2024年上海市数学高考名校模拟题分类汇编-坐标平面上的直线含详解

备战2024高考优秀模拟题分类汇编（上海专版）一一坐标平面上的直线

一、填空题

1.（2223上•普陀•模拟预测）直线y=2与直线y=2尤-1的夹角大小等于.

[x+my=2

2.（22・23上•崇明•一模）已知方程组J。无解，则实数加的值等于_____.

[mx+vby=8

3.（2223上•嘉定•一模）直线x=l与直线6-y+1=0的夹角大小为.

4.（22.23上•上海•模拟预测）已知直线丸：办+①-l）y+3=0,4：2x+ay-1=。，若/—/?，则实数”的值是.

5.（2223下•普陀•阶段练习）设〃=。,1）是直线/的一个法向量，则/的倾斜角的大小为.

6.（2223下•黄浦•期中）过尸（-2,〃7）。（加,4）两点的直线的倾斜角为45,那么加=.

7.（2324上•松江•阶段练习）若直线/的一个方向向量d=（3,1）,则直线/的倾斜角是.

8.（2223下•嘉定•阶段练习）直线y=2与直线3x-y+l=O的夹角的正弦值为.

9.（23・24上・浦东新•期末）直线龙-由y+2=。与直线后+2y=l所成夹角的余弦值等于

10.（2223上•静安•一模）若直线x+2y+3=O与直线2x+〃h+10=。平行，则这两条直线间的距离是.

11.（2223下•上海•阶段练习）平行直线无+退、+君=0与后+3>-9=0之间的距离为.

12.（2223•浦东新•模拟预测）过点（3,-2）且在x轴，y轴上截距相等的直线方程为

13.（2223・青浦・二模）过点P。,-3）与直线x+括y+l=0垂直的直线方程为.

14.（2223•徐汇・三模）已知直线4：x+y=0,/2:ax+2y+l=0,若则。=.

15.（2223・长宁•三模）已知直线4：x+y=0和&:2x-殁+3=0（aeR）,^41Z2,贝!|a=.

16.（2223下•松江•阶段练习）斜率为左的直线/过点A（0,2）,〃为直线/的一个法向量，坐标平面上的点8满足条件

In-AB|=|711,则点B到直线I的距离为.

17.（2324上•虹口•期中）设点”（2,3）,若直线/经过点H,且与直线OH垂直（。为坐标原点），则直线/的方程

为.

18.（2324上•浦东新•阶段练习）方程|x|+|y|=l所表示的图形围成的区域的面积是.

19.（2324上•浦东新•开学考试）已知定点尸（6,4）与定直线3y=4x,过尸点的直线/与4交于第一象限。点，与x

轴正半轴交于点M,求使,OQM面积最小的直线方程为.

20.（22-23上•青浦•一模）在平面直角坐标系中，4。，0）,现,2）两点绕定点尸按顺时针方向旋转。角后，分别到4（4,4）,

夕（5,2）两点位置，贝ijcos。的值为

21.（2223上彳余汇•一模）已知正实数。/满足3a+防=6,贝略+,片+）2一？—1的取最小值________.

2?

22.（2223下.静安.阶段练习）罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线c：/+y3=i的性质，

其形美观，常用于超轻材料的设计.曲线C上的动点到原点的距离的取值范围是.

二、单选题

23.（2223•黄浦・二模）若直线=0与直线3x-ay+2=0垂直，则实数a的值为（）

A.1B.-C.-D.-

2244

24.（2223•浦东新•模拟预测）设点尸（x,y）满足ax+by+c=O,则“6=2a”是"|尤+2y+2|+|尤+2丫一1|为定直，的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

25.（22.23下•上海•阶段练习）已知直线4：x+ay—2=。，Z2:（a+1）%—ay+1—0,贝!Ja=—2是4〃4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

26.（2223•松江•二模）已知直线4："+'+1=0与直线4：x+ay—2=0,则乜色"是'。=1”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

27.（2223・静安•二模）设直线/|"-2'-2=0与/2关于直线/：2彳-丫-4=0对称，则直线4的方程是（）

A.11元+2y-22=0B.llx+y+22-O

C.5x+y-ll=0D.10x+y-22=0

28.（22・23下•松江•阶段练习）若对一个角.目0,2兀），存在角/e[0,2兀）满足cos（a+0=cosa+cosQ，则称△为a

的“伴随角”.有以下两个命题：

①若04鼾，则必存在两个“伴随角”匹[°，2兀）；

②若则必不存在“伴随角[0,2封；

则下列判断正确的是（）

A.①正确②正确；B.①正确②错误；

C.①错误②正确；D.①错误②错误.

29.（2324上•奉贤•阶段练习）已知函数〃x）=j_2]x+i1+2x<o若存在唯一的整数“，使得3〃x）-2<°成立'则

所有满足条件的整数。的取值集合为（）

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}

C.{-1,0,1,2}D.{051}

三、问答题

30.（2324上.静安•期中）已知直线4过点A（2,l）且它的一个法向量为（1,2）,直线4：3x+oy=6

⑴写出直线乙的方程，并求当。=-2时，4与4的夹角仇

⑵若4〃4,求实数。的值，并求此时直线乙到直线4的距离d.

备战2024高考优秀模拟题分类汇编（上海专版）一一坐标平面上的直线

一、填空题

1.（2223上•普陀•模拟预测）直线y=2与直线y=2尤-1的夹角大小等于.

【答案】arctan2

【分析】求出两直线的倾斜角，从而得到夹角的大小.

【详解】y=2X-1的斜率为2,倾斜角为8=比或0112,

y=2的斜率为0,倾斜角为2=0,故两直线的夹角为，—a=arctan2

故答案为：arctan2

fx+my=2

2.（22・23上•崇明•一模）已知方程组J。无解，则实数用的值等于_____.

[mx+loy=8

【答案】-4

fx+my=2

【分析】方程组J。无解，转化为直线%+冲=2与直线妙+16y=8平行，即可解决.

[mx+loy=6

fx+my=2

【详解】由题知，方程组J。无解，

[mx+loy=8

所以直线1+冲=2与直线如+16y=8平行，

所以16-疗=0,解得加=±4,

当机=4时，两直线重合，方程组有无数解，不满足题意，

当m=T时，两直线平行，方程组有无解，满足题意，

故答案为：—4

3.（2223上•嘉定•一模）直线x=l与直线血..>+1=0的夹角大小为.

rr

【答案】g/30

O

【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角.

【详解】因为直线X=1的斜率不存在，倾斜角为B，

直线氐-y+l=0的斜率为由，倾斜角为三，

故直线x=l与直线JK-y+l=O的夹角为m=

236

JT

故答案为：—.

O

4.（22-23上•上海・模拟预测）已知直线4:依+（a—l）y+3=0,4：2%+政一1=0,若4_L，2，贝！J实数a的值是

【答案】。=0或〃=_1

【分析】根据向量垂直列方程，化简求得。的值.

【详解】由题意可知/JL故2。+。（。-1）=0,即1+心。

解得。=0或a=—1.

故答案为:a=0或。=-1

5.（2223下•普陀•阶段练习）设”=（1,1）是直线/的一个法向量，则/的倾斜角的大小为.

【答案】135

【分析】由题意求出直线斜率，进而可求出结果.

【详解】因为“=（1,1）是直线/的一个法向量，

所以直线/的斜率为：k=-1,

所以/的倾斜角的大小为135.

故答案为：135.

6.（2223下•黄浦•期中）过尸（-2,机）、Q（a,4）两点的直线的倾斜角为45,那么加=.

【答案】1

【分析】根据给定条件，利用直线斜率的定义及坐标公式求解作答.

【详解】依题意，直线PQ的斜率原°=tan45=1,又原°=上々，贝=解得根=1,

m+2m+2

所以m=1.

故答案为：1

7.（23・24上•松江•阶段练习）若直线/的一个方向向量d=（3,1）,则直线/的倾斜角是.

【答案】arctan|

【分析】根据直线/的一个方向向量d=（3,l）,设直线/的倾斜角为则tana=g,由此得到直线的倾斜角.

【详解】直线/的一个方向向量〃=（3,1）,

设直线/的倾斜角为a,则tana=g,

171

又因为04蟆＜兀，且tancr=-＞0,所以。＜c＜一,

32

所以a=arctang.

故答案为：arctan!.

8.（2223下•嘉定•阶段练习）直线y=2与直线3x-y+l=0的夹角的正弦值为.

【答案】1^2/—710

1010

【分析】依题意得到两直线的倾斜角的正切值，设两直线夹角为凡则tan6=3,再根据同角三角函数的基本关系

计算可得.

【详解】设，=2的斜率为左，由y=2得%=tanq=。，

设3x—y+l=0的斜率为攵2,由3x—y+l=0得左2=tan%=3,

兀

设两直线夹角为凡0,—,则tan<9=tan&=3,

Xtan=-S^n^=3sin26^+cos20=1^解得sin。或sin8=一（舍去）.

cosd1010

故答案为：亚

10

9.（2324上.浦东新•期末）直线x-后y+2=0与直线后+2y=l所成夹角的余弦值等于

【答案】叵

14

【分析】先根据题意得到两直线的斜率，进而得到直线x-也y+2=0的倾斜角为B，设直线g"x+2y=1的倾斜角

O

7T

为凡则两直线的夹角为兀-e+m，再由同角三角函数的基本关系及两角和差公式计算可得.

【详解】直线X-若V+2=0,即y=且x+迈，则其斜率为左=1,倾斜角为g

33136

直线V§x+2y=l,即y=x+—,则其斜率左2二-@<o

,…2222

设直线石x+2y=1的倾斜角为6,则tane=-，^>-V^=tan@，

23

2冗

又046<兀，所以3-<。<兀，

r-p-i、［c兀兀兀兀—r-兀/）兀5兀

所以0<兀一6<一,—<7i-0+—<—,而一<8——<—,

3662266

所以两直线的夹角为兀-6+2，

6

又因为si"/=-^-,sin2^+cos2^=1,

cos02

刖夕22币.06而

贝！Jcos”=——7==--------,sin"=-=------，

V77V77

由2C兀）兀）n71...71（2近］石庖1庖

所以cos兀一"+—=-cos9—=-coscossinsin—=--------x--------------x—=------,

I6JI6J66［）27214

故所求夹角的余弦值为叵.

14

故答案为：叵.

14

10.（2223上・静安•一模）若直线%+2y+3=0与直线2%+切+1。=。平行，则这两条直线间的距离是.

【答案】Ml/马卡

55

【分析】运用两直线平行求得”的值，再运用两平行线间的距离公式可求得结果.

【详解】由直线x+2y+3=0与直线2%+冲+1。=。平行，

可知"2—2x2=0,即m=4,

故直线2%+切+10=0为2%+4丁+10=0,

直线x+2y+3=0变形得2%+4y+6=0,

故这两条直线间的距离为d=尸a=拽，

V22+425

故答案为：吟

11.（2223下•上海•阶段练习）平行直线x+退y+6=0与后+3y-9=0之间的距离为

【答案】2M

【分析】直接由平行线的距离公式求解即可.

【详解】直线gx+3y-9=0即为x+Gy-3百=0,

贝I平行直线x+6y+百=0与6x+3y—9=0之间的距离为曲士士@二2石.

V1+3

故答案为：2A

12.（2223•浦东新•模拟预测）过点（3,-2）且在x轴，y轴上截距相等的直线方程为

【答案】2x+3y=。和x+y-l=。

【分析】根据斜率是否为0,分两种情况，结合直线的截距式方程即可求解.

【详解】当直线经过原点时，此时直线方程为2x+3y=0,且在x轴，y轴的距离均为0,符合题意，

当直线在x轴，y轴均不为0时，设直线方程为2+）=l（aw0）,

aa

a―?

将（3,-2）代入得士+上=1,解得。=1,故直线方程为x+y-l=0,

aa

故答案为：2%+3y=0和x+y—1=0

13.（2223・青浦•二模）过点P（L-3）与直线龙+指y+l=0垂直的直线方程为.

【答案】73x-y-3-V3=0

【分析】设所求直线方程为石x-y+c=0,将点尸的坐标代入所求直线方程，求出。的值，即可得出所求直线的方

程.

【详解】设所求直线方程为J£-y+c=0,将点P的坐标代入所求直线方程可得g+3+c=0,

解得C=_3-5

故所求直线方程为下x-y-3-拒=0.

故答案为：瓜-y-3-g'=0.

14.（2223彳余汇•三模）已知直线4：x+y=。，/2:ox+2j+l=0,若1…,则。=.

【答案】-2

【分析】根据给定的条件，利用两直线的垂直关系列式计算作答.

【详角军】若4，4,贝!Jlxa+lx2=0,解得a=-2.

故答案为：-2.

15.（2223・长宁•三模）已知直线4：x+y=0和/2：2彳--+3=0（。€1<）,若4山,则。=.

【答案】2

【分析】直接根据直线垂直公式计算得到答案.

［详解］直线4：x+y=0和（：2x_<2y+3=0（aeR）,41/2,

贝!Jlx2—axl=0,解得a=2.

故答案为：2.

16.（2223下•松江•阶段练习）斜率为左的直线/过点4（0,2）,“为直线/的一个法向量，坐标平面上的点8满足条件

\n-AB|=|H|,则点8到直线/的距离为.

【答案】1

【分析】根据条件求向量AB在法向量九上的投影数量的绝对值即可.

【详解】\n-AB|=||721-||-cos<n,AB>|=>||AB|-cos<n,AB>\=1,即筋在w上的数量投影的绝对值等于1,所以点

5到直线/的距离为1.

故答案为：1

17.（2324上•虹口•期中）设点H（2,3）,若直线/经过点且与直线垂直（。为坐标原点），则直线/的方程

为.

【答案】2x+3y-13=0

【分析】由直线/与直线OH垂直，求出直线斜率，再根据点斜式方程即可求直线/的方程.

32

【详解】因为”（2,3）,所以电H=］,又直线/与直线OH垂直，所以直线/斜率为

2

又因为直线/经过点H,所以直线/的方程为>-3=-§（》-2）,即2x+3y-13=0.

故答案为：2x+3y-13=0.

18.（2324上.浦东新.阶段练习）方程|x|+|y|=l所表示的图形围成的区域的面积是.

【答案】2

【分析】由曲线的方程可得，曲线关于两个坐标轴及原点都是对称的，画出曲线的图象，知曲线围成的区域是边长

为0的正方形，进而求解

［详解］方程|乂+3=1，即x+y=l(xN0,yN0),x_y=l(x20,y<0),

-x+y=l(x<0,3/>0),-x-y=l(xv0,yv0),

故方程表示的曲线围成的图形是正方形，其边长为血，如图所示:

所以方程|x|+|y|=i所表示的图形围成的区域的面积为后x夜=2,

故答案为：2

19.(2324上•浦东新•开学考试)已知定点打6,4)与定直线jy=4x,过尸点的直线/与4交于第一象限。点，与x

轴正半轴交于点M,求使。QM面积最小的直线方程为.

【答案】x+y-10=0

【分析】分斜率存在与不存在两种情况，分别求出。,M坐标，从而表示出QQM的面积，进而可求出OQM的面积

的最小值，得出结果.

【详解】当直线/斜率不存在时，直线,的方程为x=6,由［\好x=以6，得到-324,

即。(6,24),又易知”(6,0),所以-OQM的面积为S=gx6x24=72,

(2)当直线/斜率存在时，不妨设直线/为y-4=左(》-6),

4

令y=。，得至!Jx=6—「

y=4x24左-16

又由消X得到y=

y-4=k(x-6)%—4

4

6——>0

由题知“，得至iU<o,

24A:-16八

此时，。即勺面积为-仙等沙等*,

令3k-2=t,得到左=号，

S_8(3」-2)2_8』_12tl_72

贝I」3一k2-4k~(Z+2)24(/+2)一t2-St-20~।820,

I2

93tt

又因为1_号_与=_20仃+口-+2,又由k=T<0,得到，<一2,故一!<!<0,

tt2U5J532t

(、2”72>72

所以0<_20仕+1]故』=]820、=,此时/=_5,左=_1,

U5J55i-T-TT7

因为40<72,所以使.OQM面积最小的直线方程为y-4=-(x-6),即x+y-10=0,

故答案为：x+y-10=0.

20.(22.23上•青浦・一模)在平面直角坐标系中，4。,。)，3(1,2)两点绕定点p按顺时针方向旋转6角后，分别到4(4,4),

9(5,2)两点位置，则cosd的值为.

3

【答案】-《/-0.6

【分析】根据给定条件，求出点尸的坐标，再借助几何图形结合二倍角的余弦计算作答.

【详解】依题意，点P在线段A4'的中垂线4上，点尸也在线段班'的中垂线4上,

连AB,%),而40,0),3(1,2),A'(4,4),B'(5,2),因此|A®|=|42|=百,

-^\PA'\^PA\,\PB'|=|PB|,即A'P?三AP3,有NA'PB'=ZAPB,于是得NBP3'=ZAR4'=。,

直线4过A4'中点(2,2),而直线A4,斜率为1,则直线丸的斜率为-1,方程为无+>=4,直线4的方程为x=3,

于是得点P(3,D,令直线4交班'于点。(3,2),|PB|=J(3-1)2+(1-2)2=百,\PQ\=l,cosNBPQ弓，

所以cos。=cos2ZBPQ=2cos2ZBPQ-1=2(-^)2-l=-1.

3

故答案为：--

21.(2223上滁汇•一模)已知正实数满足3〃+力=6,则6+4r万三石的取最小值

29

【答案】

【分析】利用代数式和几何图形的关系，将问题转化为距离之和的最小值即可求解.

【详解】设直线3元+2y=6,点P（a,6）在直线3无+2y=6上，且在第一象限,

设点A(O,1),0),

所以6+J/+/-26+1=5++9-if=PM+PA,

点A关于直线3x+2y=6对称的点设为2（加,〃）,

n-l_2

m3m=2一4

则有A解得，13

29

[2n=H

所以PM+B4=?M+依，由图可知，当氏RM在直线％二m时，

29

RVf+依最小，最小值为〃=正，

即b++/一2方+1的最小值为—,

、29

故答案为：—.

22

22.（2223下・静安•阶段练习）罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线匚尤5+,=1的性质，

其形美观，常用于超轻材料的设计.曲线C上的动点到原点的距离的取值范围是.

【答案】

【分析】先设曲线C上的动点为（x,y）,则屋+「再令仁），"2=3,一口+j计算可得的范围.

【详解】由题意知

设曲线C上的动点为（X,y）,到原点的距离为d,

C2A342

贝1]“2=/+>2=炉+1一=3尤3-3X§+1,

令”蓝，则问。/]，贝1」蕾=3r-3/+1=3「-£|+；,

,「11「11

可得屋e_,1,所以de-,1.

故答案为：pl.

二、单选题

23.（2223•黄浦・二模）若直线（a-Dx+y-1=0与直线3x—ay+2=0垂直，则实数。的值为（）

A.1B.-C.-D.-

2244

【答案】B

【分析】根据两条直线垂直的条件列出等量关系式，求得。的值.

【详解】直线（。-l）x+>-1=0与直线3x-ay+2=0垂直，

3

贝l]3（a—l）+lx（—。）=0,解得a=],

故选：B.

24.（2223.浦东新.模拟预测）设点尸（x,y）满足以+6y+c=0,贝上6=2a”是“卜+2丫+2|+|》+2>一1|为定值”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据几何意义，将所求式转化为点到直线的距离，进而研究图像求解.

【详解】若卜+2.+2|小+2._121+々+2仆+"I为定值,

即点P（x,y）至U直线尤+2y+2=。，x+2y-l=。两条直线距离之和为定值，

显然，这两条直线平行，如图，

1P

1^0

|x+2y+2=0

所以当点尸（x,y）在与这两条直线平行的直线上时，此时直线依+处+c=0满足必彳0且6=2°,

即b=2a,且awO,£>wO,|x+2y+2|+|x+2y—为定值，

所以“b=2a”是"|尤+2y+2|+|x+2y-1|为定值”的必要不充分条件.

故选：B

25.(22・23下•上海•阶段练习)已知直线(：x+ay-2=0,l2:(a+V)x-ay+l=0,贝l]a=-2是丸〃/?的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先利用两直线平行的公式求出。，再确定充分性和必要性即可.

【详解】当时，一。=。（。+1）,解得a=0或a=-2,

当a=-2时，直线/1:x-2y-2=0,l2:-x+2y+l=0,此时两直线不重合，

当a=0时，直线4：x-2=O,l2:x+l=0,此时两直线不重合，

即a=0或a=—2时，//12,

故a=-2是4〃4的充分不必要条件.

故选：A.

26.（2223•松江•二模）已知直线"+y+l=0与直线Z”x+ay-2=0,贝『”//父是“a=l”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】B

【分析】由〃4,求得。=±1，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由题意，直线（：ax+y+l=0,直线4：x+ay-2=。，

因为/他，可得axa=lxl,aw-2,BPa2=1,解得a=±l,

所以“〃/夕'是“a=1”的必要非充分条件.

故选：B.

27.（2223・静安•二模）设直线4：x-2y-2=O与4关于直线，：2x-y-4=0对称，则直线/2的方程是（）

A.llx+2y—22=0B.llx+y+22=0

C.5x+y—11=0D_1Ox+_y_22=0

【答案】A

【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线4上一点，即可求解.

x—2y—2=0

【详解】联立

2x-y-4=0

取直线4:尤-2y-2=。上一点(0,-1),设点(0,-1)关于直线/:2元-y-4=。的对称点为(a,6),则＜

直线4的斜率k=g所以直线12的方程为y=~(x-2),

整理为：Hx+2y-22=0.

故选：A

28.(22・23下.松江.阶段练习)若对一个角£40,2兀)，存在角/e[0,2兀)满足cos(a+0=cosa+cosQ,则称夕为a

的“伴随角”.有以下两个命题：

①若力翳，则必存在两个“伴随角”马°，2兀)；

②若ae10,号，则必不存在“伴随角”e[0,271)；

则下列判断正确的是()

A.①正确②正确；B.①正确②错误；

C.①错误②正确；D.①错误②错误.

【答案】B

【分析】将已知方程变形为(cosa-l)cos/7+(-sina)sin/7=cosa,则(cos分,sin0为直线

(cosa-l)x+(-sina)y=cosa与单位圆/+,2=i的交点.用圆心到直线的距离解决问题

[详解】将已知方程变形为(cosa-1)cos/7+(-sina)sin£=cosa,

则(cos^,sin0为直线(cosa-l)x+(-sina)y=cosa与单位圆x*2+y2=1的交点.

考虑圆心到直线的距离

cosa“一

-t,其中/=sm•—a.

2

1V2

对于①，若ai,即d<l,

直线与圆必有两个不同交点,

(00$;?511四)为直线(00$(/-1)彳+(-110/=<：0$0与单位圆x2+y2=1的交点,

故必存在两个“伴随角”f3e[0,2兀)，即①正确;

对于②若a,贝于是d=五-fe,

即直线与圆可能公共点，故可能存在“伴随角”尸e[0,2兀)，即②错误；

综上，①正确②错误，

故选:B.

【点睛】关键点点睛：把3$月511月)转化为直线(00$。-1)%+()11&)丁=8$戊与单位圆/+>2=1的交点是解题的

关键点.

1>0X—