数学｜山西省大同市2024届高三上学期10月月考数学试卷及答案

第1页/共6页山西省大同市2024届高三上学期第二次摸底（10月）数学试题1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.2.已知i为虚数单位，若复数z=z的虚部为()A.B.C.iD.i3.命题p:所有的偶数都不是素数，则军p是()A.所有的偶数都是素数B.所有的奇数都是素数C.有一个偶数不是素数D.有一个偶数是素数4.下列函数中最小值为6的是()2一xD.y5.已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示.能听到声音，当且仅当A与B至少有一个正常工作，C正常工作，D与E中至少有一个正常工作.则听不到声音的概率为()第2页/共6页A.0.19738B.0.00018C.0.01092D.0.098282024A.2023B.2024C.2027D.40467.设函数f(x)=xln(x+)，则使得f(x)>f(3x-1)成立的x的取值范围是()(1)(1)(11)(1)(1)(11)8.已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，P(-2,0)，过F斜率为1的直线交抛物线于M，N两点，且.=16，若Q是抛物线上任意一点，且=λ+μ(λ,μeR)，则λ+μ的最小值是A.0B.C.D.1符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.C.(+)」D.向量,在向量方向上的投影向量互为相反向量10.下列选项中，满足a>b的有()A.a=logπ2.7,b=logπ2.71=0.72.40.5,b0.5第3页/共6页A.Φ=2B.,是函数f(x)的一个递减区间C.x=-是函数f(x)图象的一条对称轴D.函数f(x)在区间-,上的最大值是12.定义在(0,+m)上的函数f(x)满足xf，(x)+f(x)=，则()eπB.若f(2)=，则x=2为f(x)的极值点C.若f(1)=e，则x=1为f(x)的极值点D.若f(1)<e，则f(x)在(0,+m)上单调递增2(x234(x456(x6，则a514.曲线y=ex的一条切线的斜率为1，则该切线与坐标轴围成的三角形的面积为.15.已知椭圆C1和双曲线C2有相同的焦点F1,F2，离心率分别为e1,e2，且+=2，若P是两条曲线16.已知函数f(x)=满足f(x)=f(|（-，则a=，若|f(x)|>m，则m的取值范围第4页/共6页f(x)=.-.（1）求使f(x)之0成立的x的集合；（2）若先将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求y=g(x)-在区间-,内的所有零点之和.18.在锐角ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，从条件①、条件②中选一个作为已知条件①：acosC+ccosA=2bcosA；条件②：(sinB-sinA).(a+b)=sinC.(b-c).（1）求角A；（2）当a=2时，求b+c的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分B1BD为线段AB的中点，AC1与平面AA1B1B所成的角为30。.（1）证明：BC1//平面A1CD；（2）求平面A1CD与平面A1BC1夹角的余弦值.20.已知等差数列{an}满足a1+a5=-4,a6=1，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=3bn-3,neN*.（1）求数列{an},{bn}的通项公式；（2）设{cn}满足cn=anbn，记{cn}的前n项和为Tn，若Tn<λcn+21对任意ne**恒成立，求实数λ的取值范围.21.已知函数f(x)的定义域为D，如果存在x0eD，使得f(x0)=x0，则称x0为f(x)的一阶不动点；如果第5页/共6页存在x0eD，使得f(f(x0))=x0，且f(x0)牛x0，则称x0为f(x)的二阶周期点.（1）函数f(x)=(a牛0)是否存在一阶不动点与二阶周期点？（2）若函数f(x)=ax2一(aeR,xeR)存在一阶不动点，不存在二阶周期点，求实数a的取值范围.（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在极值点，其极大值点为x1，最大的零点为x2，判断x2与x的大小关系，并证明.第1页/共23页山西省大同市2024届高三上学期第二次摸底（10月）数学试题1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.【答案】D【解析】【分析】根据集合的交集运算，即可求得答案.故选：D2.已知i为虚数单位，若复数z=1+i，则复数的虚部为()zA.B.C.iD.i【答案】B【解析】1【分析】先求出，进而结合复数虚部的定义求解即可.z 第2页/共23页所以复数的虚部为z4故选：B.3.命题p:所有的偶数都不是素数，则军p是()A.所有的偶数都是素数B.所有的奇数都是素数C.有一个偶数不是素数D.有一个偶数是素数【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定求解即可.【详解】因为命题p:所有的偶数都不是素数，所以军p是：有一个偶数是素数故选：D.4.下列函数中最小值为6的是()2一xD.y【答案】C【解析】【分析】A.由x<0时判断；B.令t=|sinx|E(0,1]，利用对勾函数的性质求解判断；C.令t=3x>0，利用基本不等式求解判断；D.由0<x<1时判断.【详解】A.当x<0时，显然不成立，故错误；故选：C5.已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示.能听到声音，当且仅当A与B至少有一个正常工作，C正常工作，D与E中至少有一个正常工作.则听不到声音的概率为()第3页/共23页A.0.19738B.0.00018C.0.01092D.0.09828【答案】A【解析】【分析】首先根据独立事件概率公式求能听到声音的概率，再利用对立事件概率公式，即可求解.【详解】设能听到声音为事件M，则P(M)=1-P(AB).P(C)1-P(DE)所以听不到声音的概率P(M)=1-0.80262=0.19738.故选：A2024A.2023B.2024C.2027D.4046【答案】C【解析】以2为公差的等差数列，再根据等差数列的通项即可得解.12an+2由②-①得an+2-an=2，所以数列{an}的偶数项是以2为公差的等差数列，2第4页/共23页20242故选：C.)，则使得f(x)>(3立的x的取值范围是()(1)(1)(11)(1)(1)(11)【答案】B【解析】【分析】先判断函数f(x)=xln(x+)的单调性，利用函数的单调性求解函数不等式.【详解】f(x)=xln(x+)，故f(x)=xln(x+)的定义域为R，所以函数f(x)=xln(x+)为偶函数，故选：B8.已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，P(一2,0)，过F斜率为1的直线交抛物线于M，N两点，且.=16，若Q是抛物线上任意一点，且=λ+μ(λ,μER)，则λ+μ的最小值是1A.0B.3【答案】AC. 2D.1第5页/共23页【解析】【分析】根据直线与抛物线联立可得韦达定理，根据数量积的坐标运算可得p=4，进而根据向量线性运算的坐标表示，即可结合二次函数的性质求解.(p)p【详解】由题意可得F|（2,0)|，所以直线MN的方程为y=(p)p1)2，1-化简得2x1x2+2)即p2-8p+16=0,解得p=4,12,x1x2设Q(x0,y0),则0因此x0+2μ且y0=λy1+μy2=λ(x1-2)+μ(x2-2)=λx1-2λ+μx2-2μ,因此可得x0+2-y0=4λ+4μ,λ+μ的最小值为0，故选：A2y0-2y08(y0-4)2-16+20=4时取到等号，故8符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.第6页/共23页C.(+)」D.向量,在向量方向上的投影向量互为相反向量【答案】AB【解析】【分析】根据向量垂直、平行、投影向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.所以B选项正确，C选项错误.bbbb在上的投影向量为故选：AB10.下列选项中，满足a>b的有()A.a=logπ2.7,b=logπ2.71=0.72.40.5,b0.5【答案】BCD【解析】【分析】利用指数、对数函数、幂函数的单调性逐项比较大小即可.【详解】对于A，函数y=logπx在(0,+伪)上单调递增，则logπ2.7<logπ2.71，即a<b，A不满足；对于B，函数y=log0.3x在(0,+伪)上单调递减，则0<log0.30.2<l即有>，因此log0.20.3>log0.10.3，即a>b，B对于C，函数y=0.7x在R上单调递减，则0.72.3>0.72.4，即a>b，C满足；对于D，函数y=x0.5在(0,+伪)上单调递增，则1.90.5>1.80.5，即a>b，D满足.故选：BCD第7页/共23页A.Φ=2B.,是函数f(x)的一个递减区间C.x=-是函数f(x)图象的一条对称轴D.函数f(x)在区间-,上的最大值是【答案】AC【解析】【分析】根据函数图像依次分析出A,Φ,Q，然后再判断对称轴，单调区间，最值等问题【详解】由图可知f(x)最大值为1，最小值为-1，所以A=1；(π)(π)(π)(π)对于A：由上面结论知道A正确；对于B：x=,时2x+=,π,f(x)在该区间不是单调递减函数，B错误；对于C：x=-时2x+=-，是函数f(x)的一条对称轴，C正确；第8页/共23页 6π「ππ)对于D：x=|L-6, 6π「ππ)故选：AC「ππ)=|L-6,「ππ)，故D错误.12.定义在(0,+伪)上的函数f(x)满足xf,(x)+f(x)=，则()eπB.若f(2)=，则x=2为f(x)的极值点C.若f(1)=e，则x=1为f(x)的极值点D.若f(1)<e，则f(x)在(0,+伪)上单调递增【答案】ABD【解析】【分析】令g(x)=xf(x)且x=(0,+伪)，结合已知可得g,(x)>0，即可判断A；将已知条件化为f,(x)=且x=(0,+伪)，再令h(x)=ex-xf(x)并应用导数研究单调性得h(x)之h(1)=e-f进而判断B、C、D.【详解】令g(x)=xf(x)且x=(0,+伪)，则g,(x)=f(x)+xf,(x)=>0，所以g(x)在(0,+伪)上递增，则g(π)>g(e)牵πf(π)>ef(e)牵>，A对；令h(x)=ex-xf(x)，则h,(x)=ex-f(x)-xf,(x)=ex(1-)，当0<x<1时h,(x)<0，即h(x)递减；当x>1时h,(x)>0，即h(x)递增；f若f(2)=，则h(2)=e2-2f(2)=0>h(1)，所以(1,2)上f,(x)=<0，f(x)递减；(2,+伪)上f,(x)=>0，f(x)递增；故x=2为f(x)的极值点，B对；第9页/共23页若f(1)=e，则h(x)之0，即f,(x)之0，故f(x)在(0,+伪)上递增，故x=1不是f(x)的极值点，C错；若f(1)<e，则h(x)>0，即f,(x)>0，故f(x)在(0,+伪)上单调递增，D对.故选：ABD【点睛】关键点点睛：对于B、C、D，由f,(x)=ex(x)且xe(0,+伪)，并构造h(x)=ex一xf(x)且应用导数研究其单调性和极值为关键.2(x234(x456(x6，则a5【答案】6【解析】26，结合二项展开式的通项公式，即可求解.234(x456，故答案为：6.14.曲线y=ex的一条切线的斜率为1，则该切线与坐标轴围成的三角形的面积为. 2【解析】##0.5【分析】根据给定条件，利用导数求出切点坐标及切线方程，再求出面积即得.【详解】设斜率为1的直线与曲线y=ex相切的切点为(x0,ex)，x，求导得y,=ex，因此切线斜率为ex0=1，解得x0=0，切点为(0,1)，切线方程为y=x+1，所以该切线与坐标轴围成的三角形的面积为x1x1=.故答案为：第10页/共23页15.已知椭圆C1和双曲线C2有相同的焦点F1,F2，离心率分别为e1,e2，且+=2，若P是两条曲线【答案】【解析】【分析】结合P为椭圆和双曲线的公共点，分别根据定义在椭圆和双曲线里列PF1和PF2的关系，表示【详解】F1F2设P是两条曲线第一象限的一个交点，则有PF1+PF2222PF+PF_FF222PF+PF_FF2PF.PFPF1PF PF2PFPF1PF2+(a_m)2_4c22(a+m)(a_m)a22_2c222a_m22a222c22， π 故答案为： π .216.已知函数f(x)=第11页/共23页【解析】【分析】利用f(x)=f(|（-列方程求参数a，进而写出f(x)解析式和定义域，定义判断奇偶性，并得到|f()|=|f(x)|，即有(-伪,-1),(-1,0),(1,0),(1,+伪)上|f(x)|值域均相同，再将问题化为研究x=上m<|f(x)|min，结合基本不等式求参数范围.而f(-x)===-f(x)，即f(x)为奇函数，所以f=-f(x)牵|f()|=|f(x)|，易知(0,1)和(1,+伪)上|f(x)|值域相同，|f(x)|值域均相同，只需研究x=(1,+伪)上|f(x)|的最小值，即m<|f(x)|min，【点睛】关键点点睛：求参数范围时注意判断f(x)的奇偶性并确定|f(x)|在(-伪,-1),(-1,0),(1,0),(1,+伪)四个区间上的值域相同，简化为x=(1,+伪)上m<|f(x)|min为关键.f(x)=.-.（1）求使f(x)之0成立的x的集合；第12页/共23页 6π（2）若先将函数f(x) 6π个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求y=g(x)-在区间-,内的所有零点之和.(keZ)（2）2π【解析】【分析】（1）利于向量的数量积、三角恒等变换化简函数式，结合三角函数的性质解不等式即可；（2）利用三角函数的图象变换及性质数形结合计算即可.【小问1详解】由已知可得sinx,-sinx),=(cosx,-sinx)牵f(x)=sinxcosx+sin2x-所以【小问2详解】sin(2π)sin(2π)再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得函数g(x)=sinx，1「3π5π]第13页/共23页记该四个交点的横坐标依次为x1,x2,x3,x4，342418.在锐角‘ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，从条件①、条件②中选一个作为已知条（1）求角A；（2）当a=2时，求b+c的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分【解析】 12 12,进而求出角A.（2）通过正弦定理将边转化为角，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为“一角一函数”的形式，最后结合角的范围利用三角函数的值域求解.【小问1详解】选条件①,因为acosC+ccosA=2bcosA，由正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，第14页/共23页所以sin(A+C)=2sinBcosA，所以cosA=，整理得b2+c2a2=bc，【小问2详解】 由正弦定理sinBsinCsinA，2所以b=4sinB，c=4sinC，所以b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin(一B)=6sinB+2cosB=4sin(B+)，π62 π ,2所以b+c的取值范围为(6,4.B1B第15页/共23页D为线段AB的中点，AC1与平面AA1B1B所成的角为30。.（1）证明：BC1//平面A1CD；（2）求平面A1CD与平面A1BC1夹角的余弦值.【答案】（1）证明见详解【解析】【分析】（1）设A1C与AC1的交点为E,连接DE,则DE//BC1，利用线面平行的判断定理证明即可2）连接AB1,交A1B于O,以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面A1CD与平面A1BC1的法向量，然后进行计算即可.【小问1详解】设A1C与AC1的交点为E,连接DE,因为D为线段AB的中点,则DE为‘ABC1的中位线，则DE//BC1,所以BC1//平面A1CD.【小问2详解】第16页/共23页又BC」平面AA1B1B,则B1C1」平面AA1B1B,以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，---3---1----------3---1--------+y1,11----设平面A1BC1的法向量为n2=(x2,y2,z2)，2222--令x2--设平面A1CD与平面A1BC1夹角为θ,则第17页/共23页bb --- ------故平面A1CD与平面故平面A1CD与平面A1BC1夹角余弦值为（1）求数列{an},{bn}的通项公式；（2）设{cn}满足cn=anbn，记{cn}的前n项和为Tn，若Tn<λcn+21对任意ne**恒成立，求实数λ的取值范围.3,【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义以及基本量计算和Sn与an的关系即可；（2）先求出cn的通项，再用错位相减法求得Tn的值，再由Tn<λcn+21化简及分类讨论、分析函数的最值求得λ的取值范围.【小问1详解】32 1②,32 1②,n13bn1bn1第18页/共23页故数列为以首项为,公比为的等比数列，:bn=.n_1=n;【小问2详解】n2n由③-④可得:_Tn=_6+__(n_5).n+1.n要使得Tn<λcn+21对任意nE**恒成立，即3n_21<λ(n_5)，对于函数y=3_，由反比例函数性质可知y=3_是在[6,+父)单调递增的；所以要使其恒成立，只要λ>(|（3_max，:λ>3，第19页/共23页③当n-5<0，有λ<3-，对于函数y=3-，由反比例函数性质可知y=3-在[1,4]上单调递增，:只要λ<(|（3-min:λ<3-=；综上:λ的取值范围为3,.21.已知函数f(x)的定义域为D，如果存在x0=D，使得f(x0)=x0，则称x0为f(x)的一阶不动点；如果存在x0=D，使得f(f(x0))=x0，且f(x0)士x0，则称x0为f(x)的二阶周期点.（1）函数f(x)=(a士0)是否存在一阶不动点与二阶周期点？（2）若函数f(x)=ax2-(a=R,x=R)存在一阶不动点，不存在二阶周期点，求实数a的取值范围.【答案】（1）存在一阶不动点，不存在二阶周期点【解析】【分析】（1）根据一阶不动点和二阶周期点的定义判断；（2）将f(x)=ax22-4存在一阶不动点转化为方程2=x有解，然后列不等式求a；假设4f(x)=ax2-