湖南省长沙市某中学2023-2024学年高一年级上册入学数学考试 含解析

长郡中学2023级高一入学检测试卷

数学试题

时量：90分钟满分：100分

一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个

选项是符合题目要求的.

1.已知”是旧的小数部分，则"（"+6）的值为（）

A.V13B.4C.4-V13D.3V13-16

【答案】B

【解析】

【分析】先确定旧的范围，再表示出然后代入“（。+6）中计算即可

【详解】因为也<屈<屈,即3<"耳<4，所以。=屈一3，

所以“（4+6）=（屈—3）（屈一3+6）=（屈『-32=4,

故选：B

2.如果不等式3X—的正整数解是1,2,3,4,那么根的取值范围是（）

A.12<m<15B.12<m<15C.m<15D.m>12

【答案】A

【解析】

【分析】先解出不等式的解，然后利用正整数解列不等关系，求解即可.

【详解】解不等式3X-mW0得xvg,当/在大于等于4小于5的范围之内时，

不等式3%-机40的正整数解是1,2,3,4,所以44%<5,解得12W机<15.

3

故选：A

3.如果一个多边形的内角和是它外角和的4倍，那么这个多边形的边数为（）

A.6B.8C.9D.10

【答案】D

【解析】

【分析】利用多边形内角和公式根据题意列方程求解即可

【详解】设这个多边形的边数为〃，

因为多边形的内角和是它外角和的4倍，

所以（〃-2>180°=4x360°,解得〃=10,

故选：D

4.如图，在YA8CD中，NDW与/CH4的平分线相交于。C边上的一点E,若AE=3,BE=2,

则YA8CD的面积为（）

【答案】B

【解析】

【分析】由平行四边形性质和角平角线的性质可得则可求出.ABE的面积，从而可求出

YABCD的面积

【详解】因为四边形ABC。为平行四边形，所以A£>〃BC,

所以NZMB+NABC=180°,

因为ND43与/C84的平分线相交于0c边上的一点E,

所以NEAB=-ZDAB,ZABE=-ZABC,

22

所以ZEAB+ZABE=；（NDAB+ZABC）=90°,

所以ZAEB=90。，所以SABE=gAE-5E=gx3x2=3,

所以YABC。的面积为2sA班：=2x3=6,

故选：B

5.若关于x的分式方程。+—=2根无解，则机的值为（）

x—22—x

A./w=l或wi=­B.m——C.m—\D.m=-\

22

【答案】A

【解析】

【分析】根据解分式方程的步骤，结合分式的性质进行求解即可.

【详解】由题意可知：x72,

-------1-------=2m=>x-2m=2m（x-2）n（2m-l）x=2m,

JC22JC

当2加一1=0时，即机=工时，方程(2加一l)x=2加无实根，符合题意；

当2机一1。0时，即〃zw—时，(2根-l)x=2m=>x=------,

2'72m-l

要想方程无解，只需------=2=>/〃=1,

2m-l

故选：A

6.如图，一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为20、3、2,A和8是这个台阶两个相对的端点，点

A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是()

A20

R

A.15B.20C.25D.27

【答案】C

【解析】

【分析】先将已知图形展开，三级台阶平面展开图为长方形，长为2(),宽为(2+3)x3=15；再根据两点之

间，线段最短可得蚂蚁沿台阶面爬行到8点的最短路程是此长方形的对角线长，然后运用勾股定理可完成

解答.

【详解】如图所示：

三级台阶平面展开图为长方形，长为20,宽为(2+3)*3=15,

则蚂蚊沿台阶面爬行到8点的最短路程是此长方形的对角线长.

可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程为x,

由勾股定理得：x2=202+6=252,

解得：x=25,

即蚂蚁沿台阶面爬行到8点的最短路程为25.

故选：C

7.如图，在平面直角坐标系中，一次函数丫=履+匕的图象经过正方形0ABe的顶点4和C,已知点A的

坐标为（1,-2）,则k的值为（）

【答案】C

【解析】

【分析】过点C作轴于点H,过点A作AGLy轴于点G,易证AG<9=OHC（AAS）,根据全

等三角形的性质，求出点C坐标，利用待定系数法求解即可.

【详解】过点。作轴于点”，过点A作AGJ_y轴于点G,如图所示：

ZHCO+ZHOC=90°,

ABCO是正方形，

:.OA^OC,ZCOA=90°，

:.Z.COH+ZAOG=9G)°,

:.ZAOG=ZHCO,

AGO=OHC(AAS),

:.HC=OG,HO=GA,

4L-2),

:.GA=\,OG=2,

C(2,l),

将A,C点坐标代入丫=依+匕,

[k+b=-2

得《，

\2k+b=\

解得我=3,

故选：C

8.如图，A8是半圆0的直径，点C,。在半圆上，CD=DB，连接OC,CA,0D,过点B作

S2

EB上AB，交。。的延长线于点E.设4MC的面积为5,OBE的面积为邑，若£"=可，则

tanZ4CO的值为（）

A.y/2B,C.-D.-

352

【答案】A

【解析】

S2

【分析】过点。作C”_LAO于点"，根据8=8。，可得NCOD=NBOE=NCAO,再由U=W

DA3

「HAH2C'l-J

得——=——=-,设A〃=2求出S,再由tan/A=J可得答案.

BEOB3AH

【详解】如图，过点C作C”,AO于点〃，CD=BD，：/COD=NBOE,

:.NCOA=TI-2NCOD,

而AOCA=ZOAC,NCOA=兀-2ZCAO,

/.NCOD=ZBOE=ZCAO,

$_2-OACH2cH2

寸…兀嬴T3”二『

2

ZA=ZBOE,tanZA=tan/BOE,—

AHOB

CHAH2

即Hn——==-，

BEOB3

设AH=2,则BO=3=AO=CO,:.OH=3—2=1,

:.CH=79^1=26r.tan/A=空=拽^=正，

AH2

OA—OCy二.NA=/ACO,「.tan/ACO=>/2.

故选：A.

AHOB

二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.

9.设点P(x,y)在第二象限内，且国=3,例=2,则点尸关于原点对称点为.

【答案】(3,-2)

【解析】

【分析】根据已知求出点尸的坐标即得解.

【详解】因为国=3,|y|=2,所以x=±3,y=±2.

又因为点P(x,y)在第二象限内，所以x=-3,y=2.

所以点P(x,y)坐标为尸(―3,2).

所以点尸关于原点的对称点为(3,-2).

故答案为：(3,-2)

2x+y=3。

10.关于的二元一次方程组《二八的解是二元一次方程x+3y=24的一个解，则。=

x-2y=9a

【答案】-4

【解析】

【分析】先解方程组，得到用“表示羽》的式子，再代入x+3y=24解出。的值即可.

2x+y=3a®__

【详解】\z①x2+②得5x=15a,解得x=3a,

x-2y=9。②

再将x=3a代入①得y=-3a,

将(3a,-3。)代入x+3y=24得3a+3x(-3a)=24,解得a=-4,

故答案为：-4

11.二维码的图案主要由黑、白两种小正方形组成.现对由4个小正方形组成的“卜H”进行涂色，每个

小正方形随机涂成黑色或白色，则恰好涂成两个黑色和两个白色的概率为.

3

【答案】-##0.375

O

【解析】

【分析】利用列举法计算古典概型即可.

【详解】把小正方形依次为标记4、B、C、。四个区域，则每个区域都有两种颜色可涂，共

2x2x2x2=16种涂色方法，而涂黑色的区域有4B,AC,AD,BC,BD,CD,共6种可能，即恰好涂

成两黑两白的概率为二=1.

168

、3

故答案为：—

O

12.如图，地。是边长为6的等边三角形，点E为高8。上的动点.连接CE,将CE绕点C顺时针旋转

60。得到CE连接A凡EF,DF,则_8产周长的最小值是.

【解析】

【分析】由已知条件可得二CBE三VCAF(SAS),则得ZCAF=/CBE=30，作点。关于川的对

称点C',连接。C,设CC交A尸于点。，则当。，凡C'三点共线时，取得最小值，再结合

已知条件可求出二CDF周长的最小值

将CE绕点C顺时针旋转60得到CF，且丛8C是边长为6的等边三角形，

:.CE=CF,ZECF=ZBCA=60,6C=AC,:.NBCE=NACF,

.《BE合C4F(SAS),ZCAF=ZCBE=30,

•・•点产在射线A尸上运动，

如图，作点C关于”的对称点C',连接。C',

设CC交■于点。，则NAOC=90,

在Rt_AOC中，ZCAO=30>则CO=」AC=3,

2

则当D,F,C'三点共线时，取得最小值，

即FC+FD=F'C'+F'D=C'D,

CC=AC=6,ZACO=NCCD,CO=CD,

:.^ACO=^CCD(SAS),ZC'DC=ZAOC=90,

在qC'DC中，C'D=VCC2-CO2=V62-32=373>

：._CDF周长的最小值为CD+FC+FD^CD+C'D^3+343-

故答案为：3+30.

三、解答题：本题共4小题，共52分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

13.如图，AB是。。的直径，C,。是。O上两点，点C是80的中点，过点C作AO的垂线，分别交

A8与力。的延长线于点E和点F.

(yA

BD

E

（1）求证：E尸是。0的切线；

（2）若AE=6,CE=2百，求AC的长.

【答案】（1）证明见解析

4

（2）-71

3

【解析】

【分析】（I）连接OC8O,则OCJ.BO,BDLAD，再结合已知可得从而得

OCLEF,进而可得结论，

（2）设OC=r,在△OCE中利用勾股定理可求出厂，则可求出NEOC=60，所以NAOC=120，

然后利用弧长公式可求得结果.

【小问1详解】

连接0C,8£>,

EF±AD,：.BD//EF,：.OC±EF,：.EF是［O的切线.

【小问2详解】

设OC=r,则OE=AE-OA=6—r,OC1EF,EC=273,

.•.产+(2百了=(6-r)2,解得r=2，

OC21

在RtOCE中，coszi<EOC=----,

OE42

.・./EOC=60,ZAOC=120.

120xnx24

AC的长二-----------------——71

1803

14.为了了解学生关注热点新闻的情况，"两会''期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况

作「调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）.

（1）该班级女生人数是,女生收看“两会”新闻次数的中位数是;

（2）对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比

叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%,试求该

班级男生人数；

（3）为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量（如表）.

统计量平均数（次）中位数（次）众数（次）方差L

该班级男生3342L

根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量，进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的

波动幅度大小.

【答案】（D女生人数是20,中位数是3

（2）男生人数为25人

（3）男生比女生的波动幅度大

【解析】

【分析】（1）根据题目数据及中位数的定义直接计算即可；

（2）先求出女生对“两会”新闻的"关注指数”，即可得男生对“两会”新闻的“关注指数”，列方程解答即可;

（3）利用方差公式求解女生收看“两会”新闻次数的方差，即可比较大小.

【小问1详解】

该班级女生人数是2+5+6+5+2=20,女生收看“两会”新闻次数的中位数是3.

【小问2详解】

13

由题意：该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为——=65%,

20

所以男生对“两会”新闻的“关注指数''为60%.

设该班的男生有x人，则.一（1+3+6）=60%,解得尤=25.

X

【小问3详解】

该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为=3,

20

女生收看“两会”新闻次数的方差为

2X(3-1)2+5X(3-2)2+6X(3-3)2+5X(3-4)2+2X(3-5)2_13

-^6-10'

13

因为男、女生收看“两会”新闻次数的平均数与中位数都相等，而方差2＞主，

10

所以男生比女生的波动幅度大.

15.如图，矩形AOC。中，AO=6,4)=3,点H在线段OC上，将△AO4沿直线折叠得到

YAPH.

(1)当AP经过CQ的中点N时，求点P的坐标；

(2)在(1)的条件下，已知二次函数yn-Y+Zu+c的图象经过A,。两点.若将直线A”右侧的抛物

线沿AH对折，交y轴于点M,请求出AA/的长度.

【答案】(1)P卜夜,6-3五)

⑵40

【解析】

【分析】(1)过点P作川〃CD,交x轴于点/,交A£＞的延长线于点T，则四边形

A"O是矩形，可得AATPRP是等腰直角三角形，再由折叠的性质可得答案，

(2)设AP与抛物线y=—》2+法+。的交点为点M',连接MM',则40=40，由已知可得

A(0,6),D(3,6),代入二次函数解析式中可求出Ac,过点M'作M及，y轴于点R，则得

AR=M'R，设点M'(a,-〃+3a+6),然后列方程可求得结果.

【小问1详解】

过点P作/V〃8,交x轴于点/,交AO的延长线于点T，如图所示：

矩形A08中，AO=CD=6,AD=OC=3,ZOAD=ZADC=ZOCD=90,

则ZAPH=ZATP=ZHJP=90°,

ZAPT+ZHPJ=90°,ZAPT+ZPAT=90°，,ZHPJ=ZPAT,

ATPsPJH,四边形是矩形，

AT=OJ,AO=TJ=6,

AP经过CD的中点N,

AD=DN=3,NDAN=45,

:.AATP,..PJH是等腰直角三角形，

:.AT=PT,PJ=HJ,由折叠的性质可得4O=AP=6,/OA"=/P4"=L/Q4P=22.5,

2

AT=PT=变AP=3五,PJ=HJ=6-3五，

2

AT=OJ=3五，P(3夜，6—3夜).

【小问2详解】

设加＞与抛物线＞=一/+初(:+＜:的交点为点”，

连接MM'，根据折叠性质可知点〃与点M'关于A”对称，如图所示：

由AO=6,=3可得点4(0,6),0(3,6),

（2）由二次函数解析求出AB,C三点的坐标，则可求出直线BC的方程，设尸〃?,；机2-2根+3）,则

。（加，-gm+3）,然后表示出尸。，化简后利用二次函数的性质可求出其最大值，

（3）由题意可得MN〃x轴，然后分a〉0和a<0两种情况分析讨论即可

【小问1详解】

11

299

y=—x_2x+q_]=_（X—Q）2-1（Q为常数，〃w0）,

aa

「•函数图象的顶点坐标为（。,一1）.

【小问2详解】

1

当々=4时，y=-x29-2x+3,

4

・•・当x=0时，y=3,即C（0,3）,

当y=0时，—x2-2x+