高中数学函数基本性质专项讲义及练习

专题函数基本性质考点精要会运用函数图像理解和探讨函数的性质．热点分析主要考查函数的性质及运用学问梳理1．函数的单调性：设函数y=f（x）的定义域为A，区间．假如取区间M中的随意两个值x1，x2，设变更量，则当时，就称函数y=f（x）在区间M上是增函数，当时，就称函数y=f（x）在区间M上是减函数．假如一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性．（区间M称为单调区间）函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，推断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间内任取x1，x2,当x1<x2时推断相应的函数值f（x1）与f（x2）的大小．利用图象视察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中全部基本初等函数的单调性都是图象视察得到的．对于型复合形式的函数的增减性，可换过换元，令，然后分别依据，在相应区间上的增减性进行推断，一般规律是：“同则增，异则减”，即内外层函数的单调性相同（同增或同减）则为增；内外层函数的单调性相反（内增外减或内减外增）则为减．其本质源于复合函数求导的连锁法则以及函数单调性与其导函数符合的关系．此外，利用导数探讨函数的单调性，更是一种特别重要的方法，是“大规大法”，由导数正负与单调性的关系及两函数和、差、积、商的求导法则可以推出很多判定函数单调性的简洁技巧．2．函数的奇偶性：设函数y=f（x）的定义域为D，假如对D内的随意一个x，都有，且，则这个函数叫做奇函数．设函数y=g（x）的定义域为D，假如对D内的随意一个x，都有，且g（－x）=g（x），则这个函数叫做偶函数．假如一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，假如一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．假如一个函数是偶函数，则它的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，假如一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数．在奇函数与偶函数的定义中，都要求,，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都肯定关于坐标原点对称．假如一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的前提条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．此外，由奇函数定义可知，若奇函数f（x）在原点处有定义，则肯定有f（0）=0，此时函数f（x）的图像肯定通过原点．探讨函数的奇偶性对了解函数的性质特别重要．假如我们知道一个函数是奇函数或偶函数，则只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图象，就可得出这个函数在另一部分上的性质和图像．由函数奇偶性定义，可以推出如下法则：在公共定义域上：两个奇函数的和函数是奇函数，差函数也是奇函数；两个偶函数的和函数与差函数都是偶函数；两个奇函数的积或商是偶函数；两个偶函数的积或商是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积或者商都是奇函数．3．单调性与奇偶性之间的关系：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反；例题精讲例1.下列函数中，满意“对随意，（0，），当<时，都有>的是()A．=B.=C.=D例2．对于函数①，②，③，推断如下两个命题的真假：命题甲：是偶函数；命题乙：在上是减函数，在上是增函数；能使命题甲、乙均为真的全部函数的序号是（）Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③例3,.已知f（x）是奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）＝lg，那么当x∈（－1，0）时，f（x）的表达式是_____。练习：设是定义在上的奇函数，且，又当时，，求：当时，求的解析式。例4已知函数为R上的减函数，则满意的实数的取值范围是 （）A. B. C. D.例5（1）已知偶函数在区间单调增加，则满意＜的x取值范围是 ()（A）（，）B.［，）C.（，）D.［，）例6.在上定义的函数是偶函数，且，若在区间 是减函数，则函数 （）A.在区间上是增函数，区间上是增函数B.在区间上是增函数，区间上是减函数C.在区间上是减函数，区间上是增函数D.在区间上是减函数，区间上是减函数例7设，又记则 ()A． B． C． D．例8求复合函数的单调性求下列函数的单调性，并确定每一个单调区间上的单调性（1）（2）（3）例9抽象函数性质已知函数的定义域是，当时，且（1）求（2）证明在定义域上是增函数（3）假如，求满意不等式的的取值范围。例10抽象函数设是定义在R上的函数，对、恒有，且当时，。（1）求证：；（2）求证：在R上是减函数；（4）若，求的范围。练习：函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等式的解集。练习：、设是定义在上的奇函数，且，又当时，，（1）证明：直线是函数图象的一条对称轴：（2）当时，求的解析式。解析(1)证(2)针对训练1．函数 A．在内单调递增 B．在内单调递减 C．在内单调递增 D．在内单调递减2．在上是增函数的是 A． B． C． D．3．函数的图像关于 A．y轴对称 B．直线y=x对称 C．坐标原点对称 D．直线y=x对称4．已知函数，若f（a）=b，则f（a）= A．b B．b C． D．5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是 A． B． C． D．6．函数f（x）=x3+sinx+1（），若f（a）=2，则f（a）的值为 A．3 B．0 C．1 D．27．设f（x），g（x）都是单调函数，有如下四个命题：①若f（x）单调增，g（x）单调增，则单调增；②若f（x）单调增，g（x）单调减，则单调增；③若f（x）单调减，g（x）单调增，则单调减；④若f（x）单调减，g（x）单调减，则单调减；其中，正确命题是A．①④B．①②C．②③D．③④8．已知偶函数f（x）在区间上单调增加，则满意的x的取值范围是 A．B．C．D．9．若f（x）=x2+2ax与g（x）=在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是 A． B． C．（0，1） D．（0，1]10函数y=的单减区间是。11函数y=2(x-1)(x-3)的单增区间是；单减区间是。12若偶函数的定义域为，则=。13设若f(-3)=10,则f(3）=。14．若函数f（x）=（x+1）（xa）为偶函数，则a的值为___________.15．设f（x）的图像关于原点对称，且在（0，+∞）上是增函数，f（3）=0，则xf（x）<0的解集为______________.16．若函数f（x）=是奇函数，则a=___________.17．已知是上的减函数，求a的取值范围_____________18.若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的取值范围是 （） A. B. C.D.（－2，2）19（1）若是奇函数，则．（2）已知函数是定义在上的偶函数.当时，，则当时，.20已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。21例2、函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等式的解集答案例1A例2C例3∴f（x）＝－f（－x）＝－lg＝lg（1－x）．针对训练1．C2．C3．C4．B5．A6．B7．C8．A9．D10.11.120131614．115．16．17．18略19略高考链接模拟实战1（06北京文）已知是（-，+）上的增函数，那么a的取值范围是（A）(1，+) （B）(-,3)(C) (D)(1,3)2（10北京文）若a,b是非零向量，且，，则函数是（A）一次函数且是奇函数（B）一次函数但不是奇函数（C）二次函数且是偶函数（D）二次函数但不是偶函数3（10北京文）给定函数①，②，③，④，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（A）①②（B）②③（C）③④（D）①④4（07北京文）已知函数，分别由下表给出123211123321

则的值为 ；当时， ．5（11北京理）假如那么A．y<x<1 B．x<y<1C．1<x<y D．1<y<x6.（全国）已知定义在R上的奇函数，满意,且在区间[0,2]上是增函数,则 ().A.B.C.D.7（10宣武模拟）(1)已知定义域为R的函数是奇函数.<1>求a,