江苏省苏州市铁路中学2022-2023学年高二数学文期末试题含解析

江苏省苏州市铁路中学2022-2023学年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是

（）（A）．

（B）．

（C）．

（D）．

参考答案：A略2.下列说法错误的是（

）A．“”是“”的充要条件B．命题：关于的函数在[1，+∞）上是增函数，则C．命题：存在,使得，则：任意,都有D．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”参考答案：A3.椭圆上任意一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c，若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为()A.

B.

C.

D.参考答案：A略4.等比数列中，公比，记（即表示数列的前项之积），，，，中值为正数的个数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数的最小正周期为

A．π

B．2π

C．4π

D．8π参考答案：C略6.若为有理数），则（

）

A．45

B．55

C．80

D．70参考答案：D略7.下列命题是真命题的是

（A）的充要条件

（B）的充分条件

（C）

（D）若为真命题，则为真参考答案：B8.已知实数满足，证明：.参考答案：证明：证法一，∴，，∴，.

……………2分∴，即，

……………4分∴，∴，

……………6分即，∴.

……………8分

略9.设是等差数列,是其前项和,且，则下列结论错误的是

（

）

参考答案：C10.若,使成立的一个充分不必要条件是A.

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，则下列四个命题：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β其中正确命题的序号是．参考答案：①③【考点】平面的基本性质及推论．【专题】计算题．【分析】直线l⊥平面α，直线m?平面β，当α∥β有l⊥m，当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，当l∥m有α⊥β，当l⊥m有α∥β或α∩β，得到结论【解答】解：直线l⊥平面α，直线m?平面β，当α∥β有l⊥m，故①正确当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，故②不正确当l∥m有α⊥β，故③正确，当l⊥m有α∥β或α∩β，故④不正确，综上可知①③正确，故答案为：①③【点评】本题考查平面的基本性质即推论，本题解题的关键是看出在所给的条件下，不要漏掉其中的某一种位置关系，本题是一个基础题．12.口袋内装有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出黄球的概率是0.28.若红球有21个，则蓝球有________个．参考答案：15【分析】根据红球的概率和个数求出总球数，从而求出篮球的个数.【详解】由题意摸出红球的概率为0.42，并且红球有21个，则总球数为个，所以蓝球的个数为个.所以本题答案为15.【点睛】本题考查概率等基础知识，考查概率的应用，考查运算求解能力，是基础题.13.若，则与的大小关系是

.参考答案：14.抛物线x2=4y的焦点坐标为

．参考答案：（0，1）【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴∴抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）15.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收信机，想听电台报时，则他等待的时间不超过分钟的概率为__________________.参考答案：略16.如图，将菱形ABCD沿对角线BD折起，使得C点至C′，E点在线段AC′上，若二面角A﹣BD﹣E与二面角E﹣BD﹣C′的大小分别为15°和30°，则=．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【专题】综合题；压轴题；空间位置关系与距离．【分析】取BD的中点O，连接AO，EO，C′O，由题设知AOE=15°，∠EOC′=30°，由此利用正弦定理能求出．【解答】解：取BD的中点O，连接AO，EO，C′O，∵菱形ABCD沿对角线BD折起，使得C点至C′，E点在线段AC′上，∴C′O⊥BD，AO⊥BD，OC′=OA，∴BD⊥平面AOC′，∴EO⊥BD，∵二面角A﹣BD﹣E与二面角E﹣BD﹣C′的大小分别为15°和30°，∴∠AOE=15°，∠EOC′=30°，∵OC′=OA，∴∠OC′E=∠OAE，由正弦定理得，，∴，∴===．故答案为：．【点评】本题考查棱锥的结构特征，注意在翻折过程中哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化；位于折线同侧的元素关系不变，位于折线两侧的元素关系会发生变化．17.已知向量，若,则______。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．参考答案：【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．【专题】压轴题；直线与圆．【分析】（1）由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2，化简可得a，b间满足的等量关系．（2）由于PQ==，利用二次函数的性质求出它的最小值．（3）设⊙P的半径为R，可得|R﹣1|≤PO≤R+1．利用二次函数的性质求得OP=的最小值为，此时，求得b=﹣2a+3=，R取得最小值为﹣1，从而得到圆的标准方程．【解答】解：（1）连接OQ，∵切点为Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2．由已知PQ=PA，可得PQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2．化简可得2a+b﹣3=0．（2）∵PQ====，故当a=时，线段PQ取得最小值为．（3）若以P为圆心所作的⊙P的半径为R，由于⊙O的半径为1，∴|R﹣1|≤PO≤R+1．而OP===，故当a=时，PO取得最小值为，此时，b=﹣2a+3=，R取得最小值为﹣1．故半径最小时⊙P的方程为+=．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，圆的切线的性质，两点间的距离公式以及二次函数的性质应用，属于中档题．19.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】压轴题．【分析】（1）设椭圆方程为．由两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，由此能够求出a，b，c的值，从而得到所求椭圆方程．（2）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x﹣1．设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题设条件得．由此入手可求出．（3）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．由题意知（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．由此可知．【解答】解：（1）由已知，椭圆方程可设为．∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴．所求椭圆方程为．（2）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x﹣1．设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得3y2+2y﹣1=0，解得．∴．（3）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．由可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．∴．．其中x2﹣x1≠0以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形?（x1+x2﹣2m，y1+y2）（x2﹣x1，y2﹣y1）=0?（x1+x2﹣2m）（x2﹣x1）+（y1+y2）（y2﹣y1）=0?（x1+x2﹣2m）+k（y1+y2）=0?2k2﹣（2+4k2）m=0．∴．【点评】本题考查圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．20.（本小题满分13分）已知ΔABC的三边方程是AB：，BC：CA：，（1）求∠A的大小.（2）求BC边上的高所在的直线的方程.参考答案：解：由题意知、、……3分（1）由到角公式的tanA=

…………6分∴

………………7分（2）设BC边上的高所在的直线的斜率为，则∵BC边上的高所在的直线与直线BC垂直

∴

即∵

∴点A的坐标为

…………………9分代入点斜式方程得

…………13分21.已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程；（2）若M（m，n）为圆C上任意一点，求的最大值与最小值；（3）从圆C外一点P（x，y）向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求当|PM|最小时的点P的坐标．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；直线与圆．【分析】（1）圆C的切线在x轴和y轴上截距相等时，切线过原点或切线的斜率为﹣1；当切线过原点时，设切线方程为：y=kx，当切线的斜率为﹣1时，设切线方程为：x+y+b=0，由相切可得方程，解出即可；（2）设k=，则k表示直线MA的斜率，其中A（1，﹣2）是定点，可知直线MA与圆有公共点，从而可得，解出即可；（3）由两点间距离公式及切线长公式，可把|PM|=|PO|化为（x+1）2+（y﹣2）2﹣2=x2+y2，化简可得x=2y﹣，从而PM|=|PO|=，可化为关于y的函数，借助二次函数的性质可求；【解答】解：圆C的方程为：（x+1）2+（y﹣2）2=2，（1）圆C的切线在x轴和y轴上截距相等时，切线过原点或切线的斜率为﹣1；当切线过原点时，设切线方程为：y=kx，相切则：，得；当切线的斜率为﹣1时，设切线方程为：y+x+b=0，由相切得：，得b=1或b=﹣3；故所求切线方程为：或；或x+y+1=0，或x+y﹣3=0．（2）设k=，则k表示直线MA的斜率，其中A（1，﹣2）是定点，∵M（m，n）在圆C，∴圆C与直线MA有公共点，而直线MA的方程为：y+2=k（x﹣1），则有：C点到直线MA的距离不大于圆C的半径即：，解得：﹣7≤k≤﹣1，∴的最大值为﹣1，最小值为﹣7．（3）由圆的切线长公式可得|PM|2=|PC|2﹣R2=（x+1）2+（y﹣2）2﹣2，由|PM|=|PO|得，（x+1）2+（y﹣2）2﹣2=x2+y2，即2x﹣4y+3=0，即x=2y﹣，此时|PM|=|PO|====，∴当y=即P（，）时，|PM|最小．【点评】该题考查圆的方程、性质，考查直线与圆的位置关系，考查与圆有关的最值问题，考查转化思想．22.已知函数，其中k∈R且k≠0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当k=1时，若存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导函数，对k讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；（2）分离参数，构造新函数，g（x）=（x＞0），存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，等价于a＜g（x）max，由此可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域为R，求导函数可得f′（x）=当k＜0时，令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞2；令f′（