上海市嘉定区部分学校联考2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

2022-2023学年上海市嘉定区部分学校联考九年级（上）期中数学试

卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如果'加二°q,那么下列比例式正确的是（）

mpmnnpna

A.—=—B.—=-C.-=—D.—=—

nqpqqmnm

【答案】C

【解析】

【分析】根据比例的性质求解即可.

【详解】解：；〃切="4，

m_qn_ppm

pnqmnq

...四个选项中只有选项C正确，

故选C.

【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟知内项之积等于外项之积是解题的关键.

2.已知两个相似三角形的相似比为4:9,那么它们的面积比为（）

A.2：3B.8：18C,4：9D.16:81

【答案】D

【解析】

【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得到答案.

【详解】解：两个相似三角形的相似比为4:9,

它们的面积比16：18

故选D.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键.

3.下列各组条件中，一定能推得.A8C与，。所相似的是（)

ABBCdABBC

A.=且Nfi=B.=---且nZ4=NE

EFDEEFDE

ABBCcABBC

C.—=——且NA=N£)D.——=——且nNA=4

DEEFDEEF

【答案】A

【解析】

【分析】直接根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”分别判断得出答案.

【详解】•/—=—,N8=NE，.;△ABC:/\DEF,故A选项符合题意；

EFDE

4DBC

----=-----,NA不是AB和8C的夹角，；.NA=NE不能说明一ABC和DEF相似，故B选项不符

EFDE

合题意；

•：—=—,—A和ND均不是夹角，，NA=ND不能说明.ABC和」无下相似，故C选项不符合

DEEF

题意；

NA不是AB和8C的夹角，NA=NE不能说明_A8C1和/）石尸相似，故D选项不

DEEF

符合题意.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于

三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相

等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;

（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.

4.如果点G是的重心，。是边BC的中点，那么AGG。的值为（）

123

A.2B.-C.—D.一

232

【答案】A

【解析】

【分析】根据重心的性质进行求解即可.

【详解】解：•••点G是:ABC的重心，。是边BC的中点，

AG:GD=2A,

故选A.

【点睛】本题主要考查了重心的性质，熟知重心的性质是解题的关键.

5.已知AB、8相交于点。，下列条件中能判断AC〃B。的是（）

A.AC：BD=OD：OCB.AC：BD=OCOD

C.OAiOB=OC：ODD.OA：OD=OC：OB

【答案】C

【解析】

【分析】证明三角形相似得到内错角相等，即可得到答案.

【详解】解：A、不能证明dAOCS_BOE>,不能判断AC〃8D,不符合题意，选项错误;

B、不能证明AAOCSABOD,不能判断AC〃或），符合题意，选项正确；

C、能证明=4OCs8OD,得到NC4O=NZ）3O,能判断AC〃8。，符合题意，选项正确;

D、不能证明AOCsBOD,不能判断AC〃BD,不符合题意，选项错误，

故选C.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关

键是解题关键.

6.如果点。、E分别在的边上，OE"BC,SADE=SmBCED,BC=a,那么E。等于（）

1,1〃五八&

A—aB.aC.aD.-----a

2222

【答案】D

【解析】

SDE2

［分析】由DE//BC，可得△A£>Es^ABC，SADE=§四边形皿定，进而可得《巫=五七，即可求解.

3ABCBC

【详解】解：如图，

DE//BC

・S4犯二DE2

ABCBC

'''SADE=S四边形BCDE

.S^ADE_X

S/MBC2

.DE2-1

,BC7-2

.DEV2

BC=a，DE//BC

：,ED=一^~a

2

故选：D

【点睛】本题考查了相似三角形的性质以及平面向量知识点，掌握相似三角形的面积之比等于对应边比的

平方是解题关键.

二、填空题(本大题共12小题，共48.0分)

x-y2x

7.如果--=那么一=_____________.

)3y

【答案】-

3

【解析】

x-y2x.2x

【分析】先将一^=彳变形成一-1=不，然后解关于一的方程即可.

>3y3y

x-y2x.2x5

【详解】解：由一1二彳可得一一1二彳，解得一二：；.

V3y3y3

故答案是*.

3

【点睛】本题主要考查了求分式混合运算，灵活分式混合运算法则对已知等式进行变形成为解答本题的关

键.

8.若g=£=20+dHO),则空£的值为.

bdb+d

【答案】2

【解析】

ac4+c

【分析】由一=—=2得至lJa=2Z>,c=2d,代入——求值即可.

bdb+d

【详解】解：：3=£=2,

ba

:・a=2b,c=2d,

.a+c_2b+2d_2(/?+</)_

b+db+db+d

故答案为：2.

【点睛】此题考查了比例的性质，由已知得到。=2b,c=2”并代入计算是解题的关键.

9.长为3、4的线段的比例中项长是.

【答案】26

【解析】

【分析】根据成比例线段的定义和比例的性质进行解答即可.

【详解】解：长为3、4的线段的比例中项长是：

73^4=g=2百.

故答案：■

【点睛】本题主要考查了比例线段的性质，解题的关键是列出比例中项的算式.

10.如果3a+2x=b>那么x用a、b表不为x—.

13

【答案】一b—a

22

【解析】

【分析】根据向量方程求解方法，可以先移项，再系数化一，即可求得答案.

【详解】解：+2x=b

\2x=b-3a

\一1二3

\x-—b—a,

22

13

故答案为：—b—ci.

22

【点睛】此题考查了平面向量的知识，解题的关键是掌握向量方程的求解方法.

11.在“ABC中，点。、E分别在线段AB、AC的延长线上，OE平行于BC,AB=l，BD=3,

AC=2,那么AE=•

【答案】8

【解析】

【分析】根据平行线分线段陈比例定理求解即可.

【详解】:DE〃AB

.ABAC

,•茄一法

VAB=1.BD=3,AC=2,

・.•—1=--2-

4AE

：.AE=8

故答案为：8.

【点睛】此题考查了平行线分线段陈比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段陈比例定理.

12.在AA8C中，点力、E分别在边AB、AC上，ZADE=ZC,40=1,AE=2,AC=3,那么AB=

【答案】6

【解析】

A[JAP

【分析】只要证明△AOES^ACB,推出一=——，求出AB即可解决问题.

ACAB

【详解】解：如图所示,

VZA=ZA,ZADE=ZC,

：.XADEs丛ACB,

——AD=一AE,

ACAB

•J__2_

.'.AB=6,

故答案为：6.

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考

题型.

An3

13.如图，在RrABC中，NACB=90。，CDLAB,垂足是Z),—=—，ABC的周长是25,那么一

AC5

AC。的周长是一.

【解析】

【分析】根据题意，证明△AOCs^ACB，根据三角形的周长比等于相似比即可求得，AC。的周长.

【详解】/AC8=90。，CD1AB,

.-.ZADC=ZACB,

又ZA=ZA,

•••AADC^AACB，

iABC的周长：4CD的周长=AC:A£>,

AD3sw

----,ABC的周长25,

AC5

•.AAC。的周长是15.

故答案为：15.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

14.如果工ABC与—DEF相似，_ABC的三边之比为3:4:6,研的最长边是10cm,那么刀石尸的最

短边是cm.

【答案】5

【解析】

【分析】设△DEF的最短边为x,由△ABC的三边之比为3：4：6,则可设△ABC的三边分别为3a,4a,

6a,由于AABC与△DEF相似,根据相似三角形的性质得到3a：x=6a：10,即可求出x=5.

【详解】解：设ADEF的最短边为x,△ABC的三边分别为3a,4a,6a,

VAABC-^ADEF相似，

3a：x=6a：10,

x=5,

即4DEF的最短边是5cm.

故答案为5.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.

2AF

15.如图，己知AO为AABC的角平分线，DE//AB，如果一=一，那么一=.

EC3AB

【答案】|3

【解析】

【分析】由DE1〃钻证得

【详解】•/DE//AB,

.".△CED^ACAB,

.DECE

..AE2

•~EC=3'

.DECE_3

,/AD为MBC的角平分线，DE//AB,

ZADE=ZBAD=ZDAE,

.AEDECE3

,,茄一耘一就一于

3

故填：

5

【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，根据平行线证得三角形相似，由此得到边的比值关系，推导

AE

出一的值.

AB

16.长度为a的2倍，且与a是平行向量的向量是.

【答案】2。或-2a##-2。或2a

【解析】

【分析】根据向量的方向相同或相反，即可求解.

【详解】解：长度为a的2倍，且与。是平行向量的向量是2a或一2a,

故答案为：2a或—2a.

【点睛】本题主要考查了平面向量，注意要分类讨论：平行向量的方向有相同方向和相反方向两种情况.

17.如果&+方=28，2a—b—c＞那么用很表示〃=

【答案】b

【解析】

【分析】利用代入消元法，即可得到答案.

a+b=2c①

【详解】解:

2a-b=c®

将②x2代入①中，得到a+6=4a—力

解得：a=b

故答案为：b-

【点睛】本题考查了解方程组和向量的线性运算，熟练掌握代入消元法是解题关键.

18.如图，在梯形ABC。中，AD//BC,AC与BO相交于点。，如果SAOB=2：3,那么

4

【答案】4:9##-

9

【解析】

【分析】根据三角形面积公式得出%=2,再证明，AODCOB,可知相似比为也=2,然后根据

B03B03

相似三角形面积比等于相似比的平方即可解答.

【详解】解：：△40。的边。。上的高和一AOB边8。上的高相等，SAOD:SAOB=2:3,

.DO2

•.----=一.

B03

AD//BC,

・，•_AOD-COB,

・D0-AD-2

**,SAOD:SBOC=4:9,

故答案为：4:9.

【点睛】本题主要考查了三角形面积，相似三角形的性质和判定的应用，确定相似比是解题的关键.

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

2_

19.已知：如图，已知两个不平行的向量a、b-求作：写出结论，不要求写作法.

【解析】

2

【分析】根据平面向量的方向和大小，先作出］2〃，然后根据三角形法则组图即可.

222

【详解】解：向量一d与向量〃的方向相同，且向量一〃的模是向量〃的模的：.向量2b与向量〃的方向

333

相同，且其模的长度为〃的模的2倍.

其图示如下：

B

A8即为所求.

【点睛】本题考查平面向量的作图.掌握三角形法则是解题的关键.

20.已知线段x,y.

x+3y3xx+3yxx

(1)当——1=7时，求一的值；(2)当——=一时，求一的值.

x—y2yx-yyy

xx

【答案】(1)—=9：(2)—=3.

yy

【解析】

【分析】(1)由比例的性质对比例式进行变形，然后去括号、移项、合并同类项可得到x=9y,即可解答；

(2)由比例的性质对比例式进行变形从而得到3y2+2xy-x2=0,然后分解得(3y-x)(y+x)=0,即可解

答.

x+3y3

【详解】解：⑴由——-=z.得2(x+3y)=3(x—y),

x—y2

即2x+6y=3x-3y,

解得9y=x,・・・一二9.

y

x+3yx,-、，、

⑵由------二一，得y(x+3y)=M1-y),

x-yy

即3y2+2xy-x2=0,

解得x=3y或x=-y(不合题意，舍去)，

・％

/.—=3o.

y

【点睛】本题重点考查比例线段，解答本题的关键在于了解比例的性质并且对比例式进行变形.

21.已知：如图，在.ABC中，点。、E分别在A3、AC上，平行于BC,点尸在8。边上，且

ZBAF=NCFE,AF与DE相交于点G.求证:AB・GE=EF,AF.

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据平行线的性质，得NFEG=NCFE,ZADG^ZB,根据N3AF=NCEE,等量代换，得

/BAF=/FEG，又根据三角形的外角，等量代换，得NEFG=NB,根据相似三角形的判定和性质，即

可.

【详解】证明：

：.4FEG=/CFE,ZADG=ZB,

,/4BAF=/CFE,

：.ZBAF=ZFEG,

,/ZEFG=ZDGF-ZFEG,ZDGF-/BAF=ZADG,

ZEFG=ZADG,

：.ZEFG=ZB,

♦，・乙EFG一ABF,

.GEEF

••二,

FAAB

...AB-GE=EF.AF.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角等知识，解题的关键是掌握三角

形的外角，等量代换，相似三角形的判定和性质.

22.如图，已知点G是的重心，连接AG、BG、CG,延长3G交AC于点。，设AG=a,OG=〃，

分别用a、表示向量AC、BC.

【答案】2a-26，a-4b

【解析】

【分析】利用三角形法则求出AD，再根据AD=CD，可求得CDAC，再由重心定理得DB=3OG，求

得DB，再利用三角形法则求得BC.

【详解】解：AG=a>DG=b>

/.AD=a-b，

AD=CD,

DC=AD=a-b>AC=2AD=2a-2b-

点G是.ABC的重心，

:.BD=3DG，

DB=3DG=3b，

/.BC=DC—DB=a—b—3b=a—4b-

【点睛】本题考查了平面向量，三角形的重心，关键是掌握三角形的重心定理，三角形法则.

23.已知点A、B、。在一条直线上，A5=l,且4c2=BC.AB，求AC的长.

【答案】苴二£或上芭

22

【解析】

【分析】分三种情况：当点C在线段AB上，当点C在线段的延长线时，当点C在线段外的延长线

时，然后分别进行计算即可解答.

【详解】解：分三种情况：

当点C在线段上，如图：

~ABC~

AC2=BCAB,

...点C是AB的黄金分割点，

“小~~1r,V5-1.小-1

：.AC=------AAB=--------xl=--------；

222

当点C在线段A8的延长线时，如图：

---•-----------•-----•-

ACB

设AC=x,则3C=AC—=1,

AC2=BCAB^

x2=(x-D-1>

整理得：x2—x+1=0>

，原方程没有实数根；

当点。在线段84的延长线时，如图：

CAF

设AC=x,则BC=AC+AB=x+l,

AC2=BCAB，

：.x2=（%+1）-1）

2

整理得：%-%-1=0-

解得：*=11正，x=上卫（不符合题意，舍去），

।2-2

AC的长为匕或；

2

综上所述，AC长为苴二1或上芭.

22

【点睛】本题考查了黄金分割，分三种情况讨论是解题的关键.

24.已知：如图，在0ABe。中，点七、尸分别在边8C、A8上，AE2BEAD,EF=EB-

(1)求证：AFDE=AEEC；

（2）如果AE=AB,求证：上五平行于AC.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

AEBE

【分析】(1)由AE2=BE-AD‘得---=----，再证明ZAEB=z^DAE，则^AEB^,DAE，得

ADAE

AEAF=ZADE=ADEC,由Z£FS+ZAF£=180°,ZB+ZECD=180°,且/F.FR=/R,得

AT7AE

ZAFE=NECD,即可证明乙及力，得法=法，整理得4/・。石=AE-EC；

ATApApAUA17CF

（2）

由""8,W-=-，W^DE=DA=CB,则3=而，变形为下F，则

1一”=1一孚，得”=维，即可证明.即^^人以丁得NBFE=NBAC，所以所〃C4.

ABCBABCB

【小问1详解】

证明：AE2=BEAD>

AEBE

••=,

ADAE

四边形ABC。是平行四边形,

:.AD//BC.AB//CD,

..ZAEB=ZDAE,

AEB^DAE，

:.ZEAF=ZADE，

ZADE=ZDEC,

.\ZEAF=ZDEC9

EF=EB，

;.ZEFB=ZB,

ZEFB+ZAFE=\SO°,ZB+ZEC£>=180°,

:.ZAFE=ZECDf

..AFES；ECD,

.AFAE

••=,

ECDE

:.AFDE=AEEC.

【小问2详解】

证明：由（1）得ZAEB=NDAE,.AEB^DAE,

；.NB=NDEA，

：.ZAEB=ZB>

:.ZDAE^ZDEA,

DE=DA=CB，

AE£sECD,

AFAE

——=——,

CEDE

,AFAB

,•=,

CECB

,AFCE

,,二,

ABCB

力一丝=悟，

ABCB

FBEB

——=一,

ABCB

:._FBES_ABC,

.\ZBFE=ZBAC,

.\EF//AC.

【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是正确

地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明,AEBsDAE.

25.如图，在“ABC中，AB=4,BC=6,前D、£分别在BC、AB上，CD=2BD,BE=3AE,DE、

C4的延长线相交于点尸，连接8尸.

(1)求证：ZBED=NC；

(2)设AC=x,DE=y,求V关于x的函数解析式，并写