2023-2024学年江西省萍乡市高一年级上册期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年江西省萍乡市高一上册期末考试数学试题

第I卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

1,设全集。=艮集合/={小＞3},3={止2"词，则（M）c8=（）

A.[3,5]B.[-2,3）C,（0,3）D.[-2,3]

【正确答案】D

【分析】根据集合的交并补直接运算即可求解.

【详解】因为4={屮＞3},故电力={巾43},

所以@Z）c8={x|_24xM3}=[—2,3].

故选：D.

2.据统计，下午2点在某超市付款处排队的人数及其概率如下表，则下午2点至多有2人

排队的概率为（）

排队人数012345人及以上

概率().10.250.310.20.10.04

A.0.31B.0.34C.0.35D.0.66

【正确答案】D

【分析】至多有两人排队即没有人排队，一人排队和两人排队三种情况，利用互斥事件的概

率公式求解即可.

【详解】设下午2点没有人排队为事件A，一人排队为事件B,两人排队为事件C,则A,B,C

彼此互斥，

因此下午2点至多有2人排队的概率为

?（4+3+C）=P（4）+尸（8）+尸（C）=0.1+0.25+0.31=0.66

故选：D

3.已知黑函数/.(、)的图像过点(64,4),则/⑻的值为()

A.2B.3C.4D.5

【正确答案】A

【分析】根据题意，得到累函数的解析式，然后代入计算即可得到结果.

1।

【详解】根据题意，设幕函数为〃x)=x",则可得4=64&n&=5,所以/•(x)=/，

即/1(8)=83=2

故选:A

4.函数/(x)=馆]二的定义域为()

A.[-1,1)B.(-oo,-l]u(l,+oo)

C.(-1,1)D.(-oo,-l)u(l,4w)

【正确答案】C

【分析】根据对数的真数大于0计算即可.

【详解】由/(x)=lg『」，

1-X

可得匕¥>0,即(l+x)(l-x)>0,解得—

1-x

1IX

所以函数/(x)=lgl的定义域为(一1,1).

故选：C.

5.函数/3=》(2-2凶)的部分图象大致是(〉

【正确答案】B

【分析】利用函数的奇偶性结合选项逐一检验，得出答案.

【详解】函数/(x)=x(2—2"定义域为R

v/(-x)=-x(2-2H)=-x(2-2Wj=-/(^)

\/(x)是奇函数，排除选项A和C

又/⑴=0，/(2)=2x(-2)<0,排除选项D

故选：B

02

6.已知a=0.25°」，/>=log032,c=O,3.则a，b,c的大小关系为()

A.b<c<aB.b<a<c

C.c<a<bD.a<c<b

【正确答案】A

【分析】根据幕函数的单调性比较”，c,再由对数函数单调性确定6的符号即可得解.

【详解】•.•a=0.25(n=(；)=([>0，C=0.3°2>0，

而y=%0-2在(0,+»)上单调递增，

:.ayc,

・・・V=lOg03X是(0,+OO)上的减函数，

logo32<logo31=0,

:.a>c>bJ

故选：A

7,声音的等级〃x)(单位:Db)与声音强度x(单位：亚/012)满足/")=10挺一^?.火

1x10

箭发射时，声音的等级约为160dB；一般噪音时，声音的等级约为90dB,那么火箭发射时

的声音强度约为一般噪音时声音强度的()

A.10,倍B.IO,倍C.倍D.⑹倍

【正确答案】C

【分析】根据声音的等级/(x)(单位：Db)与声音强度x(单位：W/m2)满足

Y

f(x)=101g苍.分别求得火箭发射时和一般噪音时的声音强度求解.

1x10"

【详解】解：因为火箭发射时，声音的等级约为160dB,

所以101g总定■=160,解得占=1()4；

因为一般噪音时，声音的等级约为90dB,

所以101g盘71T=90,解得吃=10、，；

所以火箭发射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的五=10,倍，

X2

故选：C

8.已知定义在R上的函数/(x)在(-a),2］上单调递增，若函数/(X+2)为偶函数，且

/.(3)=0,则不等式切(x)〉0的解集为()

A.(0,3)B.(e,0)U(l,3)

C.(-oo,0)U(3,+oo)D.(0,1)U(3,+oo)

【正确答案】B

【分析】由已知，函数/*)关于x=2对称，结合题意作出函数的大致图象，利用数形结合

即可求解.

【详解】由函数/(x+2)为偶函数，可知函数/(x)关于x=2对称，

又函数/(x)在(f,2］上单调递增，知函数/(x)在(2,+8)上单调递减，

由/(3)=0,知/(1)=0,作出函数/(x)的大致图象，如下：

由图可知，当x<0时，/(x)<0,则4(X)>0;

当0cx<1时，f(x)<0,则V(x)<0；

当1cx<3时，/(x)>0,则M(x)>0；

当x>3时，/(x)<0,则叭x)<0；

所以不等式MXx)>0的解集为(F,0)U(1,3).

故选：B.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.

9.下列说法正确的是()

..1x1/、fl,x^0

A.f(x)=Uvg(x)=〈，八表示同一函数

v7x[-l,x<0

B.若〃x)=k+l|—|x+2|,则—1

C.函数y=/'(x)的图象与直线x=—1的交点至多有1个

D.关于x的方程x2+(m-3)x+m=0有一个正根和一个负根的充要条件是me(-^,0)

【正确答案】BCD

【分析】根据相等函数的概念即可判断A；直接计算即可判断B；根据函数的定义即可判断

C；结合一元二次方程的性质，判别式和韦达定理即可判断D.

【详解】对于A,/(力=目的定义域为(一8,0)1](0,+8),g(x)定义域为R,定义域不

同，

所以不是同一函数，故A错误.

对于B,因为/(x)=|x+l|-|x+2],所以

所以=故B正确.

对于C,根据函数的定义可知，当y=/(x)的定义域中含有-1时，

函数V=/(x)的图象与直线尸一1有一个交点(一1，/(一1)).

综上所述：函数y=/'（x）的图象与直线X=—1的交点至多有1个，故C正确.

对于D,设方程f+（加一3）x+/w=0的正根为X],负根为Z，

则关于x的方程犬+（加-3）x+机=0有一个正根，一个负根的充要条件为：

{'，，解得m<0,故D正确.

xt-x2=m<0

故选：BCD.

10.下列说法正确的是（）

A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体加被抽到的

概率是0.2

B.已知一组数据1,2,m,6,7的平均数为4,则这组数据的方差是5

C.数据27,12,14,30,15,17,19,23的50%分位数是17

D.若样本数据为，Z.........Xo的标准差为8,则数据2%-1,2X2-1,2阳0-1的

标准差为16

【正确答案】AD

【分析】利用概率对于即可判断A；根据平均数求得加的值，然后利用方差公式求解即可

判断B；根据百分位数的求法即可判断C；利用方差公式求解即可判断D.

【详解】对于A,一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为上，

以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，

则指定的某个个体被抽到的概率为，xl0=g=0.2,故A正确；

对于B,:数据1,2,m,6,7的平均数是4,w=4x5-l-2-6-7=4,

这组数据的方差是$2=丄1（1-4）2+（2-4）2+（4—4）2+（6_盯+（7-4）2]=生，故B

5L-*5

错误；

对于C,8个数据50百分为8x50%=4,第50百分位数为匚土上=18,故C错误；

2

对于D,依题意，D（X）=82,则O（2X-1）=22XO（X）=162,

所以数据2再—1,2工2-1,・・・,2项0-1的标准差为16,D正确;

故选：AD.

11.下列说法正确的是（）

38

A.若%>一，贝ijx+---------3的最小值为2

22x-3

x2+5

B.的最小值为4

V-x2+1

y1

C.若x>0,>>0,且x+y=l,则土+一的最小值为2

xy

113+2、历

D.若x>0,y>0,且x+y=l,则;一+「^的最小值为*也

1+xl+2y5

【正确答案】BD

【分析】利用基本不等式求最值，逐项判断，即可得到本题答案.

33

【详解】A选项，x>—,x—>0,2x—3>0,

22

8c383「

xH----------3=x-----1--------------22

2x—322x—32

ao7

当且仅当》-二=丁三,X=:时等号成立，所以A选项错误;

22x—32

22

x+5x+1+4=Vx2+1+/4224=4,

B选项，y=

yX~+1

当且仅当JV+1=：时等号成立,所以B选项正确;

Vx2+1

V1

C选项，x+y—\,—I—上+亠=匕+土+整2.区.t+1=3,

xyxyxyxy

yx1

当且仅当J=—,x=_y=q时等号成立，所以C选项错误;

xy2

D选项，x+y=1,2x+2+2y+l=5,

111(11、

---------1---------------------+-------(2x+2+2y+l)

1+xl+2y5(l+x1+2»丿7

12y+l2x+2)\(_03+12x+2、3+2加

2+1+------------1------------2-3+2,/------------------

511+x2y+l丿5(y1+x2y+l,5

当且仅当5山=1，、/份（l+x）=2j，+l,》=4一还,夕=述—3时等号成立，

1+x2y+l22

所以D选项正确.

故选：BD

12.已知直线丁=2-x与直线歹=》相互垂直，若函数<（》）=/+3%-5（%〉0）,

力（x）=e2'+x—2,人G）=3+2工一4的零点分别为演，々，演，则下列结论正确的

是（）

A.%!<x2<x3B.x2+x3=2

C.力（xJ<0D.右（乙）=人（X3）

【正确答案】BC

【分析】根据零点的存在性定理判断选项ACD,根据反函数的定义，结合图形判断B.

【详解】A：•.•工（x）=/+3x—5（x>0）单调递增，

40）=Tv。，陪卜灣-5=：>0,;.”（用,

•.•6（x）=e"+x—2单调递增，

2

£（0）=-1<。/,（l）=e-l>0,/.x2e（O,l）,则再>为，故A错误；

B：由厶（x）=e2'+x-2=0,可得e2*=2-x，

由工（x）=lnx+2x—4=0,可得;lnx=2-x,

函数丁=e2*与y=；lnx互为反函数，图象关于少=》对称，

作出函数y=e2*,y=gliLr及y=2—x的图象，如图，

[y=2-x

又丁=2-x与歹=x垂直，由<，可得x=y=l,

IV=x

则y=e2、y=；lnx与直线丁=2-x的交点的横坐标分别为五，与，且％+七=2,故

B正确;

C：,./（力=欣+2》一4单调递增，力（3=ln|—1<0,力（2）=ln2>0,

Ax3ef-|,2j,又玉'RajcO,故C正确；

,

D：VX2G（0,1）,x3ef-|,2j,..^（x2）＜0,72（x3）＞0,故D错误.

第H卷

注意事项：

第n卷3至4页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,

答题无效.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.一个盒子里装有标号为2,3,4,5,6的5张标签，随机选取3张，这3张的标号平均数是4

的概率为.

【正确答案】|##0.2

【分析】利用古典概型的概率公式求解即可.

【详解】3张的标签的标号平均数是4,则这3个标号之和为12,有2,4,6和3,4,5两种情

况，

221

所以这3张的标号平均数是4的概率为尸=e=历=y

14.福利“”中红色球由编号为01,02,33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数

表(下表是随机数表的第一行和第二行)选取6个红色球，选取方法是从随机数表第1行的

第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字作为所选球的编号，则选出来的第4

个红色球的编号为.

45458139228325482396

94342773387506346414

52508707462735289107

74568744771630532266

【正确答案】16

【分析】由题意，结合随机数表读取的方法，即可得到结果.

【详解】根据题意，排除超过33以及重复的编号，第一个编号为21,第二个编号为32,第

三个编号为05,第四个编号为16.

故16

15TNI^log23xlog34x-xlog〃+G+2),〃eN*为整数的”叫作“贺数”，则在区间

(1,50)内所有“贺数”的和是.

【正确答案】52

【分析】利用换底公式计算可得Iog23xlog34x…xk>g“|(〃+2)=log2(〃+2),进而求

解即可.

【详解】因为

k)g23xk)g34x…xk)g“+](〃+2)=妲x出x…*炮，+2]=怆(〃+2)=R)g,(“+2),

22V

33i>lg21g3lg(〃+l)lg2)

又Iog24=2,log28=3,log216=4,log232=5,log264=6,.......,

所以当〃+2=4,8,16,32,即〃=2,6,14,30时，log2(〃+2)为整数,

所以在区间(1,50)内所有“贺数”的和是2+6+14+30=52.

故52

16.函数/(x)=x3+2、—2一，+7,若实数满足+=贝必応7

的最大值为.

【正确答案】-

3

【分析】令g(x)=x3+2'-2T=/(同一7,可得到g(x)在R上单调递增，且为奇函数,

所以由/(9叫+/e2T=14可得9a2=〃一i=o或婦+〃一i=o,a工0,然后分情

况求解即可

【详解】令g(x)=x3+2-2-v=〃x)—7,

因为夕=/,歹=2、在定义域内单调递增，夕=2-'=(；)在定义域内单调递减，

所以函数g(x)在R上单调递增，

g(_x)=(-力3+2-*—2、=一g(x),.•.函数g(x)为R上的奇函数，

.,.任意xeR,有g(x)+g(-x)=0,即/(x)+/'(-x)=14,

•.•/(9叫+/e2叫=14,

9a2——J。或9a2+/一1=0,。*0；

当9a2=/—1=0时，ajl+l=0；

当9a2+/_i=o时，要取最大值，显然。〉0,

所以aJl+4=-.3ayJ\+h2<--9a'+l+b'L,

3323

当且仅当3a=Jl+〃=1，即4=；，6=0时取等号，

ay/l+h2的最大值为—■

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.已知集合力=卜,2一ivxK2a+6},8={x[0<x<4},全集U=R.

(1)当。=1时，求NC(①6)：

(2)若“xe8”是“xe/”的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

【正确答案】⑴Jn(^B)={x|4<x<8}

⑵(T』

【分析】(1)化简集合A,根据补集运算、交集运算求解；

(2)由题意转化为8A,列出不等式组求解即可.

【小问1详解】

当4=1时，集合/={x[0<x«8},电,8=",<0或%>4},

故Nc(\B)={x|4<xV8}

【小问2详解】

由题知：BA,即6仁4且6#/,

fa2-l<0

当Bu4时，<，解得一IWQWI,

—2。+624

a2—1=0

当3=4时，〈，解得〃=—1,

2。+6=4

由3w力得，〃w—1；

综上所述：实数。的取值范围为(-1,1].

18.已知函数/(x)=log“x(a>0且"1),且/(a)+/(9a)=4.

(1)求实数。的值；

(2)解关于x的不等式/⑺-4/")一5<0.

【正确答案】(1)a=3

12

(2)—<x<243\

3

【分析】(1)根据题意，由对数的运算即可得到结果；

(2)根据题意，令，=/"),不等式转化为/_4/_5<0,然后再由对数函数的单调性

即可得到结果.

【小问1详解】

由题知，log“a+log“9a=2+log“9=4

则log“9=2,即/=9，

又Q>0,故。=3

【小问2详解】

令£=/(力，不等式转化为产一书—5<0

即+1)(/—5)<0,解得—即一l<log3X<5

又一l=log3；,5=log3243,且/(x)=bg3X在(0,+e)上单调递增，

则丄<x<243,即原不等式的解集为.丄<x<243>

33

19.某中学为研究本校高一学生市联考的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为

样本,按分组[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),

[140,150]整理后得到如下频率分布直方图.

(1)求图中x的值：

(2)请用样本数据估计本次联考该校语文平均成绩(同一组数据用该组区间的中点值代替);

（3）用分层随机抽样的方法，从样本内语文成绩在[130,140）,[140,150]的两组学生中抽

取5名学生，再从这5名学生中随机选岀2人，求选出的两名学生中恰有一人语文成绩在

[130,140）的概率.

【正确答案】（1）x=0.01

2

（2）107.4分（3）-

【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形面积和为1,求得X；

（2）用每一组区间的中点值代替该组数据，计算平均数；

（3）计算分层抽样每层抽取人数，列出所有选出2人的基本事件，求出概率.

【小问1详解】

由频率分布直方可知，

（0.012+0.022+0.028+0.018+x+0.008+0.002）x10=1,

解得x=0.01；

【小问2详解】

由图可知，语文成绩在[80,90）,[90,100）,[100,110）,[110,120）,[120,130）,[130,140）,

[140,150]的频率

分别为0.12,0.22,0.28,0.18,0.10,0.08,0.02,设样本数据中语文平均成绩为1

则1=85x0.12+95x0.22+105x0.28+115x0.18+125x0.10+135x0.08+145x0.02

=85+10x0.22+20x0.28+30x0.18+40x0.10+50x0.08+60x0.02

=85+2.2+5.6+5.4+4+4+1.2=107.4

故估计本次联考该校语文平均成绩为107.4分；

【小问3详解】

由题知，样本内语文成绩在[130,140）,[140,150]的学生分别有8名和2名，

按分层随机抽样抽取的5名学生中，分数在[130,140）的学生有4名，记为4B,C,D,

在[140,150]的学生有1名，记为e,

从这5名学生中随机选出2人，所有的情况有10种：AB,AC,AD,Ae,BC,BD,Be,

CD,Ce,De,

其中恰有一人语文成绩在［130,140)的有4种：Ae,Be,Ce,De,

A2

则这5名学生中随机选出2人，恰有一人语文成绩在［130,140)的概率为尸=历=1.

20.已知二次函数/(x)满足/(0)=0,请从下列①和②两个条件中选一个作为已知条件，

完成下面问题.

©/(x+2)=/(x+l)+2x+l；②不等式/(x)<x+4的解集为(一1,4).

(1)求/(x)的解析式；

(2)若“X)在［—1,冋上的值域为［—1,3］,求实数加的取值范围.

【正确答案】(1)f(x)^x2-2x

⑵［1,3］

【分析】(1)若选择①，设/(x)=ax2+bx+c(〃H0),根据条件代入列出关系式，求解

即可；若选择②，设/(x)=ax2+bx+c(aH0),原题可转化为已知一元二次不等式的解

集求系数，根据一元二次方程与不等式的关系即可得出答案.

(2)由二次函数的性质求解即可.

【小问1详解】

设/(x)=ax?+bx+c(aH0),由/(0)=0得，c=0,BP/(x)=ax20),

若选择①：则a(x+2)~+b(x+2)=a(x+iy+b(x+l)+2x+l,

即2ax+3。+b=2x+1,

则2a=2,3a+b=\,解得。=1,A=—2,即=2x；

若选择②：则不等式④^+伍―l)x-4<0的解集为(一1,4),即a〉0,且方程

ax?+(b—l)x-4=0的两根为-1和4,

则(―1)+4=—曰，(-1)x4=—,解得a=l,b=-2,即/(x)=f-2x；

【小问2详解】

由(1)知，函数/(x)=f-2x开口向上，

对称轴为直线x=l,且/(1)=-1,/(—1)=3,

若/(%)在[-l,m]上的值域为[-1,3],则加2],

令Y—2x=3,解得x=—l或x=3,根据二次函数的图象知，m<3,

综上所述：实数加的取值范围为卩,3].

21.某医院购入一种新型空气消毒剂，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的该消毒剂，空

气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随时间x(单位：小时)的变化关系为：当0WxW4

1A1

时，y=-----1；当4<xW10时，»=5--x.若多次喷洒(或一次喷洒多个单位)，则

”8-x2

某一时刻空气中该消毒剂的浓度为每次投放的消毒剂(或每个单位的消毒剂)在该时刻所释

放的浓度之和.由实验知，当空气中该消毒剂浓度不低于4(毫克/立方米)时，才能起到有

效杀毒的作用.

(1)若一次喷洒2个单位的该消毒剂，则有效杀毒时间可达多久？

(2)若第一次喷洒2个单位的该消毒剂，6小时后第二次喷洒44)个单位的该消毒

剂，要使第二次喷洒后的4小时内能够持续有效杀毒，试求。的最小值.(最后结果精确到

0.1,参考数据：V2«1.4)

【正确答案】(1)3小时

3

(2)1.6

【分析】(D根据喷洒2个单位的净化剂后浓度为/(x)=2y=，8—x'一一，由

[10-x,4<x<10

/(x)24求解；

(2)分别求出第一次喷洒2个单位消毒剂和第二次喷洒个单位该消毒剂，接

下来4个小时的浓度m=4-x,y2=^--a,则接下来4个小时内空气中该消毒剂的总

8-x

浓度为加=%+%=4—x+空巴—a(0Vx«4),化简利用基本不等式求解.

8-x

【小问1详解】

'32

“、------2,04x44

一次喷洒2个单位的该消毒剂，其浓度为/(x)=2_y="—x,

10-x,4<x<10

328

当04x<4时，，------2>4,即一WxW4；当4<x«10