中考数学总复习《多解题》专项检测卷附带答案

第页中考数学总复习《多解题》专项检测卷（附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________类型一点位置不确定典例精讲例1(2023抚本铁辽葫黑白卷)如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，AB＝6eq\r(2)，E为射线BC上一点，若∠CDE＝15°，则DE的长为________．【思维教练】∵点E在射线BC上，且∠CDE＝15°，∴分两种情况进行讨论：①E在线段BC上；②点E在线段BC延长线上．例1题图针对训练1.在平面直角坐标系中，点B在y轴的正半轴上，OB＝2eq\r(3)，点A在第二象限，且横坐标为－1.当AB＝AO时，以点O为旋转中点旋转△ABO，使点B落在x轴上，则点A的对应点的坐标是________．2.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝6，连接BD，点P为边AB的三等分点，则tan∠PDB的值为______．第2题图3.在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是AB边上一点，CE＝5，点F是CD边上一动点，若AE＝EF，则四边形AEFD的周长为________．4.(2023抚本铁辽葫黑白卷)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是线段AC上一点，连接BD，将△BCD沿BD所在的直线折叠，点C的对应点为点E，当点E落在△ABC的边所在的直线上时，CD的长为________．第4题图5.已知点A、B在⊙O上，∠AOB＝112°，直线l平分∠AOB，与⊙O交于点C，点D是OC延长线上的一点，当AC＝CD时，∠CAD的度数为______．6.已知四边形ABCD为平行四边形，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，AC⊥BC，点E是平行四边形ABCD边上的点，且AE＝2，则△ABE的面积为________．类型二等腰、直角三角形边或角不确定典例精讲例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，D为BC上一点，连接AD，过点A作AE⊥AD，取AE＝AD，连接BE交AC于点F.当△AEF为等腰三角形时，CD＝________．例2题图【思维教练】△AEF为等腰三角形，需分两种情况进行讨论：①EA＝EF；②AF＝EF.满分技法具体方法见P104微专题与等腰、直角三角形有关的探究——类型一与等腰三角形有关的分类讨论例3在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AD＝6，连接BD，若△ABD为直角三角形，则平行四边形的面积为________．【思维教练】△ABD为直角三角形，需分两种情况讨论：①∠ABD＝90°；②∠ADB＝90°.满分技法具体方法见微专题等腰、直角三角形边或角不确定——类型二与直角三角形有关的分类讨论针对训练1.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E为BC边上一点，将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，连接CF，当△CEF为直角三角形时，BE的长为________．第1题图2.如图，已知四边形OABC是菱形，且OA＝AB＝4，∠OAB＝60°.将线段AB沿线段AC方向从点A向点C平移，记平移中的线段AB为A′B′，当△CA′B′为直角三角形时，AA′的长为________．第2题图3.如图，在平面直角坐标系中，点A(eq\r(5)，0)，点B(0，2eq\r(5))，连接AB，在第一象限内以AB为腰作等腰直角三角形ABC，则点C的坐标为________．第3题图4.(2023沈阳于洪区一模)如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转一定的角度α(0°＜α＜90°)，直线A1C1分别交AB，AC于点G，H.当△AGH为等腰三角形时，则CH的长为________．第4题图5.如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，E为对角线AC上的一点(点E不与点A，C重合)，∠DAC＝30°，CF平分∠ACD交AD边于点F，连接EF.若△CEF是等腰三角形，则CE的长为________cm.第5题图类型三相似三角形对应关系不确定典例精讲例4如图，在△ABC中，AB＝2eq\r(5)，点E是BC上一点，BE＝eq\r(2)，过点E作AC的垂线，交AC于点O，O为AC的中点，连接AE，且AE＝3eq\r(2)，点P是线段AC上一点，连接EP.当△OEP与△ABE相似时，则AP的长为________．【思维教练】△OEP与△ABE相似，需分情况讨论：①△AEB∽△EOP；②△AEB∽△POE.例4题图满分技法具体方法见微专题相似三角形对应关系不确定针对训练1.在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是A(－4，2)、B(－1，－1)，以原点O为位似中心，将△AOB扩大到原来的2倍，则点A的对应点A′的坐标为________．2.在△ABC中，AB＝12，AC＝7，点D在AB边上，且BD＝8，点E在AC边上，连接DE，若△ADE与△ABC相似，则CE的长为________．3.如图，已知AB＝2，AD＝4，∠DAB＝90°，AD∥BC.点E是射线BC上的动点(点E与点B不重合)，点M是线段DE的中点，连接BD，交线段AM于点N，若以点A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，则线段BE的长为________．第3题图4.(2023抚本铁辽葫黑白卷)如图，在平面直角坐标系中，A(0，－3)，B(4，0)，点P是△AOB内一点，PQ⊥OA于点Q，连接AP，OP，若△APQ∽△BAO，且△AOP是等腰三角形，则点P的坐标为________．第4题图类型四特殊四边形边或对角线不确定典例精讲例5在▱ABCD中，BC边上的高为3，AB＝5，AC＝2eq\r(3)，则BC的长为______．【思维教练】BC边上的高为3，设BC边上的高为AE，可分情况讨论：①点E在BC上；②点E在BC的延长线上．针对训练1.在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，且两边长分别为1和2，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点E，连接BE，则BE的长为________．2.如图，A(0，4)，B(8，0)，点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为________．第2题图参考答案类型一点位置不确定例112或4eq\r(3)【解析】∵点E在射线BC上，且∠CDE＝15°，∴存在以下两种情况：①当点E在线段BC上时，如解图①，过点E作EF⊥AD于点F，过点A作AH⊥BC于点H，则四边形AHEF是矩形，∠AHB＝∠DFE＝90°.∵∠B＝45°，AB＝6eq\r(2)，∴AH＝EF＝eq\f(\r(2),2)AB＝6.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠CDA＝45°.∵∠CDE＝15°，∴∠EDF＝∠CDF－∠CDE＝45°－15°＝30°，∴DE＝2EF＝12；②当点E在线段BC延长线上时，如解图②，过点E作EF⊥AD于点F，过点A作AH⊥BC于点H，同理可得EF＝6，∠FDE＝60°，∴DE＝eq\f(EF,sin60°)＝4eq\r(3).综上所述，DE的长为12或4eq\r(3).例1题解图针对训练1.(－eq\r(3)，－1)或(eq\r(3)，1)【解析】∵点B在y轴的正半轴上，OB＝2eq\r(3)，点A的横坐标为－1，AB＝AO，∴A(－1，eq\r(3))，如解图，①当△ABO绕点O逆时针旋转90°，使点B落在x轴负半轴上时，根据旋转的性质A1(－eq\r(3)，－1)；②当△ABO绕点O顺时针旋转90°，使点B落在x轴正半轴上时，根据旋转的性质A2(eq\r(3)，1)；故点A的对应点的坐标是(－eq\r(3)，－1)或(eq\r(3)，1)．第1题解图2.eq\f(1,2)或eq\f(1,5)【解析】如解图①，当点P为边AB的三等分点，且AP＝2时，过点P作PE⊥BD于点E，∵四边形ABCD为正方形，∴∠PBE＝45°，∴PE＝BE＝eq\f(\r(2),2)PB＝eq\f(\r(2),2)×(6－2)＝2eq\r(2)，∵BD＝eq\r(2)AB＝6eq\r(2)，∴DE＝4eq\r(2)，∴tan∠PDB＝eq\f(PE,DE)＝eq\f(1,2)；如解图②，当点P为边AB的三等分点，且AP＝4时，过点P作PE⊥BD于点E，同理可求PE＝eq\r(2)，DE＝5eq\r(2)，∴tan∠PDB＝eq\f(PE,DE)＝eq\f(1,5)，综上所述，tan∠PDB的值为eq\f(1,2)或eq\f(1,5).第2题解图3.22或16【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝4，∠B＝90°.在Rt△BCE中，BE＝eq\r(CE2－BC2)＝3.∵AB＝8，∴AE＝AB－BE＝5.∵AE＝EF，∴EF＝5.分以下两种情况讨论：①当点F与点C重合时，此时四边形AEFD的周长为AE＋CE＋CD＋AD＝5＋5＋8＋4＝22；②如解图，当点F不与点C重合时，过点F作FG⊥AB于点G，则DF＝AG，FG＝AD＝4.在Rt△EFG中，EG＝eq\r(EF2－FG2)＝3.∴AG＝AE－EG＝5－3＝2，∴DF＝2.此时四边形AEFD的周长为AE＋EF＋DF＋AD＝5＋5＋2＋4＝16.综上所述，四边形AEFD的周长为22或16.第3题解图4.eq\f(18,5)或eq\f(30,11)【解析】如解图①，当点E在直线AC上时，过点A作AF⊥BC于点F.∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BF＝CF＝eq\f(1,2)BC＝3，由折叠的性质知，∠BDC＝∠BDE＝90°.∵∠C＝∠C，∴△ACF∽△BCD，∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(CF,CD)，即eq\f(5,6)＝eq\f(3,CD)，∴CD＝eq\f(18,5)；如解图②，当点E在直线AB上时，过点C作CF∥AB，交BD的延长线于点F，则∠ABF＝∠F，由折叠的性质知，∠ABD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠F，∴CF＝BC＝6.∵∠ABD＝∠F，∠ADB＝∠CDF，∴△ABD∽△CFD,∴eq\f(AD,CD)＝eq\f(AB,CF)＝eq\f(5,6)，∴CD＝eq\f(6,11)AC＝eq\f(30,11).综上所述，CD的长为eq\f(18,5)或eq\f(30,11).第4题解图5.31°或14°【解析】①如解图①，当点C在∠AOB的平分线的延长线上时，∵直线l平分∠AOB，∴∠AOC＝eq\f(1,2)∠AOB＝eq\f(1,2)×112°＝56°.又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∴∠ACO＝eq\f(1,2)(180°－∠AOC)＝eq\f(1,2)×(180°－56°)＝62°.又∵AC＝DC，∴∠CAD＝∠CDA.∵∠CAD＋∠CDA＝∠ACO＝62°，∴∠CAD＝eq\f(1,2)∠ACO＝eq\f(1,2)×62°＝31°；②如解图②，当点C在∠AOB的平分线的反向延长线上时，∵直线l平分∠AOB，∴∠1＝eq\f(1,2)∠AOB＝eq\f(1,2)×112°＝56°.∴∠ACO＝eq\f(1,2)∠1＝eq\f(1,2)×56°＝28°.又∵AC＝DC，∴∠CAD＝∠CDA.∵∠CAD＋∠CDA＝∠ACO＝28°，∴∠CAD＝eq\f(1,2)∠ACO＝eq\f(1,2)×28°＝14°.第5题解图6.eq\f(3\r(3),2)或eq\r(3)【解析】∵要求△ABE的面积，∴点E不可能在边AB上，∴分三种情况讨论：①当点E在边AD上时，如解图①，∵AB＝2eq\r(3)，∠ABC＝30°，AC⊥BC，∴AC＝eq\r(3)，BC＝3，∴AD＝BC＝3，∵AE＝2，∴S△ABE＝eq\f(1,2)AE·AC＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)；②当点E在边CD上时，如解图②，此时S△ABE＝eq\f(1,2)S▱ABCD＝eq\f(1,2)BC·AC＝eq\f(3\r(3),2)；③当点E在边BC上时，如解图③，∵AE＝2，AC＝eq\r(3)，∴CE＝1，∴BE＝BC－CE＝3－1＝2，∴S△ABE＝eq\f(1,2)BE·AC＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，综上所述，△ABE的面积为eq\f(3\r(3),2)或eq\r(3).第6题解图类型二等腰、直角三角形边或角不确定例22或6【解析】当EA＝EF时，如解图①，过点E作EH⊥AC于点H.∵EA＝EF，EH⊥AF，∴AH＝FH，∵EA⊥AD，∴∠EAD＝∠EHA＝∠C＝90°，∴∠EAH＋∠CAD＝90°，∠CAD＋∠ADC＝90°，∴∠EAH＝∠ADC，在△EHA和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EAH＝∠ADC,∠EHA＝∠C,AE＝DA))，∴△EHA≌△ACD，∴AH＝DC，EH＝AC＝CB.在△EHF和△BCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EFH＝∠BFC,∠EHF＝∠C,EH＝BC))，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝FC，∴AH＝FH＝CF＝CD，∴CD＝eq\f(1,3)AC＝2，如解图②，当AF＝EF时，点D与B重合，此时CD＝BC＝6.综上所述，满足条件的CD的长为2或6.例2题解图例39eq\r(3)或36eq\r(3)【解析】分两种情况讨论：①如解图①，当∠ABD＝90°时，∵AD＝6，∠A＝60°，∴在Rt△ABD中，AB＝eq\f(1,2)AD＝3，BD＝eq\f(\r(3),2)AD＝3eq\r(3)，∴S平行四边ABCD＝AB·BD＝9eq\r(3)；②如解图②，当∠ADB＝90°时，在Rt△ADB中，∠A＝60°，AD＝6，∴BD＝eq\r(3)AD＝6eq\r(3)，∴S平行四边形＝AD·BD＝36eq\r(3)，综上所述，平行四边形的面积为9eq\r(3)或36eq\r(3).例3题解图针对训练1.3或6【解析】当∠CFE为90°时，A，F，C三点共线，设BE长为x，则CE＝8－x，由翻折可得EF＝BE＝x，AF＝AB＝6，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝10，∴CF＝AC－AF＝10－6＝4，∵∠CFE＝∠B＝90°，∴EF2＋FC2＝EC2，即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3；当∠CEF为90°时，四边形ABEF为正方形，∴BE＝AB＝6，∴综上所述，BE的长为3或6.第1题解图2.eq\f(4\r(3),3)或2eq\r(3)【解析】∵四边形OABC是菱形，∴∠OCB＝∠OAB＝60°，∵AC是菱形OABC的对角线，∴∠BAC＝∠ACB＝30°，∵A′B′∥AB，∴∠CA′B′＝∠CAB＝30°，∵AB＝BC＝4，∴AC＝4eq\r(3)，若△CA′B′为直角三角形，下面分两种情况讨论：①如解图①，当∠A′B′C＝90°时，△CA′B′为直角三角形．∵A′B′＝AB＝4，∠CA′B′＝30°，∴A′C＝eq\f(8\r(3),3)，∴A′A＝4eq\r(3)－eq\f(8\r(3),3)＝eq\f(4\r(3),3)；②如解图②，当∠A′CB′＝90°时，△CA′B′为直角三角形，∴A′C＝2eq\r(3)，∴A′A＝2eq\r(3).综上所述，A′A的长为eq\f(4\r(3),3)或2eq\r(3).第2题解图3.(3eq\r(5)，eq\r(5))或(2eq\r(5)，3eq\r(5))【解析】∵点A(eq\r(5)，0)，点B(0，2eq\r(5))，∴OA＝eq\r(5)，OB＝2eq\r(5)，分两种情况：①∠BAC＝90°，AC＝AB时，如解图①，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠ADC＝90°＝∠BOA，∵∠DAC＋∠ACD＝∠DAC＋∠BAO＝90°，∴∠ACD＝∠BAO，在△ACD和△BAO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADC＝∠BOA,∠ACD＝∠BAO,AC＝BA))，∴△ACD≌△BAO(AAS)，∴AD＝BO＝2eq\r(5)，CD＝AO＝eq\r(5)，∴点C的坐标为(3eq\r(5)，eq\r(5))；②∠ABC＝90°，AB＝BC时，过C作CE⊥y轴于点E，如解图②，同①得△BCE≌△ABO(AAS)，∴CE＝BO＝2eq\r(5)，BE＝AO＝eq\r(5)，∴OE＝OB＋BE＝3eq\r(5)，∴点C的坐标为(2eq\r(5)，3eq\r(5))；综上所述，点C的坐标为(3eq\r(5)，eq\r(5))或(2eq\r(5)，3eq\r(5))．第3题解图4.eq\r(10)－1或1【解析】如解图①，当AG＝AH时，∵AG＝AH，∴∠AHG＝∠AGH，∵∠A＝∠A1，∠AGH＝∠A1GB，∴∠AHG＝∠A1BG，∴∠A1GB＝∠A1BG，∴A1B＝A1G，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴A1B＝AB＝A1G＝5，∴GC1＝A1G－C1G＝1，∵∠BC1G＝90°，∴BG＝eq\r(C1B2＋C1G2)＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10)，∴AH＝AG＝AB－BG＝5－eq\r(10)，CH＝AC－AH＝4－(5－eq\r(10))＝eq\r(10)－1；如解图②，当GA＝GH时，过点G作GM⊥AH于点M.同理可证，GB＝GA1，设GB＝GA1＝x，∴C1G＝4－x，在Rt△BGC1中，BG2＝BCeq\o\al(2,1)＋GCeq\o\al(2,1)，则有x2＝32＋(4－x)2，解得x＝eq\f(25,8)，∴BG＝eq\f(25,8)，AG＝5－eq\f(25,8)＝eq\f(15,8)，易知GM∥BC，∴eq\f(AG,AB)＝eq\f(AM,AC)，∴eq\f(\f(15,8),5)＝eq\f(AM,4)，∴AM＝eq\f(3,2)，∵GA＝GH，GM⊥AH，∴AM＝HM，∴AH＝3，∴CH＝AC－AM＝1.当HG＝AH时，∠HGA＝∠HAG<45°<∠ABC(大边对大角，小边对小角)，∴∠A1HC＝∠HGA＋∠HAG<90°，∴∠C1BC＝360°－90°－90°－∠A1HC＞90°，即旋转角度大于90°，不符合题意．综上所述，满足条件的CH的长为eq\r(10)－1或1.第4题解图5.2eq\r(3)或2【解析】如解图①，当CF＝CE时，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝3cm.在Rt△ACD中，∠DAC＝30°，∴∠ACD＝60°.∵CF平分∠ACD，∴∠FCD＝30°.在Rt△CDF中，CF＝eq\f(CD,cos30°)＝eq\f(3,\f(\r(3),2))＝2eq\r(3)，即CE＝2eq\r(3)；如解图②，当CE＝EF时，得出∠EFC＝∠ECF＝30°.又∵∠DCF＝30°，∴EF∥DC，∴△AFE∽△ADC，∴eq\f(FE,DC)＝eq\f(AE,AC)，∴eq\f(FE,DC)＝eq\f(AC－CE,AC).在Rt△ACD中，∠DAC＝30°，∴AC＝2CD＝6，∴eq\f(FE,3)＝eq\f(6－CE,6)，又∵CE＝FE，∴eq\f(CE,3)＝eq\f(6－CE,6)，解得CE＝2；当FE＝FC时，点E与点A重合，不符合题意，综上所述，CE的长为2eq\r(3)cm或2cm.第5题解图类型三相似三角形对应关系不确定例42或4【解析】由题意得AB2＝(2eq\r(5))2＝20，BE2＝(eq\r(2))2＝2，AE2＝(3eq\r(2))2＝18，∴AB2＝BE2＋AE2，∴∠AEB＝90°，又∵OE⊥AC，且O为AC中点，∴△AEC为等腰直角三角形，∴AE＝EC＝3eq\r(2)，在Rt△AOE中，OE＝OA＝3，△OEP与△ABE相似时可分情况讨论；①当△AEB∽△EOP时，点P在O点右侧时，可得eq\f(BE,PO)＝eq\f(AE,EO)，即eq\f(\r(2),OP)＝eq\f(3\r(2),3)，∴OP＝1，∴AP＝OA－OP＝3－1＝2；当点P在O点左侧时，同理可得，OP＝1，∴AP＝OA＋OP＝3＋1＝4，②当△AEB∽△POE时，eq\f(BE,EO)＝eq\f(AE,PO)，即eq\f(\r(2),3)＝eq\f(3\r(2),OP)，∴OP＝9，∵O为AC中点，∴AC＝2OA＝6，又∵OP＝9＞AC，不符合题意，综上所述，AP的长为2或4.针对训练1.(－8，4)或(8，－4)【解析】以点O为位似中心，将△AOB扩大到原来的2倍，∵A(－4，2)，∴A的对应点A′的坐标为(－4×2，2×2)或(－4×(－2)，2×(－2))，即A′的坐标为(－8，4)或(8，－4)．2.eq\f(14,3)或eq\f(1,7)【解析】∵∠A＝∠A，∴分两种情况：①当eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)时，△ADE∽△ABC，∵BD＝8，AB＝12，∴AD＝4，∴AE＝eq\f(7,3)，∴CE＝7－eq\f(7,3)＝eq\f(14,3)；②当eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)时，△ADE∽△ACB，同理可得AE＝eq\f(48,7)，∴CE＝7－eq\f(48,7)＝eq\f(1,7).综上所述，CE的长为eq\f(14,3)或eq\f(1,7).3.8或2【解析】设BE长为x，若△ADN和△BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，故应分两种情况进行讨论：①如解图①，当∠ADN＝∠BEM时，∠ADB＝∠BEM，过点D作DF⊥BE，垂足为F，tan∠ADB＝tan∠BEM.∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(DF,FE)＝eq\f(AB,BE－AD)，即eq\f(2,4)＝eq\f(2,x－4)，解得x＝8，即BE＝8；②如解图②，过点D作DF⊥BE于点F，∴四边形ABFD为矩形，当∠ADB＝∠BME时，∵∠ADB＝∠DBE，∴∠DBE＝∠BME，∵∠BEM是公共角，∴△BED∽△MEB，∴eq\f(DE,BE)＝eq\f(BE,ME)，∴BE2＝DE·EM，即x2＝eq\f(1,2)DE2＝eq\f(1,2)[22＋(4－x)2]，∴x1＝2，x2＝－10(舍去)，∴BE＝2.综上所述，线段BE的长为8或2.第3题解图4.(eq\f(9,8)，－eq\f(3,2))或(eq\f(9,5)，－eq\f(3,5))【解析】如解图，过点P作PC⊥OB于点C，∵∠AOB＝90°，PQ⊥OA，∴四边形PQOC是矩形，∴CP＝OQ.∵△APQ∽△BAO，∴∠PAQ＝∠ABO.如解图①，当AP＝OP时，∵PQ⊥OA，∴CP＝OQ＝AQ＝eq\f(1,2)OA＝eq\f(3,2)，∵tan∠ABO＝eq\f(OA,OB)＝eq\f(3,4)，∴tan∠PAQ＝eq\f(PQ,AQ)＝eq\f(PQ,\f(3,2))＝eq\f(3,4)，∴PQ＝eq\f(9,8)，此时点P的坐标为(eq\f(9,8)，－eq\f(3,2))；如解图②，当AP＝OA＝3时，∵△APQ∽△BAO，∴∠PAQ＝∠ABO，eq\f(AQ,BO)＝eq\f(AP,BA).∵OA＝3，OB＝4，∴AB＝5，∴eq\