2.2二次函数的图像与性质（解析版）

2.2二次函数的图像与性质分层练习考查题型一二次函数的图像（2022秋•綦江区期末）函数与的图象可能是A． B． C． D．【分析】分别讨论与两种情况时一次函数与二次函数的图象的草图，进而求解．【解答】解：当时，直线从左至右上升，抛物线开口向上，选项正确，选项，错误．当时，直线从左至右下降，抛物线开口向下，选项错误．故选：．（2023秋•庐江县期中）函数和函数是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是A． B． C． D．【分析】分别分析当和时两种情况下两个函数在同一平面坐标系中的图象，并结合二次函数的对称轴进行综合判断即可．【解答】解：①当时：函数的图象过一、二、三象限，函数的图象开口向下；不正确，不符合题意．②当时：函数的图象过二、三、四象限，函数的图象开口向上；不正确，不符合题意．函数的对称轴为直线，正确，符合题意；不正确，不符合题意．故选：．（2022秋•赛罕区校级期末）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是A． B． C． D．【分析】根据二次函数图象与轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出的符号，即可确定出正确的选项．【解答】解：．由直线与轴的交点在轴的负半轴上可知，，错误，不符合题意；．由抛物线与轴的交点在轴的正半轴上可知，，由直线可知，，错误，不符合题意；．由抛物线轴的交点在轴的负半轴上可知，，由直线可知，，错误，不符合题意；．由抛物线轴的交点在轴的负半轴上可知，，由直线可知，，正确，符合题意．故选：．（2023秋•高安市期中）函数与且在同一平面直角坐标系内的图象大致是A． B． C． D．【分析】本题由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．【解答】解：、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意；、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意；、由抛物线可知，，且对称轴为轴，由直线可知，，，故本选项不符合题意；、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意．故选：．考查题型二二次函数的顶点坐标（2023秋•温州期中）抛物线的顶点坐标是A． B． C． D．【分析】由抛物线的解析式可求得答案．【解答】解：抛物线，顶点坐标为，故选：．（2023•长兴县一模）抛物线的顶点坐标是A．9， B． C． D．【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．【解答】解：，抛物线顶点坐标为，故选：．（2023秋•宾阳县期中）抛物线顶点坐标是A． B． C． D．【分析】运用二次函数顶点式的顶点坐标是进行求解．【解答】解：抛物线顶点坐标是，故选：．（2023•碑林区校级模拟）已知抛物线，当时，的值随值的增大而增大，则此抛物线的顶点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】由抛物线的解析式知开口方向向上，当时，的值随值的增大而增大，可知对称轴小于或等于，所以顶点在第三象限．【解答】解：由题意知，开口向上，当时，的值随值的增大而增大，对称轴或，如图：抛物线的对称轴为直线，，，△，抛物线与轴有2个不同的交点，顶点在第三象限．故选．考查题型三二次函数的开口方向（2023秋•西城区校级期中）抛物线的开口方向和顶点坐标分别是A．向上， B．向上， C．向下， D．向下，【分析】根据题意可知，然后依据抛物线的顶点式做出判断即可．【解答】解：，抛物线开口向下．抛物线的解析式为，顶点坐标为．故选：．（2023秋•永泰县期中）抛物线与的形状相同，而开口方向相反，则的值是A． B．2 C． D．【分析】抛物线的形状与有关，开口方向与的正负有关．【解答】解：抛物线与的形状相同，开口方向相反，二次项系数互为相反数，．故选：．（2023秋•防城区期中）二次函数的开口方向和对称轴分别为A．开口向上，对称轴为 B．开口向下，对称轴为 C．开口向下，对称轴为 D．开口向下，对称轴为【分析】根据函数解析式，可以直接写出该函数图象的开口方向和对称轴，本题得以解决．【解答】解：，该函数图象的开口向下，对称轴是直线，故选：．考查题型四二次函数的对称轴（2023秋•武昌区期中）抛物线的对称轴是A． B． C． D．【分析】根据题目中的抛物线，利用对称轴公式，可以求得该抛物线的对称轴．【解答】解：抛物线，该抛物线的对称轴是直线，故选：．（2023秋•临高县期中）二次函数的对称轴为A． B． C． D．【分析】根据函数的顶点式直接写出对称轴．【解答】解：，对称轴为直线，故选：．（2023秋•莱芜区期中）在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线的是A． B． C． D．【分析】根据各解析式判断抛物线对称轴．【解答】解：．，抛物线对称轴为直线，故符合题意；．，抛物线对称轴为直线，故不符合题意；．，抛物线对称轴为直线，故不符合题意；．，抛物线对称轴为直线，故不符合题意．故选：．（2022秋•安次区期末）抛物线的对称轴是直线A． B． C． D．【分析】先根据抛物线的解析式得出、的值，再根据抛物线的对称轴方程即可得出结论．【解答】解：抛物线的解析式为，，，其对称轴是直线．故选：．考查题型五根据二次函数的比较大小（2023秋•宁海县期中）已知点都在函数的图象上，则，，的大小关系是A． B． C． D．【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，随的增大而增大，即可得出答案．【解答】解：，图象的开口向上，对称轴是直线，，．故选：．（2023秋•温州期中）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是A． B． C． D．【分析】根据抛物线的对称轴及开口方向即可解决问题．【解答】解：由题知，抛物线的开口向下，对称轴为直线，所以抛物线上的点离对称轴越近，则其纵坐标越大．又因为，，，且，所以．故选：．（2023秋•南关区校级期中）若点，在抛物线上，则、的大小关系是A． B． C． D．无法判断【分析】分别计算自变量为、1时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】解：当时，；当时，；，．故选：．（2023•渭南一模）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是A． B． C． D．【分析】先求出抛物线对称轴解析式，再根据点、、到对称轴的距离的大小与抛物线的增减性解答．【解答】解：二次函数的对称轴为直线，，抛物线开口向上，点、、到对称轴的距离分别为2、1、3，．故选：．考查题型六有关二次函数的辨析题（2023秋•大连期中）对于抛物线下列说法：①对称轴为；②抛物线与轴两交点的坐标分别为，；③顶点坐标为；④若，当时，函数随的增大而增大，其中正确的结论有个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据对称轴公式，进行计算即可；令，求得方程的解即可；根据顶点坐标公式计算即可；由，得出对称轴的左侧，函数随的增大而增大．【解答】解：对称轴，故①正确；令，得，解得或3，抛物线与轴两交点的坐标分别为，，故②正确；，顶点坐标为，故③正确；当，当时，函数随的增大而增大，故④错误，故选：．（2023秋•铜梁区校级期中）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与轴交点得出，，的符号，再利用特殊值法分析得出各选项．【解答】解：抛物线开口向下，，，对称轴，，抛物线与轴交于负半轴，，，故选项①正确；对称轴，又，则，则，故②错误；，则，抛物线对称轴为：，，，故选项③正确；当时，，，则，，，，，（图象与轴交于负半轴），，故④选项正确．故选：．（2023秋•铁东区校级期中）二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线．下列结论中：①；②；③；④．正确的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据开口方向、与坐标轴交点个数以及位置、对称轴进行判断即可．【解答】解：如图：由图象开口向下，；图象交轴于正半轴，，，故①对；根据图像可知对称轴为：，，，，，，故③错；图象与轴有两个交点，△，即，故②对；对称轴为：，与一个交点为，则与轴另一个交点为：，，故④错；共两个正确，故答案选：．（2023秋•建昌县期中）如图，抛物线的对称轴是直线，则以下五个结论①，②，③，④，⑤中，正确的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据图像的对称轴、与轴交点个数、与轴交点位置进行判断即可．【解答】解：如图：图象开口向下，，图象交轴于正半轴，，对称轴是直线，，，，，故①错；，，故②对；图象与轴两个交点，△，即，故③对；根据图像可知关于对称的点为，故图象与轴交点在和3之间，且开口向下，时，，故④对；由图象知：时，，，，即，故⑤对；共四个对，故选：．考查题型七二次函数的平移（2023秋•新洲区月考）在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是A． B． C． D．【分析】根据图象的平移规律，可得答案．【解答】解：将抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是．故选：．（2023秋•丰都县期中）在平面直角坐标系中，将抛物线先沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向下平移4个单位长度，则平移后得到的抛物线是A． B． C． D．【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则解答即可．【解答】解：将抛物线先沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向下平移4个单位长度，则平移后得到的抛物线是．故选：．（2023秋•张北县期中）在坐标系中，若使抛物线平移后经过原点，则平移的方式可能是A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度 C．向左平移2个单位长度 D．向右平移2个单位长度【分析】由抛物线与坐标轴的交点坐标，结合平移后经过原点即可解决问题．【解答】解：由题知，抛物线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为．又因为抛物线平移后经过原点，当将平移至原点时，则为向右平移2个单位长度．当将平移至原点时，则为向下平移4个单位长度．所以符合要求的选项为．故选：．（2023•广西）将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是A． B． C． D．【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解得即可．【解答】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是．故选：．考查题型八二次函数的最值（2023秋•丽水期中）二次函数的最小值是A．1 B．3 C．4 D．无法确定【分析】根据关系式可知抛物线开口向上，函数有最小值，根据顶点坐标可得答案．【解答】解：由二次函数关系式，，抛物线的开口向上，顶点坐标是，当时，函数值有最小值3．故选：．（2023秋•上虞区期中）当时，则以为自变量的函数的最小值是A．6 B．9 C． D．【分析】根据题意，当时，则以为自变量的函数变形为，然后根据二次函数的性质即可求解．【解答】解：，，，，，当时，函数有最小值6，故选：．（2023秋•九龙坡区校级期中）抛物线经过和，则抛物线的最低点为A． B． C． D．【分析】解：由函数的对称性知，其对称轴为直线，得到，则抛物线的表达式为：，即可求解．【解答】解：由函数的对称性知，其对称轴为直线，则，则，则抛物线的表达式为：，则抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，当时，，即最低点为：，故选：．（2023秋•仁寿县期中）已知，则的最大值为A．3 B．5 C． D．【分析】由得到，即，代入得到，即可根据二次函数的性质求得的最大值．【解答】解：，，，，，的最大值为5．故选：．（2022秋•龙岩期末）二次函数的顶点坐标是A． B． C． D．【分析】因为顶点式，其顶点坐标是，对照求二次函数的顶点坐标．【解答】解：二次函数是顶点式，顶点坐标为．故选：．（2023•涪城区模拟）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而增大．其中正确的有A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据图象上点的坐标特征以及二次函数的性质即可判断．【解答】解：①由时，，由图象知：，故错误；②抛物线过点，，，，，，故正确；③抛物线交轴的正半轴，，，，故正确；④抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，故错误；故正确的共有2个，故选：．（2023秋•海淀区校级期中）如图，在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是A． B． C． D．