平行四边形的判定课件人教版数学八年级下册2

18.1.3平行四边形的判定八年级下

人教版1.探索并证明平行四边形的判定定理.2.能熟练运用平行四边形的判定定理去计算和证明.学习目标重点难点平行四边形的性质有哪些？平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分.该怎样判定一个四边形是平行四边形呢？新课引入问题1如何寻找平行四边形的判定方法？类比直角三角形的判定，你有思路了吗？直角三角形的性质勾股定理勾股定理逆定理直角三角形的判定新知学习问题2在过去的学习中，类似的情况还有吗？请举例说明.两直线平行，同位角相等.同位角相等，两直线平行.角平分线上的点到这个角两边的距离相等.角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上.我们发现：性质和判定互为逆命题.性质判定平行四边形的性质猜想

(判

定)对边相等对角相等对角线互相平分两组对边分别相等的四边形是平行四边形.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.对角线互相平分的四边形是平行四边形.逆向思考，提出猜想：这些猜想正确吗？猜想1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.如图，在四边形ABCD

中，AB=CD，AD=BC.求证：四边形ABCD

是平行四边形．证明：连接BD,如图.∵AB=CD，AD=BC，BD=DB，∴△ABD

≌△CDB∴∠1=∠2，∠3=∠4.∴AB∥DC，AD∥BC∴四边形ABCD

是平行四边形.1234归纳两组对边分别相等的四边形是平行四边形.平行四边形判定定理1：ABCD数学语言：

∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形.猜想2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.如图，在四边形ABCD

中，∠A=∠C，∠B=∠D.求证：四边形ABCD

是平行四边形．证明：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°.∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°.∴AD∥BC，AB∥DC.∴四边形ABCD

是平行四边形.归纳两组对角分别相等的四边形是平行四边形.平行四边形判定定理2：ABCD数学语言：

∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形.猜想3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.如图，在四边形ABCD

中，AC，BD

相交于点O，且OA=OC，OB=OD.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵

OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB∴△AOD≌

△COB∴∠OAD=∠OCB.∴AD∥BC同理AB∥DC.∴四边形ABCD

是平行四边形.归纳对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行四边形判定定理3：数学语言：ABCDO∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.

由上我们知道，平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理.也就是说，当定理的条件与结论互换以后,所得命题仍然成立.这张图揭示了定义、性质、判定间的逻辑关系，提供了研究几何图形的一般思路.例1如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.ABCDOEF分析：点E，F在平行四边形的对角线上，可考虑利用对角线互相平分来证明四边形BFDE是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，

BO=DO.∵AE=CF,∴AO-AE=CO-CF，

即EO=FO.又BO=DO,∴四边形BFDE是平行四边形.ABCDOEF

变式

如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F

分别在AC

两侧的延长线上，且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.O证明：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，OE=AO+AE，OF=OC+CF，∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形BFDE

是平行四边形.思考

我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢?猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等．反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗?如图，在四边形ABCD

中，AB=DC，AB∥DC.求证：四边形ABCD

是平行四边形.证明：连接AC，如图.∵AB∥DC∴∠1=∠2，

又

AB=DC，AC=AC∴△ABC

≌△CDA∴AD=BC∴四边形ABCD

的两组对边分别相等，它是平行四边形.

猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.ABCD12归纳一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.平行四边形判定定理4：ABCD∵AB//CD，AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.数学语言：

归纳平行四边形的判定方法：1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.判定定理：(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形.(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.例2 如图，在□ABCD

中，E，F

分别是AB，CD

的中点.求证：四边形EBFD

是平行四边形.证明：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴AB=CD，DF

//EB，又

DF=DC，EB=AB.∴DF

=EB，∴四边形EBFD

是平行四边形.随堂练习1.如图是乐乐家中的鞋架及其侧面简易图，若AB＝CD，AF＝CE，∠B＝∠D＝90°，∠BAE＝∠DCF.求证：四边形AECF为平行四边形．第1题图例证明：在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(ASA)，∴AE＝CF，又∵AF＝CE，∴四边形AECF为平行四边形．第1题图2.如图，已知在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线.求证：四边形AFCE是平行四边形.DCBAEF分析：已知AF∥CE，利用定义法来证明FC∥AE进而证明平行四边形；也可通过两组对角分别相等来证明平行四边形.又∵AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线,∴∠DAE=∠BAE=∠DCF=∠BCF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠BCD，∴四边形AFCE是平行四边形.∵AD∥BC,

∴∠DFC=∠FCB,∠DAE=∠AEB,∴∠AFC=∠AEC,

DCBAEF3.如图，分别以Rt△ABC

的直角边AC

及斜边AB

向外作等边△ACD、等边△ABE.且∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.(1)试说明AC=EF；解：(1)在Rt△ABC

中，∠BAC=30°，∴BC=AB，∵△ABE

是等边三角形，EF⊥AB，∴AF=AB，∴BC=AF，∵△ABE

是等边三角形，∴AB=AE，∴Rt△FEA

≌

Rt△CAB(HL)，∴AC=EF.(2)求证：四边形ADFE

是平行四边形.证明：∵△ACD

是等边三角形，∴∠DAC=60°，∵∠BAC=30°.∴∠BAD=90°，∵EF⊥AB，∴∠AFE=90°.∴∠BAD=∠AFE，∴AD∥EF，∵△AC