6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 教学设计

6.3.5平面向量数量积的坐标表示教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习平面向量数量积的坐标表示，模、夹角的坐标表示。前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础。教学目标与核心素养 J课程目标学科素养A.掌握平面向量数量积坐标表示及模、夹角的公式。B.能用公式求向量的数量积、模、夹角；C.掌握两个向量垂直的坐标判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题..数学抽象：用数量积判断两个平面向量的垂直关系；.逻辑推理：证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题..数学运算：利用平面向量数量积解决有关长度、角度的问题；.直观想象：用坐标表示平面向量数量积的有关运算，揭示几何图形与代数运算之间的内在联系。教学重难息.教学重点：平面向量数量积坐标表示及模、夹角公式；.教学难点：平面向量数量积的应用。课前准备多媒体教学过程

教学过程教学设计意图核心素养目标一、复习回顾，温故知新.平面向量的数量积(内积)的定义：【答案】a•b-IaIIb1cos。..两个向量的数量积的性质：—b- fI— t2__p.i i1=~二 八 a-b—ir -h八【答案】a,a-a或a-yla-a，cos0-—r-r-a'boa-b-0ab二、探索新知探究：已知两个非零向量a=(x,y),b=(x,y)，怎样用向量的坐11 2 2—1 —1-标表示a・b？【答案】a-xi+yj,b-xi+yj11 2 2所以21 2 22 2a•b-(xi+yj)(xi+yj)-xx产+xyij+xyij+yyj1 1 2 2 12 12 21 12-xx+yy12 121.数量积的坐标表示：a•b-xx+yy，12 12故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。思考1：设a=(x,y)，则用坐标怎样表示।a12和1a।？【答案】IaI2-x2+y2,|a1=个x2+y2通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过探究，让学生数量积的坐标表示，提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过思考，让学生会用坐标表示向量的模、垂直，提高学生分析问题、概括能力。思考2.表示a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(X1,yJ(X2,y2),那么a的坐标,|a|怎么用坐标表示？【答案】"(X2-7y2-甲」〃|=\(X思考3.设a=(X,y),b=(X,y)，则a±b用坐标表示能得到什么1 1 2 2结论？【答案】a±b=xx+yy=012 12例1.已知人(1,2),B(2,3),C(—2,5),试判断^ABC的形状，证明你的猜想.通过例题练习数量积的坐标表示，提高学生解决问题的能力。通过例题练习数量积的坐标表示，提高学生解决问题的能力。解：finis6.3-15,在平面直角型标系中画出点色'S'Ct们发现是直角三角形.证明如下-因为a5=(2-1,3—Z)=(l,1)*AC=(—£—1«5—2)-C—313)t所以AB，品匚1工一第十】丈3=口.于是aB±ac.因此1△AHC珏直再三痢形-思考4：设a,b是两个非零向量，其夹角为。，若a=(x,y),b=(x,y),那么cos0如何用坐标表示？1 1 2 2通过思考，推导夹角的坐标表示，提高学生的推理能力。f«通过思考，推导夹角的坐标表示，提高学生的推理能力。a-bxx+yy【答案】cos0= =， 12.12IaIIbIyx2+y2\:x2+y21 1 2 2例2,设。=(5,-7),b=(-6,-4),求a.b及a、b'间的夹角0(精确到1o).

解ra-if=5X(—7)X］一口二一州士能——也因为|也|工＜r5*H-(-7^=774f\b\=JG—EKT尸=y32，fit以用计算器计算可得cos ,—&I—— 03.M!&lVtTx752利用计算船中的“期T”键，一心初，例3.用向量方法证明两角差的余弦公式cos(a-P)=cosacosP+sinasinP通过例题进一步熟悉向量的应用，提高学生的观察、概括能力，进一步体会向量的工具性。qEB^：如图I3-2th在一平面直甬型标系H)3■内作单位圈。，以工轴的多鱼平轴为始通过例题进一步熟悉向量的应用，提高学生的观察、概括能力，进一步体会向量的工具性。也作用心昆它们的绯雪与他栉圆。的变点竺为.心民则就=(亡口占。,sineJiOB=(co3^1由向量徵R忸的电标表土向一Q4■OU-=rosqcds!?-|sinh痴口区,或殖.弼的夹角为巴则—QA▼dE=lOA|■|QBIma人一所以cos5—二口a4cob^-s-air^slnR.另一方面，由图比沙即(1)可知।口=/犹494■/由图氏”即(2)可知…讨=源我+卢一优于是•一#=2氐云土仇EW五所以定用间1■工人途行坏，相，比相由之葡清*Lcoafb—冉一定用间1■工人途行坏，相，比相由之葡清*L于昆cos2一加=Ooe.accfi,白+sintrsin代三、达标检测.已知&=(1,一1),b=(2,3),则a〃=( )A.5B.4 C.—2D.—1通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。【解析】a・b=(1,—1)・(2,3)=1X2+(—1)X3=—1.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。【答案】D.已知&=(—2,1),b=(x,—2),且a，b,则x的值为( )A.—1B.0C.1D.2【解析】由题意，a•b=(—2,1)•(x,—2)=—2x—2=0,解得x=—1.故选A.【答案】.(2016•邢台期末)平行四边形ABCD中，AB=(1,0),"(2,2),则前•前等于( )A.—4 B.-2 C.2D.4【解析】AD-bD=(AC—AB)-(AC-2AB)=AA2+2AB2—3AC•AB=8+2—3X2=4.故选D.【答案】D.已知&=(3,—4),则|a|=.【解析】 因为a=(3,-4),所以|a|=,：'32+(—4)2=5.【答案】5.已知向量a=(3,1),b=(1,—2),求：(1)a•b；(2)(a+b)2；(3)(a+b)•(a—b).【解】(1)因为a=(3,-1),b=(1,—2),所以a•b=3X1+(—1)X(—2)=3+2=5.(2)a+b=(3,—1)+(1,—2)=(4,—3),所以(a+b)2=Ia+b12=42+(—3)2=25.通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力，提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。(3)a+b=(3,—1)+(1,—2)=(4,—3),a—b=(3,—1)—(1,—2)=(2,1),(a+b)•(a—b)=(4,—3)•(2,1)=8—3=5.通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力，提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。四、小结1.向量数量积的坐标表示；2.向量的模的坐标表示，向量垂直的充要条件；3.向量的夹角公式的坐标表示；五、作业习题6.3 10,14题教学反思k 结合本节教材浅显易懂,又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点,兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状,我主要采用“诱