2024年电大经济数学基础考核参考答案

电大【经济数学基础】形成性考核册参照答案

《经济数学基础》形成性考核册（一）

一、填空题

「x-sinx不品

l.hm----------=.答案：1

龙？+[无W0

2.设/（%）=',在％=。处持续，则左=__________.答案1

、k,%=0

3.曲线y=«+1在（1,1）时切线方程是答案:y=1/

2X+3/2

4.设函数/(x+1)=/+2x+5，则f\x)=.答案2%

7T7T

5.设〃％)=xsin%,则/〃(])=.答案：—5

二、单项选择题

1.当％f+00时，下列变量为无穷小量的I是（D）

i

「sinx

A.ln(l+x)B.C.ex2D.-------

x+1X

2.下列极限计算对欧I的是（B）

「sinx1

A.lim—=1B.lim—=1C.limxsin—=1D.lim-------=]

%一°xx5XX—>00%

3.设y=lg2x,则dy=(B).

InlO।I,

A.——dxB.---------dxC.-------drD.—dx

2xxlnlOxx

4.若函数/（x）在点xo处可导，则（B）是错误的.

A.函数/（x）在点xo处有定义B.lim/(x)=A，但Aw/(%)

C.函数/（X）在点xo处持续D.函数/(尤)在点xo处可微

5.若/(L)=x,贝U/'(x)=(B

).

X

11D.-1

C.-

AB-二XX

三、解答题

1.计算极限

本类题考核的知识点是求简朴极限日勺常用措施。它包括:

⑴运用极限的四则运算法则;

⑵运用两个重要极限;

⑶运用无穷小量日勺性质（有界变量乘以无穷小量还是无穷小量）

⑷运用持续函数日勺定义。

x?—3x+2

(l)lim^-―

—Ix2-1

分析:这道题考核日勺知识点是极限日勺四则运算法则。

详细措施是:对分子分母进行因式分解,然后消去零因子，再运用四则运算法则限进行计算

及刀目—「(%—1)(%—2)x—21—21

解:原式=hm-----------------=hm-------=-------=——

3(%+1)(%—1)3%+11+12

—5x+6

(2)lim——-——-

t%2-6x+8

分析:这道题考核日勺知识点重要是运用函数的持续性求极限。

详细措施是:对分子分母进行因式分解，然后消去零因子,再运用函数日勺持续性进行计算

&力(%—2)(%—3)%-32-31

解：原式=lim-------------------=lim

%―2(%_2)(x_4)%_2x_42—42

(3)lim

%-oX

分析：这道题考核的知识点是极限日勺四则运算法则。

详细措施是：对分子进行有理化，然后消去零因子，再运用四则运算法则进行计算

解:原式二11m(G学「1二1;lim-

2。X(V1-X+1)X(V1-X+1)2。」1一X+12

2/—3%+5

(4)lim-------------

—83%+2%+4

分析：这道题考核的知识点重要是函数的连线性。

2--+4

2-0+0_2

解:原式二lim―*

—g-243+0+0-3

3+-+—

xx

广、「sin3%

(5)lim--------

sin5%

分析：这道题考核的知识点重要是重要极限的掌握。

详细措施是:对分子分母同步除以x,并乘对应系数使其前后相等,然后四则运算法则和重要极限进行计算

sin3x「sin3x

------々。hm------------々1Q

T3Y33x->o3x313

解：原式=hm.'Ix_=_x--------三==一义一=一

sin5x55sin5x515

--------rlim--------

5x%一。5x

(6)lim--------------

sin(x-2)

分析:这道题考核日勺知识点是极限日勺四则运算法则和重要极限的掌握。

详细措施是:对分子进行因式分解,然后消去零因子,再运用四则运算法则和重要极限进行计算

金力E-IA1-(x+2)(%—2)x—2A1A

确军:原式=lim-------------------=lim(x+2)xlim---------------=4x1=4

%-2sin(x-2)%-2-2sin(x-2)

xsin—+Z?,x<0

x

2.设函数/(%)={a,x=0,

问:(1)当。］为何值时，/(%)在％=。处极限存在?

(2)当a,b为何值时,/(%)在x=。处持续.

分析：本题考核的知识点有两点，一是函数极限、左右极限的概念。即函数在某点极限存在的充足必要条件是该

点左右极限均存在且相等。二是函数在某点持续的概念。

解：(1)由于/(X)在x=0处有极限存在，则有

lim/(%)=lim/(%)

10+

又lim/(%)=lim(xsin—+Z?)=b

x->0-%—(Fx

「”、「sin%、

limj(%)=lim-----=1

%—。+x->0+x

即b=\

因此当a为实数、Z>=1时，/(x)在尤=0处极限存在.

(2)由于/(%)在x=0处持续，则有

lim/(%)=lim/(%)=/(0)

x—>0xf

又/(O)=a,结合(1)可知a=b=1

因此当a=b=1时,/(x)在x=0处持续.

3.计算下列函数的导数或微分：

本题考核的知识点重要是求导数或(全)微分的措施,详细有如下三种:

⑴运用导数(或微分)的基本公式

⑵运用导数(或微分)的四则运算法则

⑶运用复合函数微分法

(1)y=厂+2'+log,x—2~，求y'

分析：直接运用导数的基本公式计算即可。

解：y=2x+2x]n2+—^—

xln2

、ax+b为，

(2)y=------；，求)

cx+a

分析：运用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。

,(ax+b)r(cx+6/)-(ax+b)(cx+d)ra(cx+6?)-(ax+b)cad-be

解:y=------------------------------=------------------=---------

(cx+d)2(CX+J)2(cx+d)2

(3)y=/1，求y'

J3x-5

分析:运用导数的基本公式和复合函数日勺求导法则计算即可。

-11-l-i3-3

解：—「(3一)2(3一)，］(3一)2

(4)y=Vx-xex，求yr

分析：运用导数的基本公式计算即可。

-1--

解：y=(%2)，—(％/)，二1.九2一加、

分析：运用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。

(5)y=sinZzx,求dy

解：yf-smbx-(ax)fsinbx-cosbx(bx)r=ae^sinbx-be^cosbx

dy=y'dx=(ae办sinbx-b*cosbx)dx

i

(6)》=铲十%«,求(1丁

分析：运用微分的基本公式和微分时运算法则计算即可。

j.

解：y=(exy+(x2y=ex(-y+-x2=-^-+-%2

x2x2

ex3-

dy-yrdx=(——-+—x2)tZx

x2

(7)y=cosVx-e3,求dy

分析：运用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算

解：yr=(cosVx)f-(e-x-Y=-sinVx(Vx)r-e-x2(r2y=一变^^+2犹一“

2y1x

(8)y=sin〃％+sin〃％,求>'

分析：运用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算

解：=[(sinx)n]r+(sinnx)'=n(sinx)n~l(sin九)'+cosnx(nx)'=〃(sinx)n~lcosx+ncosnx

(9)y=ln(x+71+x2),求V

分析：运用复合函数的求导法则计算

1I----------11

解：y'-----/(x+J1+/y=----(1+((1+%2)2)r)

1八1八2&1c、1X+Jl+X21

=----(1+—(1+广)2x2x)=---------X—,=

x+Jl+x22x+Jl+x~y\+x~Jl+x2

分析:运用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算

l_11Lsinl11-31

解：y'=(2sinx)'+(x2)，+(x6)，_(五)，=2*ln2(sin—)'——x2+-x6-0

x26

.j.

cS.11112sm；ta211

=2xIn2(----)(—)——x2+—x6=—--------x2+—x6

cosxx26x-cosx26

4.下列各方程中y是x的隐函数，试求V或dy

本题考核的知识点是隐函数求导法则。

（1）%2+y2-xy+3x=1,求dy

解:方程两边同步对x求导得：

（一）'+（/），_（旬y+（3x），=⑴，

2x+2yy'—y—xy'+3=0

y-2x-3

2y-x

dy=yrdx=--2--3分

2y—x

(2)sin(%+y)+=4%，求>'

解：方程两边同步对x求导得：

cos(x+y)x(%+y)'+exyx(xyS=4cos(x+y)x(1+yr)+exyx(y+xy')=4

yr(cos(x+y)+xexy)=4-cos(%+y)-yexy

,4—cos(x+y)―

y-

cos(x+y)+xe'>

5.求下列函数的二阶导数：

本题考核的知识点是高阶导数的概念和函数的二阶导数

(1)y=ln(l+/),求y"

17Y

解:歹=—^(1+/)，=，1T

1+x21+x2

„_2x_2(1+尤2)—2x(0+2x)_2-2/

'1+x2(1+x2)2(1+x2)2

(2)丁=一，求了及了⑴

1--1-13--11--3--1—

y"=(--X22y=__Lx(_£x2)__LX(__*_)X2=-X2+-X2=1

22222244

《经济数学基础》形成性考核册（二）

（一）填空题

1.若Jf(x)dx=2%+2x+c,贝U/(x)=2"In2+2.

2.sin%+c二

3.jf(x)dx=F(x)+ct贝!jj*l-%2)dx=—gb(l—12)+c

4.设函数且[ln(l+x2)dx=0

i-o1j

5.若P(x)=f,dt，贝IP'(x)=-;

7i+%2

（二）单项选择题

1.下列函数中，（D）是工5皿1的原函数.

1,1

A.—cosx2B.2cosxC.—2cosx2D.--cosx^9

22

2.下列等式成立的是（C）.

C.2xcLx=—d(2A)=D.Jdx=d«

A.sinxdx=d(cosv)®B.lnxdx=d(-)

Xln2Jx

3.下列不定积分中,常用分部积分法计算的是（C）.

A.jcos(2x+l)dx,B.Jxjl-YdxC.fxsin2xdxD.[-d%

JJ1+x2

4.下列定积分中积分值为0日勺是（D）.

/•1,16(兀

A.2xdx=2B.dx=15C.cosAri%=0D.sinAdx=0

J-iJ-iJJ—7t

5.下列无穷积分中收敛的是(B).

「+8i「+8ip+00.

A.—dxB.——dxD.Lsinxdx

J12

Jix%

（三）解答题

1.计算下列不定积分

、f(1+x)2

(2)I----广—AJx

JNx

左rrf1+2%+X2

解:原式=f(-)xd.x-=—(-)^+c解：原式=----尸——dx

Jeln3-leJVx

.J_J_3

「x，+2x5+xDdx

24-2-

2%万+—x2+—X2+c

35

(3)(4)---dx

x+21-2%

w#r(x+2)(x-2)12c11

解:原式—I-------------iv——x—2x+c解:原式=——rf-----d(l-2x)

Jx+222Jl-2x

二-gln|l-2R+c

(5)卜，2+/(1%(6)dx

7

解：原式=gj五11d(2+/)解:原式=2jsinVxdVx

12

二—(2+/)2+0=-2cosVx+c

3

(7)fxsin—dx(8)jln(x+l)dx

J2

解：原式=-2Jxdcos—解:原式=xln(x+1)—Jdx

=-2xcos^+4jcos-^tZ(^)

-xln(x+1)-j(1------)dx

x+1

%%

=-2cos—+4sin—+c=xln(x+1)-x+ln(x+1)+c

22

2.计算下列定积分

2

(1)(2)

J-J1i-4k

解：原式=J](l—x)dx+J(x—l)dr解源式=-「e；dd)

JlX

=_g(l_X)22

1

=c2+1-=5-

22

re31,

2

(3)1/----------dx(4)xcos2xdx

1xvl+lnx

K1i£

解：原式二2—,d(lnx+1)解：原式=QJ,xdsin2x

12jl+lnx

]£1f—

=—xsin2x|J--J^sin2xt/(2x)

=2Jl+In%

巳1

=4—2=2二—cos2x2-------

4°2

(5)J】xlnxdx(6)£(l+xe-x)dx

解：原式=JIInMx,2解:原式=〕；&—〕：短e-1

2

12iIe1「

=­xInx----IJxdx

21121

12121

=­e—e+—

244

=y(e2+l)

4

《经济数学基础》形成性考核册（三）

（一）填空题

“04-5」

1.设矩阵人=3-232,则A的元素的3=.答案：3

216-1

2.设43均为3阶矩阵,且阿=怛|=—3,则|—24叫=.答案：一72

3.设均为”阶矩阵，则等式（4-3）2=4-ZAB+I成立的充足必要条件是.答案：AB=BA

4.设均为”阶矩阵,（/—3）可逆,则矩阵A+5X=X0^^X=.答案：（/一3）一1

「100]100

020，则4一|=____________.答案：O’。

5.设矩阵A=

2

00-31

L」00——

L3

（二）单项选择题

1.如下结论或等式对时时是（C）.

A.若A3均为零矩阵，则有A=5

B.若=且AHO,则5=C

C.对角矩阵是对称矩阵

D.若AHO,3Ho，则ABwO

2.设A为3x4矩阵，5为5x2矩阵，且乘积矩阵ACB，故意义，则。?为（A）矩阵.

A.2x4B.4x2C.3x5®D.5x3

3.设A,3均为〃阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（C）.

A.(A+3)T=A1+5、B.(AB)1^A1B1(1|4目=|必D.AB=BA

4.下列矩阵可逆的是（A）.

-123--10-T

11-1r

A.023B.101C.D.

0022

003123

222

5.矩阵A=333时秩是(B).

444

A.OB.1C.2D.3

三、解答题

1.计算

-2iToinri-2

(1)

531O-35

021100

0-30000

3

0

(3)[-l254][0]

-1

2

123-124245

2.计算-122143610

1-3223-13-27

1237192

解-1227120

1-320-4-14

23

3.设矩阵A11求M耳。

0

解由于q=网同

23

22

A11=(-1)2+3(-1)=2

ll=12

0-1

123123

|B|=1120-1-1=0

011011

因此|A目=|耳目=2x0=0

（注意：由于符号输入方面的原因,在题4一题7时矩阵初等行变换中,书写时应把（1）写成①；（2）写成

②；（3）写成③;…）

124

4.设矩阵人=221，确定X的值，使r(A)最小。

110

--

124-I24~⑵+(1)[T]-124124

(3)+⑵

(⑵，⑶))⑶>

解：2211100-1-40-1-4

1102A102-4-702--0

-一—一―_4

9

当"Z时'Q)=2抵达最小值。

「2-532r

5-8543

5.求矩阵4=的秩。

1-7420

4-1123_

-

「2-532I「1-742。-(2)+(1>[-5]

5-85435-8543sia

解：A=((1),(3))、

1-74202-5321

4-11234-1123

--

「1-742o(2)+(3)[-3]1-742O-

027-15-63_JS酎\09-5-21

*09-5-2100000

027-15-6300000

r(A)=2o

6.求下列矩阵的逆矩阵:

1-32

(1)A=-301

11-1

1-32100(2)+(1)31-32100

(3)+⑴b1))

解：[Al]=-3010100-97310⑵+⑶)

11-100104-3-101

「1-32100-⑶+⑵"1-32100-(1)+(3〉[-2]

0-11112⑵IT)01-1-1-1-2⑵+⑶】)

04-3-101001349

1-30-5-8/p>

010237⑴+⑵-3）010r37A】=237

001349001349349

r-13-6—3-

—

（2）A=-4-2—1

211

-13-6-3100-1001—30

⑴+⑵[-3]

w：[AI]=-4-2-1010T-4-2-1010f

211001211001

（2）+（l）-[-4]

-100-13o-100-13o-

⑶+r（l）；2

（1）向（⑵，⑶）

>0-2-1-4130f0112—61f

0112-610-2-1-4130

00-130「00-13o-

G）+⑵-2>0112-61（2）+（3）[-l]->0102-7-1

001012001012

-130

/.A1=2-7-1

012

121

7.设矩阵A=,B=，求解矩阵方程

352

⑴+⑵.2

Tri2ioi（2）+（l）[-3]>-1210-⑵IT）-10-52

解：RM=

」[35010-1-31013-1

-52

A-1

3-1

四、证明题

1.试证：若知之都与4可互换，则用+鱼，用鱼也与A可互换。

证：*.*B{A=ABX,B2A=AB2

:.（B]+B?）A—ByA+B?A—AB、+AB2—A（5+B2）

即用+生也与A可互换。

（gB2）A=B［（B2A）=B［（AB2）=（用A）B2=A（耳岛）

即用色也与A可互换.

2.试证：对于任意方阵A,A+A11,A4\ATA是对称矩阵。

证：••。+篦），"+（。"+4=4+47

A+AT是对称矩阵。

V（AAT）T=（Ar）r.Ar=AAr

AAr是对称矩阵。

V（ArA）r=Ar.（Ar）r=ArA

/.是对称矩阵.

3.设A3均为〃阶对称矩阵，则A3对称的充足必要条件是：AB=BAo

证：必要性：

：与=A,BT=B

若A3是对称矩阵，即（AB），=AB

而（A3）=A，=BA因此AB=BA

充足性：

若AB=BAM（Afi）r=8,A，=BA=AB

AB是对称矩阵.

4.设A为〃阶对称矩阵，B为〃阶可逆矩阵，且3T=3、证明A3是对称矩阵。

证：：Ar=AB-=BT

（B-lAB）r=（AB）J（B-1）r=-Ar-（BT）'=BXAB

AB是对称矩阵.证毕.

《经济数学基础》形成性考核册(四)

(一)填空题

1.函数/(x)=JU+—1—时定义域为________________o答案：(1,2)0(2,4],

In(x-l)

2.函数y=3(%—1了的驻点是,极值点是,它是极____值点。答案：x=l；(l,0)；小。

3.设某商品的需求函数为式p)=10e2,则需求弹性.答案:Ep=-g

4.行列式。」"二.答案：4.

-1-11

5.设线性方程组AX=>,且入>；二；:,贝廿时，方程组有唯一解.答案:fw—1.

00r+10

(二)单项选择题

1.下列函数在指定区间(-8,+8)上单调增长的是(Bo).

A.siaxB,e*C.x2D.3-x

2.设/Xx)=L则”/(初=(C).

X

,1cl2

A.—B.——C.xD.x

XX

3.下列积分计算对时的是(A).

pie—cr1c+cric1o0

A.J1-----------dx=0B.J1-----dx=0C.Jxsimdx=0D.j(x+x3)dx=0

4.设线性方程组=b有无穷多解的充足必要条件是(D).

A.r(A)=r(A)<mB.r(A)<nC.m<nD.r(A)=r(A)<n

X]+%2=a\

5.设线性方程组1%+%3=。2，则方程组有解的充足必要条件是（C）.

匹+2X2+%3=〃3

A.%+。2+。3=0B.%—a?+4=0C.%+%—%=0D.—%+/+4=0

三、解答题

1.求解下列可分离变量的I微分方程：

(1)y=e中

解：虫="."，eydy=exdx^e~ydy=^exdx,-e~y-ex+c

dx

cdyxex

()£=#

解：3y2dy=xexdx^3y2dy=xdexy3=xex-fexdxy3=xex-ex+c

2.求解下列一阶线性微分方程：

(1)/―-^y=(x+i)3

x+1

—『等卜仆/f三dr、

解：y=e，JJ(x+1)eX+1dx+c=21n3D(j(%+*2g%+J=(%+1)2°(%+皿十°

I7

=(x+l)[g(x+l)2+]

(2)yr--=2xsin2x

x

.=^x^2x^2x-e-'axdx+c)

y

1)=x(-cos2x+c)

3.求解下列微分方程的初值问题:

(l)V=e2/y(0)=0

dy_elx

解:

dxey

jeydy=je2xdx

ey=-e2x+c

2

用x=O,y=O代入上式得：

e°=le°+c,解得c=,

22

.♦.特解为：=-e2x+-

22

(2)xyr+y-ex=0,y(l)=0

解：yr+—y=~ex

xx

=—exdx+cj=—(ex+c)

用％=l,y=O代入上式得:

O=e+c解得：c=-e

•••特解为:y=L(/_c)

X

(注意：由于符号输入方面的原因，在题4一题7改(矩阵初等行变换中，书写时应把(1)写成①；(2)写

成②；⑶写成③;…)

4.求解下列线性方程组的一般解:

项+2X3-x4=0

(1)^-Xj+x2-3X3+2X4=0

2x1-x2+5X3-3X4=0

102-1⑵+⑴.1102-1102-1

（3）+⑴[-2]>（3）+⑵）

解：A=-11-3201-1101-11

2-15-30-11-10000

因此一般解为

其中%3，14是自由未知量。

2X]-x2+x3+x41

（2）<$+2X2-x3+4X4=2

x1+7X2-4X3+1lx4=5

~2-111r12-142（2）+（1>[-2]2-142

⑶+（。口］>

解：A=12-142（⑴,⑵））2-11110-53-7-3

17-411517-411505-373

1

12「410

12-1423725

(3⑵）o1

、(2)-15-3（l）+（2}[-2]）g3

0-53-7-351

OO0055

000000000

416

------s

555

由于秩伍）=秩（）因此方程组有解，一般解为<

4=2,337

-+-5

5-5--5

其中％3，彳4是自由未知量。

5.当4为何值时，线性方程组

X]—%2—+4x4=2

2X]-x2+3X3-x4=1

再-

32X2-2X3+3X4=3

7%j-5X2-9X3+10x4=2

有解,并求一般解。

-

1-1-5422)+(1)-[-2]「1-1-542

缶忍.-八一2-13-110113-9-3

"-3-2-2330113-9-3

_7-5-9102_02:>6-182-14

-1-1-542--108-5-1

(3)+(2)-[-1]_c

(4)+⑵1-2]、0113-3⑴+⑵」、0113-9-3

0000000000

00002-8_00002-