0,则一>—y,故C正确；

fabab

对D,当4=2,6=1,。=0,1=-2,满足前提a>6,c>d,但此时a-c=2,b-d=3,

a-c<b—d,故错误.

故选：C.

8.已知定义在(-e,0)U(0,+8)上的函数/(x)J(l)=l,函数/(x+1)的图像关于点

2021

%2021f(x)_xf(x\

(-1,0)中心对称,且对于任意x,,x2e(0,+8),%产&，都有।2八2丿〉0成

士一马

立，则/(力4靑的解集为()

A(^»,0)U(0,l].B.(-oo,-l]u[l,+oo)

c.(--x,-l]u(0,l]D.[-1,O)U(O,1]

【正确答案】c

【分析】由已知可知，/(X)为奇函数，然后构造函数g(x)=x202i/(x),可知g(x)为偶

函数，结合已知条件可判断，g(x)在(0,+8)上单调递增，结合单调性即可求解

【详解】解：•••函数/G+D的图像关于点(一1,0)中心对称，

•••函数/(x)的图像关于点(0,0)中心对称，即/(x)为奇函数，

g(x)=x202,7(x),则g(—x)=(—x)2°2i/(—x)=x2°2，(x)=g(x),即g(x)为偶函数，

2]2]

/\xff(x])-x^f(x2]

对于任意X“X2G(O,+8)，XHW，都有厶,~2八2丿>0成立，即

否一/

gW">0对于任意任意玉,e(0,+8),国H,都成立，

即g(x)在(0,+oo)上单调递增，根据偶函数的对称性可知，g(x)在(-8,0)上单调递减，

由g(l)=g(—l)=/(I)=1，对于不等式/(X)<击

当x>0时，可得g(x"l,即一IWXWI,.-.0<x<l,

当x<0时,可得g(x)Nl,即x4-l或x21,x4-l,

综上可得，不等式的解集为或0<x〈l}.

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或

不答的得0分.

9.若集合片{小2+X-6=0},S={X|OX-1=0},且SUP,则实数a的可能取值为()

A.0B.—C.4D.；

32

【正确答案】ABD

【分析】分S=0,SW0两种情况，根据子集的定义，分别求得参数值.

【详解】解：P={x\x2+x-6=0}={-3,2},

①S=0,a=0；

②SW0,5={x|x=—},

a

­=2,a=—；

a2

综上可知：实数a的可能取值组成的集合为{g，0,

故选：ABD.

10.已知a>0,6>0.若4a+b=l,则（）

A.~+丄的最小值为10

B.-+-的最小值为9

abab

c.ab的最大值为丄ab的最小值为上

D.

1616

【正确答案】BC

【分析】根据基本不等式的性质依次判断选项即可得到答案.

【详解】对选项A,B,因为已知a>0,b>0,

所以—I——(4a+—F—I=5H---------1—>5+2^4=9,

ab'丿b)ba

当且仅当*=2,即。=丄，6=丄取等号，故A错误，B正确.

ba63

对选项C,D,

4"＜（痴+6）2=丄,即姉《丄，当且仅当&=丄，6=丄时等号成立，

441682

故C正确，D错误.

故选：BC

11.德国著名数学家狄利克雷（。〃女初々,1805〜1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利

克雷定义了一个“奇怪的函数”：O（x）=，n：，则关于函数。（x）有如下四个命题，

U,X任Q

其中是真命题的为（）

A.函数。（x）是偶函数

B.函数。（x）是奇函数

C.方程。（x）—d=o有1个实数根

D.对任意xeR,都有。（D（x））=l

【正确答案】ACD

【分析】利用函数奇偶性的定义可判断AB选项；分xeQ、xeQ两种情况解方程

£）（X）-X3=0,可判断C选项；利用题中定义分xwQ、x史Q两种情况计算。（。（村），

可判断D选项.

【详解】对于AB选项，若xeQ,则—xeQ,此时O（x）=1=。（―x）,

若xeQ,则一x史Q,此时£＞（x）=0=D（-x）,

综上所述，对任意的xeR,D（-x）=D（x）,故函数。（x）是偶函数，A对B错；

对于C选项，若xeQ,则。（》）一/=1一/=0,解得x=[,合乎题意，

若xeQ,则。（》）一/=一/=0,解得x=0,不合乎题意，

综上所述，方程。（x）-d=0有1个实数根，c对;

对于D选项，若xeQ,则Z)(Z)(x))=r>(l)=l,

若x任Q,则D(Z)(x))=Z)⑼=1,

综上所述，对任意的xeR,Z)(Z)(x))=l,D对.

故选：ACD.

12.以下函数的图象是中心对称图形的是()

A./(x)=2x2+1B.f(x)=x3

、2x4-1x(l+x),x>0

C./(X)=D./(x)=<

73rx(l-x),x<0

【正确答案】BCD

【分析】根据函数的奇偶性、对称性的定义求解即可.

【详解】对于A,由二次函数的性质可知，

函数/(》)=2/+1无对称中心，故A错误；

对于B,根据幕函数的性质可知，

函数/(X)=x3的图象关于原点对称，故B正确；

2x+12x—2+33

对于C,/(%)=-------=------------=2+——，

')x-lx-1x-1

所以/")=2四的图象可以由反比例函数卜=3的图象向右平移1个单位,

X-1x

3

向上平移2个单位得到，且反比例函数y=2的图象关于原点对称，

x

0V*1

所以函数/(x)=-------的图象关于点(1,2)对称，故C正确；

对于D,函数的定义域为R,且/(0)=0,

当x>0时,-x<0,f(-x)=-x(l+x)=-f(x),

当x<0时，-x>0,f(-x)=-x(l-x)=-f(x),

所以函数〃x)为奇函数，图象关于原点对称，故D正确；

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应

位置上.

13.命题“Vxe[0,+oo),x3+x>0的否定是.

【正确答案】3x0G[0,+oo).x03+x0<0

【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出结论.

【详解】原命题是全称命题，故其否定是特称命题，所以原命题的否定是

3

“Hx0e[0,+oo).x0+X。<0

本小题主要考查全称命题的否定是特称命题，除了形式上的否定外，还要注意否定结论，属

于基础题.

14.己知函数/(力=依5+加+3且/(2021)=16,则/(一2021)的值为.

【正确答案】-10

【分析】计算出I(-x)+〃x)=6,结合已知条件可得出〃—2021)的值.

【详解】因为/(切=*+加+3,贝ij

/(-x)+/(x)=a(-x)s+b(-x)3+3+ax5+bx3+3=6,

所以，/(-2021)=6-/(2021)=6-16=-10.

故答案为.TO

15.已知偶函数/(x)在区间(-*0]上单调递减，且/(-2)=0,则不等式

(x-l)/(x)<0的解集为.

【正确答案】(一8,-2)11(1,2)

【分析】根据函数的单调性和奇偶性求解抽象不等式即可.

【详解】由题知：/(X)在区间(-8,0]上单调递减，在(0,+的上单调递增，

且/(-2)=〃2)=0,

当xe(-e,-2)时，%-1<0,/(x)〉0,(x-l)/(x)<0,符合题意，

当XG(—2,1)时，x-l<0,/(x)<0,(x-l)/(x)>0,不符合题意，

当xe(l,2)时，x-1>0,/(x)<0,(x-l)/(x)<0,符合题意,

当xe(2,+8)时，x-1>0,/'(x)〉0,(x-i)/(x)>0,不符合题意，

综上(x-1)/(力<0的解集为(-*-2)U(1,2)

故(F,-2)U(1,2)

.、[lx2-2x\,x<3/、

16.已知函数/(x)=f1,若a、b、c、d、e(a<b<c<d<e)满足

[6-X9X>3

f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=f(e),M=af(a)+bf(b)+cf'(c)+df(d)+ef(e)

的取值范围为.

【正确答案】(0,9)

【分析】

设/(a)=/(b)=/(c)=/(d)=/(e)=f，作出函数/(x)的图象，可得0<，<1,利用

对称性可得a+d=b+c=2,由/(e)e(0,l)可求得5<e<6,进而可得出

M=-e2+2e+24，利用二次函数的基本性质可求得/的取值范围.

【详解】作出函数/(x)的图象如下图所示：

设/(a)=/(b)=/(c)=/(d)=/(e)=f,

当0<x<2时，/(JV)=2x-x2=-(x-1)*+1<1>

由图象可知，当0<t<l时，直线歹=，与函数y=/(x)的图象有五个交点，

且点(a,/)、(d,f)关于直线x=l对称，可得a+d=2,同理可得b+c=2,

由/(e)=6-e=fe(O,l),可求得5<e<6,

所以，

M=aX'(a)+&/■(/>)+++=(a++c+J+e)/(e)=(e+4)(6-e)

=-e2+2e+24=-(e-l)2+25e(O,9).

因此，〃的取值范围是(0,9).

故答案为.(0,9)

方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出

文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知集合4=卜)=_/,1=>,B=lx\m-I<x<m+1\.

[v-x2+4x-3J

(1)若4c5=(1,2),求(4Z)U3；

(2)若Zc3=0,求实数的取值范围.

【正确答案】⑴(%〃卜8=卜卜<2或x»3}

(2)(-oo,0]U[4,+oo)

【分析】(1)求出集合A,利用Zc8=(l,2)可求得实数加的值，再利用补集和并集的定

义可求得集合(、/)U8；

(2)根据4c8=0可得出关于实数加的不等式，解之即可.

【小问1详解】

解：

A=<xy=-j==2=^=»=卜卜/+张一3〉()}=卜卜，一收+3<()}=卜|1<x<3

因为8=卜，〃-1cx<〃z+l},且ZcB=(l,2),则J+]2，解得加=1，

所以，8={x[0<x<2},则％Z={x|x〈l或x»3},

因此，={x|x<2或3}.

【小问2详解】

解：因为8=<x<加+1}#0且力c8=0,则加+1W1或,

解得加W0或加24.

因此，实数〃?的取值范围是(-8,0]U[4,+s).

18.已知命题：“Vxe[-1,3],都有不等式》2-4》—〃?<0成立”是真命题.

(1)求实数〃?的取值集合A；

(2)设不等式/一3以+24220(。力0)的解集为8,若xe4是xw6的充分条件，求实

数”的取值范围.

【正确答案】⑴A={m\m>5\

i5

(2)<aa<0或0<a<—>

2

【分析】(1)分析可知加〉“2一4》在xe[-1,3]时恒成立，利用二次函数的基本性质可求

得实数”的取值集合A；

(2)分析可知8,分”0、a>0两种情况讨论，求出集合8,结合可得出关

于实数。的不等式，综合可得岀实数。的取值范围.

【小问1详解】

解：由Vxe[-1,3],都有不等式x2-4x-〃?<0成立，

得/一4x-加<0在xe［-l,3］时恒成立，所以加>(x2-4x)m,、，

因为二次函数y=F—4x在［-1,2］上单调递减，在［2,3］上单调递增,

且Mi=(-1):+4=5,儿=3=3?—4x3=—3,

所以，当xe［-1,3］时，ymm=5,：.m>5,所以,A=\m\m>5\.

【小问2详解】

解：由％2_3ax+2a2>0RT#(x-a)(x-2a)>0.

①当a<0时.，可得8={X,42q或xNa},

因为xeZ是xeB的充分条件，则/=则aW5,此时，tz<0；

②当a>0时，可得8=卜,<4或x»2a},

因为xeZ是xeB的充分条件，则则2aW5,解得aW*,此时0<aW=.

22

综上所述，实数。的取值范围是丿。。<0或0<4<』>.

2

19.已知函数/(x)=；#是定义在［—1,1］上的奇函数，且/(1)=1.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)判断/(x)在［-1,1］上的单调性，并用单调性定义证明；

(3)解不等式/(，_1)+/(/)</(0).

【正确答案】(1)/(x)=［*,xe(—1,1)

(2)增函数；证明见解析

⑶(。，3

【分析】(1)根据奇函数的性质和/。)=1求解即可.

(2)利用函数单调性定义证明即可.

(3)首先将题意转化为解不等式/(』)</。-。，再结合/(x)的单调性求解即可.

【小问1详解】

函数/（x）=*?是定义在（T，l）上的奇函数，

===解得：b=0,

1IJv1IJv

.•./（x）=A，，而=解得a=2,

【小问2详解】

函数/（x）=U个■在（TJ）上为增函数；

证明如下：任意吊,》2e（T，l）且X1＜工2，

则小）一小）=詩—鳥

2（西一工2）（1—玉马）

（1+用（1+考）

因为王＜%2，所以王一々＜0，又因为再/2e（-1,1）,

所以］_玉々＞0，所以/（工|）_/（》2）＜0，

即./■（%）＜/（%），所以函数/（X）在（T,l）上为增函数.

【小问3详解】

由题意，不等式/（/_1）+/（产）＜/（0）可化为

即解不等式所以

-1＜Z2＜1

所以J——解得0＜f（也二1

t2＜\-t2

所以该不等式的解集为（0,且m

I2

20.某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，把厨余垃圾加

工处理为可重新利用的化工品，已知该企业日加工处理量x（吨）最少为70吨，最多为120

吨，日加工处理总成本y（元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为

^=1.r2+40x+3200,且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元.

（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该

企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（平均成本=上）

x

（2）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式有两种方案

方案一：每日进行定额财政补贴，金额为2300元；

方案二：根据日加工处理量进行财政补贴，金额为40x元.

如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个方案进行补贴？为什么？.

【正确答案】（1）80吨，该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态

（2）答案见解析

【分析】（1）列出平均成本后，根据基本不等式即可判断;

（2）分别算出两种方案的最大利润，进行比较即可.

【小问1详解】

由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为

Z=£+2Z22+40,xe[70,1001,

x2x

'+%必+4022归31叵+40=2x40+40=120

2xV2x

当且仅当土=%"，即x=80时，

2x

每吨厨余垃圾的平均加工成本最低，

因为120〉100，

所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态.

【小问2详解】

若该企业采用补贴方式①，设该企业每日获利为乂，

y=100x—（；X2+40X+3200]+2300

1、

=——X2+60X-900

2

=-1(X-60)2+900

因为XG[70,100],

所以当x=70吨时，企业获得最大利润，为850元.

若该企业采用补贴方式②，设该企业每日获利为巴，

2

y2=100x+40x-(1x+40x+3200j

=--X2+100X-3200

2

=-1(X-100)2+1800

因为xe[70,100],

所以当x=100吨时，企业获得最大利润，为1800元.

结论：选择方案一，当日加工处理量为70吨时，可以获得最大利润850元；

选择方案二，当日加工处理量为100吨时，获得最大利润1800元；

所以选择方案二进行补贴..

21.已知函数/(%)=》2+(%—1)卜一《.

⑴若。4一2,设函数/(x)在[-2,+0。)上最小值为g(a),求g(a)的解析式;

(2)若函数/(x)在[-2,2]上单调递增，求实数。的取值范围.

3a+10,a<-9

【正确答案】⑴g(a)=«42341c,个

-------1----------,-9<QW―2

1848

1

(2)(-oo,-9]kJ-,+8

3

【分析】(1)当a<-2且当xN2时，可得/(x)=2f-(a+i)x+a,对实数”的取值进

行分类讨论，分析二次函数/(x)在卜2,+0。)上的单调性，可得出g(a)的表达式；

(2)对实数“的取值进行分类讨论，化筒函数/(x)在［-2,2］上的解析式，利用二次函数和

一次函数的单调性可得出关于实数。的不等式(组)，综合可得出实数。的取值范围.

【小问1详解】

解：因为。4一2,当xN2时，/(x)=x2+(x-l)(x-a)=2x2-(a+l)x+tz,

二次函数/(x)的对称轴为直线》=?，

①当?4—2时，即当aS-9时，函数/(x)在［-2,+0。)上单调递增，

此时g(Q)=/(_2)=8+2(a+l)+a=3a+10；

②当5>—2时，即当一9<aW—2时,

4

函数在一等,+8)上单调递增,

/(x)2,3?上单调递减，在

Q+14+1丫3+“=_吸也」

此时g(«)=/=2x

丁4848

3a+10,aK-9

综上所述,g(a)=<a23ale,c

-----+--------,-9<a<-2

1848

【小问2详解】

解：当xKa时，/(x)=x2+(x-l)(tz-x)=+,

当x>a时，/(x)=x2+(x-l)(x-a)=2x2-(a+l)x+a.

①当〃<一2时，则当x«-2,2］时，/0=2/一(Q+1)X+Q,

因为函数/(x)在［-2,2］上单调递增，则一2,解得。4一9,此时—9；

(a+l)x-a,-2<x<a

②当—2<a<2时，则/(x)=,

2x2—(a+l)x+«,tz<x<2,

a+1>0

因为函数/(x)在［-2,2］上单调递增，则卜+1,解得。2丄，此时丄<a<2

-----<a33

I4

③当a»2时，则当xw［-2,2］时，/(x)=(a+I)x-a,

因为函数/(x)在［-2,2］上单调递增，则。+1>0,解得a>—1,此时a»2.

综上所述，实数0的取值范围是(―8,-9］口；，+8丿

方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：

(1)根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；

(2)根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端

点对应的函数值进行分析；

(3)将分类讨论的结果整合得到最终结果.

22.若函数/(x)在句时，函数值丁的取值区间恰为%丄,就称区间［a,司为

/(x)的一个“倒域区间”.已知定义在［-2,2］上的奇函数g(x),当xe［0,2］时,

g(x)=-x2+2%.

(1)求g(x)的解析式;

(2)求函数g(x)在［1,2］内的“倒域区间”；

(3)求函数g(x)在定义域内的所有“倒域区间”.

-x2+2x,0<x<2

【正确答案】(1)g(x)="

x2+2x,-2<x<0

【分析】(1)设xe［-2,